Algebra Lineal XIV: Espacio Nulo y Rango de una. transformación lineal.
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- María Mercedes Prado Ríos
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1 Algebra Lineal XIV: Espacio Nulo y Rango de una Transformación Lineal. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato jrico@salamanca.ugto.mx En estas notas, se presentan algunos de los conceptos mas importantes para el análisis de transformaciones lineales. 1. Espacio Nulo de una Transformación Lineal. En esta sección definiremos el espacio nulo, también conocido como kernel o núcleo de una transformación lineal. Definición del espacio nulo de una transformación lineal. Sea T una transformación lineal de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V, ambos definidos sobre un campo K. Elespacio nulo de la transformación lineal, T, denotada N T o ker(t ), se define como N T V,talque N T = { v V T ( v) = 0 V } En simples palabras, el espacio nulo de una transformación lineal es el conjunto de todos los vectores de V cuya imagen es el vector 0 V. Teorema. El espacio nulo de la transformación lineal, T, es un subespacio de V. Prueba: Es suficiente probar que el espacio nulo es un subconjunto cerrado respecto a la adición y a la multiplicación por escalar. Suponga que v 1, v 2 N T y λ K, entonces 1. Cerrado respecto a la adición. Considere T ( v 1 + v 2 )=T ( v 1 )+T ( v 2 )= 0+ 0 = 0 Por lo tanto v 1 + v 2 N T, y el espacio nulo está cerrado respecto a la adición. 2. Cerrado respecto a la multiplicación por escalar. Considere T (λ v 1 )=λt ( v 1 )=λ 0 = 0. Por lo tanto λ v 1 N T, y el espacio nulo está cerrado respecto a la multiplicación por escalar. Por lo tanto N T V. Definición de la Nulidad de una Transformación Lineal. La dimensión del espacio nulo de una transformación lineal T,sedenominalanulidad de T y se denota por ν(t ). 1
2 Figura 1: Representación Gráfica del Espacio Nulo y Rango de una Transformación Lineal. Debemos recordar que aplicando la definición del rango de una trasformación, función o mapeo a una transformación lineal T,que se denomina R T,setieneque R T = { v V T ( v) = v para algún v V}. Teorema. El rango de una transformación lineal T, R T, es un subespacio de V. Prueba: Nuevamente es suficiente probar que el conjunto está cerrado respecto a la adición y a la multiplicación por escalar. Suponga que v 1, v 2 R T y λ K, entonces 1. Cerrado respecto a la adición. Puesto que v 1, v 2 R T existen v 1, v 2 V tales que T ( v 1 )= v 1 y T ( v 2 )= v 2 Puesto que V es un espacio vectorial, v 1 + v 2 V y T ( v 1 + v 2 )=T ( v 1 )+T ( v 2 )= v 1 + v 2. Por lo tanto, v 1 + v 2 R T y R T está cerrado respecto a adición. 2. Cerrado respecto a la multiplicación por escalar. Puesto que V es un espacio vectorial, λ v 1 V y T (λ v 1 )=λt ( v 1 )=λ v 1. Por lo tanto, λ v 1 R T y R T está cerradorespectoalamultiplicación por escalar. Definición del Rango de una Transformación Lineal. La dimensión del rango de una transformación lineal T,sedenominalarango de T y se denota por p(t ). Teorema. Una transformación lineal T : V V es inyectiva si, y solo si, N T es exclusivamente el vector { 0}. Prueba: Suponga que T es inyectiva, entonces T ( v 1 )=T ( v 2 ) implica que v 1 = v 2.Sea v N T arbitrario, entonces T ( v) = 0 puesto que T ( 0) = 0, se tiene que T ( v) =T ( 0) por lo tanto v = 0 2
3 Se concluye pues, que N T = { 0}. Suponga que N T = { 0} entonces si T ( v 1 )=T ( v 2 ) T ( v 1 v 2 )= 0. Por lo tanto, v 1 v 2 N T, pero puesto que N T = { 0} entonces y la transformación lineal es inyectiva. v 1 v 2 = 0 v 1 = v 2 Teorema. Sea T : V V una transformación lineal inyectiva, entonces si { v 1, v 2,..., v n } es linealmente independiente entonces {T ( v 1 ),T( v 2 ),...,T( v n )} es linealmente independiente. En otras palabras, una transformaciónlinealinyectivapreserva la independencia lineal de los subconjuntos. Prueba: Considere la combinación lineal 0 =λ 1 T ( v 1 )+λ 2 T ( v 2 )+...+ λ n T ( v n )=T (λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n ). Por lo tanto λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n N T = { 0}, sin embargo, si { v 1, v 2,..., v n } es linealmente independiente, la única solución posible es la trivial, λ 1 = λ 2 =...