ÁLGEBRA POLINOMIOS APUNTES. Ing. Francisco Raúl Ortíz González UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ÁLGEBRA POLINOMIOS APUNTES. Ing. Francisco Raúl Ortíz González UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN"

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS Y DE LAS INGENIERÍAS INGENIERÍA MECÁNICA-ELÉCTRICA APUNTES y 6 y P Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález,8

2 El presete trjo ovimete o pretede sustituir l tem relciodo los poliomios, coteidos e puliccioes t prestigids relciods co ls mtemátics Surge de l ecesidd de que el lumo de igeierí puede utilizrlo como u herrmiet de poyo pr el estudio de l mteri de Álger e el TEMA III, deomido del progrm ctul, sí como de mteris fies Cumple co el ojetivo de dicho tem e lo referete l mejo de los coceptos del álger de los poliomios y sus propieddes pr l oteció de ríces Por lo que si se quiere profudizr e el tem de poliomios, es ecesrio cosultr iliogrfí especilizd pr teer u iformció más mpli y co myor profudidd que l que quí se preset, y que solmete esto es u guí ATENTAMENTE Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález,8 Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

3 i CONTENIDO GENERAL INTRODUCCIÓN DEFINICIÓN FUNCIONES POLINOMIALES TEOREMAS GRÁFICA DE UN POLINOMIO 6 COEFICIENTES DEL POLINOMIO 8 7 RAÍCES DE UN POLINOMIO 8 EJERCICIOS 8 9 BIBLIOGRAFÍA Pág Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

4 ii CONTENIDO INTRODUCCIÓN DEFINICIÓN CLASIFICACIÓN EL GRADO FUNCIONES POLINOMIALES DE UNA VARIABLE OPERACIONES ARITMÉTICAS SUMA o ADICIÓN RESTA o SUSTRACCIÓN 6 MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO 7 DIVISIÓN o COCIENTE 7 TEOREMAS TEOREMA DEL RESIDUO TEOREMA DEL FACTOR TEOREMA FUNDAMENTAL DEL GRÁFICA DE UN POLINOMIO 6 COEFICIENTES DEL POLINOMIO 8 7 RAÍCES DE UN POLINOMIO 7 NATURALEZA DE LAS POSIBLES RAÍCES 7 REGLA DE LOS SIGNOS DE DECARTES 7 RAÍCES RACIONALES 6 8 EJERCICIOS 8 9 BIBLIOGRAFÍA Pág Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

5 INTRODUCCIÓN Los tipos más simples de fució se costruye medite l plicció repetid de ls opercioes elemetles de: potecis, multiplicció, divisió, dició y, sustrcció Por ejemplo: y y 6 z z z z A cd u de ests epresioes que so llmds térmios lgericos idic sums y sustrcció de moomios, ls cules form poliomios Ests epresioes lgerics cuyos elemetos está seprdos por los sigos o -, se form por costtes y vriles como se idic cotiució Coeficietes uméricos:,,,,,,,, Vriles: 6,,, y, y z, z, z, z, z Los cules l socirse respectivmete se cre los siguietes moomios: 6,,, y, y z, z, z,, z Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

6 DEFINICIÓN U poliomio es l sum de uo o más térmios lgericos cuys vriles tiee epoetes eteros positivos Los poliomios se divide e: poliomios co u vrile y poliomios co vris vriles Por ejemplo, pr el primer cso siedo l vrile, el poliomio es l sum de uo o más térmios que tiee l form, dode es u úmero rel y es u úmero etero Ls epresioes siguietes so poliomios co u vrile: 7 8 Y pr el segudo cso, co, y y z como vriles, el poliomio es l sum m p de uo o más térmios de l form y z, dode es u úmero rel y m, y p so úmeros reles eteros Ls siguietes epresioes so poliomios co más de u vrile: y y yz y u v w y CLASIFICACIÓN U poliomio co u térmio se llm moomio, co dos térmios se llm iomio, y el de tres térmios se llm triomio E l siguiete tl se idic est clsificció: Moomios u térmio Biomios dos térmios Triomios tres térmios 7t y m m 7 z y y 7 yz y y 7 y Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

7 EL GRADO El grdo de u poliomio es l poteci eter positiv myor de u vrile Por ejemplo: 7 es u triomio de grdo Porque el grdo máimo de los tres moomios es 8 7 y y es u iomio de grdo, c y y es u triomio de grdo, y 7 9 d 8 y y y es u poliomio de grdo Si los epoetes de l vrile de u poliomio co u vrile dismiuye l ir de izquierd derech, se dice que prece e orde descedete Si umet l vzr de izquierd derech, se dice que prece e orde scedete Ejemplo: Escriir los epoetes de 7 e: Orde descedete, y Orde scedete Solució: 7 7 FUNCIONES POLINOMIALES Pr omrr u poliomio se utiliz l epresió del tipo P Dode P represet l fució poliomil, l cul puede ser culquier letr, y l idetermid correspodeci llmd vrile del poliomio Así se puede escriir los siguietes poliomios: 6 P Q y y y R z z z z z Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

8 Dode cd uo de los sumdos o moomios que form cd poliomio, es u térmio del mismo A ésts epresioes se les llm fucioes poliomiles Pr evlur u fució poliomil e vlores específicos de su vrile, por 6 ejemplo P cudo, sustituimos por el vlor de y simplificmos: 6 P 6 P P P Como se puede ver, cd úmero de correspode u sólo vlor de P Si se plic ests opercioes u vrile idepediete y u cojuto de úmeros reles,,,, se otiee el poliomio geerl epresdo de l siguiete mer: y El poliomio más simple, es l fució liel: y, l cul se represet gráficmete por medio de u líe rect Otro cso es el de l fució cudrátic: y c, que represet u práol DE UNA VARIABLE E térmios geerles l represetció de u poliomio co sólo u vrile es l siguiete: P o Pero: y, recorddo que, por lo tto: P o Este poliomio es l sum de vrios térmios lgericos cuys vriles tiee epoetes eteros, dode: P es l vrile depediete, es l vrile idepediete,,,,,,,, so los úmeros reles, es el térmio idepediete; y, es l poteci o epoete etero máimo Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

9 OPERACIONES ARITMÉTICAS E est prte se descrie ls cutro opercioes ásics que se puede relizr pr dos o más poliomios de u vrile SUMA o ADICIÓN Se: P y Q o Relizr l siguiete operció ritmétic: Q P Solució: Q P Al sumr y grupr térmios semejtes result lo siguiete: Esto d como resultdo otro poliomio co u sol vrile, pero co diferete vlor e los coeficietes y el térmio idepediete Ejemplo: Se los siguietes tres poliomios: P Q y R Relizr: R Q P Solució: R Q P Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

10 6 Al order los poliomios e form descedete, result lo siguiete: cuy operció d como resultdo: 6 Por lo que: R Q P 6 RESTA o SUSTRACCIÓN Co ls dos epresioes de los poliomios P y Q del iciso, relizr: Q P Que l ser sustituidos e l epresió result lo siguiete: Q P - - Dode l restr y grupr térmios se otiee lo siguiete: Ddo como resultdo otro poliomio co u sol vrile, pero co diferete vlor e los coeficietes y el térmio idepediete Ejemplo: Se: P y Q Oteer: Q P Solució: Q P - Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

11 7 MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO m m Se: P m m y Q Efectur: P Q o Sustituyedo e l epresió, result lo siguiete: P Q m m m m m m m m m m m m Lo que d como resultdo otro poliomio pero de grdo m, siedo l primer m el grdo del primer poliomio y l siguiete, el grdo del segudo poliomio Ejemplo: Se: P y Q Clculr P Q Solució: P Q DIVISIÓN o COCIENTE P Q Se: P 6 y Q Efectur l siguiete operció divisió: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

12 8 Pr ello se reliz l divisió lgeric ordiri dode: P es el dividedo y Q el divisor Cosiderdo que Q su grdo es meor o igul que el de P L siguiete ilustrció idic el proceso de est operció: Por lo que: P Q Siedo: 8 es el cociete y, es el residuo Esto idic que l divisió es o ect Eiste demás de este método pr dividir dos poliomios el Método de l Divisió Sitétic, el cul cosiste e que el divisor es u poliomio de l form r Por ejemplo: dividir el poliomio P 8 etre empledo el procedimieto de divisió sitétic Solució: Escriir los coeficietes del dividedo y del divisor e el siguiete rreglo: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

13 osérvese que o dee omitirse el coeficiete cero de El proceso de operció se reliz de l siguiete mer: jr el primer térmio del dividedo Multiplicr éste por, colocádolo dejo del siguiete coeficiete pr efectur l dició Repetir el pso terior, hor co el uevo coeficiete oteido Se cotiú co el proceso hst que se hy utilizdo todos los coeficietes, oteiedo el siguiete resultdo: Coeficietes del cociete residuo Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

