para todo a, Ejemplo No. 57 Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: d. x Solución: 4 x x c. x 4
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- Martín Velázquez Quiroga
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1 UNIDAD : ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes. Las incógnitas se representan por letras constituen los valores que se pretenden hallar. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; luego una ecuación es una igualdad condicional en la que solo ciertos valores de las variables la hacen ciert Se llama solución o raíz de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfag Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, el cual es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Ejemplo No. 5 Ecuación Solución Conjunto solución, Cuando dos o más ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, se dice que son ecuaciones equivalentes. Por lo general las ecuaciones se resuelven iniciando con la ecuación dada produciendo una serie de ecuaciones equivalentes más simples. Para resolver ecuaciones se aplican las siguientes propiedades: Propiedad aditiva de la igualdad Si a b, entonces a c b c para todo a, b, c R Propiedad multiplicativa de la igualdad Si a b, entonces a c bc para todo a, b, c R. ECUACIÓNES LINEALES Una ecuación lineal o de primer grado es una igualdad entre dos epresiones algebraicas involucrando una o más variables elevadas a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas restas de una variable a la primera potenci Una ecuación lineal tiene la forma: a b c, con a 0 Ejemplo No. 57 Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: b. b 5 b 0 d. c. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 5
2 b. b 5 b 0 b b 0 5 5b 5 b b c d. Actividad No.. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: m m e. n n b. m m f. z z c. 7 d. 5 g.. Resuelva cada uno de los siguientes problemas: Un padre tiene 5 años su hijo 5. Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces maor que la edad del hijo? b. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 5. Cuál es el número? c. La base de un rectángulo es el doble que su altur Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 0 cm? d. En una reunión ha el doble número de mujeres que de hombres el triple número de niños que de hombres mujeres juntos. Cuántos hombres, mujeres niños ha si la reunión la componen 9 personas? e. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por da 55. Cuál es el número? f. Qué número se debe restar de p para obtener 5? g. Tres números impares consecutivos suman 8. Cuáles son los números? h. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 0. Cuáles son los números? i. Un padre tiene 0 años más que su hijo. Dentro de años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. Cuántos años tiene cada uno actualmente? W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 55
3 j. La edad de María es el triple de la de Ester ecede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman años. Hallar la edad de cada un k. Se compran 5 lápices, cuadernos gomas de borrar se cancela por ello $ 900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 0 cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. Cuánto cuesta cada material? l. El numerador de una fracción ecede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma, la fracción queda equivalente a. Hallar la fracción.. ECUACIÓNES CUADRÁTICAS Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado, es una ecuación de la forma: a b c 0, con a, b, c R a 0 Dependiendo del valor de las constantes b c, las ecuaciones cuadráticas se clasifican en: Ecuaciones incompletas Son aquellas en las cuales b 0 o c 0 a a a 0 b 0 c 0 Ejemplo Ecuaciones completas Son aquellas en las cuales b 0 c 0 a b c Solucionar una ecuación cuadrática consiste en encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad... Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas En la solución de una ecuación cuadrática incompleta se distinguen tres casos: Caso : Ecuación de la forma a 0 Para este caso la única solución es 0 con multiplicidad algebraica (repetida dos veces) Caso : Ecuación de la forma a b 0 Para este caso se factoriza la epresión a b De lo anterior se conclue que las soluciones son 0 Caso : Ecuación de la forma a c 0 obteniéndose de esta manera a b 0 b a Para este caso tenemos que las soluciones son c a W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 5
