UNIDAD I. ÁLGEBRA. f(x) = 1 + x + x 2

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1 CURSOS CENEVAL TOLUCA 1.1 POLINOMIOS. UNIDAD I. ÁLGEBRA Polinomio. Es una epresión de la forma: f() a 0 + a a n n donde a 0, a 1,..., a n son números reales. A estos números se les llama coeficientes del polinomio. Al símbolo se le llama indeterminada. A a 0, a 1,..., a n n, se les llama términos del polinomio. Se puede obtener un valor para f(), poniendo un número, digamos a en lugar de la indeterminada : f(a) a 0 + a 1 a a n a n. Ejemplo: Sea entonces f() f ( 1) 1+ ( 1) + ( 1) FACTORIZACIÓN. Factorizar una epresión algebraica es hallar dos o más factores, cuo producto sea igual a la epresión propuesta. Eisten varias maneras de factorizar, algunas de ellas se presentan a continuación. Factor común: Trinomio cuadrado perfecto: ( ) ( + 1 ) 2 Trinomio de la forma a 2 + b + c: (+1) ( 5) Diferencia de cuadrados: 2 2 ( )( + ) 1. ECUACIONES. Solución de una ecuación de primer grado con una incógnita. 6a + a + a 2a + 2 8a 2 a 4 Curso-taller básico 1

2 CURSOS CENEVAL TOLUCA Solución de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Para encontrar la solución de la ecuación de la forma a 2 + b + c podemos utilizar la fórmula general: b b 4ac 2a También se puede obtener factorizando, si es posible. b 2 b 4ac 2a Solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Eisten varios métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Consideremos el siguiente sistema, a manera de ejemplo: 2 12 I) Método de suma resta: 1) Multipliquemos cada ecuación por constantes de modo que los coeficientes de la variable a eliminar resulten iguales en valor absoluto pero con signos opuestos. 2) Sumemos ambas ecuaciones para obtener una nueva ecuación en términos solamente de la otra variable. ) Resolvamos sustituamos en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable. En nuestro ejemplo, eliminemos la variable : Multiplicando por 5 la ecuación (I) obtenemos III) Multiplicando por - la ecuación (II) obtenemos: IV) Sumando las ecuaciones III) IV) obtenemos: 28 84, de donde vemos que. Sustituendo el valor de en I) obtenemos: 2( ) así llegamos a que 2. Método de sustitución: 1) Despejamos alguna de las variables en cualquiera de las ecuaciones. 2) Sustituimos en la otra. ) Resolvemos la ecuación resultante de una sola variable. 4) Sustituimos el valor obtenido en la ecuación de despeje. En el ejemplo, despejemos de I) III) Curso-taller básico 2 2 II)

3 CURSOS CENEVAL TOLUCA Sustituimos en II) Resolviendo esta ecuación tenemos que. Sustituimos el valor de en la ecuación III) ( ) de aquí obtenemos que 2. Así la solución del sistema de ecuaciones es (2, ). Método de igualación: 1) Se despeja alguna de las variables en las dos ecuaciones. 2) Se igualan resolvemos la ecuación resultante. ) Elegimos alguna de las dos ecuaciones de despeje sustituimos el valor obtenido. En el ejemplo: Despejando en las dos ecuaciones obtenemos: III) IV) 5 Igualando las tenemos la siguiente ecuación de depende solamente de la variable Resolviendo obtenemos. Sustituendo el valor de en III) Obtenemos 2. Método gráfico 1) Graficamos ambas ecuaciones en el plano cartesiano. 2) Hallamos el punto de intersección de las rectas. ) La abscisa de dicho punto será la solución de la variable, la ordenada será la de la variable. 212 (2,-) Curso-taller básico

4 CURSOS CENEVAL TOLUCA Método de determinantes Consideremos el ejemplo: Los valores de están dados por donde 2 (6) ( 2)(5) por lo tanto 2 12(6) ( 2)( 8) ( 8) (12)(5) RAZONES Y PROPORCIONES. I) II) Razón o relación. Llámese razón o relación de dos cantidades al cociente de dividir una cantidad por la otra, epresadas en las mismas unidades. a La razón de a a b se escribe a:b, o bien ; a b son llamados los términos de la razón. b Proporción. Llámese proporción a la igualdad de dos razones. Llámense términos de una proporción las cuatro cantidades que entran en ella. El primer tercer términos se llaman antecedentes; el segundo el cuarto, consecuentes. El primero el cuarto se llaman etremos; el segundo el tercero, medios. Términos: a, b, c, d. Antecedentes: a, c. Consecuentes: b, d. Etremos: a, d. Medios: b, c. a b c d, a : b :: c : d, a : b c : d Cuarta proporcional.- Se llama cuarta proporcional de tres cantidades dadas a la cantidad que forma el cuarto término en una proporción, cuos otros términos son las tres cantidades dadas tomadas en orden. Proporción continua.- Se llama proporción continua aquella en que los medios son iguales. Curso-taller básico 4