14 Como se está dividiedo u poliomio de grdo co respecto uo de grdo, el cociete dee ser de grdo co su térmio idepediete Si se oserv el resultdo eiste coeficietes, pero el vlor de se llm residuo; el cul cudo es igul cero l divisió es ect, e cso cotrrio l divisió es o ect, por lo que: P 8 r es u divisió o ect Ejercicio: Se el siguiete poliomio P 8 9, dividirlo co respecto Q, por mos métodos Solució: Divisió lgeric ordiri cociete residuo Divisió sitétic Coeficietes del cociete residuo Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

15 Esto idic que: ect P Q 8 9 por lo que es u divisió TEOREMAS TEOREMA DEL RESIDUO L divisió sitétic es importte e ls mtemátics deido l teorem del residuo El cul idic lo siguiete: Si u poliomio P se divide etre r, el residuo es P r Ejemplo: Se el siguiete poliomio P Determir: A P El residuo cudo P se divide etre Solució: Si P 7 6 P qué por divisió sitétic: cuyo residuo es Los resultdos de ls prtes y muestr que el residuo es E ocsioes es más fácil determir P r empledo l divisió sitétic, que sustituyedo por r e P ; esto, se cumple especilmete cudo r es u deciml Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

16 TEOREMA DEL FACTOR Si r es u ríz de P, se deduce, por defiició de ríz, que P, etoces r es u fctor del poliomio P, y vicevers Ejemplo: Por medio del teorem del fctor, demostrr que es u fctor ddo de P 8 9 Solució: será fctor de P si P Por lo que: P 8 9 Esto idic que si este fctor es u ríz de dicho poliomio TEOREMA FUNDAMENTAL DEL El teorem fudmetl del Álger dice: u poliomio P tiee por lo meos u ríz, y se rel o complej; y, que l utilizr el siguiete teorem que idic: u ecució eter P, de grdo, tiee ectmete ríces Se el siguiete poliomio: P Dode, l emplerse el teorem fudmetl, dicho poliomio tiee por lo meos u ríz r Por tto, por el teorem del fctor, r es u fctor de P, y se puede escriir: P r Q, siedo Q u poliomio de grdo co coeficiete pricipl Así mismo, l seguir empledo el teorem fudmetl dode Q posee por lo meos u ríz, es decir r Por tto, por el teorem del fctor, r es u fctor de Q, co lo que P r r Q, e dode Q es u poliomio de grdo co coeficiete pricipl Cotiudo co este proceso veces, se otiee fctores lieles y u último cociete que será simplemete el coeficiete pricipl Por tto, P se puede escriir e l form siguiete: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

17 P r r r Dode r, r, r,, r, so ríces de l ecució o poliomio P Ejemplo: Costruir el siguiete poliomio que tiee ls siguietes ríces:,, y Solució: El primer miemro del poliomio uscdo tiee los fctores:,, y Por tto: Al efectur los tres productos result el siguiete poliomio o ecució 7 que es de grdo, co coeficietes:,, 7, y Siedo el térmio idepediete Ejemplo: Compror que es u ríz de l ecució 6, y hllr ls ríces resttes Solució: Primermete se comprorá que es u ríz usdo pr ello el método de l divisió sitétic: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

18 Dode su ecució reducid es de l siguiete mer: Ahor ie, utilizdo est ecució e lugr de l origil, pr compror que es l otr ríz Así se otiee por divisió sitétic lo siguiete: L ecució reducid es hor l ecució cudrátic, cuys ± c ríces puede oteerse fácilmete por l fórmul:, oteiédose ls siguietes ríces complejos úmeros complejos ± i GRÁFICA DE UN POLINOMIO E est prte se estudi el prolem geerl de l costrucció e iterpretció de l gráfic del poliomio P Pr ello se utiliz el sistem de coordeds rectgulres pr dr u represetció geométric o gráfic de u relció fuciol Este método tiee l vetj de que proporcio visulmete el digrm de comportmieto de u fució dd, ddo vlores u vrile y P Est epresió estlece que l vrile y depede de l vrile idepediete Esto sigific que pr cd vlor sigdo, puede ser determidos uo o más vlores correspodietes de y Dode cd pr de vlores correspodietes de y de y stisfce l poliomio ecució, tomdo cd uo de los pres de vlores reles como coordeds, y de u puto e u sistem de coordeds rectgulres Por lo que el cojuto de todos los putos, y sólo ellos, cuys coordeds stisfce l ecució o poliomio y P, se llm el lugr geométrico o gráfic del poliomio Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

19 Todo puto cuys coordeds stisfce l poliomio se dice que perteece l lugr geométrico de y P Esto es, si ls coordeds de u puto stisfce u poliomio etoces ese puto perteece l lugr geométrico del poliomio, y recíprocmete, si u puto perteece l lugr geométrico de u poliomio o ecució sus coordeds stisfce l poliomio Y que ls coordeds de los putos de u lugr geométrico está restrigids stisfcer l poliomio, etoces, e geerl, dichos putos quedrá loclizdos e posicioes que determi u tryectori defiid llmd curv, gráfic o lugr geométrico Ejemplo: Costruir l gráfic del poliomio P 8 y loclizr ls ríces reles de l ecució P Solució: Primermete se otedrá ls coordeds de u úmero decudo de putos de l gráfic Ls ordeds se clcul por sustitució e P de los vlores sigdos Si emrgo, e muchos csos puede oteerse co meos esfuerzo utilizdo l divisió sitétic Geerlmete coviee empezr co los vlores de :, ±, ±, ±, ±, cotiudo mietrs de iformció útil cerc de ls ríces reles etc, P Dode se oserv que si:, y P cuy prej orded es, y, Ahor ie, si:, y P, esto sigific que:, y, Siedo, y, ls primers dos ríces reles del poliomio que l plicrls como elemeto de P 8 result lo siguiete e l divisió sitétic: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

20 Ddo como resultdo el siguiete poliomio:, el cul l ser dividido por se otiee el poliomio: Gráficmete se idic su represetció: y P Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

21 7 Ejemplo: Trzr l gráfic del poliomio: 8 Solució: Hgmos y P 8, sigdo vlores, y clculdo los vlores correspodietes de y, se otiee ls coordeds de u úmero decudo de putos: y Dode:,, y so ls tres ríces reles del poliomio Su gráfic correspodiete es l siguiete: y P Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

22 8 6 COEFICIENTES DEL POLINOMIO Se l siguiete epresió: P l cul se le llm poliomio e co coeficietes,,,,,,,, que perteece los úmeros reles, dode se le llm térmio idepediete A ls epresioes:,,,,,, se les llm térmios del poliomio y los úmeros,,,,,,,, coeficietes de,,,,,, respectivmete E l práctic es usul relizr ls siguietes simplificcioes e culquier poliomio: Escriir e lugr de Escriir e lugr de k k escriir e lugr de k k Escriir k e lugr de k Omitir los térmios cuyo coeficiete se cero Así, se escrie e l form: Ejemplo: Ecotrr todos los coeficietes que eiste e el siguiete poliomio: 6 P Solució: El poliomio es de grdo 6, por lo tto v teer 7 coeficietes Esto cosecueci de que se le sum u uidd l poteci eter de grdo máimo Etoces:,,,,,, y 6 Por lo que el poliomio e form geerl es de l siguiete mer: 6 P que l efectur los productos del coeficiete cero se otiee el poliomio origil Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

23 9 6 P Ejemplo: Ecotrr todos los coeficietes que eiste e el siguiete poliomio P 7 Solució: Primero hy que order e form descedete el poliomio: 7 P Seguidmete l poteci eter 7 sumrle l uidd 7 8, lo que idic que v ser 8 coeficietes los que compñrá cd u de ls,,,,,,, y 7 6 Ejemplo: Oteer todos lo coeficietes que cotiee l siguiete poliomio: P 8 8 Solució: Por ser u poliomio de grdo 8, est epresió dee de teer 9 coeficietes, pero si se oserv o está el térmio idepediete, esto cosecueci de que:,,,,,,,?, y? Pero si se utiliz el último moomio como fctor comú múltiplo de todo el poliomio, result lo siguiete 6 [8 ] P como está como producto, este ps del otro ldo dividiedo, 6 Etoces: P 8 es el poliomio origil, por lo que este es de grdo 6, co 7 coeficietes Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

24 Por lo que:,,,,,, y so los verdderos coeficietes RAÍCES DE UN POLINOMIO El cocepto de ríz de u poliomio o solució de u ecució lgeric so equivletes, esto cosecueci de que u ecució lgeric de grdo es u ecució de l form: P Dode:, y, recorddo que Además:,,,,,, so los coeficietes, úmeros reles o costtes, el térmio idepediete y l vrile U poliomio de grdo tiee ectmete ríces Ests ríces se clsific y se e: ríces reles ls cules puede ser rcioles o irrcioles igules o diferetes o e el mejor de los csos ríces complejs, ls que siempre dee estr e prejs úmeros complejos e form iómic A cotiució se preset lguos ejemplos de ríces de poliomios,,,,,,,, 7 i; i, i y i i y i 7 NATURALEZA DE LAS POSIBLES RAÍCES Pr determir l turlez de ls posiles ríces de poliomios se s e el álisis de los sigos que prece e los coeficietes del poliomio, l cul se le llm Regl de los sigos de Descrtes Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