= λ n =0. Por lo tanto el conjunto {T ( v 1 ),T( v 2 ),...,T( v n )} es linealmente independiente. Corolario. Sea T : V V una transformación lineal inyectiva, entonces si B = { v 1, v 2,..., v n } es una base de V, entonces, T (B) ={T ( v 1 ),T( v 2 ),...,T( v n )} es una base de R T. Prueba: Por el teorema anterior T (B) ={T ( v 1 ),T( v 2 ),...,T( v n )} es linealmente independiente, por lo tanto, es suficiente probar que T (B) genera a R T. Sea v V un elemento arbitrario del rango de T, entonces Entonces v = T ( v ) donde v V es arbitrario v = T ( v) =T (λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n )=λ 1 T ( v 1 )+λ 2 T ( v 2 )+ + λ n T ( v n ). Por lo tanto T (B) genera a R T y T (B) es una base para R T. Corolario. Sea T : V V una transformación lineal inyectiva, entonces ρ(t ) = dim(r T ) = dim(v). Prueba: Por el corolario anterior T (B) ={T ( v 1 ),T( v 2 ),...,T( v n )} es una base de R T, entonces ρ(t )=dim(r T )=dim(v). Teorema. Sea T una transformación lineal de un espacio vectorial finito dimensional V sobre otro espacio vectorial V, ambos definidos sobre un campo K. Sea{ v 1, v 2,..., v q } una base para el espacio nulo de T y { v 1, v 2,..., v q, v q+1,..., v n } sea una base de V. Entonces {T ( v q+1 ),...,T( v n )} es una base para R T. Prueba: Por las suposiciones del teorema, ν(t )=q, siq = 0, entonces T es inyectiva y este teorema se reduce al primero de los dos corolarios anteriores. Suponga, pues, que q 1, que { v 1, v 2,..., v q } es 3
4 una base para el espacio nulo de T yque{ v 1, v 2,..., v q, v q+1,..., v n } es una base de V. Sea v V arbitrario, entonces T ( v) es un elemento arbitrario del R T dado por T ( v) = T (λ 1 v 1 + λ 2 v λ q v q + λ q+1 v q λ n v n ) = λ 1 T ( v 1 )+λ 2 T ( v 2 )+ + λ q T ( v q )+λ q+1 T ( v q+1 )+ + λ n T ( v n ) = λ q+1 T ( v q+1 )+ + λ n T ( v n ). Por lo tanto {T ( v q+1 ),...,T( v n )} genera R T, mostraremos ahora que este conjunto es linealmente independiente. Suponga, por contradicción, que existen escalares λ q+1,...,λ n no todos iguales que 0, tal que 0 =λ q+1 T ( v q+1 )+ + λ n T ( v n )=T (λ q+1 v q λ n v n ) Por lo tanto λ q+1 v q λ n v n N T.Deaquíque λ q+1 v q λ n v n = λ 1 v 1 + λ 2 v λ q v q λ 1 v 1 + λ 2 v λ q v q λ q+1 v q+1... λ n v n = 0. Por lo tanto, { v 1, v 2,..., v q, v q+1,, v n } es linealmente dependiente y no puede ser una base para V, una contradicción de las suposiciones iniciales. Corolario. Sea V un espacio vectorial finito-dimensional y T una transformación lineal de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V. Entonces ρ(t )+ν(t )=dimv Prueba: Por el teorema anterior n = dimv, q = ν(t )yn q = ρ(t )porlotanto dim V = n = q +(n q) =ν(t )+ρ(t ). A partir de estos resultados, es posible obtener algunos resultados respecto a transformaciones lineales inyectivas y sobreyectivas. Teorema. Sea T : V V una transformación lineal tal que dim V <dimv, entonces T no puede ser sobreyectiva. Prueba: Si T es sobreyectiva ρ(t )=dim V y ν(t ) 0, entonces dim V = ν(t )+ρ(t ) o ρ(t )=dim V ν(t ) Por lo tanto dim V = ρ(t )=dim V ν(t ) o dim V dim V Teorema. Sea T : V V una transformación lineal tal que dim V >dimv, entonces T no puede ser inyectiva. Prueba: T es inyectiva si y solo si ν(t ) = 0, además ρ(t ) dim V entonces dim V = ν(t )+ρ(t )=0+ρ(T )=ρ(t ) dim V Teorema. Sea T : V V una transformación lineal tal que dim V dim V, entonces T no puede ser biyectiva. Prueba: Si dim V >dimv, entonces T no puede ser inyectiva. Si dim V <dimv entonces T no puede ser sobreyectiva. Teorema. Sean S : V V y T : V V dos transformaciones lineales tales que la composición TS : V V está definida, entonces ρ(ts)+dim(r S N T )=ρ(s). 4
5 Figura 2: Representación Gráfica de una Transformación Compuesta. Prueba. Sea T la restricción de la transformación lineal T sobre el rango de S, es decir T : V R S < V T ( v )=T( v ) v R S Puede probarse que T es una transformación lineal. Entonces, aplicando el teorema anterior a la transformación lineal T,setieneque ρ(t )+ν(t )=dim(r S )=ρ(s). Puede probarse que R T = R TS por lo que ρ(t )=ρ(ts) De manera semejante, el espacio nulo de T está definido por N T = { v v R S, v N T } = R S N T Por lo tanto, se tiene que ρ(ts)+dim(r S N T )=ρ(s). 2. Ejercicios. Problema 1. Para cada una de las siguientes transformaciones, T, pruebe que son lineales, y determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal. 1. T : R 2 R 2 T (x 1,x 2 )=(x 1 + x 2, x 2 ) 2. T : R 2 R 2 T (x 1,x 2 )=(x 1, 0) 3. T : R 3 R 3 T (x 1,x 2,x 3 )=(x 2 x 3, 2x 1 + x 2, 0). 4. T : R 3 R T (x 1,x 2,x 3 )=(x 1 x 2 +2x 3 ). 5. T : R 2 R 3 T (x 1,x 2 )=(x 1,x 2,x 1 + x 2 ). 6. T : R 3 R 2 T (x 1,x 2,x 3 )=(x 3,x 1 + x 2 ). 5
6 Problema 2. Para cada una de las siguientes transformaciones, T, pruebe que son lineales, y determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal. 1. T : P 3 R 4 T (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 )=(a 0 a 1,a 2,a 3, 0) [ ] 2. T : R 4 M 2 2 a T (a 1,a 2,a 3,a 4 )= 1 a 1 + a 2 a 2 + a 3 a 1 + a 4 6
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