para todo a, Ejemplo No. 57 Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: d. x Solución: 4 x x c. x 4

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "para todo a, Ejemplo No. 57 Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: d. x Solución: 4 x x c. x 4"

Transcripción

1 UNIDAD : ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes. Las incógnitas se representan por letras constituen los valores que se pretenden hallar. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; luego una ecuación es una igualdad condicional en la que solo ciertos valores de las variables la hacen ciert Se llama solución o raíz de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfag Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, el cual es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Ejemplo No. 5 Ecuación Solución Conjunto solución, Cuando dos o más ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, se dice que son ecuaciones equivalentes. Por lo general las ecuaciones se resuelven iniciando con la ecuación dada produciendo una serie de ecuaciones equivalentes más simples. Para resolver ecuaciones se aplican las siguientes propiedades: Propiedad aditiva de la igualdad Si a b, entonces a c b c para todo a, b, c R Propiedad multiplicativa de la igualdad Si a b, entonces a c bc para todo a, b, c R. ECUACIÓNES LINEALES Una ecuación lineal o de primer grado es una igualdad entre dos epresiones algebraicas involucrando una o más variables elevadas a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas restas de una variable a la primera potenci Una ecuación lineal tiene la forma: a b c, con a 0 Ejemplo No. 57 Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: b. b 5 b 0 d. c. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 5

2 b. b 5 b 0 b b 0 5 5b 5 b b c d. Actividad No.. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: m m e. n n b. m m f. z z c. 7 d. 5 g.. Resuelva cada uno de los siguientes problemas: Un padre tiene 5 años su hijo 5. Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces maor que la edad del hijo? b. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 5. Cuál es el número? c. La base de un rectángulo es el doble que su altur Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 0 cm? d. En una reunión ha el doble número de mujeres que de hombres el triple número de niños que de hombres mujeres juntos. Cuántos hombres, mujeres niños ha si la reunión la componen 9 personas? e. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por da 55. Cuál es el número? f. Qué número se debe restar de p para obtener 5? g. Tres números impares consecutivos suman 8. Cuáles son los números? h. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 0. Cuáles son los números? i. Un padre tiene 0 años más que su hijo. Dentro de años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. Cuántos años tiene cada uno actualmente? W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 55

3 j. La edad de María es el triple de la de Ester ecede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman años. Hallar la edad de cada un k. Se compran 5 lápices, cuadernos gomas de borrar se cancela por ello $ 900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 0 cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. Cuánto cuesta cada material? l. El numerador de una fracción ecede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma, la fracción queda equivalente a. Hallar la fracción.. ECUACIÓNES CUADRÁTICAS Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado, es una ecuación de la forma: a b c 0, con a, b, c R a 0 Dependiendo del valor de las constantes b c, las ecuaciones cuadráticas se clasifican en: Ecuaciones incompletas Son aquellas en las cuales b 0 o c 0 a a a 0 b 0 c 0 Ejemplo Ecuaciones completas Son aquellas en las cuales b 0 c 0 a b c Solucionar una ecuación cuadrática consiste en encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad... Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas En la solución de una ecuación cuadrática incompleta se distinguen tres casos: Caso : Ecuación de la forma a 0 Para este caso la única solución es 0 con multiplicidad algebraica (repetida dos veces) Caso : Ecuación de la forma a b 0 Para este caso se factoriza la epresión a b De lo anterior se conclue que las soluciones son 0 Caso : Ecuación de la forma a c 0 obteniéndose de esta manera a b 0 b a Para este caso tenemos que las soluciones son c a W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 5

4 Ejemplo No. 58 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: 0 c. 0 b. 0 d. 0 0 b. 0.. Solución de ecuaciones cuadráticas completas Para resolver una ecuación cuadrática completa de la forma a b c 0, se utilizan cuatro métodos citados a continuación:. Solución por factorización.. Solución completando cuadrado.. Solución por fórmula general.. Solución gráfic... Solución por factorización Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma a b c 0, se factoriza (si es posible) la epresión a b c Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización: 8 0 b o 0 Si 0 c. 0 d. 0 Ejemplo No. 59 i 0 0 o 0 o W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 57

5 b Solución completando cuadrado Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma a b c 0, se completa cuadrado con la epresión a b c Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completando cuadrado: 0 b Ejemplo No b o Solución por fórmula general Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma a b c 0, se aplica la siguiente fórmula general: o b b ac a W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 58