25 7 REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES L Regl de los Sigos de Descrtes, es muy importte e lo referete l estudio sore l turlez de ls ríces de culquier poliomio de orde, por medio de est regl es posile determir su úmero máimo de posiles ríces positivs y egtivs de coeficietes reles El cul dee de estr ordedo e potecis decrecietes de l vrile Se dice que eiste u cmio de sigo cudo dos térmios sucesivos difiere e el sigo de sus coeficietes Es por ello que: El úmero de ríces reles positivs de P es igul l úmero de cmios de sigos e P o meor e u úmero pr El úmero de ríces reles egtivs de P es igul l úmero de cmios de sigo e P o meor e úmero pr Pr poder compreder est regl cosiderr el siguiete poliomio: P L oteció de ls posiles ríces reles positivs es de l siguiete mer: Sí: Dode est iguldd l ser sustituid e P result que P P, por lo que el poliomio se represet como: P Que l efectur l poteci de cd vrile el poliomio qued igul l origil, por lo que: P Oservádose que eiste dos vricioes de sigo: P Esto idic que P tiee o ríces reles positivs, cosecueci de que eiste dos cmios de sigo Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

26 Co respecto ls posiles ríces egtivs del poliomio, se sigue el mismo procedimieto pr ls ríces positivs, sólo que l vrile dee ser egtiv, por lo que: Esto implic que: P Que l efectur ls opercioes de ls diferetes potecis, result lo siguiete: P Viedo que eiste cmios de sigo, lo cul idic que tiee o ríces egtivs, el poliomio e estudio Puesto que el poliomio es de grdo, este dee teer ríces y ddo que o tiee ríces uls, ls úics posiiliddes so ls que se preset e l siguiete tl Pr ello huo l ecesidd de relizr comicioes etre cd u de ls ríces positivs co respecto cd u de ls ríces egtivs: RAÍCES PROPUESTA REALES POSITIVAS REALES NEGATIVAS COMPLEJAS TOTAL Est tl se llm Tl de l Nturlez de ls Ríces Es ecesrio hcer l clrció de que l oteerse ríces pres siempre es ecesrio restrls de dos e dos, hst llegr l cero Cudo ls ríces se impres es ecesrio tmié restr de dos e dos hst llegr l uidd EJEMPLOS Oteer l turlez del siguiete poliomio: P Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

27 Solució: Es u poliomio de grdo, por lo tto v teer cutro ríces Si:, etoces el poliomio P, result P, que es el mismo poliomio origil Dode sólo eiste u sólo cmio de sigo, lo cul sigific que eiste u sol ríz positiv Si:, etoces el poliomio P, es P E dode tmié sólo hy u cmio de sigo; esto idic que sólo eiste u ríz egtiv Co lo iformció oteid, se puede relizr l Tl de l Nturlez de ls Ríces, como se idic cotiució: RAICES PROPUESTA REALES POSITIVAS REALES NEGATIVAS COMPLEJAS TOTAL Por lo que demás de u ríz rel positiv, y u ríz rel egtiv, tiee dos ríces complejs ls cules so ecesris pr justr el totl de ls cutro ríces del poliomio Oteer l turlez de ls ríces del siguiete poliomio: Solució: Si:, etoces P P, por lo que: P P es el mismo poliomio propuesto, dode se oserv que sólo eiste tres o u ríz Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

28 P Sí, etoces P P Oservádose que o hy vrició de sigos, por lo que el poliomio o tiee ríces egtivs L Tl de l Nturlez de ls Ríces, qued de l siguiete mer RAÍCES PROPUESTA REALES POSITIVAS REALES NEGATIVAS COMPLEJAS TOTAL De quí se tiee que el poliomio puede teer tres ríces positivs o u ríz positiv y dos ríces complejs Estlecer l Tl de l Nturlez de ls Ríces del siguiete poliomio: P Solució: Este es u poliomio de grdo 7, por lo que tiee siete ríces, si emrgo como o preset el térmio idepediete, de est form o se puede oteer l turlez de ls ríces del poliomio Pero si se utiliz como fctor comú de dicho poliomio, result lo siguiete: P 6 dode: P 6 Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

29 Por lo que el poliomio de grdo siete, es relmete de grdo cico, lo cul idic que v teer cico ríces Al plicr el teorem pr oteer l turlez de ls ríces del poliomio meciodo, result lo siguiete: Sí:, etoces P P 6 El poliomio qued igul co respecto l vrició del sigo, por lo que sigue presetdo sus cutro vricioes de sigo origiles: P 6 Esto idic que eistirá, o ríces positivs Ahor ie, sí:, etoces: P 6 dode sólo eiste u cmio de sigo, lo que implic que solmete tedrá u ríz egtiv Su Tl de l Nturlez de ls Ríces, qued de l siguiete form: RAÍCES PROPUESTA REALES POSITIVAS REALES NEGATIVAS COMPLEJAS TOTAL Est tl idic que eiste tres posiles solucioes, de ls cules u v ser l verdder L primer posiilidd será de ríces reles positivs, l segud posiilidd de dos ríces reles positivs y dos ríces complejs o e el mejor de los csos cutro ríces complejs Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

30 6 7 RAÍCES RACIONALES Pr determir ls ríces de culquier poliomio de grdo etero positivo, co coeficietes que perteece l cojuto de los úmeros rciol, es ecesrio utilizr el siguiete teorem: Se: P u poliomio e co coeficietes eteros, dode, y Si u úmero rciol es ríz de P c y es su míim epresió, etoces c es u fctor de y d es u fctor de d Siedo c y d úmeros primos reltivos Ejemplo: Ddo el siguiete poliomio, oteer sus ríces rcioles 7 P 6 Solució: Como se oserv e el poliomio sus coeficietes so úmeros rcioles, pero por lo geerl los coeficietes siempre dee ser úmeros eteros Pr ello es ecesrio multiplicr tod l epresió por el esclr seis 6, co lo cul se otiee l siguiete epresió: 7 P 6 resultdo lo siguiete: 6 P 7 que tiee ls misms ríces que P origil, y cuyos coeficietes so úmeros eteros Pr P se tiee que: cuyos fctores so c y, y cuyos fctores so q y Por lo que e se l teorem del residuo, si P tiee ríces rcioles tto positivs como egtivs, ésts deerá ser ls siguietes: P c d ±, ±, ±, ± los cules se cooce como posiles ríces rcioles de Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

31 7 Empledo l divisió sitétic y co se l teorem del residuo, se puede determir cuáles de ls posiles ríces lo so efectivmete Por lo que o es ríz de P Tmié o es ríz de P Pero, es l primer ríz de P y el poliomio puede fctorizrse de l siguiete mer: P 8 6 Como 8 6 es u poliomio de segudo grdo sus ríces puede oteerse directmete de l siguiete epresió: ± c, dode, 8 y c 6, que l ser sustituidos dichos vlores result lo siguiete:, 8± 8 6 8± Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

32 8 Siedo l segud ríz co el vlor de y l tercer de Co lo que se puede epresr como: 8 6 Dode l descomposició de P e fctores lieles es: P cuys ríces so ls siguietes: ; ; y, 8 EJERCICIOS Ddos los siguietes poliomios, ecotrr los coeficietes que compñ l vrile idepediete P Solució: Es u poliomio de grdo, el cul v teer 6 coeficietes, y que: Si, etoces los coeficietes so 6 A cotiució se estlece cules so los coeficietes que compñ l poliomio e cuestió ; ; ; ; ; y, Siedo que es el térmio idepediete del poliomio 8 6 Q 6 Solució: El poliomio o está e orde decreciete, por lo tto hy que orderlo desde l poteci myor de l vrile idepediete que tiee como vlor 8, hst el vlor de Por lo que el poliomio qued ordedo de l siguiete form 8 6 Q 6 queddo los 9 coeficietes de l siguiete mer: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

33 , siedo este coeficiete el térmio idepediete del poliomio c R Solució: Como se oserv es u poliomio de grdo 8, por lo que v eistir 9 coeficietes, por lo que: ; ; ; ; ; ; ; y, Oservádose que los coeficietes ; ; ; y, o tiee vlor Además de que o hy térmio idepediete Por lo que este poliomio o es de grdo 8, y que dee de eistir el térmio idepediete Pero, si de l vrile idepediete co poteci meor que es se utiliz como fctor comú múltiplo del poliomio origil, result lo siguiete: R Que l despejr, result que: R y que Por lo que de u poliomio de grdo 8 si térmio idepediete, result ser poliomio de grdo co térmio idepediete, y cuyos coeficietes so los siguietes: ; ; : ; y Ddos los siguietes poliomio y, sumrlos Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

34 Solució: Si P y Q, etoces Q P R, que l sustituir los vlores drá lo siguiete: R Relizr Q P R, si 8 P y Q Solució: Q P R 8 8 Cosiderr los siguietes poliomios: P y Q ; efectur el producto Q P Solució: Si Q P R l sustituir los vlores result lo siguiete: R 6 Ddos los siguietes poliomios: P y Q Efectur Q P e idicr si es u divisió ect o o Solució: Q P R Por lo que est divisió ordiri es NO EXACTA 6 Si P y Q Efectur su divisió ordiri Solució: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

