Material Complementario Matemática Básica

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1 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Primer Semestre 006 Autores: M Adl, MC Silv, A Lizn, M Glz & V Fzio DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

2 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 UNIDAD I: PREPARACIÓN PARA EL CÁLCULO Introducción En est Unidd recordremos lgunos conocimientos de Álger en los números Reles, lguns operciones que se pueden relizr con ls epresiones lgerics y ecuciones de primer grdo.. Término Algerico: Se llm término lgerico un cominción de números (coeficiente) y letrs (fctor literl) que se relcionn entre sí por medio de l multiplicción y / o l división. Ejemplo. ; 6 p ; y Oservción: El término lgerico const entonces de un coeficiente y un fctor literl. Se le llm grdo del término lgerico l sum de los eponentes de ls letrs que precen en el término. Ejemplo. En el término literl, y el grdo. y identifique, signo, coeficiente, fctor Solución: Signo : negtivo ( - ) Coeficiente : Fctor literl : y Grdo : 7 Oservciones: ) Si el coeficiente no está escrito entonces es. Actividd: ) Si no prece el signo este es. ) Si el grdo no está escrito, entonces es. Identific, el signo, el coeficiente, el fctor literl y el grdo, de los términos del Ejemplo. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

3 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Epresión Algeric: Se llm epresión lgeric culquier sum o rest de términos lgericos. Si l epresión tiene sólo un término se llm monomio, si posee dos términos se llm inomio; si tiene tres términos se llm trinomio; si tiene cutro o más se hl de polinomios. Ejemplos Binomios : y ; Trinomios : y z ; c Polinomios : y y 6z 8yz ; Oservción: El término polinomio se puede usr en form generl pr culquier epresión lgeric.. Términos Semejntes: Son quellos términos que poseen el mismo fctor literl (en donde cd letr tiene el mismo eponente), pero distinto fctor numérico o coeficiente. Ejemplo: z ; z ; z Clrmente se puede precir en el ejemplo que los términos nteriores son semejntes entre sí, y que, solmente difieren en el fctor numérico. Oservción: Reducir un epresión lgeric, signific sumr y/o restr solmente los términos semejntes. Ejemplo: 6 y y z En el ejemplo hy que reconocer los términos semejntes. En este sentido, tenemos tres términos diferentes ( ; y ; z ). Por lo tnto relizndo l sum de los términos semejntes correspondiente tenemos como resultdo lo siguiente: 7 y z El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

4 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Potencis. n Definición:, se lee: elevdo n, donde n es el eponente ( n Z ), y es l se ( IR ). Propieddes de ls Potencis. ) m n m n : en el producto de potencis de igul se y distinto eponente, se sumn los eponentes y se mntiene l se. Ejemplo m mn ) si 0 : en l división de potencis de igul se, se conserv n l se y se restn los eponentes Ejemplo 6 m n m n ) ( ) : Cundo hy un potenci elevd otr potenci, se dee multiplicr los eponentes conservndo l se. Ejemplo ( ) 6 m m ) si 0 : Un cuociente elevdo un potenci, es igul l m numerdor y l denomindor elevdo l mism potenci. Ejemplo 8 7 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

5 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ) 0 si 0 : Tod se distint de cero, elevdo un eponente cero es igul que Ejemplo 0 n 6) si 0 : Tod se distint de cero, elevd un eponente n negtivo es igul que el recíproco del número elevdo es potenci, pero positiv. Actividd: Ejemplo Invent dos ejemplos pr cd un de ls propieddes ntes mencionds. Puedes pror l propiedd número?. Multiplicción de Polinomios. Pr l multiplicción de polinomios se plicn los propieddes de conmuttividd, socitividd (de l dición y multiplicción en IR ) y l propiedd de l distriutividd de l multiplicción con respecto l sum. Pr tl efecto se distinguirán tres csos: ) Monomio por monomio. Se multiplicn los coeficientes numéricos y los fctores literles. Ejemplo: ( y ) ( y ) 0 y ) Monomio por Polinomios: Se distriuye el monomio con respecto cd término del polinomio, de este modo se otiene un sum de monomios, en l cul si hy términos semejntes se deen reducir. Ejemplo: ( ) c) Polinomio por Polinomio: Cd término del primer polinomio se multiplic por cd término del segundo polinomio, reduciendo continución los términos semejntes (si es que huiesen). A este tipo de multiplicción se le llm multiplicción término término. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

