ESTIMACIÓN DE LOS COMPONENTES DE LA VARIACIÓN DE UN SISTEMA DE MEDICIÓN, USANDO EL RANGO. Resumen

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1 ESTIMACIÓN DE LOS COMPONENTES DE LA VARIACIÓN DE UN SISTEMA DE MEDICIÓN, USANDO EL RANGO RIVAS C., Gerardo A. Escuela de Ingeniería Industrial. Universidad de Carabobo. Bárbula. Valencia. Venezuela Jefe de la Comisión Coordinadora del Programa de Maestría en Ingeniería Industrial Resumen En este artículo se propone un método que permite usar el rango de subgrupos racionales adecuadamente definidos, para estimar de manera eficiente los componentes de la varianza de un Sistema de Medición. Abstract This paper proposes a method to estimate the Components of Variance of a Measurement System. The method use ranges of rational subgroups appropriately defined instead of the Analysis of Variance technique. INTRODUCCION La única manera de determinar el valor de una característica de calidad -dimensiones, dureza, peso-es mediante alguna forma de medición. El instrumento de medición y aquellos que lo usan conforman el equipo de medición. Si este equipo fuera perfecto, sería posible determinar directamente la variabilidad de los valores verdaderos de la característica de calidad medida. En realidad, la variabilidad de los valores observados refleja tanto el error de medición como la variación en la característica que se mide. Este error de medición está formado por el error de localización-desvío-y la variación debida al equipo de medición. La variación debida al equipo de medición se descompone en la variación debida a diferencias entre los operadores del instrumento-reproducibilidad-y la variación debida al instrumento Repetibilidad. Tradicionalmente se ha usado el rango de una muestra, o subgrupo racional, para estimar la variabilidad de la población de la cual proviene dicha muestra, debido a la "facilidad del cálculo". Se desea explorar el uso del rango para estimar la variabilidad del Proceso de Medición. En el Análisis de los Sistemas de Medición es muy conocido el llamado Método de la Media y el Rango. Éste permite obtener estimados de los Componentes de la Varianza mencionados: Repetibilidad y Reproducibilidad. Sin embargo, los estimados obtenidos por este método no reflejan la fuente de variación llamada Interacción, que en el caso de un proceso de medición se refiere a los diferentes grados de dificultad que puede tener el Operador del Instrumento al medir diferentes partes (piezas o unidades de producto). La Interacción forma parte de la Reproducibilidad. Uno de los objetivos de un estudio del Sistema de Medición es cuantificar los componentes de la variación asociados al mismo. Esta información es muy importante porque es mucho más económico reconocer la existencia de estos componentes y establecer límites razonables para los mismos que usar sistemas de medición muy precisos y que sean exactos, los cuales son sumamente costosos. Las definiciones que se exponen a continuación sirven de marco de referencia para el mejor entendimiento y comprensión del resto del material.

2 REPETIBILIDAD Es la variación observada cuando el mismo instrumento es usado por la misma persona al medir repetidas veces la misma parte. Es conveniente resaltar, entonces, que se trata de la variación de lecturas individuales que se han repetido con el mismo instrumento y la misma persona. REPRODUCIBILIDAD Es la variación observada entre los promedios de varios operarios, cuando cada operario hace varias lecturas sobre la misma parte y usando el mismo instrumento. En este artículo, se propone una metodología para evaluar los Componentes de la Varianza que sí es capaz de evaluar la Interacción Operarios-Partes, usando los rangos de subgrupos definidos de una forma conveniente, como se verá más adelante. Esta metodología conserva la facilidad de aplicación del Método de la Media y el Rango y, además, la hace más eficiente al permitir evaluar la interacción Operarios-Partes. El estimador que se propone estima en forma conjunta la variabilidad debida al efecto de los Operarios más el efecto de Interacción Operarios-Partes, razón por la cual permitirá continuar con el uso de los rangos para estimar los Componentes de la Varianza. ESTIMACION DE LOS COMPONENTES DE LA VARIANZA En primer lugar debe tenerse presente que para hacer un estudio del sistema de medición requiere realizar hacer un experimento estadísticamente diseñado, y por lo tanto deben observarse las reglas de tales experimentos. En el experimento se usan partes, o unidades del producto, seleccionadas al azar de la producción, en la cual debe estar reflejada la variación del mismo; además, se incluye cierto número de operarios seleccionados al azar