35 P Si R por lo que est divisió ordiri ES Q EXACTA, por o eistir el residuo 7 Si P, plicr el teorem del residuo pr hllr P Solució: E se l teorem del residuo P d como resultdo su residuo P Siedo su residuo Ahor ie, si se divide etre el poliomio result lo siguiete: P R Q siedo su residuo igul, 8 Pror que es u fctor de P Solució: Como P, por el teorem del fctor, es u fctor de P Otro método de solució es el de dividir P etre y pror que el residuo es, dode el cociete de l divisió serí otro fctor de P, por lo que: P R Q Cuyo residuo es igul 9 Empler l divisió sitétic pr hllr el cociete y el residuo, si el primer poliomio se divide etre el segudo ; Solució: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

36 Esto idic que: 7 6 dode el cociete tiee como resultdo: 6 y como residuo: 7 6 7; Solució: y que: 6 7 es igul : dode es el cociete, y 6 es el residuo c 7 ; Solució: Por lo que: es cero cuyo cociete es y su residuo Alizr el úmero posile de solucioes reles positivs, egtivs y complejs de l ecució P, dode: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

37 P 7 6 Solució: Aplicdo l regl de los sigos de Descrtes, pr: P Dode sólo eiste tres cmios de sigo Por lo que l ctidd de ríces reles positivs será tres o u Ahor ie, si, P E dode sólo eiste dos cmios de sigo, esto idic que l ctidd de ríces reles egtivs será dos o cero L siguiete tl resume ls diverss posiiliddes que puede ocurrir como solucioes del poliomio: P 7 6 NÚMERO DE RAÍCES PROPUESTA REALES POSITIVAS REALES NEGATIVAS COMPLEJAS TOTAL DE RAÍCES Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

38 Ivestigr el posile úmero y l turlez de ls ríces del siguiete poliomio P 7 Solució: Si, etoces P 7 dode sólo eiste u cmio, por lo que l ctidd de ríces positivs será de uo Ahor ie, si, etoces: P 7 E este cso se preset dos cmios de sigo, por lo que l ctidd de ríces egtivs será de dos o cero L siguiete tl resume ls diverss posiiliddes que puede ocurrir como solucioes del poliomio: P 7 NÚMERO DE RAÍCES PROPUESTA REALES POSITIVAS REALES NEGATIVAS COMPLEJAS TOTAL DE RAÍCES Idicr l ctidd de diverss posiiliddes de ríces tto positivs, egtivs y complejs, que puede teer el siguiete poliomio 7 Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

39 Solució: Si, etoces e poliomio qued igul P 7 Eistiedo dos cmios de sigo, y por lo tto l ctidd de ríces positivs puede ser de dos o cero Si, etoces: P 7 cuy ctidd de vricioes es de tres, lo que idic que puede eistir tres o u ríz egtiv Queddo de l siguiete mer l tl de l turlez de ls ríces NÚMERO DE RAÍCES PROPUESTA REALES POSITVAS REALES NEGATIVAS COMPLEJAS TOTAL DE RAÍCES Ecotrr ls ríces que coform l siguiete poliomio: Solució: Utilizdo l regl de los sigos de Descrtes Si, etoces: P sólo eiste u cmio de sigo, por lo que sólo hrá u ríz positiv Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

40 6 Si, etoces: P Idic que eiste tres cmios de sigo, por lo que sólo puede eistir tres o u ríz egtiv Y l tl de l turlez de ls ríces qued de l siguiete mer PROPUESTA NÚMERO DE RAÍCES REALES POSITIVAS REALES NEGATIVAS COMPLEJAS TOTALES Aplicdo el Teorem que dice lo siguiete: Se u poliomio P, dode,,,,, c perteece los úmeros eteros Si es u ríz rciol de dicho d poliomio; demás de que c y d so úmeros primos reltivos, etoces c divide y d divide Por lo que: y ; c, y d c Siedo ± d sitétic se otiee c y ± d posiles ríces reles, que por divisió Pr oteer l primer ríz rel positiv, se estlece que, dode l divisió sitétic qued de l siguiete mer: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

41 De quí se oserv que o es u divisió ect, por eistir el residuo Sí, l divisió sitétic result de l mer siguiete: Esto idic que es l primer ríz rel positiv, porque o eiste residuo diferete de cero, por lo que:, es u poliomio de grdo tres Cotiudo co l oteció de ls siguietes ríces, se procede l oteció de ls ríces reles egtivs, dode Que l plicrlo l poliomio de grdo tres e divisió sitétic result lo siguiete: Lo cul idic que, es otr ríz, pero rel egtiv, y que: es u poliomio de grdo dos Este último poliomio que es de grdo dos, se puede resolver plicdo l fórmul:, ± c Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

42 8 Co l cul se puede oteer ls dos últims ríces uscds Recorddo que proviee de c Dode: ;, y c, so sustituidos e dich fórmul ± ± ±, ± Por lo que: y Pero, recorddo que o eiste e el cojuto de los úmeros reles l siguiete epresió, ests o so ls dos últims ríces del poliomio uscds Por lo que es ecesrio relizr l siguiete operció si: i y i etoces: i y i Siedo ests dos epresioes, ls dos últims ríces que so del tipo complejs Por lo que: l primer ríz rel positiv es, l segud ríz rel egtiv es ; y c l tercer y curt ríz so complejs i y i Que si se oserv l tl de l turlez de ls ríces, l primer propuest es l verdder Resolver el siguiete poliomio: P 6 8 Solució: Aplicdo l regl de los sigos de Descrtes, dode: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

43 9 : P 6 8 Por eistir tres cmios de sigo, esto idic que puede ser tres o u ríz rel positiv Sí, etoces result lo siguiete: P 6 8 Lo cul idic que sólo eiste u sol vrició, y por lo tto eistirá u ríz rel egtiv L tl de l turlez de ls ríces es l siguiete: PROPUESTA RAÍCES REALES POSITIVAS REALES NEGATIVAS COMPLEJAS TOTAL Aplicdo el teorem que idic como oteer ls posiles ríces rcioles del poliomio, cosiderdo y, result lo siguiete: Sí 8 y, etoces c 8,,, y, d úmeros primos reltivos c 8 De dode: ± 8 d c ± d c ± d c ± so ls posiles ríces del poliomio d Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

44 A cotiució se reliz l divisió sitétic pr oteer ls ríces de este poliomio Pr ello se estlece que Por lo que es l primer ríz rel positiv del poliomio origil, cuyo resultdo es el de: el cul se v volver dividir por medio de l divisió sitétic, cosiderdo que hor v vler ; es decir que:, etoces result lo siguiete: Oservádose que es l segud ríz rel del poliomio pero egtiv, cuyo cociete result el siguiete poliomio de orde :, que utilizdo l fórmul geerl pr resolverlo result lo siguiete: ± ± 6 6 ±, Esto idic que: ; y, so ls dos últims ríces del poliomio del tipo reles positivs Sí: ; ; ;, y, etoces tres ríces so reles positivs y l otr es u ríz rel egtiv, co lo cul l primer propuest de l tl de l turlez de ls ríces se cumple Ahor ie, si ést ríces:,,, y ; se igul cero:,,, y ; y se efectú se producto e form cojut: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

45 se oserv: 6 8 P Se ls siguietes ríces de úmeros reles: ; ; ; ; y, Ecotrr el poliomio correspodiete Solució: Como so cico ríces reles dos positivs y tres egtivs el poliomio v ser de grdo cico, co seis coeficietes reles Pr l oteció de dicho poliomio hy que igulrlos cero y posteriormete efectur sus productos pr cd uo de los moomios: Ls cules se igulrá cero Seguidmete efectur el producto de moomio por moomio, como se idic cotiució Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

46 Por lo que el poliomio es Grficr el poliomio del ejercicio terior e el itervlo compredido [, ] Solució: 7 Sí: y P 9 8 ; y,, etoces y P 9 8 y P 9 8 y P 9 8 y P 9 8 y P y P 9 8 y P Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

47 y P 9 8 y P Que e form tulr qued de l siguiete mer: y P COORDENADAS, y , - -, -, -,, 8,, -6,, 6 Y e form gráfic su represetció es l siguiete: y P Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

48 Dode se puede oservr que los vlores de: ; ; ; ; y, so ls iterseccioes e el eje de ls sciss cudo y 7 Al lzr u cohete de juguete directo hci rri u velocidd iicil de 8 pies por segudo, l ltur h, e pies, l que se ecuetr después de t segudos, está epresd por l fució poliomil P t 6t 8t dode h es el vlor Pt Clculr l ltur del cohete después de los: segudos segudos; y c 79 segudos Solució: Pr clculr l ltur los segudos, se sustituye t por y se simplific P t 6 8 Esto sigific que los segudos, el cohete está e tierr esperdo ser lzdo Pr clculr l ltur los segudos, se sustituye t por el vlor de y se simplific P 6 8 Lo que idic que los segudos, el cohete se ecuetr pies de ltur c Y, pr clculr l ltur los 79 segudos, se sustituye t por los 79 segudos y se simplific P Que sigific, que los 79 segudos el cohete está cyedo y está t sólo 6 pies del suelo Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

49 9 BIBLIOGRAFÍA Aputes de SECCIÓN DE MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM, 976 Gustfso, R Dvid Álger Itermedi Iterciol Thomso Editores, SA de CV 997 Swokoski, Erl W Álger y trigoometrí co geometrí lític Iterciol Thomso Editores, SA de CV 998 Lehm, Chrles H Álger Limus Norieg Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre Escuel Púlic Experimetl Descocetrd Nº Dr. Crlos Ju Rodríguez Mtemátic º Año Ciclo Básico de Secudri Teorí Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros rcioles Los úmeros rcioles so quellos que puede ser expresdos

Más detalles

Potencias y radicales

Potencias y radicales Potecis y rdicles Ojetivos E est quice prederás : Clculr y operr co potecis de epoete etero. Recoocer ls prtes de u rdicl y su sigificdo. Oteer rdicles equivletes uo ddo. Epresr u rdicl como poteci de

Más detalles

TEMA 2 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

TEMA 2 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS TEMA ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.. ECUACIONES DE PRIMER GRADO... Método geerl de resolució de ecucioes EJEMPLO: Resolver 4 5 6 (+7) =

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5. Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..