4 Ejemplo No. 58 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: 0 c. 0 b. 0 d. 0 0 b. 0.. Solución de ecuaciones cuadráticas completas Para resolver una ecuación cuadrática completa de la forma a b c 0, se utilizan cuatro métodos citados a continuación:. Solución por factorización.. Solución completando cuadrado.. Solución por fórmula general.. Solución gráfic... Solución por factorización Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma a b c 0, se factoriza (si es posible) la epresión a b c Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización: 8 0 b o 0 Si 0 c. 0 d. 0 Ejemplo No. 59 i 0 0 o 0 o W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 57
5 b Solución completando cuadrado Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma a b c 0, se completa cuadrado con la epresión a b c Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completando cuadrado: 0 b Ejemplo No b o Solución por fórmula general Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma a b c 0, se aplica la siguiente fórmula general: o b b ac a W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 58
6 Ejemplo No. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general: 5 0 b Para este caso tenemos que a, b c 5, por lo tanto: b. Para este caso tenemos que a, b 8 c 8, por lo tanto: Solución gráfica Gráficamente, la solución de una ecuación cuadrática representa los cortes, si los ha, de la parábola con el eje Ejemplo No. Ecuación 0 Ecuación 0 Ecuación 8 0 Parábola Parábola Parábola 8 Soluciones (cortes) 0 Soluciones (cortes) Soluciones (cortes) W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 59
7 Actividad No. 5. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas: 5 0 c. 0 b. 0 d. 0. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando factorización: c b d Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completando cuadrado: 0 0 c. 0 b. 0 d Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando formula general: 0 c. 0 b. d ECUACIONES QUE SE PUEDEN REDUCIR A ECUACIONES CUADRÁTICAS Eisten dos tipos de ecuaciones que aparentemente, no son ecuaciones cuadráticas. Dichas ecuaciones son las ecuaciones con radicales las ecuaciones bicuadráticas... Ecuaciones con radicales Una ecuación con radical es aquella ecuación que tiene una variable en un radicando. Ejemplo No. Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales: 5 b o 0 8 o b. 8 0 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 0
8 .. Ecuaciones bicuadráticas Una ecuación bicuadrática es una ecuación de la forma a b c 0. Para solucionar una ecuación bicuadrática, se convierte dicha ecuación en una ecuación cuadrática (de segundo grado). Para tal efecto se hacen las siguientes sustituciones: u u Las cuales al ser reemplazadas en la ecuación original se obtiene: au bu c 0 Como al resolver la ecuación cuadrática anterior se obtienen dos valores para u, luego al hacer obtendrán dos nuevos valores. Ejemplo No. Resuelva las siguientes ecuaciones bicuadráticas: 5 0 b Al realizar la sustitución u u, nos queda que: u 5u 0 u u 0 u 0 o u 0 u o u Para u tenemos que Para u tenemos que b. Al realizar la sustitución 0u 8 0 u u, nos queda que: u u 0u 8 0 u 0u 0 0 u 0u u 8u o 0 o u, se W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página
9 Actividad No.. Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales: c. 5 9 b. 5 0 d Resuelva las siguientes ecuaciones bicuadráticas: u 8 0 o u 0 u 9 o u u 8 u 0 u 8u 0 Para u 9 tenemos que 9 9 Para u tenemos que 0 c. 9 0 b. 0 d Resuelva cada uno de los siguientes problemas: Dos números reales se diferencian en unidades. Si la suma de sus cuadrados es 9, halle los números. b. Claudia Marcela es años maor que Paola Andre Si dentro de años el producto de sus edades es 5, determine las edades actuales. c. Ricardo tiene años más que Diego el cuadrado de la edad de Ricardo disminuido en el cuadrado de la edad de Diego es equivalente a 9 años. Halle la edad de ambos. d. Halle las dimensiones del triángulo de la figura, si se sabe que su área es de 50 m. e. Si se restan cm al lado de un cuadrado, el área del cuadrado resultante es igual a 5 cm Cuánto mide el lado del cuadrado restante? f. Andrea compró cierto número de libros $ Si hubiera comprado libros menos por el mismo dinero, cada libro le habría costado $ 000 más Cuántos libros compró cuánto le costó cada uno? g. Cierto número de dulces costaron $ 00. Si cada dulce costara $ 0 menos, habría comprado dulces más. Halle la ecuación que corresponde al problema resuélval. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones lineales: 5 7 c. 5 5 b. 5 5 d. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página