6 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo: ( 6y) ( y y) 6 y 8 y 8y y y Ejercicios: Efectúe ls siguientes operciones. ) ( ) ) ( ) c) 6 ( ) d) 6 y ( y y y ) e) 6 ( m mn n ) m n f) 6m (m n) m (6m n) g) ( y) ( y y ) h) ( ) ( ) 6. Productos Notles. Dentro de l multiplicción lgeric eisten lgunos productos que se pueden desrrollr en form direct y más rápid sin hcer l multiplicción término término. ) Cudrdo de Binomio. El cudrdo de un inomio es igul l cudrdo del primer término, más o menos el dole producto del primero por el segundo, más el cudrdo del segundo término. En lenguje lgerico esto se epres de l siguiente form: ( ± ) ± Ejemplo ( ) 0 Ejemplo y y y El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

7 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ) Sum por Diferenci. L sum por l diferenci de un inomio, es igul l cudrdo del primer término del inomio, menos el cudrdo del segundo. Algericmente esto se epres como sigue: Ejemplo ( 6) ( 6) 6 ( - ) - ( ) Ejemplo y y y c) Binomios con Término Común. Pr multiplicr dos inomios que tienen un término común, el procedimiento es el siguiente: se elev l cudrdo el término común, más l sum de los otros dos términos por el término común, más el producto de los dos términos no comunes. Algericmente esto se puede epresr como sigue: ( ) ( ) ( ) Ejemplo Ejemplo Ejemplo ( )( ) 7 0 ( )( ) 6 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

8 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ( )( ) 6 0 Actividd: Resuelv los siguientes productos: ) p ) ) ( q ( ) c) ( y) ( y) d) ( ) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( 9) g) ( )( ) h) ( r s) i) ( ) j) ( ) 7. Fctorizción. Fctorizr un epresión lgeric (o sum y/o rest de términos lgericos), consiste en escriirl en form de multiplicción, es decir es el proceso inverso de l multiplicción o desrrollo de un producto. Distinguiremos los siguientes csos: ) Fctor Común: Monomio: en este cso se sc el término que es común en todos los términos del polinomio y el resultdo se escrie como producto, por ejemplo: c d ( c d) Binomio: En este cso se fctoriz el inomio que se común en tod l epresión lgeric y se epres como producto, por ejemplo: ( ) c ( ) d ( )( c d) ) Diferenci de dos Cudrdos. Este procedimiento consiste en epresr como producto, l diferenci de dos términos que están l cudrdo, por ejemplo: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

9 Mteril Complementrio Mtemátic Básic ( ) ( - ) Ejemplo: ( ) ( )( ) c) Trinomio Cudrdo Perfecto. Recordemos que l desrrollr un cudrdo de inomio se otiene como resultdo un trinomio, este trinomio lo denominmos trinomio cudrdo perfecto y su fctorizción consiste en volver trás recuperndo el cudrdo del inomio ( ) ± ± Ejemplo: 9 0 ( ) Actividd: Fctorice ls siguientes epresiones. ) m m ) 9 8 t t t c) z y z y z d) y y y e) z y 0yz f) g) 6 m n z h) 8 6 i) t t 9 j) 8. Frcciones Algerics. Un frcción lgeric es el cuociente de dos epresiones lgerics. Ejemplos: y ; y ; 6mp 8y El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

10 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Simplificción de un Frcción Algeric. Pr l simplificción de un frcción lgeric, es necesrio que el numerdor y el denomindor tengn un fctor común. En este sentido, distinguiremos dos csos. ) Si el numerdor y denomindor son monomios, se cnceln los fctores comunes. Ejemplo y simplificndo, qued: y y Ejemplo es decir: 6m p q 7mp q en este ejemplo se dee fctorizr y simplificr por mp q, 6m p q 7mp q mp mp q(m) q(9 pq) 6m p q 7mp q m 9 pq ) Si el numerdor y/o denomindor son polinomios, es necesrio fctorizr el numerdor y/o denomindor y luego cncelr los fctores comunes. Ejemplo En primer lugr se dee fctorizr el denomindor, lo cul qued hor se cnceln el fctor común quedndo ( ) l epresión ( ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