Más detalles

Ejemplo: 5. Cambio de base: Ejemplo: No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo.

Ejemplo: 5. Cambio de base: Ejemplo: No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo. III. LOGARITMACION A) Defiició d e l og ri to : Se deoi logrito de u úero l expoete l que h que elevr u úero, lldo se, pr oteer u úero ddo. Siólicete: log x x 0 De l defiició de logrito podeos deducir:

Más detalles

Matemáticas 1 EJERCICIOS RESUELTOS:

Matemáticas 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Series umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics Clculr l

Más detalles

DEFINICIONES BÁSICAS, EXPONENTES Y RADICALES

DEFINICIONES BÁSICAS, EXPONENTES Y RADICALES . TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN A prtir de los coociietos de ritétic, se desrrollrá u leguje edite síolos térios, pr elorr u serie de técics de cálculo; el leguje ls técics, costitue u r iportte de l teátic,

Más detalles

Definición: Llamamos función exponencial a una función que se expresa de la forma: x. ( x)

Definición: Llamamos función exponencial a una función que se expresa de la forma: x. ( x) FUNCIÓN EXPONENCIAL Defiició: Llmmos fució epoecil u fució que se epres de l form: f = = co > 0 ( ), dode f ( ) : R R > 0 Ates de trbjr específicmete, co ls fucioes epoeciles, recordemos lguos coceptos

Más detalles

Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} TEMA Prelimires: Números y cojutos P- Números eteros: Se deomi úmeros turles (tmbié llmdos eteros positivos) los úmeros que os sirve pr cotr objetos:,,,4,5,... El cojuto de los úmeros turles se desig por

Más detalles

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias.

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias. Cpítulo Series Numérics y Series de Potecis.. Itroducció. E este cpítulo le dremos setido l cocepto de sum ifiit de úmeros ó serie uméric, es decir, diremos que sigific sumr u ifiidd de úmeros... 4 El

Más detalles

1.3.6 Fracciones y porcentaje

1.3.6 Fracciones y porcentaje Ejemplo : Se hor u situció e l que ecesitmos clculr l frcció de otr frcció. Por ejemplo de. Pr u mejor iterpretció de l regl terior, recurrimos l represetció gráfic. Represetemos l frcció de Es decir:

Más detalles

AXIOMAS DE NUMEROS REALES TEORIA DE EXPONENTES ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES EXPONENCIALES

AXIOMAS DE NUMEROS REALES TEORIA DE EXPONENTES ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES EXPONENCIALES AXIOMAS DE NUMEROS REALES TEORIA DE EXPONENTES ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES EXPONENCIALES. AXIOMA DE LOS NÚMEROS REALES El sistem de los úmeros reles es u cojuto o vcío deotdo por R co dos opercioes

Más detalles

LOS NÚMEROS REALES. n, se llaman números irracionales. Una diferencia entre los

LOS NÚMEROS REALES. n, se llaman números irracionales. Una diferencia entre los LOS NÚMEROS REALES Los úmeros,, so usdos pr cotr Normlmete se los cooce como el cojuto de los úmeros turles, dicho cojuto se lo deot ormlmete co l letr N, sí N {,,K } Si se sum dos úmeros turles el resultdo

Más detalles

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA MATERIAL CON FINES DIDÁCTICOS UNEFA NÚCLEO TÁCHIRA PRODUCTOS NOTABLES.

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA MATERIAL CON FINES DIDÁCTICOS UNEFA NÚCLEO TÁCHIRA PRODUCTOS NOTABLES. PRODUCTOS NOTABLES. Productos Notbles: So poliomios que se obtiee de l multiplicció etre dos o más poliomios que posee crcterístics especiles o expresioes prticulres, cumple cierts regls fijs; es decir,

Más detalles

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN. Recordemos en primer lugar algunas definiciones y propiedades de la potenciación y de la radicación de números reales:

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN. Recordemos en primer lugar algunas definiciones y propiedades de la potenciación y de la radicación de números reales: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN Recordemos e primer lugr lgus defiicioes y propieddes de l potecició y de l rdicció de úmeros reles: PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Poteci de expoete cero : 0 = por defiició,

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.4. APLICACIONES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.4. APLICACIONES TEM. VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... Cálculo del rgo de u mtri.... Cálculo de l ivers de u mtri.... Resolució de ecucioes mtriciles.... Discusió resolució de sistems

Más detalles

LÍMITES DE SUCESIONES. EL NÚMERO e

LÍMITES DE SUCESIONES. EL NÚMERO e www.mtesxrod.et José A. Jiméez Nieto LÍMITES DE SUCESIONES. EL NÚMERO e. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN... Aproximció l cocepto de límite. Vmos cercros l cocepto de límite hlldo lguos térmios de distits sucesioes

Más detalles

Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos

Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos CIICp VLORES Y VECTORES PROPIOS Los vlores y vectores propios se cooce tmié como eigevlores y eigevectores. Estos vlores y vectores propios se utiliz geerlmete e sistems lieles de ecucioes homogéeos que

Más detalles

Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1

Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1 Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto. TEMA SUCESIONES. CONCEPTO DE SUCESIÓN DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Se llm sucesió u cojuto de úmeros ddos ordedmete de modo que se pued umerr: primero, segudo, tercero,...

Más detalles

Algunas funciones elementales

Algunas funciones elementales Apédice B Algus fucioes eleetles B Fució poteci -ési U fució poteci -ési es u fució de l for f ( ) dode l se es u vrile y el epoete u úero turl Es l for ás secill de ls fucioes polióics f ( ) Ls fucioes

Más detalles

Matemáticas B 4º E.S.O. Tema 1 Los números Reales 1 3º ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS. Simplificar la fracción, si es posible N = 50

Matemáticas B 4º E.S.O. Tema 1 Los números Reales 1 3º ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS. Simplificar la fracción, si es posible N = 50 Mtemátics B º E.S.O. Tem 1 Los úmeros Reles 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.0 INTRODUCCIÓN º 1.0.1 ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS º RACIONALES(Q)???????? NO RACIONALES NATURALES(N) 0 ; ; ; 81...

Más detalles

Sucesiones de funciones

Sucesiones de funciones Tem 7 Sucesioes de fucioes Defiició 7. Se A IR y F A, IR el cojuto de ls fucioes de A e IR. Llmremos sucesió de fucioes de A culquier plicció de IN F A, IR, y l deotremos por f } = ó f } =. 7. Covergeci

Más detalles

En este capítulo expondremos brevemente (a modo de repaso) conceptos básicos sobre los sistemas de numeración.

En este capítulo expondremos brevemente (a modo de repaso) conceptos básicos sobre los sistemas de numeración. Arquitectur del Computdor ots de Teórico SISTEMAS DE UMERACIÓ. Itroducció E este cpítulo expodremos brevemete ( modo de repso) coceptos básicos sobre los sistems de umerció. o por secillo el tem dej de

Más detalles

POTENCIAS.- a determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces.