10 5. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas: 5 80 c. 9 b. d.. INECUACIONES.. Desigualdad 8 Una desigualdad es una epresión que indica que una cantidad es maor (maor o igual) o menor (menor o igual) que otr Los signos de desigualdad son: Signo Significado Menor. Menor o igual. Maor. Maor o igual. Se llama primer miembro de una desigualdad a la epresión que está a la izquierda segundo miembro a la que está a la derecha del signo de desigualdad.... Propiedades de las desigualdades Propiedad. Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no cambi. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no cambi Si a b, entonces: a c b c a c b c Si a b, entonces: a c b c a c b c Si a b c 0 entonces: ac bc a b c c Si a b c 0 entonces: ac bc a b c c W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página
11 . Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad cambi. Si se invierten los dos miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad cambi 5. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambi. Si los dos miembros de una desigualdad o uno de ellos es negativo se elevan a una misma potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambi 7. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambi 8. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos se les etrae una misma raíz, el signo de la desigualdad no cambi Si a b c 0 entonces: ac bc a b c c Si a b c 0 entonces: ac bc a b c c Si a b entonces a b Si a b entonces a b Sea a 0, b 0 n 0 n n Si a b entonces a b n n Si a b entonces a b Sea a 0 o b 0 n 0 impar. n n Si a b entonces a b n n Si a b entonces a b Sea a 0, b 0 n 0 par. n n Si a b entonces a b n n Si a b entonces a b Sea a 0 b 0 Si a b entonces Si a b entonces n n a a n n b b.. Intervalos Un intervalo abierto a, b es el conjunto de todos los números reales maores que a menores que b. Es decir: a, b R : a b a b Un intervalo cerrado a, b es el conjunto de todos los números reales maores o iguales que a menores o iguales que b. Es decir: a, b R : a b a b Un intervalo cerrado-abierto a, b es el conjunto de todos los números reales maores o iguales que a menores que b. Es decir: W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página
12 a, b R : a b Un intervalo abierto-cerrado a, b es el conjunto de todos los números reales maores que a menores o iguales que b. Es decir: a, b R : a b a b Un intervalo a, es el conjunto de todos los números reales maores que a. Es decir: a, R : a a Un intervalo a, es el conjunto de todos los números reales maores o iguales que a. Es decir: a, R : a a Un intervalo, b es el conjunto de todos los números reales menores que b. Es decir:, b R : b b Un intervalo, b es el conjunto de todos los números reales menores o iguales que b. Es decir:, b R : b.. Inecuación Una inecuación es una desigualdad en la que ha una o más cantidades desconocidas (incógnitas) que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la inecuación. En una inecuación con una incógnita, cualquier número real que esté contenido en el dominio de las incógnitas, que al sustituirse por la incógnita en la inecuación hace que la desigualdad correspondiente se cumpla, es una solución de la inecuación. Ejemplo No. 5 En a inecuación, si se reemplaza por 5, la desigualdad se cumple. Es decir, se tiene que 5, por lo que 5 es una solución de la inecuación Dada una inecuación de una incógnita, el subconjunto S del dominio de la incógnita, cuos elementos son las soluciones de la inecuación dada, recibe el nombre de conjunto solución. Ejemplo No. a En la inecuación, el dominio de la incógnita es el conjunto de los números reales R se puede demostrar que esta desigualdad se cumple únicamente para los valores de maores que, por lo que su conjunto solución es: b b W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 5