11 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo ( ) 6 Al igul que en el ejemplo nterior se dee fctorizr cncelndo los fctores comunes l epresión finl qued ( ) Ejemplo ( m n ) ( m n ) ( m n ) ( m n) ( m n) m n m n m n Actividd Simplific ls siguientes frcciones lgerics: m m n mn ) m nm ) ( ) c) m m 8m 6 d) p p p 0. Opertori Con Frcciones Algerics Pr sumr y/o restr, multiplicr y dividir frcciones lgerics se plicn ls propieddes de los números reles. Ejemplo Solución: Sume ls siguientes epresiones Tl como se hce en l sum de frcciones se dee encontrr el común denomindor, en este cso los denomindores son igules, por lo tnto el común denomindor es 0 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

12 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. Sumndo tenemos luego se fctoriz el numerdor ( )( ). Cncelndo, l epresión finl qued ) ( Ejemplo Resuelv: 6 Solución: En éste cso hy que recordr como se dividen ls frcciones 6, simplificndo por ) ( qued: 6 y fctorizndo el numerdor ( ) Finlmente l epresión se reduce : Actividd: Resuelve los siguientes ejercicios ) m n m n m n ) c) d) 9 e) f) 6 6 g) h) 0 8 i) 6 7 p p p q p p q p k) 6 l) 9 6 m) m m mn m

13 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Ecuciones. Un ecución es un iguldd, l cul present un o más incógnits, y que es verdder solmente pr lgunos vlores de ests incógnits. Oservción: El grdo de un ecución está determindo por quel término con myor eponente. Ejemplos: Ecución de primer grdo con un vrile y Ecución de primer grdo con dos incógnits 8 0 Ecución de segundo grdo con un vrile 6 0 Ecución de tercer grdo Oservción Se llm ríz o solución de un ecución quellos vlores de l incógnit que verificn l iguldd... Ecuciones de Primer Grdo o Lineles. Resolver un ecución signific encontrr precismente quellos vlores, pr lo cul l ecución se verdder. Pr resolver ests ecuciones veremos lguns propieddes. Propieddes. Propiedd de l sum y de l rest: Al sumr o restr un cntidd mos ldos de l iguldd, ést persiste: / ± c ± c ± c,, c R. Propiedd de l Multiplicción: Si se multiplic l iguldd por un cntidd, ést se mntiene. / c c c,, c R El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

14 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Propiedd de l División: Al dividir mos miemros de l iguldd por culquier cntidd distint de cero, ést se mntiene. / c,, c R c 0 c c. Propiedd de l Potenci: Al elevr mos miemros de l iguldd por un potenci distint de cero, ést permnece. c / c ( c ),, R c Z pero c 0. Propiedd de l Ríz: Al etrer l mism ríz en mos miemros de l iguldd, ést se mntiene. / c c c, > 0 ;, R ; c IN Ejemplo Resolver l ecución Utilizndo l Propiedd, se tiene: / () Verificción: Si 8 8 / El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

15 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 se puede firmr que es l solución de l ecución. Ejemplo Resuelv l siguiente ecución ( ) ( ) Solución: Primero se resuelven los préntesis: 0 Luego se dej l incógnit un ldo de l iguldd: 0 Sumndo: Verificción: ( ( ) ) ( ( ) ) ( 0 ) ( ) 0 0 es l solución de l ecución. Solución: Ejemplo Resolver Muchs de ls ecuciones son presentds en form frccionri como en éste cso. Pr resolverls se dee primero clculr el mínimo común múltiplo (l igul que en l sum o rests de frcciones). En éste ejemplo el mínimo común múltiplo entre y es 6. / 6 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

16 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Luego l mplificr tod l epresión por 6 qued: Y simplificndo qued: 6 Oteniendo de ést form un ecución linel de primer grdo, lo cul y ses resolver. L solución de l ecución es: Ejemplo Resolver l ecución 0 Solución: El mínimo común múltiplo entre, y 0 es 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 60 ( ) No tods ls ecuciones dn como resultdo un número entero, ce recordr que ls soluciones de ls ecuciones puede ser culquier número rel (enteros, frcciones, decimles) e incluso no tener solución. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