POTENCIAS.- a determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces. POTENCIAS.- determi l oteci de se y exoete, sigific ue hemos de multilicr or si mismo veces. Defiició: L otció Bse Exoet El exoete,, idic ls veces ue se reite l se e el roducto de ést or si mism. L se,,

Más detalles

Progresiones aritméticas y geométricas

Progresiones aritméticas y geométricas Progresioes ritmétics y geométrics Progresioes ritmétics y geométrics. Esquem de l uidd PROGRESIONES Progresioes Aritmétics Progresioes Geométrics Iterés compuesto Sum de térmios Sum de térmios Producto

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

C0MPLEJO EDUCATIVO Dr. OSCAR ABDALA ÁREA DE MATEMÁTICA. CONTENIDOS DE REVISIÓN PARA 3º AÑO Prof. Patricia Cardona

C0MPLEJO EDUCATIVO Dr. OSCAR ABDALA ÁREA DE MATEMÁTICA. CONTENIDOS DE REVISIÓN PARA 3º AÑO Prof. Patricia Cardona C0MPLEJO EDUCATIVO Dr. OSCAR ABDALA ÁREA DE MATEMÁTICA CONTENIDOS DE REVISIÓN PARA 3º AÑO Prof. Ptrici Crdo COMPLEJO EDUCATIVO Dr. OSCAR ABDALA CONTENIDOS DE REVISIÓN CONJUTOS NUMÉRICOS Nturles: N = 1

Más detalles

Tema 7: Series Funcionales

Tema 7: Series Funcionales I.T.Telecomuiccioes Curso 99/ Tem 7: Series Fucioles Al estudir el teorem de Tylor se oservó l posiilidd de epresr u fució f ifiitmete derivle como u sum ifiit de fucioes moomiles, lgo sí como u poliomio

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTES DE ECUCINES INEES Ecucioes lieles. Se llm ecució liel co icógits tod ecució que pued escriirse de l form: dode so vriles y... so úmeros reles siedo i el coeficiete de l vrile i y el térmio idepediete

Más detalles

Matemáticas Aplicadas a la Ciencias Sociales II SISTEMAS DE ECUACIONES. , a toda ecuación que pueda escribirse de la forma: ...

Matemáticas Aplicadas a la Ciencias Sociales II SISTEMAS DE ECUACIONES. , a toda ecuación que pueda escribirse de la forma: ... Mtemátics Aplicds l Ciecis Sociles II SISTEMAS DE ECUACIONES Ecució liel Se llm ecució liel co icógits,,,,,, tod ecució que pued escriirse de l form: + + + + = dode,,,,, so úmeros reles El cojuto de úmeros

Más detalles

MATEMÁTICA. 2.- La simplificación de: 3.- Al Simplificar: Se obtiene: A) B) C) D) E) β αβ. 5.- Simplificar. A) 1 B) a -30 C) a 30 D) a E) 3 a

MATEMÁTICA. 2.- La simplificación de: 3.- Al Simplificar: Se obtiene: A) B) C) D) E) β αβ. 5.- Simplificar. A) 1 B) a -30 C) a 30 D) a E) 3 a TEM POTENCICIÓN Y RDICCIÓN I.- Potecició: Es l operció que cosiste e repetir u úmero llmdo se tts veces como idic otro úmero llmdo epoete, l resultdo de est operció se le llm poteci..- L simplificció de:

Más detalles

CAPÍTULO 2: POTENCIAS Y RAÍCES 1. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. PROPIEDADES

CAPÍTULO 2: POTENCIAS Y RAÍCES 1. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. PROPIEDADES CAPÍTULO : POTENCIAS Y RAÍCES. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. PROPIEDADES.. Potecis de epoete turl. Recuerd que: Ddo, u úmero culquier, y, u úmero turl, l poteci es el producto del úmero por sí mismo veces

Más detalles

Potencias y Radicales

Potencias y Radicales Potecis y Rdicles Potecis de expoete turl ( Se R~{ 0 } N Defiimos...... 8, ( ) ( )( )( )( )( ) Propieddes: ) m + m ) m m ( ) ) ) () ) m m Por coveio: ) 0 Potecis de expoete egtivo Se R~0 N. Defiimos 8

Más detalles

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Resolver la ecuación de segundo grado aplicando propiedades de la

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Resolver la ecuación de segundo grado aplicando propiedades de la ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ojetivos: Defiir ecució de segudo grdo. Resolver l ecució de segudo grdo plicdo propieddes de l iguldd. Resolver l ecució de segudo grdo plicdo fctorizcioes. Resolver l ecució

Más detalles

CURSO DE INGRESO 2010 CUADERNILLO DE MATEMÁTICAS

CURSO DE INGRESO 2010 CUADERNILLO DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO FACULTAD DE AGRONOMIA Y AGROINDUSTRIAS CURSO DE INGRESO 00 CUADERNILLO DE MATEMÁTICAS Autor: Dr. Lucreci L. Chillou Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics

Más detalles

Estructuras Discretas. Unidad 3 Teoría de números

Estructuras Discretas. Unidad 3 Teoría de números Estructurs Discrets Uidd 3 Teorí de úmeros Coteido. Divisiilidd, Números rimos Teorem fudmetl de l ritmétic. 2. Algoritmo de l divisió Máximo comú divisor y míimo comú múltilo, Algoritmo de Euclides. 3.

Más detalles

Ecuaciones de recurrencia

Ecuaciones de recurrencia Ecucioes de recurreci Itroducció Comecemos co u ejemplo: Sucesió de Fibocci: ( ) = (,,,3,5,8,3,... ) Cd térmio, prtir del tercero, se obtiee sumdo los dos teriores, o se: 3 = + ( ) U expresió de este tipo,

Más detalles

TEMA 1. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES

TEMA 1. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES Uidd. Fucioes. Defiició y Líites TEMA. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES. Fucioes reles de vrible rel. Doiio de u fució.. Doiios de ls fucioes ás hbitules. Coposició de fucioes. Propieddes. Fució

Más detalles

FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x)

FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x) FÓRMULA DE TAYLOR. Itroducció Los poliomios igur etre ls ucioes más secills que se estudi e Aálisis. So decuds pr trjr e cálculos uméricos por que sus vlores se puede oteer eectudo u úmero iito de multipliccioes

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesioes umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Sucesioes

Más detalles

UNIDAD 1 NÚMEROS REALES. es el sucesor de n. 4) Todo número natural tiene antecesor excepto el 1:, donde n 1

UNIDAD 1 NÚMEROS REALES. es el sucesor de n. 4) Todo número natural tiene antecesor excepto el 1:, donde n 1 Uiversidd Nciol de Slt Fcultd de Igeierí Aputes de Curso Me prepro pr estudir Igeierí UNIDAD 1 NÚMEROS REALES CONJUNTOS NUMÉRICOS El cojuto de los Núeros Nturles ( N ) Los úeros que se eple pr cotr 1,2,3,4,...

Más detalles

EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS:

EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS: Mtemátic II do Mgisterio IFD Celoes XPRSIÓN DCIMAL D LOS NÚMROS RACIONALS ABSOLUTOS: Vmos clsificr los úmeros rcioles solutos e dos cojutos disjutos D y D P ( D D φ ). P D Q D P Se / el represette cóico

Más detalles

FASE COGNITIVA. LOS NUMEROS REALES Los números reales se conforman por los decimales finitos, decimales infinitos periódicos e infinitos no periódicos

FASE COGNITIVA. LOS NUMEROS REALES Los números reales se conforman por los decimales finitos, decimales infinitos periódicos e infinitos no periódicos Vlorr l iportci de coocer el siste de los úeros reles eplicr ls crcterístics de ls diferetes clses de úeros reles 1. Pr qué sirve los úeros reles? Qué clse de úeros reles cooces? Cuáles so ls crcterístics

Más detalles

RADICALES. 1.2.1 Teorema fundamental de la radicación. 1.2.3 Reducción de radicales a índice común. 1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario

RADICALES. 1.2.1 Teorema fundamental de la radicación. 1.2.3 Reducción de radicales a índice común. 1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario RDICLES. Rdiles. Trsformioes de rdiles.. Teorem fudmetl de l rdiió.. Simplifiió de rdiles.. Reduió de rdiles ídie omú.. Poteiió de epoete friorio. Operioes o rdiles.. Produto de rdiles.... Etrió de ftores

Más detalles

Tema 2. Operaciones con Números Reales

Tema 2. Operaciones con Números Reales Te. Opercioes co úeros reles Te. Opercioes co Núeros Reles. Opercioes co frccioes.. Itroducció.. Su y difereci.. Producto y divisió.. Opercioes cobids. Potecis.. Expoete turl.. Expoete etero (egtivo).

