Automá ca. Ejercicios Capítulo5.Estabilidad. JoséRamónLlataGarcía EstherGonzálezSarabia DámasoFernándezPérez CarlosToreFerero MaríaSandraRoblaGómez

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1 Automáca Ejercicio Capítulo.Etabilidad JoéRamónLlataGarcía EtherGonáleSarabia DámaoFernándePére CarloToreFerero MaríaSandraRoblaGóme DepartamentodeTecnologíaElectrónica eingenieríadesitemayautomáca

2 Problema de Ingeniería de Sitema: Sitema Continuo. Concepto báico. EJERCICIO.. Etudiar la etabilidad del itema cuya ecuación caracterítica e la iguiente: F() 7 - No falta ningún término. - No exite ningún coeficiente negativo. Tabla de Routh: cambio de igno en ª columna: raíce a la derecha Inetable. EJERCICIO.. Etudiar la etabilidad del itema cuya ecuación caracterítica e la iguiente: F() - No falta ningún término. - No exite ningún coeficiente negativo. Tabla de Routh: -Cambio =/x: F() x x 6 x x x

3 Etabilidad F(x) x F(x) x x x x x x x x x cambio de igno: raíce a la derecha Inetable. EJERCICIO.. Etudiar la etabilidad del itema cuya ecuación caracterítica e la iguiente: F() No falta ningún término. - No exite ningún coeficiente negativo. Tabla de Routh: Ecuación auxiliar: Derivando: 8 Etable.

4 Problema de Ingeniería de Sitema: Sitema Continuo. Concepto báico. EJERCICIO.. Calcular lo valore de K y a que hacen etable al itema definido por la iguiente función: M () 6 (K 6) Ka Ecuación caracterítica: 6 (K 6) Ka Routh: 6 K 6 6Ka k 6 K Ka 6 K 6 Ka Ka K y a deben tener igual igno. K k 6 6 6Ka K 6 (K ) a. 6 K 6 EJERCICIO.. Comprobar mediante Routh, para el itema cuya ecuación caracterítica e la iguiente, que no tiene polo a la derecha del punto -. 6 Cambio =+: ( ) ( ) 6( ) Routh:

5 Etabilidad Ec. Auxiliar: No tiene polo a la derecha de. Etable. EJERCICIO.6. Tenemo un itema de control dado por la iguiente etructura: R() + - E() k C() G() Y() Donde: () G Calcular lo valore de K que on límite de etabilidad del itema. La función de tranferencia del itema completo e: K G() M() K G() La ecuación caracterítica del itema correponde con el denominador de la función de tranferencia de lao cerrado: K G() K (K ) K ( ) ( K) K +K +K +K K K +K

6 Problema de Ingeniería de Sitema: Sitema Continuo. Concepto báico. Condicione: ) K K ) K K K. 7 K ) K K K. 77 K Luego lo valore de K erán:.7 K.77 K.77 EJERCICIO.7. Calcular el rango de valore de K de un itema con realimentación unitaria y con la función de tranferencia de lao directo que e muetra, para que el itema ea etable. G() K( ) ( )( ) La ecuación caracterítica erá: G() K( ) ( )( ) ( )( ) 9 6 K( ) (K ) K 6 K 9 K+ 8K 9 K 6K K 8K K

7 Etabilidad ) K > ) K + > K > -. ) 8K K 6. ) 6K K. K. Luego el rango de valore de K que cumple toda la condicione anteriore e: K. EJERCICIO.8. Para el itema del ejercicio.9. calcular la etabilidad del itema de lao cerrado. Calcular el rango de valore poible para una ganancia K que e añade en la cadena directa tal que el lao cerrado iga iendo etable. En el ejercicio.9. e llegó a que el diagrama de bloque del itema era: G() r () + - E() Amplific. E () a Motor () m Engrane () c Y la función de tranferencia de lao abierto: G() (. 7) Y la función de tranferencia de lao cerrado: G() M() G(). 7 Se puede aber que el itema e etable comprobando que todo u polo etán a la iquierda del plano complejo, e va a aplicar la técnica de Routh para comprobarlo. Ecuación caracterítica del itema:. 7 6