6 Ejemplo No. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general: 5 0 b Para este caso tenemos que a, b c 5, por lo tanto: b. Para este caso tenemos que a, b 8 c 8, por lo tanto: Solución gráfica Gráficamente, la solución de una ecuación cuadrática representa los cortes, si los ha, de la parábola con el eje Ejemplo No. Ecuación 0 Ecuación 0 Ecuación 8 0 Parábola Parábola Parábola 8 Soluciones (cortes) 0 Soluciones (cortes) Soluciones (cortes) W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 59

7 Actividad No. 5. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas: 5 0 c. 0 b. 0 d. 0. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando factorización: c b d Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completando cuadrado: 0 0 c. 0 b. 0 d Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando formula general: 0 c. 0 b. d ECUACIONES QUE SE PUEDEN REDUCIR A ECUACIONES CUADRÁTICAS Eisten dos tipos de ecuaciones que aparentemente, no son ecuaciones cuadráticas. Dichas ecuaciones son las ecuaciones con radicales las ecuaciones bicuadráticas... Ecuaciones con radicales Una ecuación con radical es aquella ecuación que tiene una variable en un radicando. Ejemplo No. Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales: 5 b o 0 8 o b. 8 0 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 0

8 .. Ecuaciones bicuadráticas Una ecuación bicuadrática es una ecuación de la forma a b c 0. Para solucionar una ecuación bicuadrática, se convierte dicha ecuación en una ecuación cuadrática (de segundo grado). Para tal efecto se hacen las siguientes sustituciones: u u Las cuales al ser reemplazadas en la ecuación original se obtiene: au bu c 0 Como al resolver la ecuación cuadrática anterior se obtienen dos valores para u, luego al hacer obtendrán dos nuevos valores. Ejemplo No. Resuelva las siguientes ecuaciones bicuadráticas: 5 0 b Al realizar la sustitución u u, nos queda que: u 5u 0 u u 0 u 0 o u 0 u o u Para u tenemos que Para u tenemos que b. Al realizar la sustitución 0u 8 0 u u, nos queda que: u u 0u 8 0 u 0u 0 0 u 0u u 8u o 0 o u, se W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página

9 Actividad No.. Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales: c. 5 9 b. 5 0 d Resuelva las siguientes ecuaciones bicuadráticas: u 8 0 o u 0 u 9 o u u 8 u 0 u 8u 0 Para u 9 tenemos que 9 9 Para u tenemos que 0 c. 9 0 b. 0 d Resuelva cada uno de los siguientes problemas: Dos números reales se diferencian en unidades. Si la suma de sus cuadrados es 9, halle los números. b. Claudia Marcela es años maor que Paola Andre Si dentro de años el producto de sus edades es 5, determine las edades actuales. c. Ricardo tiene años más que Diego el cuadrado de la edad de Ricardo disminuido en el cuadrado de la edad de Diego es equivalente a 9 años. Halle la edad de ambos. d. Halle las dimensiones del triángulo de la figura, si se sabe que su área es de 50 m. e. Si se restan cm al lado de un cuadrado, el área del cuadrado resultante es igual a 5 cm Cuánto mide el lado del cuadrado restante? f. Andrea compró cierto número de libros $ Si hubiera comprado libros menos por el mismo dinero, cada libro le habría costado $ 000 más Cuántos libros compró cuánto le costó cada uno? g. Cierto número de dulces costaron $ 00. Si cada dulce costara $ 0 menos, habría comprado dulces más. Halle la ecuación que corresponde al problema resuélval. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones lineales: 5 7 c. 5 5 b. 5 5 d. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página

10 5. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas: 5 80 c. 9 b. d.. INECUACIONES.. Desigualdad 8 Una desigualdad es una epresión que indica que una cantidad es maor (maor o igual) o menor (menor o igual) que otr Los signos de desigualdad son: Signo Significado Menor. Menor o igual. Maor. Maor o igual. Se llama primer miembro de una desigualdad a la epresión que está a la izquierda segundo miembro a la que está a la derecha del signo de desigualdad.... Propiedades de las desigualdades Propiedad. Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no cambi. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no cambi Si a b, entonces: a c b c a c b c Si a b, entonces: a c b c a c b c Si a b c 0 entonces: ac bc a b c c Si a b c 0 entonces: ac bc a b c c W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página