17 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo Resolver l ecución Amplificndo por 60 l ecución qued Ejercicios: Resuelv ls siguientes ecuciones: ) ) c) d) ( ) [ ( ) ] ( ) e) 7 y y 9 9y 8 f) ( ) ( )( ) ( ) g) h) 0 0 i) 0 0 j) 6. Ecuciones de primer grdo frccionris. Hst hor hemos trjdo en l resolución de ecuciones, donde l incógnit se present en el numerdor. Sin emrgo, eisten ecuciones en que l vrile se encuentr en el denomindor, el procedimiento pr resolverls es El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

18 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 nálogo l nterior, es decir se dee utilizr l técnic de multiplicr por el mínimo común múltiplo de ls epresiones que son denomindores y simplificr l máimo ls frcciones. Ejemplo Resolver l siguiente ecución 0 Solución: Clrmente, el común denomindor es éste vlor., por lo tnto se mplific l epresión por / 0 despejndo l epresión qued: Ejemplo Resolver l ecución 0 Solución: 0 / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

19 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Simplificndo: ( ) [ ( ) ] Despejndo qued: 9 Actividd. Resuelve ls siguientes ecuciones. ) 6 8 ) c) 0 d) 9 e) f) 6. Ecuciones de Primer grdo literles Ahor trjremos en l resolución de ecuciones, donde l incógnit se present en el numerdor y compñd de coeficientes literles. Sin emrgo, eisten ecuciones en que l vrile se encuentr en el denomindor compñd de coeficientes literles, el procedimiento pr resolverls es nálogo l nterior, es decir se dee utilizr l técnic de multiplicr por el mínimo común múltiplo de ls epresiones que son denomindores y simplificr l máimo ls frcciones. Ejemplo Resolver l siguiente ecución ( ) Solución: / ( ) /, con 0, con 0 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

20 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo Solución: Resolver l siguiente ecución ( ) ( ) ( ) / ( )( ) Actividd. Resuelve ls siguientes ecuciones. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( p) ( p) ( p) - p (p ) c) ( ) ( ) ( ) d) e) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

21 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Rzones, proporciones y porcentjes. Rzones Cundo se comprn dos cntiddes por medio del cuociente se hl de l rzón entre dos cntiddes. L rzón entre m y n se escrie m : n y se lee: m es n. El vlor de l rzón es l resultnte de efectur el cuociente numérico de los términos de l rzón y se not n m, unque su vlor se puede epresr como frcción (número rcionl) o como deciml. Cundo ls dos cntiddes son de l mism especie el vlor de l rzón es un número strcto. Por ej., l rzón entre 80 Km y 6 Km es 80 Km : 6 Km 80 Km y su vlor es (sin especie). Este vlor indic que 80 Km es veces 6 6 Km Km, o ien, que 6 Km es un quinto de 80 Km, (l quint prte). Pero tmién se puede estlecer l rzón entre cntiddes de especies diferentes. En Físic eisten muchs rzones entre cntiddes no homogénes en cunto su especificción. Por ejemplo, l rzón entre l ms de un cuerpo de 6 Kg 6 Kg y su volumen de dm³ es 6 Kg.: dm y su vlor es Kg/dm ; dm est rzón semos que epres l densidd del cuerpo. En generl, en l rzón m : n ls cntiddes m y n pueden o no ser de l mism especie y epres numéricmente l medid de m con respecto un unidd de n. En l rzón cd término recie un nomre especil. El primero será el ntecedente de l rzón y el segundo será el consecuente de l rzón. El ntecedente se corresponde con el numerdor de un frcción o con el dividendo de un división y el consecuente se corresponde con el denomindor o con el divisor. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0

22 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplos.- Determine el vlor de l rzón entre 8 Kg. y 7 Kg..- Estlezc el vlor de l rzón entre 0 cm. y 6 m..- Oteng l rzón entre $6.00 y 60 m²..- Qué prte es $0 de $80?. Proporciones El vlor de l rzón : es y el de l rzón : tmién es. Luego, ests dos rzones son igules, o se : :. En generl, si c c k y k se otiene l iguldd, o ien : c : d d d Llegmos de est mner l iguldd de dos rzones o proporción. Est proporción se lee es como c es d. (Quiere indicrse con esto que es tnts veces como lo es c de d). En un proporción el ntecedente de l primer rzón y el consecuente de l segund se llmn etremos, y el consecuente de l primer rzón con el ntecedente de l segund rzón, se llmn medios. y d son etremos : c : d 6 : 0 : y c son medios 6 y son etremos y 0son medios Teorem fundmentl de ls proporciones En tod proporción se verific que el producto de los medios es igul l producto de los etremos.es decir: dd l proporción : c:d siempre se cumple que: d c. Ejemplo 6: 0:0 es un proporción y que En cmio l relción :7 : no es un proporción pues 7. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