3 de entre los que "manejan" el instrumento de medición. Posteriormente y en orden aleatorio, los operarios hacen lecturas sobre las partes. Cada operario realiza sobre cada parte "r" lecturas a las que se denomina "réplicas". Si se designa con "p" el número de partes, con "o" el número de operarios entonces se tiene en total (o-r-p) lecturas. METODO DE LA MEDIA Y EL RANGO La expresión método de la Media y el Rango se usa para designar una metodología cuyo fin es evaluar el Sistema de Medición, y que incluye el proceso de estimar aquellas fuentes de variación que el método permite, que en este caso incluye la variación debida al instrumento de medición (Repetibilidad) y la variación debida a los operarios (Reproducibilidad) con la deficiencia mencionada de que no refleja el componente interacción Operario-Parte. Éste forma parte de la Reproducibilidad. Por supuesto que si en el estudio, como es lo usual, se incluyen varias unidades o partes del producto del proceso de fabricación, entonces se pueden obtener, además, estimados de la variación del proceso y de la variación total. Estimación de la Repetibilidad METODOLOGÍA La repetibilidad se mide en base a los rangos de los subgrupos racionales formados por las "r" lecturas que repite cada operario sobre la misma parte, las cuales reflejan la variabilidad que se genera en el equipo. Un ejemplo ayuda a describir el concepto. Supóngase que los datos observados al realizar el experimento son los de la tabla. Las observaciones en negrita son lecturas repetidas sobre la misma parte, hechas por el mismo operario. Si ellas no son iguales se debe a la variabilidad generada en el instrumento. A esta variabilidad se le denomina Repetibilidad; se mide con el rango de dichas lecturas repetidas, en negrita. Estimación de la Reproducibilidad La reproducibilidad es la variación adicional, (además de la debida al binomio operario-instrumento), introducida en las lecturas debido al efecto de los operarios. En la última columna de la tabla anterior aparecen en negrita la media de todas las lecturas de cada operario. La variación observada en estas medias es debida al efecto conjunto del instrumento y de los operarios. Esta variación se mide con el rango de estas medias. En el Método de la Media y el Rango, la reproducibilidad se mide con el rango mencionado antes. Este método "promedia" los diferentes grados de dificultad encontrados al hacer las mediciones en las diferentes partes y sólo mide la fuente de variación representada por los operarios. No incluye la variación adicional que puede ser ocasionada por diferentes grados de dificultad (efecto de interacción) al medir las partes seleccionadas para el estudio.

4 METODO DEL RANGO PROMEDIO (MRP) El método propuesto surge de la idea de que es posible evaluar la variación debido a los operarios, en base a las mediciones sobre una parte dada, mediante el rango del subgrupo racional formado por la media de las lecturas de cada operario en dicha parte. En la tabla de datos, para la parte 1, la media del operario A es 2,183, la media del operario B es 2,084 y la del operario C es 1,984. El rango correspondiente es 0,199. Para cada parte se determina el rango correspondiente. Los diferentes valores de estos rangos son el reflejo de diferentes grados de dificultad (efecto de interacción) al medir las partes seleccionadas para el estudio. El valor promedio de estos rangos refleja el efecto combinado de dos fuentes de variación: Operarios e Interacción Operario-Parte. Este método propuesto debe ser validado. Una forma de validación consiste en hacer experimentos simulados y, luego, aplicar los diferentes métodos a los resultados de tales experimentos. Finalmente se hace un estudio comparativo de la eficiencia de cada método. Un buen árbitro en este caso es el método del Análisis de Varianza. En la próxima sección se presenta el análisis de los resultados de la simulación de experimentos. Análisis de los Resultados de la Simulación de 500 Experimentos para el Análisis del Sistema de Medición En base a cada experimento de simulación del Análisis del Sistema de Medición se obtiene un estimado de cada Componente de la Varianza de dicho sistema. Como se realizaron 500 experimentos, se tienen 500 estimados, cuyo comportamiento estadístico se evalúa mediante la media y la desviación estándar de los estimados obtenidos. ESTIMADO DE LA DESVIACION ESTANDAR DEBIDA A LA REPETIBILIDAD, USANDO ANOVA En el experimento simulado se usa σ c = 0,01; la variable cuyo análisis se reporta es el estimado obtenido menos el valor usado en la simulación (σ c = 0,01).