Más detalles

1. Discutir según los valores del parámetro k el sistema

1. Discutir según los valores del parámetro k el sistema . Discutir segú los vlores del práetro el siste C Si, el (º de icógits) S. C. D. Teiedo e cut lo terior se discute el tipo de solució del siste pr los vlores del práetro que ulr el deterite de l tri de

Más detalles

Si quieres que algo se haga, encárgaselo a una persona ocupada Proverbio chino

Si quieres que algo se haga, encárgaselo a una persona ocupada Proverbio chino i quieres que lgo se hg, ecárgselo u perso ocupd Proverbio chio hht ttpp: ://ppeer rssoo..wddoooo..eess/ /ti iimoomt tee Noviembre 006 PROGREIONE DEFINICIÓN DE UCEIÓN NUMÉRICA U sucesió uméric es u cojuto

Más detalles

La integral. 1.5 Definición de la integral. Sumas de Riemann Aproximación del área de una región

La integral. 1.5 Definición de la integral. Sumas de Riemann Aproximación del área de una región APÍTULO L itegrl.5 efiició de l itegrl. Sums de Riem.5. Aproimció del áre de u regió E est secció precismos lgus ides epuests previmete, co respecto l problem de ecotrr el áre de l regió bjo l gráfic de

Más detalles

UNIVERSIDAD AMERICANA. Curso BAN-03: Matemática I ( Jueves- Noche ) Prof. Edwin Gerardo Acuña Acuña PRÁCTICA DE FACTORIZACIÓN

UNIVERSIDAD AMERICANA. Curso BAN-03: Matemática I ( Jueves- Noche ) Prof. Edwin Gerardo Acuña Acuña PRÁCTICA DE FACTORIZACIÓN UNIVERSIDAD AMERICANA Escuel de Mteátic, I C-12. Curso BAN-03: Mteátic I ( Jueves- Noche ) Prof. Edwi Gerrdo Acuñ Acuñ PRÁCTICA DE FACTORIZACIÓN L fctorizció es epresr e for teátic u polioio o úero coo

Más detalles

Anillos de Newton Fundamento

Anillos de Newton Fundamento Aillos de Newto Fudmeto Los illos de Newto so producidos por itererecis cudo dos hces de luz, procedetes de l mism uete, recorre cmios ópticos dieretes. Eiste distitos modos de logrr este eómeo, el que

Más detalles

UNIDAD 3. LA INTEGRAL DEFINIDA

UNIDAD 3. LA INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD. LA INTEGRAL DEFINIDA Propósitos: Itroducir el cocepto de itegrl defiid como u fució-áre pr costruir su sigificdo. Relcior los coceptos de derivd e itegrl e l formulció del teorem Fudmetl del Cálculo.

Más detalles

EXPONENTES Y RADICALES

EXPONENTES Y RADICALES EXPONENTES Y RADICALES L potecició o otció epoecil es u otció pr revir u ultiplicció: Notció: L, pr u etero positivo 0. veces Se lee coo elevdo l o ás revido: l. es lld l se el epoete o poteci e idic el

Más detalles

CAPÍTULO 3 Función Exponencial y Función Logarítmica. Por su uso e importancia, es necesario revisar las propiedades de las potencias, que se resumen

CAPÍTULO 3 Función Exponencial y Función Logarítmica. Por su uso e importancia, es necesario revisar las propiedades de las potencias, que se resumen CAPÍTULO 3 Fució Epoecil Fució Logrític 3.1) Repso de propieddes de ls potecis Por su uso e iportci, es ecesrio revisr ls propieddes de ls potecis, que se resue cotiució. ( ) 1 1 0 3.) Fució Epoecil Defiició

Más detalles

Ejercicios: 1. Coloca donde corresponda los siguientes números: N Z Q FRACCIONARIOS I

Ejercicios: 1. Coloca donde corresponda los siguientes números: N Z Q FRACCIONARIOS I TEMA : LOS NÚMEROS REALES LOS NÚMEROS REALES. CLASIFICACIÓN. Detro del cojuto de los úeros reles distiguios: NATURALES. Se desig co l letr N y so los úeros si deciles y positivos 0,,,,. ENTEROS. Se desig

Más detalles

3 Potencias y raíces de números

3 Potencias y raíces de números Potecis y ríces de úeros reles. Potecis de expoete turl. Defiició. El producto tiee sus siete fctores igules. Este producto se puede idicr de for brevid coo. se ll poteci, y l fctor, bse. El úero de veces

Más detalles

( ) ( ) 10. 18 = y el número 12 también es múltiplo del 3 ya que. 6 = y el número 8 también es múltiplo del 2 ya que. 3.

( ) ( ) 10. 18 = y el número 12 también es múltiplo del 3 ya que. 6 = y el número 8 también es múltiplo del 2 ya que. 3. Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios EL CAMPO DE LOS NÚMEOS EALES UNIDAD III III. NÚMEOS NATUALES Los úmeros turles so quellos que

Más detalles

TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES

TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1. Números rcioles. Los úmeros reles. 1.1.1. Sucesivs mlicioes el cmo umérico. LOS NÚMEROS NATURALES. N= {1,2,,4,...} LOS NÚMEROS ENTEROS. Z ={...,-4,-,-2,-1,0,1,2,,4,...} LOS

Más detalles

Las reglas de divisibilidad Por: Enrique Díaz González

Las reglas de divisibilidad Por: Enrique Díaz González Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Ls regls de divisibilidd Por: Erique Díz Gozález Itroducció Desde l escuel elemetl los estudites se les eseñ cudo u etero es divisible, por ejemplo,

Más detalles

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági de 9 Álger pr igeieros de l Uiversidd Alfoso X -trices y sistems de ecucioes lieles Opercioes co mtrices: A= m m B= m p p q q pq Sum: - s mtrices sumr tiee que teer

Más detalles

Enteros (Z) Son todos los números que puede expresarse como el cociente de dos nº enteros, siendo el denominador distinto de cero

Enteros (Z) Son todos los números que puede expresarse como el cociente de dos nº enteros, siendo el denominador distinto de cero www.clseslcrt.co Clsificció de Núeros Reles Te.- Núeros Reles Reles R Rcioles Q Irrcioles Ι Eteros Z Nturles N Negtivos Deciles Exctos Frcciorios Deciles Periódicos Puros Deciles Periódicos Mixtos Rcioles

Más detalles

La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática.

La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios Uidd Nº 3: CEROS de POLINOMIOS Poliomio: defiició. Iguldd de poliomios. Fució poliómics. Ceros o ríces de poliomio. Ríces de u poliomio de er.

Más detalles

TEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES:

TEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES: TEM: MTRICES Y DETERMINNTES: MTRICES: U triz de diesió, es u tbl ford por fils y colus. j i siedo ij,.,,., ) ( Por ejeplo: Se ll Mtriz Fil l que tiee u sol fil, ejeplo: Se ll Mtriz Colu l que tiee u sol

Más detalles

CURSO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO: DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL A LA APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES

CURSO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO: DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL A LA APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES CURSO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO: DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL A LA APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES ISBN: 978-84-69-79-6 Pedro J. López Cello Idice geerl Itroducció. Fucioes reles de vrile rel. Fucioes

Más detalles

Matemática 1 Capítulo 4

Matemática 1 Capítulo 4 Mtemátic Cpítulo 4 Comitori Ejemplo Cuáts comids diferetes que coste de u plto pricipl y u eid puede hcerse prtir del siguiete meú? Etrds Sop Esld Pltos priciples Pst Miles de pollo Filete de pescdo Beids

Más detalles

LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES

LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES LOGARITMO º AÑO DEF. Y PROPIEDADES E l epresió c, puede clculrse u de ests tres ctiddes si se cooce dos de ells resultdo de este odo, tres opercioes diferetes: º Poteci º Rdicció º Logrito c pr clculr,

Más detalles

INTEGRACION NUMERICA Método se Simpson

INTEGRACION NUMERICA Método se Simpson cerque@gmil.com Ojetivos: Geerles Específicos Oservcioes Prelimires Clculo de Áres El método de Simpso Desrrollo del modelo de Simpso Ejemplos Progrm e diferetes legujes L jerrquí de clses INTEGRACION

Más detalles

REALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES

REALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES Uidd. Fucioes. Defiició y Líites TEMA. FUNCIONES REALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES. Fucioes reles de vrile rel. Doiio de u fució.. Doiios de ls fucioes ás hitules. Coposició de fucioes. Propieddes. Fució

Más detalles

Tema 1. Números Reales. Intervalos y Radicales

Tema 1. Números Reales. Intervalos y Radicales Tem. Números Reles. Itervlos y Rdicles. El cojuto de úmeros reles.... Cojutos de l rect rel. Itervlos y etoros..... Opercioes co cojutos, uió e itersecció..... Notció cietífic.... Potecis y Rdicles...

Más detalles

ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS HOMOGENEAS

ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS HOMOGENEAS ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS HOMOGENEAS Métodos Numéricos /Aálisis Numérico/ Cálculo Numérico Objetivo: Resolució de sistems de ecucioes lieles homogées por métodos proimdos. SISTEMAS DE ECUACIONES

Más detalles

COMBINATORIA. Las variaciones ordinarias se representan por el símbolo Vm,n o por V

COMBINATORIA. Las variaciones ordinarias se representan por el símbolo Vm,n o por V COMBINATORIA Por Aálisis Cobitorio o Cobitori, se etiede quell prte del álgebr que se ocup del estudio y propieddes de los grupos que puede forrse co eleetos ddos, distiguiédose etre sí: por el úero de

Más detalles

Liceo Marta Donoso Espejo Raíces para Terceros

Liceo Marta Donoso Espejo Raíces para Terceros . Ríces cudrds y cúics Liceo Mrt Dooso Espejo Ríces pr Terceros Coeceos el estudio de ls ríces hciédoos l siguiete pregut: Si el áre de u cudrdo es 64 c 2, cuál es l edid de su ldo? Pr respoder esto deeos

Más detalles

TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL

TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL Te Álgebr Liel Mteátics TEMA. ÁLGEBRA LINEAL - VECTORES DE R Defiició R {(,,..., )/,,..., R } (-tupls de os reles ordeds) Defiios e este cojuto opercioes: Su () Pr culesquier eleetos, (,,..., ), (y,y,...,y

Más detalles

El conjunto de los Números Reales

El conjunto de los Números Reales El cojuto de los Números Reles Al cojuto de los úmeros reles se lleg por sucesivs mplicioes del cmpo umérico prtir de los úmeros turles. E cd u de ls mplicioes se vz y se logr mejorr respecto de l terior.