5 CURSOS CENEVAL TOLUCA Media proporcional.- Son los términos iguales conocidos como la media geométrica. de una proporción continua, también son Teoremas relativos a proporciones: 1. En toda proporción el producto de los etremos es igual al producto de los medios. a c de donde ad bc. 2. Si el producto de dos números es igual al producto de otros dos, uno de los pares puede hacer las veces de medios el otro par, de etremos de una proporción. a c Sea ad bc tomemos a bc como medios, entonces. Métodos de transformación de una proporción en otra: 1. Método de inversión: En toda proporción se pueden invertir las dos razones, de lo cual resulta otra proporción. a c de donde. a c 2. Método de alternación: Si se cambian entre si los medios, o entre si los etremos de una proporción, se obtiene una nueva proporción. a c a b de donde. c d. Método de adición: En toda proporción pueden agregarse a los dos antecedentes sus respectivos consecuentes de lo cual resulta otra proporción. a c a + b c + d de donde. 4. Método de sustracción: En toda proporción pueden restarse los antecedentes de sus respectivos consecuentes, de lo cual resulta otra proporción. a c a b c d de donde. 1.5 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES. a 1. ( a ) a 4. a a + a a 2. a a a 5. b b. a b ( ab) Curso-taller básico 5

6 CURSOS CENEVAL TOLUCA 1. Cuál es la mitad de 2 98? EJERCICIOS 2. Dado que p() + a + 1 que p( l ) 1, Cuánto vale p(2)?. Si , con, A qué es igual 4. Si 2 a 5 b , cuánto vale +? a b +? 5. Encontrar (en términos de ) de tal manera que Bett escribió una fracción irreducible. Mario escribió otra fracción. Para elegir el numerador, le sumó 11 al numerador de Bett para elegir el denominador, multiplicó el denominador de Bett por 2 al resultado le sumo. Sabiendo que la fracción de Bett es igual al doble de la de Mario, Qué fracción pensó Bett? 7. Si , Cuánto vale ? 8. En cierto planeta ha tantos días en una semana como semanas en un mes como meses en un año. Si un año tiene 11 días, Cuántos días tiene cada semana? 1 9. Un librero tiene para la venta cierto número de libros. La semana pasada vendió del 4 total. Esta semana le hicieron un pedido por de lo que le quedaba, pero antes de 4 entregar el pedido el local se inundó le quedaron 240 libros inutilizados. Si envía todos 4 los libros que le quedaron sanos, sólo cubre del pedido. Cuántos libros tenía para la 5 venta inicialmente? Cuántos vendió? 10. Eduardo Gabriel viven en la calle del colegio, pero uno hacia el norte el otro hacia el sur. Un día los dos salieron del colegio a la misma hora cada uno caminó a su casa, Eduardo a 7 km/h Gabriel a 5 km/h. En el instante en que Eduardo llegó a su casa, una moto salió de la casa de Eduardo hacia la casa de Gabriel, a 55 km/h. La moto llegó a la casa de Gabriel justo en el momento en el que Gabriel llegó a su casa. Determinar cuál de los dos chicos vive más cerca del colegio. 11. Una gallina pone dos huevos en tres días. Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? Curso-taller básico 6

7 CURSOS CENEVAL TOLUCA 12. Si 6 gatos cazan 6 ratones en 6 minutos, Cuántos son los ratones que 0 gatos pueden cazar en 0 minutos? 1. El promedio de las primeras 5 calificaciones de Juan durante el semestre es de 5.4. Cuál debe ser su promedio de las siguientes 4 calificaciones para que su promedio global sea de 6? 14. Una sandía pesó 10 Kg., de los cuales el 99 % es agua. Después de cierto tiempo al sol, se evaporó parte del agua, siendo ahora el porcentaje de agua del 98 %. Cuánto pesa ahora la sandía? 15. Rafa escribe el número 2.ab (es un número con punto decimal) donde a b son dígitos. Sabiendo que este número es igual a: 5 a + 4 b, hallar los dígitos a b. 16. Encontrar un entero positivo a tal que la suma a + 2a + a + 4a +5a + 6a + 7a + 8a + 9a resulte ser un número con todas sus cifras iguales. 17. Si m n son enteros positivos que satisfacen m n + m n+1 + m n+2 9, entonces, Cuánto vale n m? 18. Después de una epidemia mu grave, la población de una comunidad de animales disminuó el año pasado en 20%; Qué porcentaje debe de aumentar este año para volver a quedar como estaba? 19. En dos años el precio de un producto se ha duplicado. Qué porcentaje ha aumentado por año si cada año ha sido el mismo? 20. Aer en clase el 12.5% de los alumnos faltó. Ho ha un alumno ausente más, el número de presentes es 5 veces el de ausentes. Cuál es el número total de alumnos de la clase? 21. Un barril lleno de leche pesa 4 Kg. cuando está lleno a la mitad pesa 17.5 Kg. Cuál es el peso del barril? 22. Cuántos enteros positivos n satisfacen la desigualdad 2 n 11 < <? Tres trabajadores necesitan 6 días para pintar un edificio. Cuántos trabajadores pueden hacerlo en 9 días? 24. Una manguera llena un estanque de agua en 12 horas. Otra manguera lo llena en 10 horas un tubo de desagüe lo vacía en 6 horas. En cuánto tiempo se llena el estanque si las dos mangueras el desagüe están todos abiertos? Curso-taller básico 7