8 Problema de Ingeniería de Sitema: Sitema Continuo. Concepto báico Podemo comprobar que no e produce ningún cambio de igno en la primera columna, luego no exite ningún polo en el emiplano derecho. Por lo tanto el itema e etable. Para calcular el rango de la ganancia K a añadir e tiene una nueva ecuación caracterítica del itema:. 7 K K K 7 K De la ecuación en o obtenemo la primera condición: K Y de la ecuación en obtenemo el límite alto: 7 99.K K = 7. Luego lo valore de ganancia que hacen etable al itema etán en el intervalo: K 7. EJERCICIO.9. Para el itema del ejercicio.8. Regulador R() E() D() + _ + _ + + P() Planta G(). Y) Etabiliador G() a Coniderando D() =, calcular el rango de valore del polo del etabiliador a para lo que el itema total e etable. Coniderando en primer lugar como entrada R() y como alida Y(). 7

9 Etabilidad Repreentando el itema total por: Regulador R() D() + _ Equivalente lao interno M () Y() El lao interno ería:. M().. ( ).. ( a) ( a). a.a.a Y la ecuación caracterítica del itema completo: ( a)( (....) ( )..)( a) ( a) (. a) (..a) (.a ) (. a) ( a) (..a) (.a ) (. a) (. a) (..a).a a (6..a).a 6..a. a.a (. a)(6..a) (.a). a.a Todo lo coeficiente de la ecuación caracterítica deben er del mimo igno para que el itema ea etable:. a a. 6..a a.a a No deben exitir cambio de igno en la primera columna para que ea etable: (. a)(6..a) (.a).6.6a 6.a.a.a.a.6a.8 a 7.a.6 8

10 Problema de Ingeniería de Sitema: Sitema Continuo. Concepto báico. a 7,9 a.9 Repreentando gráficamente eta deigualdade e tiene: Puede obervare que el rango de k que cumple toda la condicione e: k.9 Si e conidera ahora el itema viendo como entrada Td() y como alida Y() e obtiene la mima función de tranferencia y por tanto la mima condicione para la etabilidad. EJERCICIO.. Para el itema del ejercicio.. calcular el rango de valore de K (ganancia del amplificador) que hacen etable al itema. Amplificador diferencial Actuador Planta Er K 6... Senor K GT (). K 6. ( 6)(. ). H () E r G T () H() 9

11 Etabilidad Se contruye la tabla de Routh: 66. +K K A +K 6.( K) A 6.9.9K.9 +K= K=-.9-.9K= K=6 luego K 6 EJERCICIO.. Para el itema control cuyo diagrama de bloque e muetra en la figura determinar el rango de ganancia K para lo que e etable. X() E() U() Y() K G() + - H() (.66) () G H() ( 8)( 6) Ecuación caracterítica: K G()H() K ( )( 6) ( )( )( 6) K( ) 69 6 K( )

12 Problema de Ingeniería de Sitema: Sitema Continuo. Concepto báico. 69 (K 6) K 69 +K K+6 A +K B +K 69 K 6 8 K A B A(K 6) ( K) A 96( K) K 6 8 K 96K K 6 8 K Condicione: a) K K - 8 K b) K.66 96K K K 97 96K c) K 6 8 K 8 K K 8K 96 8 K K K 8K 96 K.6 K 9.7 Entonce lo valore de ganancia que permiten funcionar al itema de una forma etable on: 9.7 K.6

13 Etabilidad EJERCICIO.. Para el itema del ejercicio.6. cuyo diagrama de bloque e preenta a continuación, analiar la etabilidad. R() +_.7(.) +_ (.)(.7) H ().7.7 H () Reolviendo el lao interno e tiene:.7(.) (.)(.7) M ().7(.) (.)(.7).7(.) (.)(.7).7(.) M().7(.).87. Y cerrando el lao exterior:.7(.) M ().7(.) M () (.7(.)(.7).87.)(.7).7(.).7 M ().7(.)(.7) Cuyo polo e encuentran en:,.96. j. Como todo lo polo e encuentran en el emiplano iquierdo el itema e etable. Puede vere también la etabilidad mediante la tabla de Routh: Como no e produce ningún cambio de igno en la primera columna el itema e etable.

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