FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS en Q (racionales)

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1 FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS en Q racionales FAQ Qué es factorizar un polinomio? Es expresarlo como un producto por eso lo de "factorizar" de otros polinomios de grado igual o menor a él ara qué factorizar un polinomio? ara poder ver rápidamente sus raíces y tener una idea de su gráfica comportamiento Qué es la raíz de un polinomio? Son todos aquellos valores numéricos que, al reemplazar la x por ellos en el polinomio y hacer las cuentas indicadas, da cero, es decir: a 0 siendo a un número real Ej: Si x x resulta que x es raíz porque.. 0 Cuántas raíces tiene un polinomio? Se puede demostrar que un polinomio sólo puede tener como máximo tantas raíces como su grado, es decir: # raíces n Todos los polinomios se pueden factorizar por sus raíces? Sí, siempre. Sin embargo, algunos polinomios que no tienen raíces pueden ser factorizados. Ej: x x se puede factorizar como x.x pero NO TIENE RAÍCES REALES Qué pasa si un polinomio no puede ser factorizado de ninguna manera? Si no puede ser factorizado dentro de un conjunto numérico se lo llama IRREDUCIBLE en ese conjunto Ej: x es irreducible en los reales, es decir, no se lo puede expresar como un producto entre otros polinomios de grado menor a él y distinto de grado cero. Cómo queda un polinomio ya factorizado por sus raíces? Si tiene tantas raíces como el grado quedará así: an.x x.x x x x...x x Siendo a n el coeficiente principal; x, x, x n las raíces números de x y "n" su grado Vean que si se hacemos toooooodas las distributivas obtenemos un polinomio Ej:.x.x x x siendo a n Como si a. b 0 a 0 b 0 sus raíces sugirán de igualar a cero cada factor: n x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x Entonces sus raíces serán x ; x ; x -; x - el subíndice permite distinguirlas Si tiene menos raíces que el grado quedará así: an.x x.x x x x. Qx con Q x sin raíces reales Ej:.x.x x siendo a n -; y sus raíces x ; x - con Q x x que no tiene raíces reales EEM N DE "Asociación Atlética Argentinos Juniors"; Matemática, rof: Marcelo Stigliano

2 Multiplicidad A veces una misma raíz aparece más de una vez en la factorización de un polinomio. Esto determina su multiplicidad. Ej : x x xx x x x xx Sus raíces son:, de multiplicidad porque apareció dos veces en la factorización, de multiplicidad o simple porque apareció uan sola vez en la factorización -, de multiplicidad porque apareció tres veces en la factorización Ej : 5x x.x x 7x 7x 7x 7 5x x x 7 Sus raíces son: 0, de multiplicidad porque apareció tres veces en la factorización, de multiplicidad porque apareció dos veces en la factorización -7, de multiplicidad o simple porque apareció cuatro veces en la factorización Cómo se factoriza un polinomio? Existen varios métodos o casos de factoreo, unos más generales que otros, que combinados permiten factorizarlos al máximo usando sus raíces Factor Común Algunos Casos de Factorización de olinomios Es la operación que deshace la propiedad distributiva. Se trata de encontrar el o los factores que están presentes en TODOS los términos de un polinomio. Numérico 7 7 Ej: 6x 9x x x Como el máximo común divisor entre los coeficientes del polinomio 6; -9 y - es, éste será nuestro factor común numérico. ara obtener los términos dentro del paréntesis dividimos cada coeficiente por, respetando la regla de los signos. La indeterminada x y su grado quedan igual. Literal Ej: x x x x x x x x Como todos los términos tienen la misma indeterminada la "x" ésta será nuestro factor común. Tomaremos como su grado el menor de los que aparezca en el polinomio en este caso:. ara obtener los términos dentro del paréntesis mantenemos los coeficientes como estaban. Los grados de cada término los obtenemos dividiendo cada indeterminada con su grado por nuestro factor común literal en este caso: x siguiendo la a b ab regla: x : x x Nota: Si la "x" es factor común entonces 0 es raíz del polinomio Numérico y Literal 6 Ej: 0x 5x 0x 5x - x x Combinamos los dos primeros casos y listo! coeficiente con coeficiente, letra con letra Normalización el coeficiente principal como factor común forzoso 5 5 Ej: 6x 8x 6x x 7 7 Ej: 5x 0x 5-5x - x EEM N DE "Asociación Atlética Argentinos Juniors"; Ej: x x x x x x x 6x 9 9 Ej: x - x Es "forzoso" porque nos obliga a usar fracciones Matemática, rof: Marcelo Stigliano