23 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Porcentjes y plicciones En el último mes de julio unos lmcenes hicieron un rej del % sore los precios de junio en los rtículos de rop pr jóvenes. Un pntlón cost en junio $.000. Qué descuento hy que plicrle?. Cuál es su precio de vent en julio? El porcentje es un cso prticulr de ls proporciones. Un % de descuento signific que de cd $00 del precio del rtículo, el comercio descuent $. El importe del descuento es un mgnitud proporcionl l precio originl. Por lo tnto, pr resolver el prolem hy que plicr el siguiente esquem El cul nos conduce l proporción : 00 :.000 y por lo tnto, el descuento plicdo es $.600. El precio finl de compr es de: $.000 $.600 $0.00. El porcentje es quizás el ejemplo de proporciones que con más frecuenci se present en l vid cotidin. L rzón de proporcionlidd en los prolems de porcentje es un cuociente cuyo denomindor vle siempre 00. Así, en nuestro ejemplo, l rzón es de /00 0,. El prolem se puede resolver multiplicndo el precio originl por l rzón de l proporción, es decir, el descuento será de: $.000 0, $.600 Ejemplo Ciert cs comercil pulicit lo siguiente: Precio de un T.V. color de : $ Precio en ofert : $ Precio de un Minicomponente : :$ Precio en ofert : $ Precio de un Personl Estéreo : $.800. Precio en ofert : $6.00. En cuál rtículo es myor el porcentje de descuento? Solución: ) Televisor: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

24 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Aquí el todo es: Prte de este todo: Por lo tnto: En frcción deciml (denomindor dividido por 00, por ciento o porcentje): 8, 00 ; es decir 8,%. En consecuenci el porcentje de descuento es:00% 8,%,7% ) Minicomponente Todo Prte de este todo , es decir 88%. Por lo tnto, el porcentje de descuento es % c) Personl Estéreo Todo.800 Prte , es decir 7%. El descuento es de %. 800 Conclusión: Al comprr los porcentjes de cd descuento, se concluye que en el cso del Personl Estéreo, es myor el porcentje de descuento. Ejemplo El % de 70, signific: 00 de 70, lo que, en números rcionles, se entiende 7 como: 70, y est frcción deciml, se escrie:, El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

25 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 GUIA UNIDAD I: PREPARACIÓN PARA EL CÁLCULO. Reduzc términos semejntes: ) y 7y 9y 6y Resp.: 9 y y ) y y 9y y y y y Resp.: 8 y 0y. Elimine préntesis y reduzc: ) ( ) ( ) ( ) ( ) Resp.: ) p [ q (r p q)] r Resp.: p q r c) m [ (m n) (m n)] (m n) Resp.: m 8n d) p q { r [ p q (r p q) (r q)] p} Resp.: p q r e) ( ) ( ) ( ) ( ) Resp.: 7 8 f) [ ( ) ( )] Resp.: 9 7 g) { [ ( c) ( c)] } c Resp.: 6 0c h) [ ( 8) ( 8)] Resp.: 8 7 i) { [ (c ) ] ( c )} Resp.: 6 c. ) Ddos los polinomios: A 7 ; B 8 ; C 6 Determine: i) A B C Resp.: 0 ii) (A B) C Resp.: ) Ddos los polinomios: A 6; B ; C 8 Determine: i) (A C) (B C) Resp.: ii) AC BC Resp.: iii) ( A) (B C) Resp.: 7 iv) B (A C) Resp.: Ddos los polinomios: P, Q 7, y R 6 ) Clculr P Q ) Clculr P Q c) Clculr R ( P Q ). Multiplicción de monomios ) ( ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