11 . Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad cambi. Si se invierten los dos miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad cambi 5. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambi. Si los dos miembros de una desigualdad o uno de ellos es negativo se elevan a una misma potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambi 7. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambi 8. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos se les etrae una misma raíz, el signo de la desigualdad no cambi Si a b c 0 entonces: ac bc a b c c Si a b c 0 entonces: ac bc a b c c Si a b entonces a b Si a b entonces a b Sea a 0, b 0 n 0 n n Si a b entonces a b n n Si a b entonces a b Sea a 0 o b 0 n 0 impar. n n Si a b entonces a b n n Si a b entonces a b Sea a 0, b 0 n 0 par. n n Si a b entonces a b n n Si a b entonces a b Sea a 0 b 0 Si a b entonces Si a b entonces n n a a n n b b.. Intervalos Un intervalo abierto a, b es el conjunto de todos los números reales maores que a menores que b. Es decir: a, b R : a b a b Un intervalo cerrado a, b es el conjunto de todos los números reales maores o iguales que a menores o iguales que b. Es decir: a, b R : a b a b Un intervalo cerrado-abierto a, b es el conjunto de todos los números reales maores o iguales que a menores que b. Es decir: W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página

12 a, b R : a b Un intervalo abierto-cerrado a, b es el conjunto de todos los números reales maores que a menores o iguales que b. Es decir: a, b R : a b a b Un intervalo a, es el conjunto de todos los números reales maores que a. Es decir: a, R : a a Un intervalo a, es el conjunto de todos los números reales maores o iguales que a. Es decir: a, R : a a Un intervalo, b es el conjunto de todos los números reales menores que b. Es decir:, b R : b b Un intervalo, b es el conjunto de todos los números reales menores o iguales que b. Es decir:, b R : b.. Inecuación Una inecuación es una desigualdad en la que ha una o más cantidades desconocidas (incógnitas) que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la inecuación. En una inecuación con una incógnita, cualquier número real que esté contenido en el dominio de las incógnitas, que al sustituirse por la incógnita en la inecuación hace que la desigualdad correspondiente se cumpla, es una solución de la inecuación. Ejemplo No. 5 En a inecuación, si se reemplaza por 5, la desigualdad se cumple. Es decir, se tiene que 5, por lo que 5 es una solución de la inecuación Dada una inecuación de una incógnita, el subconjunto S del dominio de la incógnita, cuos elementos son las soluciones de la inecuación dada, recibe el nombre de conjunto solución. Ejemplo No. a En la inecuación, el dominio de la incógnita es el conjunto de los números reales R se puede demostrar que esta desigualdad se cumple únicamente para los valores de maores que, por lo que su conjunto solución es: b b W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 5

13 S, Intervalo solución. S R : Conjunto solución. La gráfica del intervalo solución es:... Inecuaciones lineales con una incógnita Sean a, b c constantes reales con a a 0. Se llama inecuación lineal o inecuación de primer grado con una incógnita a toda inecuación que se pueda llevar a alguna de las siguientes formas: a b c a b c a b c a b c Ejemplo No. 7 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: 7 b Por lo tanto: Intervalo solución: S,5 Conjunto solución: S R : 5 La gráfica del intervalo solución es: b. 9 Por lo tanto: Intervalo solución: S, Conjunto solución: S R : 9 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página

14 La gráfica del intervalo solución es: Actividad No. 7 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones lineales: 5 e. 7 b. f. 5 8 c. g. d. 5 8 h. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 7... Inecuaciones en las que un miembro es un producto el otro miembro es cero Las inecuaciones de este tipo se resuelven aplicando la le de signos de la multiplicación definida en el conjunto de los números reales, de acuerdo con las siguientes propiedades: Sean a R b R, entonces: Si b 0 a a 0 b 0 a 0 b 0 a a 0 b 0 a 0 b 0 Si b 0 Ejemplo No. 8 Resuelva la siguiente inecuación 0 Tenemos que: Pero:,,,,, Por lo tanto:,,

