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1 Factorización de Expresiones Algebraicas Objetivos: Al terminar esta lección podrás expresar polinomios y otras expresiones algebraicas como el producto de otras expresiones más sencillas. Cuando multiplicamos dos expresiones conseguimos, generalmente, una expresión más complicada, bien sea porque tiene más términos o porque el grado de los términos es mayor. La factorización es el proceso por el cual expresamos una expresión como producto de dos o más factores. La factorización deshace lo que la multiplicación hace, convirtiendo una expresión que podría ser complicada, en el producto de dos o más expresiones (factores) que son típicamente más sencillas. Por ejemplo, si multiplicamos 2x + 5 ( )( x + 3) conseguimos 2x 2 +11x + 15, lo cual tiene más términos que cualquiera de los dos factores que multiplicamos y es de mayor grado (2) que ambos factores (que son de grado 1). En este caso decimos que 2x 2 +11x + 15 puede ser factorizado como ( 2x + 5) ( x + 3). La factorización será útil para simplificar algunas expresiones como la suma de fracciones y la división de polinomios. También puede usarse para determinar las soluciones de una ecuación. En esta lección estudiaremos algunas técnicas que nos facilitan hallar una factorización de una expresión algebraica dada. Para aprovechar mejor este material es necesario dominar la destreza de multiplicar expresiones que puedes repasar en la lección 3. Identificación del factor común Usamos la propiedad distributiva para realizar la multiplicación de una suma (o resta) de términos por un factor. Por ejemplo (3 + x)y = 3y + xy. Podemos igualmente usar esta propiedad para deshacer esta multiplicación. Esto requiere que identifiquemos el factor que es común a todos los términos en la expresión. En la expresión 3y + xy,y es el factor común. Por lo tanto nuestra factorización será 3y + xy = (3 + x)y, ó, equivalentemente, 3y + xy = y(3 + x). Generalmente conviene factorizar el factor común máximo posible. Por ejemplo, en el polinomio 12x 3 y 2 9x 2 y xy 4 podemos identificar como factor común a todos los términos, varios monomios: xy es factor común porque 12x 3 y 2 = 12x 2 y xy 9x 2 y 3 = 9xy 2 xy 15xy 4 = 15y 3 xy 3xy es factor común porque 12x 3 y 2 = 4x 2 y 3xy 9x 2 y 3 = 3xy 2 3xy 15xy 4 = 5y 3 3xy Similarmente podemos establecer que 3xy 2 también es factor común. Preferimos factorizar el factor común máximo (FCM) de los términos, el cual puede hallarse de

2 Preferimos factorizar el factor común máximo (FCM) de los términos, el cual puede hallarse de la siguiente manera: Primero: Factorizamos completamente los términos. Esto significa que los factores obtenidos son primos (que no pueden ser factorizados más). Segundo: El FCM es el producto de todos los factores presentes en las factorizaciones del paso previo, elevados a la menor potencia en que aparecen, la cual es la potencia 0 si hay una factorización en la que el factor no aparezca. 1) Para hallar el FCM de { 15a 3 b 5 c 6, 25ab 2 c 2, 10a 2 b 4 c 3 }: 15a 3 b 5 c 6 = 3 5 a 3 b 5 c 6 Primero: Factorizar los términos: 25ab 2 c 2 = 5 2 a b 2 c 2 10a 2 b 4 c 3 = 2 5 a 2 b 4 c 3 Segundo: Formar el FCM. Los factores presentes son 2, 3, 5, a, b, & c. La menor potencia de 2 que aparece es 2 0 (pues el 2 no aparece en todas las factorizaciones), la de 5 es 5 1, la de 3 es 3 0, la de a es a 1, la de b es b 2, y la de c es c 3. Entonces el FCM es a 1 b 2 c 3 = 5ab 2 c 3. 2) Si queremos factorizar el polinomio 30x 3 y x 2 y 3 z, comenzamos factorizando completamente sus términos: 30x 3 y 2 = x 3 y 2 12x 2 y 3 z = x 2 y 3 z Luego formamos el FCM: 2 3 x 2 y 2 = 6x 2 y 2. Finalmente hacemos la factorización: 30x 3 y x 2 y 3 z = 6x 2 y 2 ( 5x + 2yz). : Factoriza completamente los siguientes polinomios: 1) 18a 3 b + 9abc 2 27ab 4 c 3 2) 4x 3 y 2 +14xy 3 z + 8xy 4 z 2 3) 9xy + 3y 2 w 4) 15a 25b Respuestas