26 Mteril Complementrio Mtemátic Básic mn mn m n ) ( ) c) ( )( )( ) 6. Multiplicción de monomios por polinomio ) z ( 0y y ) y ) y ( y y y y ) c) y ( y y ) 7. Multiplicción de polinomio por polinomio. ) ( p q )( p p q q ) ) ( y z )( y z) c) 6 y y ( y) 8. Productos notles 6 ) ( y y z ) ) ( ) ( ) c) ( y) ( y) ( y) d) e) f) ( )( ) ( )( ) 7 7 p q p q g) 9. Desrrolle y reduzc: ) ( y) (y y ) Resp.: 6 y y 0y ) ( 6) ( ) Resp.: 6 c) ( y ) Resp.: 6 8y y d) (p q ) (p q ) Resp.: 6p q 6 e) ( y ) Resp.: y y 6 f ) ( ) ( ) ( ) Resp.: g) ( 6) ( ) ( 8) ( 8) Resp.: 6 6 h) (p q) (p q) (p q) Resp.: 7p 9q pq El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

27 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 i) ( )( ) Resp.: 9 j) ( y)(y ) Resp.: 7y y k) ( y) ( y) ( y) Resp.: 7 0y 0y l) (p q) (p q) (p q) (p q) Resp.: p 8pq 0q m) ( ) ( ) ( )( ) Resp.: 6 6 n) [( y) ( y) ] (y ) Resp.: y 6y 9 ñ) ( y )( y ) [( y) (y 6) ] Resp.: 68 y 78 y o) ( y) ( y) ( y) ( y) Resp.: 6y 6 y p) ( y z) ( y z) Resp.: y z yz q) ( c) ( ) ( - c) Resp.: 8c 8 6c r) ( ) ( ) Resp.: s) ( y) ( y) ( y) Resp.: y y 7y p) ( )( 9)( ) Resp.: 8 q) [( ) ( ) ] Resp.: Ddos los polinomios: A ; B 6 0 C Determine: 9 ) A B C Resp.: 6 0 ) C B A Resp.: 8 0. Desrrolle: ) ) c) d) ( ) e) ) ) Resp.: ) ( ( f) ( ) ) 6 9 y 6 c) 7 d) 8 6 e) 6 f) 9 y y y El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

28 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Desrrolle y reduzc términos semejntes: ) ( ) ( ) ) 6 c) 0 d) e) y y 0 Resp.: ) 9 ) c) 7 d) e) y y y Opere y simplifique y/o fctorice. q q q. c c. 6 7 y y 8y 9. y y y 8 8. ( )( ) y( ) 6. m ( c) n( c) c 7. ( ) ( ) ( ) 8. y z yz 9. m n m n 6mn 9m n 0. ( ) ( ) y 9y 9. Simplifique ls siguientes frcciones lgerics: y y 0 7y y R:. R:. R:. R:. 8 y y El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

29 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento ( )( ) ( )( ) y y 8 6. y ( )( ) ( )( ) ( )( ) h kh h k k k h y y y. ) ( 9 y y R:. R: 6. R: 7. R: 8. ( ) 6 R: 9. 9 R: 0. (h k) R:. y R:. y y. Opere y simplifique: m m m m m m m m m m 7. p p p p p y y y y 9. y y y y y : 8. : 6. Opere y simplifique como frcción lgeric: ) Resp.:

30 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9 ) Resp.: 0 c) Resp.: d) ( ) ( ) Resp.: ( ) e) : 7 Resp.: 7 f) : Resp.: ( ) g) 8 Resp.: ( ) h) 6 6 : Resp.: ( )( ) ( )( ) i) 0 8 : Resp.: j) ( ) 8 pq 6 q p : ( ) ( ) Resp.: 8pq k) c c c c c c : 0 c c c c Resp.: ( )( ) c c c l) Resp.: m) : ( ) Resp.: ( ) n) y y y y Resp.: y y o) Resp.: ( ) 6 p) Resp.: ( )

31 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0 q) Resp.: ( )( ) r) Resp.: s) Resp.: ( ) ( ) t) ( ) h h Resp.: ( ) [ ]( ) h h u) Resp.: ( ) v) Resp.: w) Resp.: ( ) ) 0 Resp.: ( )( ) y) y y y y y y Resp.: y