13 S, Intervalo solución. S R : Conjunto solución. La gráfica del intervalo solución es:... Inecuaciones lineales con una incógnita Sean a, b c constantes reales con a a 0. Se llama inecuación lineal o inecuación de primer grado con una incógnita a toda inecuación que se pueda llevar a alguna de las siguientes formas: a b c a b c a b c a b c Ejemplo No. 7 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: 7 b Por lo tanto: Intervalo solución: S,5 Conjunto solución: S R : 5 La gráfica del intervalo solución es: b. 9 Por lo tanto: Intervalo solución: S, Conjunto solución: S R : 9 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página
14 La gráfica del intervalo solución es: Actividad No. 7 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones lineales: 5 e. 7 b. f. 5 8 c. g. d. 5 8 h. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 7... Inecuaciones en las que un miembro es un producto el otro miembro es cero Las inecuaciones de este tipo se resuelven aplicando la le de signos de la multiplicación definida en el conjunto de los números reales, de acuerdo con las siguientes propiedades: Sean a R b R, entonces: Si b 0 a a 0 b 0 a 0 b 0 a a 0 b 0 a 0 b 0 Si b 0 Ejemplo No. 8 Resuelva la siguiente inecuación 0 Tenemos que: Pero:,,,,, Por lo tanto:,,
15 De esta manera: Intervalo solución: S, Conjunto solución: S R : La gráfica del intervalo solución es: Actividad No. 8 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: 0 c. 5 0 b. 0 d. 0.. Inecuaciones cuadráticas Sean a, b c constantes reales tales que a 0. Sea una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la que uno de sus miembros se puede llevar a una epresión de la forma a b c el otro miembro es cero. Consideremos el caso en el cual la epresión a b c es factorizable. Para resolver estas inecuaciones se debe factorizar la epresión a b c, para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las inecuaciones en el ejemplo anterior. Actividad No. 9 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: 5 0 f. 0 b. 0 g. 8 0 c. 0 h. 7 0 d. 9 0 i. 0 e. 0 j. 0.5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Toda igualdad de la forma a b c donde a, b R es una ecuación lineal con dos incógnitas. Cada pareja ordenada de números reales, que satisface dicha ecuación es una solución. De esta manera, dando valores a, se pueden obtener infinitos valores para. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 8
16 Un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales o sistema de ecuaciones simultáneas..5. Sistema de ecuaciones lineales de Un sistema de ecuaciones lineales de es un sistema formado por dos ecuaciones con dos incógnitas cada un Un sistema de puede tener una solución, infinitas soluciones o ninguna solución. Para determinar la solución o soluciones de un sistema de se emplean métodos tales como:. Método de sustitución.. Método de igualación.. Método de reducción.. Método gráfico..5.. Método de sustitución Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de por el método de sustitución, se despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones dadas. Luego se reemplaza dicho valor en la otra ecuación se despeja nuevamente la otra variable. Este valor se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones para hallar la variable inicial. Ejemplo No. 9 Resuelva por el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones: 8 Despejemos en la ecuación : Ahora se reemplaza en la ecuación se halla el valor de : se halla el valor de : Por último el valor de encontrado se reemplaza en la ecuación 9 De esta manera la solución del sistema es la pareja ordenada, W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 9
17 .5.. Método de igualación Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de por el método de igualación, se despeja la misma variable en las dos ecuaciones dadas. Luego se igualan las epresiones obtenidas se despeja la otra variable. Este valor se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema para encontrar el valor faltante. Ejemplo No. 70 Resuelva por el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones: 5 0 Despejemos la variable en las dos ecuaciones e igualemos las epresiones obtenidas: De la ecuación De la ecuación.5.. Método de reducción se tiene que Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de por el método de reducción, se reducen las dos ecuaciones del sistema a una sola ecuación sumándolas. Para tal efecto, es necesario amplificar convenientemente una de las dos, de modo que los coeficientes en una de las variables sean opuestos. Al sumar las ecuaciones transformadas, la variable se elimina es posible despejar la otr Luego se procede como en los métodos anteriores. Resuelva por el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones: 5 0 se tiene que 5 0 se despeja la variable : A continuación se igualan las ecuaciones Por último el valor de encontrado se reemplaza en la ecuación se halla el valor de : De esta manera la solución del sistema es la pareja ordenada 0, Ejemplo No. 7 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 70