3 Saquen el factor común numérico, cuando sea posible: a x 6 b 5x 5x 5 7 c 6x 6x 6x 6 d x 6 e 5x 5x 5 7 f 6x 6x 6x 6 7 g 7x 7x 7x x h x 6 5 i 0x 5x 0 7 j 6x x 9x k x l 0x 5x m x x 9x 7 n 6x x x Saquen el factor común literal, cuando sea posible: a x x 6 7 b 5x 8x 7x 5 9 c x x x 5x 7 d x x e x 5x x f 0x x x g x x x h x x Saquen los factores comunes numérico y literal, cuando sea posible: a x x 6 b x 6x 8x 9 7 c 0x 0x 0x 0x 9 d x x Saquen los máximos factores comunes que sean posibles: a x 6 x 9 b 8x x c 6x x 8x 6x d x 5 7 e 7x 7x 7x 7x 7 7 f 8x 6x 8x 0 6 e x 6x 8x f 0x 5x 0x0x g x 6x 5 h x x x g x 5 h x x x i x j x x - 7x 5x k x x 9 5 l 5x 50x 00x 75x Trinomio Cuadrado erfecto Es el desarrollo del cuadrado de un binomio del tipo: x ± a x ax a x ± xa a x es, obviamente, el cuadrado de x Ej: x 6x 9 9 es el cuadrado de x 6x 9 x Se verifica que el doble de ambos da el tercer término luego: es decir:.x. 6x Método: Dado un trinomio, buscamos reescribir dos de los tres términos como cuadrados de otras expresiones numéricas y/o literales Verificamos que el doble del producto entre ambas expresiones sea igual al tercer término del trinomio Expresamos el trinomio como el cuadrado del binomio hallado: x ± xa a x ± a Recuerden que si al verificar el tercer término la diferencia es sólo de signos, lo único que hay que hacer es x 6x 9 quedará expresado como x cambiar el signo del segundo término, es decir, EEM N DE "Asociación Atlética Argentinos Juniors"; Matemática, rof: Marcelo Stigliano

4 5 Expresen, cuando sea posible, los siguientes trinomios como cuadrados de un binomio: a x x b x x c x 0x 5 d x 8x 6 e x x f x x g x x 6 h x x i x x 9 j x 9x 9 Diferencia de Cuadrados Se aplica a binomios del tipo a - b que resultan de aplicar una doble distributiva a la expresión aba-b Ej: x x x x el segundo paso no es necesario escribirlo 6 Factoricen los siguientes binomios, cuando sea posible, usando diferencia de cuadrados: a x b x 9 c x 6 d x 6 e x f x 9 g x 9 h x i x j x 5 l x 6 m x 5 n x 5 9 o x 9 p x q x r x 6 Gauss - Ruffini Este método de factorización se aplica a cualquier polinomio que tenga TODOS sus coeficientes enteros a i z y su término independiente distinto de cero a 0 0. Importante: Un polinomio tiene como máximo tantas raíces como su grado; por ejemplo, si es de grado tendrá como máximo cuatro raíces, pudiendo tener tres, dos, una o ninguna raíz pero nunca cinco o más. Nota: Nosotros en el curso vamos a factorizar por Gauss-Ruffini solamente polinomios que tengan tantas raíces racionales como su grado aunque pueden "repetirse", es decir, que tengan multiplicidad mayor a Ejemplo : x x Vemos que todos sus coeficientes son enteros ; -; - y que a 0 0 Entonces podemos aplicar Gauss que consiste en lo siguiente: a 0 buscamos todos sus divisores p { ± ; ± ; ± } a n buscamos todos sus divisores q { ± ; ± } p Todas las combinaciones irreducibles y sin repetir son: q ± ; ± ; ± ; ± que serán las posibles raíces Gauss y no existen otras. año, T "Factorización de olinomios". 06 Matemática, rof: Marcelo Stigliano