15 De esta manera: Intervalo solución: S, Conjunto solución: S R : La gráfica del intervalo solución es: Actividad No. 8 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: 0 c. 5 0 b. 0 d. 0.. Inecuaciones cuadráticas Sean a, b c constantes reales tales que a 0. Sea una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la que uno de sus miembros se puede llevar a una epresión de la forma a b c el otro miembro es cero. Consideremos el caso en el cual la epresión a b c es factorizable. Para resolver estas inecuaciones se debe factorizar la epresión a b c, para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las inecuaciones en el ejemplo anterior. Actividad No. 9 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: 5 0 f. 0 b. 0 g. 8 0 c. 0 h. 7 0 d. 9 0 i. 0 e. 0 j. 0.5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Toda igualdad de la forma a b c donde a, b R es una ecuación lineal con dos incógnitas. Cada pareja ordenada de números reales, que satisface dicha ecuación es una solución. De esta manera, dando valores a, se pueden obtener infinitos valores para. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 8

16 Un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales o sistema de ecuaciones simultáneas..5. Sistema de ecuaciones lineales de Un sistema de ecuaciones lineales de es un sistema formado por dos ecuaciones con dos incógnitas cada un Un sistema de puede tener una solución, infinitas soluciones o ninguna solución. Para determinar la solución o soluciones de un sistema de se emplean métodos tales como:. Método de sustitución.. Método de igualación.. Método de reducción.. Método gráfico..5.. Método de sustitución Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de por el método de sustitución, se despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones dadas. Luego se reemplaza dicho valor en la otra ecuación se despeja nuevamente la otra variable. Este valor se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones para hallar la variable inicial. Ejemplo No. 9 Resuelva por el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones: 8 Despejemos en la ecuación : Ahora se reemplaza en la ecuación se halla el valor de : se halla el valor de : Por último el valor de encontrado se reemplaza en la ecuación 9 De esta manera la solución del sistema es la pareja ordenada, W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 9

17 .5.. Método de igualación Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de por el método de igualación, se despeja la misma variable en las dos ecuaciones dadas. Luego se igualan las epresiones obtenidas se despeja la otra variable. Este valor se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema para encontrar el valor faltante. Ejemplo No. 70 Resuelva por el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones: 5 0 Despejemos la variable en las dos ecuaciones e igualemos las epresiones obtenidas: De la ecuación De la ecuación.5.. Método de reducción se tiene que Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de por el método de reducción, se reducen las dos ecuaciones del sistema a una sola ecuación sumándolas. Para tal efecto, es necesario amplificar convenientemente una de las dos, de modo que los coeficientes en una de las variables sean opuestos. Al sumar las ecuaciones transformadas, la variable se elimina es posible despejar la otr Luego se procede como en los métodos anteriores. Resuelva por el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones: 5 0 se tiene que 5 0 se despeja la variable : A continuación se igualan las ecuaciones Por último el valor de encontrado se reemplaza en la ecuación se halla el valor de : De esta manera la solución del sistema es la pareja ordenada 0, Ejemplo No. 7 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 70

18 Al multiplicar por la ecuación () multiplicar por.5.. Método Gráfico Este método consiste en graficar las rectas que corresponden a las ecuaciones que conforman el sistema, para determinar las coordenadas del punto, en el que se cortan dichas rectas. Cuando se utiliza el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales de se presentan tres casos. Caso : Las rectas se cortan en un solo punto,. Esto significa que el sistema tiene una única solución, dada por los valores los cuales son las coordenadas del punto de corte. Caso : Las rectas son paralelas. Luego no tienen puntos en común. Es decir, el sistema no tiene solución. Caso : Las rectas coinciden en todos sus puntos. Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Es decir, es indeterminado. Resuelva por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones: b. c. 9 8 Al despejar de las ecuaciones se tienen las rectas: la ecuación (), se puede cancelar la variable : cuas gráficas se muestran en la figur Se observa que tienen un solo punto de corte en,. Por lo tanto, la única solución del sistema es, W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 7 Por último, el valor de encontrado se reemplaza en la ecuación se halla el valor de : De esta manera la solución del sistema es la pareja ordenada, Ejemplo No. 7

19 b. Al despejar de las ecuaciones se tienen las rectas: cuas gráficas se muestran en la figur Se observa que no tienen punto de corte. Es decir, son dos rectas paralelas. Por lo que el sistema no tiene solución. las cuales representan la misma línea rect Esto significa que dichas rectas coinciden en todos sus puntos. Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Es decir, es indeterminado c. Al despejar de las ecuaciones se tienen las rectas: W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 7