18 Al multiplicar por la ecuación () multiplicar por.5.. Método Gráfico Este método consiste en graficar las rectas que corresponden a las ecuaciones que conforman el sistema, para determinar las coordenadas del punto, en el que se cortan dichas rectas. Cuando se utiliza el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales de se presentan tres casos. Caso : Las rectas se cortan en un solo punto,. Esto significa que el sistema tiene una única solución, dada por los valores los cuales son las coordenadas del punto de corte. Caso : Las rectas son paralelas. Luego no tienen puntos en común. Es decir, el sistema no tiene solución. Caso : Las rectas coinciden en todos sus puntos. Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Es decir, es indeterminado. Resuelva por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones: b. c. 9 8 Al despejar de las ecuaciones se tienen las rectas: la ecuación (), se puede cancelar la variable : cuas gráficas se muestran en la figur Se observa que tienen un solo punto de corte en,. Por lo tanto, la única solución del sistema es, W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 7 Por último, el valor de encontrado se reemplaza en la ecuación se halla el valor de : De esta manera la solución del sistema es la pareja ordenada, Ejemplo No. 7
19 b. Al despejar de las ecuaciones se tienen las rectas: cuas gráficas se muestran en la figur Se observa que no tienen punto de corte. Es decir, son dos rectas paralelas. Por lo que el sistema no tiene solución. las cuales representan la misma línea rect Esto significa que dichas rectas coinciden en todos sus puntos. Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Es decir, es indeterminado c. Al despejar de las ecuaciones se tienen las rectas: W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 7
20 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 7. Resuelva por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones: 0 5 d. 8 b. 9 e. c.. Resuelva por el método de igualación los siguientes sistemas de ecuaciones: 0 d. 5 5 b. 5 e c.. Resuelva por el método de reducción los siguientes sistemas de ecuaciones: 9 d. 5 b. e. 0 c. 7. Resuelva por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones: 5 d. 8 b. 7 5 e. c. 9 Actividad No. 0
21 .5. Sistema de ecuaciones lineales de Un sistema de ecuaciones lineales de es un sistema formado por tres ecuaciones con tres incógnitas cada un Tal sistema en caso de tener solución es una terna ordenada de la forma,, z. Para determinar la solución o soluciones de un sistema de se emplean algunos métodos a eplicados anteriormente para sistemas de. Resuelva por el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones: z z z 7 Despejemos z en la ecuación : z 7 z 7 Ahora se reemplaza z en las ecuaciones : Según se tiene que 7 8 Según se tiene que 7 Ahora se debe resolver el siguiente sistema de : Despejemos en la ecuación : 8 8 Ahora se reemplaza en la ecuación se halla el valor de : A continuación el valor de encontrado se reemplaza en la ecuación 7 se halla el valor de : 8 Ejemplo No. 7 Por último el valor de de se reemplazan en la ecuación para hallar z : z 7 z 7 z De esta manera la solución del sistema es la terna ordenada,, 7 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 7
22 . Resuelva por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones: b. Actividad No. z z 7 5z z z z 7 5 c. d. z z z z z z. SISTEMA CONFORMADO POR UNA ECUACIÓN LINEAL Y UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Para resolver un sistema de ecuaciones en las cuales una ecuación es lineal la otra es de segundo grado siga el siguiente procedimiento:. Resuelva la ecuación lineal para una de las incógnitas en términos de la otr. Sustitua tal incógnita en la ecuación de segundo grado resuelva la ecuación obtenida en términos de la segunda incógnit. Sustitua en la ecuación lineal los valores encontrados en el paso para encontrar los valores correspondientes de la primera incógnit Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: Ejemplo No Despejemos de la ecuación : Ahora se reemplaza en la ecuación se halla el valor de : Si, entonces según se tiene que 0 0 o 0 o W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 75