Más detalles

Recuerda: a 0 = 1 1 m = 1 ( 1) m = 1 m par ( 1) n = 1 n impar 0 n = 0

Recuerda: a 0 = 1 1 m = 1 ( 1) m = 1 m par ( 1) n = 1 n impar 0 n = 0 CAPÍTULO : POTENCIAS Y RAÍCES: º de ESO. OPERACIONES CON POTENCIAS Recuerd que l poteci de se u úero turl epoete turl es u producto de fctores igules l se: =... fctores... > 0) El fctor que se repite es

Más detalles

PLANIFICACIÓN DE LAS CLASES

PLANIFICACIÓN DE LAS CLASES PLANIFICACIÓN DE LAS CLASES Sem N 0 Clse N 0 Tem N 0: Notció Mtemátic Coteido Geerl: el fcilitdor dee relizr u descripció de los símolos mtemáticos más coocidos y su otció Operció Notció Se lee Perteeci

Más detalles

Unidad 7: Sucesiones. Solución a los ejercicios

Unidad 7: Sucesiones. Solución a los ejercicios Mtemátics º Uidd 7: Sucesioes Uidd 7: Sucesioes. Solució los ejercicios Ejercicio Ecuetr el térmio geerl de ls siguietes sucesioes: ),,,,,... 5 6 7 b ) 0,, 8,5,, 5... b 5 6 c ) 0,,,,,,... 5 6 7 c Ejercicio

Más detalles

Potencias, Raíces y logaritmos

Potencias, Raíces y logaritmos Potecis, Ríces y logritmos El ivetor del jedrez, le preseto su ovedos creció l rey de Dirhm, e l idi, este quedo t fscido por el juego que le ofreció culquier cos que el deser como recompes. Ate este

Más detalles

EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE. Alberto E. J. Manacorda*

EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE. Alberto E. J. Manacorda* EL TEOREA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE Alerto E. J. cord* *Igeiero Geogrfo Profesor Titulr de Alisis temtico II Fcultd de Ciecis Ecoomics Estdistic Uiversidd Nciol de Rosrio 5.- Aliccioes

Más detalles

Guía Práctica N 12 RAÍCES FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Guía Práctica N 12 RAÍCES FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA Fuete: PreUiversitrio Pedro de Vldivi Guí Práctic N RAÍCES FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA DEFINICIÓN : Si es u etero pr positivo es u rel o egtivo, etoces es el úico rel, o egtivo, tl que = = =, 0 DEFINICIÓN :

Más detalles

1. Aplicar la definición para hallar, sin calculadora, el valor de las siguientes potencias:

1. Aplicar la definición para hallar, sin calculadora, el valor de las siguientes potencias: EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO FICHA : Potecis de expoete IN RECORDAR:... Defiició de poteci ( veces). Aplicr l defiició pr hllr, si clculdor, el vlor de ls siguietes potecis: ) b) ( ) c) d) ( ) e) f) (

Más detalles

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO 4/2 LIC: JESÚS REYES HEROLES

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO 4/2 LIC: JESÚS REYES HEROLES SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO 4/ LIC: JESÚS REYES HEROLES GUÍA PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS IV: FUNCIONES

Más detalles

16/11/2015. Tema 1: Números reales REALES. Racionales (Q) Irracionales (I) Naturales (N) REALES (I) (Q) (Z) (N)

16/11/2015. Tema 1: Números reales REALES. Racionales (Q) Irracionales (I) Naturales (N) REALES (I) (Q) (Z) (N) rrcioles () //0 Te : úeros reles úeros reles (rcioles e irrcioles) Aproxició de úeros reles L rect rel Vlor soluto tervlo y seirrects Potecis de expoete etero otció cietífic dicles Potecis de expoete frcciorio

Más detalles

A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INTEGRABLE. PRIMERAS PROPIEDADES.

A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INTEGRABLE. PRIMERAS PROPIEDADES. CAPÍTULO X. INTEGRACIÓN DEFINIDA SECCIONES A. Defiició de fució itegrble. Primers propieddes. B. Teorems fudmetles del cálculo itegrl. C. Ejercicios propuestos. A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INTEGRABLE. PRIMERAS

Más detalles

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS PROGRESIONES 3º ESO PÁGINA EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS UN POCO DE HISTORIA: UN NIÑO LLAMADO GAUSS Hce poco más de dos siglos, u mestro lemá que querí pz y trquilidd e

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable: integral definida

Cálculo integral de funciones de una variable: integral definida Cálculo itegrl de fucioes de u vrible: itegrl defiid BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhbreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimeez@ull.es) M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles SERIE RESUELVE El liro Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles I pr. er curso de Bchillerto, es u or colectiv coceid, diseñd y cred e el Deprtmeto de Edicioes Eductivs de

Más detalles

el blog de mate de aida CSII: derivadas

el blog de mate de aida CSII: derivadas el blo de mte de id CSII: derivds Pá. TASAS E VARIACIÓN L siuiete tbl orece el úmero de cimietos e cd mes lo lro de u ño e u determid poblció: Meses 7 8 Ncimietos 7 8 8 8 7 Pr sber, por ejemplo, cómo vrido

Más detalles

Unidad-4: Radicales (*)

Unidad-4: Radicales (*) Uiversidd de Coepió Fultd de Cieis Veteriri Nivelió de Competeis e Mtemáti (0 Uidd-: Rdiles (* Rdil. Es u epresió de l form: que represet l ríz eésim priipl de. El etero positivo es el ídie u orde del

Más detalles

2. Principio de Conteo

2. Principio de Conteo 2. Pricipio de Coteo Prtició de u Cojuto Defiició Ddo u cojuto A, diremos que los sucojutos de A, A 1,A 2,...,A, costituye u prtició del mismo si se cumple ls siguietes codicioes: 1. A ; i 1,2,3,..., i

Más detalles

La Integral Definida

La Integral Definida Cpítulo 5 L Itegrl Defiid 5.. Prtició U cojuto fiito de putos P = {x, x, x,, x } es u prtició de [, b] si, y solmete si, = x x x x = b. 5.. Sum Superior y Sum Iferior Se y = f(x), u fució cotiu e [, b].

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

Tema 1 Los números reales Matemáticas CCSS1 1º Bachillerato 1

Tema 1 Los números reales Matemáticas CCSS1 1º Bachillerato 1 Tem 1 Los úmeros reles Mtemátics CCSS1 1º Bchillerto 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros rcioles: Se crcteriz porque puede expresrse: E form de frcció,

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas Números turles. Sistem de umerció deciml Como y sbes, el sistem de umerció deciml utiliz diez cifrs o dígitos distitos:,,,, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Además, es u sistem posiciol porque cd cifr o dígito tiee

Más detalles

Unidad 4. Función Exponencial

Unidad 4. Función Exponencial Fució Epoecil Uidd Cocepto Al bombrder u átomo de urio co eutroes, su úcleo se divide e dos úcleos más livios, liberdo eergí y eutroes. Bjo cierts codicioes, es decir, si eiste u ms crític de urio, se

Más detalles

FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO GUIA DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DOCENTE: IDALY MONTOYA A.

FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO GUIA DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DOCENTE: IDALY MONTOYA A. . POTENCIACIÓN FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS Llos poteci de u úero reltivo, l producto de torlo coo fctor tts veces coo se quier. Si es u úero reltivo culquier es u úero turl, tedreos l otció,

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

TRABAJO PRÁCTICO TEMA: SUCESIONES Y SERIES

TRABAJO PRÁCTICO TEMA: SUCESIONES Y SERIES TRABAJO PRÁCTICO TEMA: SUCESIONES Y SERIES SUCESIÓN NUMÉRICA: es u fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros turles (o u subcojuto de él) y l imge está icluid e el cojuto de los Reles ( ) SUCESIÓN ARITMÉTICA:

Más detalles

S U C E S I O N E S N U M É R I C A S

S U C E S I O N E S N U M É R I C A S S U C E S I O N E S N U M É R I C A S. S U C E S I O N E S D E N Ú M E R O S R E A L E S Se llm sucesió u cojuto de úmeros ddos ordedmete de modo que se pued umerr: primero, segudo, tercero,... Los elemetos

Más detalles

Para la operación con potencias se deben seguir ciertas leyes, entre las más importantes destacan:

Para la operación con potencias se deben seguir ciertas leyes, entre las más importantes destacan: ..- EXPONENTES Y RADICALES ) EXPONENTES U epoete es u vlor ídice que me idic el úmero de veces que se v multiplicr otro vlor coocido como se. El epoete se coloc rri l derech del vlor se. Por ejemplo: X

Más detalles