3 Reconocimiento de un producto especial Hay algunas multiplicaciones de polinomios cuyos resultados son productos sencillos. Si recordamos estas multiplicaciones, al ver uno de tales productos podremos dar su factorización. Algunos de estos productos son: ( )( x y) = x 2 y 2 ( )( x + y) = x 2 + 2xy + y 2 ( ) x 2 xy + y 2 ( ) x 2 + xy + y 2 1) x + y 2) x + y 3) x + y 4) x y ( ) = x 3 + y 3 ( ) = x 3 y 3 3) Usando el producto especial 1, reconocemos que la factorización de x 2 9 es x + 3 ( )( x 3) 4) En el polinomio w 2 + 8w +16 reconocemos al producto especial 2 y por lo tanto su factorización es ( w + 4) ( w + 4) 5) La factorización de 8 a 3 es ( 2 a) ( 4 + 2a + a 2 ), usando el producto 4 de la lista previa. 6) a 3 +1 puede ser factorizado como ( a +1) ( a 2 a +1), usando el producto 3 de la lista previa. 7) A veces es necesario usar un poco de imaginación para reconocer alguno de los productos especiales como muestra la siguiente factorización: 4a 2 9b 6 = 2a ( ) 2 3b 3 ( ) 2 = ( 2a 3b 3 )( 2a + 3b 3 ) 8) Otras veces debemos hacer más de una factorización antes de obtener una factorización completa como en este caso en el que comenzamos identificando un factor común y luego usamos el producto especial 3: 40 x 7 + 5xy 9 = 5x 8x 6 + y 9 ( ) ( ) ( ) = 5x ( 2x 2 ) 3 + ( y 3 ) 3 ( ) ( 2x 2 ) 2 2 x 2 y 3 + ( y 3 ) 2 ( )( 4x 4 2x 2 y 3 + y 6 ) = 5x 2x 2 + y 3 = 5x 2x 2 + y 3

4 Factoriza completamente las siguientes expresiones. 5) 64 a 2 6) 8a ) 56 7x 3 8) 4x x + 9 9) 3xy 6 3x 10) x 9 4 2x Respuestas Factorización de polinomios cuadráticos El polinomio típico en una variable tiene tres términos: uno cuadrático, uno lineal (i.e. de grado 1) y uno constante (i.e. de grado 0). Si tal polinomio es factorizable, generalmente lo es como producto de dos factores de la forma (ax+b). Antes de seguir con más detalles, conviene tener en cuenta que hay polinomios que no podremos factorizar usando números reales, como, por ejemplo, x Consideremos la multiplicación ( ax + b) ( cx + d). Este multiplicación produce ( ac)x 2 + ( ad + bc)x + bd. Esto sugiere que al tratar de factorizar un polinomio cuadrático con dos factores lineales, usaremos factores lineales que tengan como coeficientes de la variable, números que al multiplicarse den el coeficiente del término cuadrático del polinomio que queremos factorizar. Los términos constantes de los factores serán tales que al multiplicarse den igual al término constante del polinomio que queremos factorizar. 9) Para factorizar al polinomio 5x x + 6, consideramos el siguiente esquema de factorización: ( x + )( x + ). Como coeficientes de las x usaremos los factores de 5, que sólo pueden ser 5 & 1. Como términos constantes podemos usar 6 & 1, ó -6 &-1, ó 3 & 2, ó -3 & -2. Además cada miembro de estas parejas de factores pueden ser usados en el primer o en el segundo factor del esquema. Esto implica que existen 8 formas de completar el esquema( 5x + )( x + ). Podemos tratar cada una de estas combinaciones hasta verificar que la factorización correcta es ( 5x + 3) ( x + 2). Con la práctica podrás determinar la factorización correcta sin ensayar muchas de las factorizaciones posibles. 10) La factorización de 24a a + 6 es ( 8a + 3) ( 3a + 2).

5 Factoriza completamente 11) 3x x ) 40u 2 +17u 12 13) 14a a + 4 Respuestas Factorización por agrupamiento Algunos polinomios de más de tres términos pueden ser factorizados, si comenzamos agrupando los términos de modo que cada grupo sea factorizable, y al hacerlo descubrimos un factor común o un producto especial. Ejemplos 11) Para factorizar el polinomio 2x 2 + 2xy + 3x + 3y, podemos comenzar agrupando los primeros dos términos y los últimos dos: ( 2x 2 + 2xy) + ( 3x + 3y). Luego factorizamos cada uno de los grupos: 2x( x + y) + 3( x + y). Ahora notamos que x + y grupos y terminamos factorizando como ( 2x + 3) ( x + y). ( ) es factor común a ambos 12) La factorización de x 2 + 2xy 1 + y 2, puede conseguirse agrupando los primeros dos términos y el último. De esa manera, re-escribimos el polinomio como x 2 + 2xy + y 2 ( ) 1. Ahora notamos que el primer grupo es el cuadrado de ( x + y), por lo cual podemos expresar el polinomio como ( x + y) 2 1 2, que reconocemos como uno de los productos especiales con factorización final ( x + y +1) ( x + y 1). Factoriza completamente 14) 7x 2 + 7xy 2x 2y 15) x 2 y 2 9x 2 y ) t 4 + t 2 + 2rt + r 2 Respuestas Asignación: Leer del texto las páginas Hacer los problemas 1-53 (impares) en la página 20

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