23 0 7 0 Si, entonces según se tiene que De esta manera la solución del sistema son los puntos,, Geométricamente la solución del sistema son los puntos de intersección de la recta parábola 9, tal como se muestra en la figura: 7 5 con la Actividad No.. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: b. 50 c d W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 7
24 .7 SISTEMA CONFORMADO POR DOS ECUACIONES DE LA FORMA a b c Para resolver un sistema conformado por dos ecuaciones de la forma a b c se realiza la siguiente sustitución; u v obteniéndose de esta manera un sistema de ecuaciones lineales de el cual puede ser resuelto empleando algunos de los métodos eplicados anteriormente. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 5 7 Al realizar el siguiente cambio de variables lineales de : u v u v 5 7 Despejemos v en la ecuación u : u v 5 v 5 u Ahora se reemplaza v en la ecuación se halla el valor de u : v queda el siguiente sistema de ecuaciones u 5 u 7 u 5 u 7 u 7 5 u u u se halla el valor de v : Ahora el valor de u encontrado se reemplaza en la ecuación v 5 v 9 Como u, entonces Como v, entonces 9 9 De esta manera la solución del sistema son los puntos:,,,,,, Geométricamente la solución del sistema anterior se considera como los puntos de intersección de la circunferencia: 5 Con la hipérbola: Ejemplo No Tal como se muestra en la siguiente figura: W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 77
25 . Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: b. Actividad No Autoevaluación No c. d. 5 5 Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado de cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correct. La solución de la ecuación lineal es: A. C. B. D.. La solución de la ecuación lineal a b a es: A. a C. a b a a b W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página
26 B. D. b b. La solución de la ecuación es: A. C B. 0 D.. La solución de la ecuación es: A. C. B. D. 5. La solución de la ecuación 5 es: A. 5 C. B. D.. La solución de la ecuación es: A. 5 C. B. 0 D. 7. La suma de un número con su recíproco es 5. Los números son: A. B. C. 5 D La ecuación cuadrática que tiene por soluciones A. 7 0 C. 7 0 B D La solución de la ecuación cuadrática 5 0 es: A. 5 C. 5 B. 5 D La solución de la ecuación cuadrática m m 0 es: A. m m C. m m B. m m D. m m. La solución de la ecuación 5 0 A. C. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 79 es: es:
27 B. D.. La solución de la ecuación p p 0 0 es: A. B. 5 p p C. 5 5 p p D. 5 5 p p 5 p p 5. La solución de la ecuación logarítmica Log A. C. B. D.. La solución de la ecuación logarítmica Log Log9 Log 5 A. C. B. 0 D. 5. El valor de en la ecuación 5 0 es: A. Log C. Log0 B. D. Log0 Log5 Log 5. La solución de la ecuación 5 es: A. C. B. D. 7. La solución de la desigualdad es: A. C. B. D. 8. Un tai inicia un recorrido con un valor de $ 00 cobra $ 5 por cada 00 metros de recorrido. La cantidad de metros que se deben recorrer como máimo para que el costo de una carrera no supere $ 000 es: A. 0 C. 500 B. 000 D La solución de la desigualdad 0 es: A. o C. o B. D. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 80 es: es:
28 0. El siguiente sistema de ecuaciones: 8 8 A. Tiene eactamente una solución. C. Tiene infinitas soluciones. B. No tiene solución. D. Tiene dos soluciones.. La solución del siguiente sistema de ecuaciones es: A. 0,0 C., B., D. 5,. Según la grafica: La solución del siguiente sistema es: A.,, B., D., C. 5 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 8. Se desea crear un nuevo limpiador para el hogar con una concentración de 0 % de fosfato trisódico (TSP). Para obtener litros de dicho limpiador. Se requiere mezclar una solución con concentración de % de TSP con otra cua concentración es de 7 % de TSP Cuántos litros de cada una de estas soluciones se requiere mezclar?: A..5 litros.5 litros. C..0 litros.0 litros. B.. litros. litros. D. 0.5 litros.5 litros.. Cuatro personas van al circo. Por las entradas pagan $ El precio por adulto es $ 500 por niño $ 000. La distribución de personas era: A. niños adulto. C. niño adultos. B. niños adultos. D. adultos. 5. La solución del siguiente sistema de ecuaciones es: A.,, C.,, B.,, D.,, z z z 7 0
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