5 La media de esta variable (DASigmaE) es - 0,000023, con una desviación estándar de 0,000896, con valores mínimo y máximo de-0, y 0,002530, respectivamente. De acuerdo con los resultados, 441 de los valores están en el intervalo [-0,00140;0,00140], lo cual representa un 88,2%, con un error menor al 14% del valor verdadero del parámetro. ESTIMADO DE LA DESVIACION ESTÁNDAR DEBIDA A LA REPETIBILIDAD, USANDO RANGOS La variable cuyo análisis se reporta es el estimado obtenido menos el valor usado en la simulación (σ c = 0,01). La media de esta variable (DRSigmaE) es 0,000004, con una desviación estándar de 0,000951, con valores mínimo y máximo de -0, y 0,003320, respectivamente.

6 Histograma de Frecuencias de DRSigmaE De acuerdo con los resultados, 435 de los valores están en el intervalo [-0,00140;0,00140], lo cual representa un 87%, con un error menor al 14% del valor verdadero del parámetro. Estimado de la Desviación Estándar Debida a la Reproductibilidad y la Interacción, Usando MRP (Método del Rango Promedio) La variable cuyo análisis se reporta es el estimado obtenido menos el valor usado en la simulación (σ OI = 0,3). El valor usado en la simulación para la Desviación Estándar debido a la Interacción es σ OP =0, y como se debe recordar σ 0 = 0, 1. Por lo tanto σ OI = ((0,282843) 2 + (0,1) 2 ) = 0,09 = 0,3. La media de esta variable (DRSigOI) es 0,002543, con una desviación estándar de 0,050002, con valores mínimo y máximo de -0, y 0,182298, respectivamente. De acuerdo con los resultados, 311 valores están en el intervalo [-0,040;0,040], lo cual representa el 62,2% de los resultados, con un error menor al 13,33% del valor verdadero del parámetro.

7 Estimado de la Desviación Estándar Debida ala Reproducibilidad y la Interacción, Usando ANOVA La variable cuyo análisis se reporta es el estimado obtenido menos el valor usado en la simulación (σ c = 0,3). La media de esta variable (DASigOI) es 0,003608, con una desviación estándar de 0,047616, con valores mínimo y máximo de-0, y 0,173199, respectivamente. De acuerdo con los resultados, 316 valores están en el intervalo [-0,040;0,040], lo cual representa el 63,2% de los resultados, con un error menor al 13,33% del valor verdadero del parámetro.

8 Estos resultados permiten concluir que el método propuesto es estadísticamente aceptable al compararlo con el Método de Análisis de Varianza. APLICACION DEL METODO PROPUESTO, MRP En esta sección se desea mostrar la bondad del Método Propuesto (Método del Rango Promedio), cuya eficiencia se ha demostrado por la simulación de 500 experimentos de Estudio del Sistema de Medición, aplicando el método a los datos del ejemplo propuesto en Measurement Systems Analysis, Reference Manual, 1995 Chrysler Corporation, Ford Motor Company, General Motors Corporation. Los datos del ejemplo aparecen en la tabla 7 de la página 57 del mencionado manual, los cuales se reproducen en la siguiente tabla: En base a los datos se obtiene el estimado de la Desviación Estándar de la Repetibilidad (σ c ) como 0,0355, dividiendo el valor promedio de los rangos de los subgrupos de las réplicas (0,04) entre el valor apropiado de la constante d 2 (1,128). El Método Propuesto se aplica a los datos del ejemplo como se expone a continuación: Para cada parte se conforman subgrupos formados por las medias de las tres (3) lecturas de cada operario, para un total de tres (3) subgrupos, uno por cada operario. Se determina el rango de este subgrupo, R 0. Al terminar el paso anterior se tienen tantos rangos de subgrupos R 0 como partes se hayan incluido en el estudio. Luego se calcula la media de estos rangos, PRO. Este rango promedio refleja los efectos de los operarios y la interacción entre operario-parte. Sin embargo, debe recordarse que estos rangos son de subgrupos de medias de dos (2) lecturas, y por lo tanto se debe aplicar la corrección correspondiente, como se hace a continuación.