32 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. z) Resp.: POTENCIAS EN LOS REALES.. Ejercicios de Potencis: Opere y simplifique: ) Resp.: ) 0, m m m Resp.: m c) [( ) ( ) ]:( ) Resp.: ( ) d) ) ( ) ( ) ( Resp.: e) 6 8 c c Resp.: c f) y y : 7 Resp.: 6 y g) 6 Resp.: h) : Resp.: i) X X X : Resp.: 8 j) X X Resp.: 9 k) ( 0 ) Resp.: l) 6 Resp.: 0 7

33 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. m) 0,7 Resp.: n) 0 Resp.: ñ) 7 Resp.: o) Resp.: p) ( ) ( ) ( ) Resp.: q) ( ) ( ) m m m Resp.: r) Resp.: s) ( ) ( ) m m m m m m Resp.: m t) Resp.: u) Resp.: v) ( ) ( ) : Resp.: w) 7 6 Resp.: ) : y y y p n m p n m Resp.: ( ) y mn p y) ( ) ( ) ( ) cd cd Resp.: 0 cd z) : y y Resp.: 7 6 y

34 Mteril Complementrio Mtemátic Básic α) β) : γ) ( ) ( ) ( 8 ) δ) ε) ( ) n y y n Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: ( ) n Resp.: 8 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

35 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Ecuciones de Primer Grdo.. Resuelv ls siguientes ecuciones. y y. ( ) ( ). [( ) ( ) ] ( ) 0. 0 [ ( ) ] 0. ( )( ) ( ) 6. ( y )( y ) ( y )( y ) ( y ) ( ) ( ) ( ) m n m n ( ) 6.. Despeje, en ls fórmuls siguientes, l incógnit que se indic en cd cso: PV. P V T T. v v s 0 T El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

36 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 s. t s g n. S [ ( n ) d ]. d F S El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

37 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Prolems de plicción de ecuciones. Pr preprr un pstel, se necesit l tercer prte de un pquete de mrgrin de Kg. Cuánt mrgrin se necesit?. Felipe h leído 8 págins de un liro de págins. Qué frcción del liro h leído?. An gstó de sus horros en comprr un pstel de mnzns que costó $0. Cuánto dinero tení horrdo?. L edd de Alejndr es l mitd de los dos tercios de Mónic. Cuántos ños tiene Alejndr, si Mónic tiene ños.. En el segundo ño de un colegio hy el dole número de lumnos del que hy en tercer ño, y en el primero, el dole número de lumnos de segundo ño. Cuántos lumnos hy en cd curso, si en los tres hy lumnos? 6. Dos persons A y B, que viven un distnci de km. un de l otr, emprenden vije l mismo tiempo y en l mism dirección, del puelo A hci el puelo B. A hce 0 km. y B 7 km. l dí. En cuántos dís lcnzrá A B? 7. Un prisionero huyó de un cárcel l A.M. de un dí, corriendo un velocidd de 6 km. por hor. A ls A.M. se enví un policí en su persecución, quien recorre un kilómetro en minutos. A qué hor lo lcnz?.. Aplicciones de ecuciones de primer grdo. Si cierto número se greg 0, result el triple de ese número. Cuál es el número?. Si tres veces cierto número se sum con 7, result 8 veces dicho número menos 8. Cuál es el número?. L sum de tres números pres consecutivos es 8. Cuáles son los números?. Si l cudrdo de un número entero se greg 7, se otiene el cudrdo del número entero que sigue. Cuál es el número? El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

38 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Por qué número hy que dividir 6 pr otener? 6. Si me divins cuánts nueces tengo, dijo un niño l otro, te reglo l curt prte menos nueces o, lo que es lo mismo, l set prte más nuez. Cuánts nueces tení? 7. El vlor de un frcción es. Agregndo l numerdor y restndo l denomindor, el vlor de l frcción se convierte en. Cuál es l frcción? 8. Un mensjero dee recorrer ciert distnci con un velocidd de km. por hor, pero l h recorrido con un velocidd de 8 km. por hor y por esto h llegdo su destino con dos hors de trso. Cuál es l distnci? 9. En un tque del enemigo, l mitd de los solddos de un ptrull cyó prisioner, l set prte quedó herid, l octv prte murió y se slvron solddos, De cuántos solddos se componí l ptrull? El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