5 5 Reemplazamos la "x" por las posibles raíces q p. Empezamos con los números enteros más "chicos", primero los positivos y después los negativos los de cuentas más fáciles. Si encontramos dos que sean raíz la cuenta da cero entonces la factorización se acabará: x x. Como el polinomio es de grado y encontramos dos raíces terminamos el ejercicio, y reescribimos: a n X x x x - x y ya está! X or suerte no hizo falta probar con las fracciones!! Ni tampoco usar Ruffini Nota: Si se toman el trabajo de hacer todas las distributivas verán que llegarán al polinomio original: x x Ejemplo : x x Vemos que todos sus coeficientes son enteros ; - y y a 0 0 Entonces podemos aplicar Gauss: a 0 siendo todos sus divisores p { ± ; ± ; ± } a n siendo todos sus divisores p { ± } p Todas las combinaciones irreducibles y sin repetir son: q { ; ± ; ± } ± no hay fracciones!! Igual que antes probamos con todos; empezamos con los números enteros más "chicos", primero los positivos y después los negativos x x. 0 0 Como el polinomio es de grado y sólo encontramos raíces mala suerte debemos usar Ruffini para encontrar la expresión factorizada del polinomio: Empezamos usando las raíces halladas, en forma sucesiva: año, T "Factorización de olinomios". 06 Matemática, rof: Marcelo Stigliano

6 6 X X Coeficientes ordenados y completos de x Resto: si lo hicimos bien SIEMRE debe dar CERO Coeficientes ordenados y completos del último polinomio cociente, es decir, C x : x- como es de grado terminamos la factorización: x x x x x Sus raíces son:, de multiplicidad porque apareció dos veces en la factorización -, de multiplicidad o simple porque apareció una sola vez en la factorización Ejemplo : x x 6x 8x 8 Vemos que todos sus coeficientes son enteros ; ; -6;-8; y 8 y a 0 0 Entonces podemos aplicar Gauss: a 0 siendo todos sus divisores p { ± ; ± ; ± ; ± 8} a n siendo todos sus divisores p { ± ; ± } 8 p Todas las combinaciones irreducibles y sin repetir son: ± ; ± ; ± ; ± 8; ± q Igual que antes probamos con todos; empezamos con los números enteros más "chicos", primero los positivos y después los negativos x x Como el polinomio es de grado y sólo encontramos raíces otra vez mala suerte debemos usar Ruffini para encontrar la expresión factorizada del polinomio: Empezamos usando las raíces halladas porque no existen otras, en forma sucesiva: año, T "Factorización de olinomios". 06 Matemática, rof: Marcelo Stigliano

7 7 X X Volvemos a probar con X Coeficientes ordenados y completos de x Resto: si lo hicimos bien SIEMRE debe dar CERO Resto: si lo hicimos bien SIEMRE debe dar CERO Como el resto dio cero significa que x es múltiple Coeficientes ordenados y completos del último polinomio cociente, es decir, C x : x como es de grado nos queda: xx x x x..x Normalizando factor común Es decir, x x Sus raíces son:, de multiplicidad porque apareció dos veces en la factorización -, de multiplicidad porque apareció dos veces en la factorización Resumen Gauss-Ruffini Si se cumplen las condiciones todos sus coeficientes son enteros y su término independiente es distinto de cero debemos seguir los siguientes pasos:.- Buscar todos los divisores positivos y negativos del término independiente a 0, llamados "p".- Buscar todos los divisores positivos y negativos del coeficiente principal a, llamados "q" n.- Armar todas las combinaciones q p posibles irreducibles y sin repetir p q p.- Reemplazamos la "x" por los en el polinomio y nos quedamos con los que verifiquen 0, es q decir, con aquellos que son raíz del polinomio x ; x ; etc Si tenemos suerte, encontraremos rápidamente una cantidad de raíces igual al grado, con lo cual no es necesario hacer más cuentas porque podemos poner: a x x.x x x x...x x y listo! n Si la cantidad de raíces halladas es menor al grado del polinomio debemos continuar 5.- Dividimos a x por x x usando la regla de Ruffini y hallamos el polinomio cociente, 6.- Repetimos el proceso con el resultado usando la siguiente raíz; seguimos hasta agotar todas las halladas 7.- Con el último resultado probamos otra vez con todas las raíces para ver cuáles son múltilples puede que con alguna no nos dé resto cero 8.- Terminamos cuando llegamos a un polinomio de grado quedan sólo dos números en la fila 9.- Finalmente reconstruimos el polinomio usando sus multiplicidades b c d an.x x x x x x vean que bcd n n año, T "Factorización de olinomios". 06 Matemática, rof: Marcelo Stigliano