9 El valor promedio de los rangos es 0,0925, y el estimado de σ OI, es El estimado de σ c se obtiene de la manera usual con el resultado de 0,035461, el valor de r es 2 y la constante d 2* es 1,72. Al sustituir estos valores en la expresión anterior se obtiene el estimado de σ OI, igual a 0, Para determinar el estimado de s 2 m se suman las varianzas de la repetibilidad y la de la reproducibilidad y la interacción, de acuerdo a la siguiente expresión. Si el modelo es aditivo, entonces Esto es σ m = 0,05934, equivalente a R&R = 0,3056 En la página 75, Tabla 15 del manual referido antes se muestra el estimado (obtenido aplicando ANOVA) de R&R como 0,34, valor del cual difiere el estimado obtenido por el Método Propuesto en solamente un 8,82%. Justificación Teórica del Método del Rango Promedio El modelo de Efectos Aleatorios que se usa en el Análisis de los Sistemas de Medición es: en el cual se incluyen dos factores que son el factor Partes y el factor Operarios. A excepción de µ, que es una constante, los términos restantes se consideran variables aleatorias con media iguala cero y varianzas σ p 2, σ o 2, σ OP 2 y σ c 2 que reflejan los efectos de las partes, operarios, interacción y error o repetibilidad, respectivamente. La definición de los elementos del modelo es como sigue. Efecto Principal del Factor Partes Se define como la diferencia entre la media de cada parte, µ i y el valor de la constante µ, que representa la media del proceso de producción, del cual se extraen al azar las partes que se incluyen en el estudio. Los valores de µ i, representan los Valores de Referencia de cada parte. Efecto Principal del Factor Operarios

10 Se define como la diferencia entre la media de cada operario, µ j y el valor de la constante µ que representa la media del proceso de producción Si el modelo es aditivo, entonces Efecto de Interacción Operario-Parte En consecuencia, el efecto de interacción (No Aditividad) se mide por la diferencia El modelo refleja la variación que se observa en las mediciones que hace el mismo operario sobre la misma parte (réplicas), como la diferencia є ijk = ψ ijk - µ ij En el método de Análisis de Varianza, los efectos definidos en el modelo se estiman mediante el cálculo de las Medias Cuadráticas cuyo valor depende las Sumas de Cuadrados que reflejan la variación debida a cada uno de los efectos mencionados. El efecto del factor Operario se mide en base a la suma de los cuadrados de las diferencias (µ j - µ), que en base a las observaciones se obtiene como Los términos de esta suma reflejan la variación entre las medias de los operarios, la cual queda perfectamente reflejada en el rango del subgrupo formado por las medias de los operarios, que es la base de cálculo del estimador de σ 0 2 por el método de la media y el rango. En el método ANOVA, la suma obtenida se divide entre los grados de libertad correspondientes, lo cual produce un valor promedio especial que produce estimadores mejores. Comentarios totalmente similares se pueden hacer con respecto a los estimadores de los parámetros σ p 2 y σ c 2. La situación es diferente con respecto a la varianza debida al efecto de Interacción, ya que el Método de la Media y el Rango no permite estimarla, mientras que el método ANOVA si puede estimar a σ op 2.

11 Sin embargo, si se considera la idea de combinar el efecto de Interacción Operario-Parte con el efecto Principal del factor operario, se obtiene que Este resultado permite establecer que un estimado de la variación debida al factor Operario y al efecto de la Interacción Operario-Parte es proporcional a la suma Cada término de esta suma refleja la variación debido al Operario en la parte que se está midiendo; por supuesto que el rango del subgrupo formado por las medias de los operarios en la parte que se está midiendo también refleja la misma fuente de variación. El estimador por ANOVA es la Media Cuadrática (un promedio especial), lo cual sugiere usar el valor Promedio de los Rangos de medias de Operarios (PRO) definidos antes, para obtener un estimado del parámetro σ 01, para el cual se cumple que Una vez determinado por el método propuesto Método del Rango Promedio, el estimado de σ 01, se puede obtener el estimado de 6m como La expresión que se aplica para obtener el estimado de S 01 es BIBLIOGRAFÍA 1. Measurement Systems Analysis Reference Manual, AIAG, Detroit, Michigan, Rivas C., Gerardo A.(1996): «Análisis de los Sistemas de Medición» Manual de Referencia. CEATE. Universidad de Carabobo. 3. Wheeler, D. J.; Lyday, R.W. (1989): Evaluating the Measurement Process. 4. Use of Statistics to Develop and Evaluate Analytical Methods. 5. Use of the Range to Estimate Variability, Journal of Quality Technology. Vol. 7, No. 1. January, 1975.

12 6. The Problem of Negative Estimates of Variance Components, annals of Mathematical Statistics, No. 33, Western Electric Statistical Anality Control Handbook, pp