39 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Prolems de plicción de ecuciones. Cuántos litros de un mezcl que contiene 80% de lcohol se tendrín que gregr litros de un solución l 0% pr otener un solución l 0%?. Si un ldo del triángulo mide un tercio del perímetro, el segundo 7 metros y el tercero un quinto del perímetro, cuánto mide el perímetro del triángulo?. Cuántos glones de gu destild se deen mezclr con glones de un solución de ácido sulfúrico l 90% pr otener un soluci6n l 60%?. L ecución pr convertir grdos Fhrenheit grdos Celsius está dd por: C ( F ). Encuentre l ecución que le permit 9 convertir los C F.. Pr hcer frente ls necesiddes de un comunidd, tres gricultores deciden donr sus ecedentes de pps, sumndo en totl 096 kilogrmos. Si el primero de ellos portó lo que pudo, el segundo el triple de l donción del primero y el tercero el dole de los otros dos juntos, cuánto donó cd un? 6. Dos ángulos sumn 80 y el dole del menor ecede en l myor. Cuáles son sus medids? 7. Pr conseguir l más lt clificción en un clse de procesmiento de tetos, es necesrio mecnogrfir un promedio de 8 plrs por minuto en cinco espcios de tiempo diferentes. Guillermo tuvo velociddes de 77, 78, 87 y 9 plrs por minuto en sus primeros cutro espcios de tiempo. Cun rápidmente tiene que tecler en l siguiente prue con ojeto de otener l clificción más lt? 8. Al finl de un ño-modelo, un vendedor de utomóviles nunci que los precios de list de los modelos del ño nterior tienen un % de descuento. Cuál er el precio originl del utomóvil que se vende por dólres? 9. Pr generr hidrógeno en un lortorio de químic se necesit un solución l 0% de ácido sulfúrico. Se dispone de 0 ml de un solución l 86% de ácido sulfúrico. Cuántos ml de gu deerán El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

40 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ñdirse pr diluir l solución l nivel del 0% de ácido sulfúrico que se requiere? 0. Cuánto lcohol puro dee gregr un enfermer 0 cc (cm ) de un solución l 60% de lcohol pr que ést se conviert en un solución l 90%?. Un médico prescriió 0 g de cierto medicmento en un solución l %. El frmcéutico sólo tiene frscos con soluciones l 0% y l 70%. Cuánto dee utilizrse de cd solución pr otener los 0 g de l solución l %? El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

41 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Frcciones.. Prolems con Frcciones. Mrio tiene que dividir un herenci en nueve prtes igules y drle siete de ells su hermno menor, quedándose él con el resto. Qué frcción de l herenci le corresponde Mrio? Respuests: 9. Pr preprr un pstel, se necesit l tercer prte de un pquete de mrgrin de Kg. Cuánt mrgrin se necesit? Respuests: de Kg.. Felipe h leído 8 págins de un liro de págins. Qué frcción del liro h leído? Respuests:. An gstó de sus horros en comprr un pstel de mnzns que costó $0. Cuánto dinero tení horrdo? Respuests: $ 6.0. En un curso de 0 lumnos fltron clses un dí de ellos. Cuántos lumnos sistieron clses? Respuests: 6. Cuántos litros hy que scr de un estnque de 60 litros pr que queden los 6 7 del contenido? Respuests: L edd de Alejndr es l mitd de los dos tercios de Mónic. Cuántos ños tiene Alejndr, si Mónic tiene ños? Respuests: 8 8. En un iliotec hy 7 persons de ls cules los dos tercios escrien, un quinto clcul y el resto lee Cuánts persons leen? Respuests: 0 9. Si l ols de lmendrs se venden de de kilo Cuánts olss se pueden otener con kilos y medio? Respuests: 0 0. En un cj se tienen 6 pquetes de kilo de hrin y en otr hy 6 pquetes de de kilo. Cuántos pquetes de 8 de kilo se necesitn pr envsr tod l hrin? Respuests: 96. Con los y los de mi dinero compré un cllo de US$ 0. 9 Cuánto teni y cuánto me quedó? Respuest US $ 08, US $. 0 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

42 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Compré un trje por US.$ 0 y lo vendo gnndo los 0 del costo. Hllr el precio de l vent. Respuest US.$ 9). 0. Al vender un cllo en US.$ 90 gno los de l vent. Hllr el costo. Respuest: US.$ 60 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.