8 7 Factoricen los siguientes polinomios usando, cuando sea posible, Gauss-Ruffini: Raíces reales distintas 8 a x 6x x 6 b x 5x x 8 e x 6x 5x f x x x Raíces reales simples, dobles y/o triples i x 5x 9x 7x j x x x l x x x x m x x x c x x 5x d x x x 6 g x 7x 6 h x x 0 k x 5x 6x x - 8 n x x x Casos Combinados El objetivo de combinar los casos de factoreo es lograr que el polinomio quede factorizado de la manera más fácil y rápida posible. Nosotros sólo vimos algunos casos pero existen otros más; no obstante, para trabajar en el curso nos limitaremos a los vistos. La mejor estrategia para factorizar un polinomio es ir tratando de aplicar los distintos casos siguiendo prácticamente el mismo orden en el que los vimos, es decir:. Factor Común. Trinomio Cuadrado erfecto. Resolvente para Grado. Diferencia de Cuadrados 5. Gauss- Ruffini 6. Normalización de ser necesario x x x x. x x x x 5 Ejemplo : Factor común x Trinomio Cuadrado erfecto Factorización terminada. El polinomio tiene cinco raíces reales: 0 multiplicidad y - multiplicidad Ejemplo : x 6x x 6.x x x Factor común Está en condiciones de Gauss x x. x. x. Factorización terminada. El polinomio tiene tres raíces reales:, - y - todas de multiplicidad o simples Ejemplo : Suma y resta de las bases a n x x.x. x.. x. x. x Diferencia de Cuadrados: x x y Normalización: El como factor común forzoso en ambos binomios Opuestos de las Raíces año, T "Factorización de olinomios". 06 Matemática, rof: Marcelo Stigliano

9 9 Factorización terminada. El polinomio tiene dos raíces reales: y de multiplicidad o simples 8 Factoricen los polinomios de la siguiente tabla por sus raíces según el o los casos que sean necesarios. N olinomio Raíces N olinomio Raíces x - X 5 - x - x 7x 6x 0; ; ; - x x x - x x - 8x 0 x; ; - x - x x 6 ; ; - x - 6x x - 8 x x - 7x - 6 ; - ; - x - x 5x - x; 5 x 6x 5x - ; - ; - 5 x - x x; - x 6 x 6x x 6 -; -; - 6 x x x - x; - 7 x - 7x 6x 0; ; ; - 7 x 7 - x 6 0 x6; 8 x - 6x x - 6 ; ; 8 x 0x x 6x 0; ; -; - 9 x x 0 x; - 9 6x 9x ; / 0 9x 9 ; - 0 9x - /; - / Raíces de olinomios de Grado Si x es un polinomio de grado SIEMRE tendrá raíz racional. Todo x de grado será de la forma: x axb con a 0 entonces, si igualamos a cero: 0 ax b b ax b a x Además, si lo factorizamos: siendo éste el valor de la raíz para todo polinomio de grado b b ax b a x a x que confirma lo anterior a a x Ej: x se tiene que a y b su raíz será b es decir, a x 0 olinomio Irreducible Recordemos que un polinomio es irreducible cuando no se lo puede escribir como un producto entre otros polinomios de grado estrictamente menor a él y mayor o igual a. Esta definición tiene algunas consecuencias o Irreducible es distinto a no tener raíces o Si un polinomio tiene raíces, es factorizable es reducible o En algunos casos, si un polinomio no tiene raíces, igual puede ser factorizado es reducible o Todos los polinomios de grado son irreducibles 9 Den tres ejemplos de polinomios sin raíces pero que sean factorizables -- FIN -- Nos vemos con Trigonometría sin calculadora científica está difícil, consigan una!! año, T "Factorización de olinomios". 06 Matemática, rof: Marcelo Stigliano