20 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 7. Resuelva por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones: 0 5 d. 8 b. 9 e. c.. Resuelva por el método de igualación los siguientes sistemas de ecuaciones: 0 d. 5 5 b. 5 e c.. Resuelva por el método de reducción los siguientes sistemas de ecuaciones: 9 d. 5 b. e. 0 c. 7. Resuelva por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones: 5 d. 8 b. 7 5 e. c. 9 Actividad No. 0

21 .5. Sistema de ecuaciones lineales de Un sistema de ecuaciones lineales de es un sistema formado por tres ecuaciones con tres incógnitas cada un Tal sistema en caso de tener solución es una terna ordenada de la forma,, z. Para determinar la solución o soluciones de un sistema de se emplean algunos métodos a eplicados anteriormente para sistemas de. Resuelva por el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones: z z z 7 Despejemos z en la ecuación : z 7 z 7 Ahora se reemplaza z en las ecuaciones : Según se tiene que 7 8 Según se tiene que 7 Ahora se debe resolver el siguiente sistema de : Despejemos en la ecuación : 8 8 Ahora se reemplaza en la ecuación se halla el valor de : A continuación el valor de encontrado se reemplaza en la ecuación 7 se halla el valor de : 8 Ejemplo No. 7 Por último el valor de de se reemplazan en la ecuación para hallar z : z 7 z 7 z De esta manera la solución del sistema es la terna ordenada,, 7 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 7

22 . Resuelva por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones: b. Actividad No. z z 7 5z z z z 7 5 c. d. z z z z z z. SISTEMA CONFORMADO POR UNA ECUACIÓN LINEAL Y UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Para resolver un sistema de ecuaciones en las cuales una ecuación es lineal la otra es de segundo grado siga el siguiente procedimiento:. Resuelva la ecuación lineal para una de las incógnitas en términos de la otr. Sustitua tal incógnita en la ecuación de segundo grado resuelva la ecuación obtenida en términos de la segunda incógnit. Sustitua en la ecuación lineal los valores encontrados en el paso para encontrar los valores correspondientes de la primera incógnit Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: Ejemplo No Despejemos de la ecuación : Ahora se reemplaza en la ecuación se halla el valor de : Si, entonces según se tiene que 0 0 o 0 o W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 75

23 0 7 0 Si, entonces según se tiene que De esta manera la solución del sistema son los puntos,, Geométricamente la solución del sistema son los puntos de intersección de la recta parábola 9, tal como se muestra en la figura: 7 5 con la Actividad No.. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: b. 50 c d W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 7

24 .7 SISTEMA CONFORMADO POR DOS ECUACIONES DE LA FORMA a b c Para resolver un sistema conformado por dos ecuaciones de la forma a b c se realiza la siguiente sustitución; u v obteniéndose de esta manera un sistema de ecuaciones lineales de el cual puede ser resuelto empleando algunos de los métodos eplicados anteriormente. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 5 7 Al realizar el siguiente cambio de variables lineales de : u v u v 5 7 Despejemos v en la ecuación u : u v 5 v 5 u Ahora se reemplaza v en la ecuación se halla el valor de u : v queda el siguiente sistema de ecuaciones u 5 u 7 u 5 u 7 u 7 5 u u u se halla el valor de v : Ahora el valor de u encontrado se reemplaza en la ecuación v 5 v 9 Como u, entonces Como v, entonces 9 9 De esta manera la solución del sistema son los puntos:,,,,,, Geométricamente la solución del sistema anterior se considera como los puntos de intersección de la circunferencia: 5 Con la hipérbola: Ejemplo No Tal como se muestra en la siguiente figura: W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 77

25 . Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: b. Actividad No Autoevaluación No c. d. 5 5 Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado de cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correct. La solución de la ecuación lineal es: A. C. B. D.. La solución de la ecuación lineal a b a es: A. a C. a b a a b W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página

26 B. D. b b. La solución de la ecuación es: A. C B. 0 D.. La solución de la ecuación es: A. C. B. D. 5. La solución de la ecuación 5 es: A. 5 C. B. D.. La solución de la ecuación es: A. 5 C. B. 0 D. 7. La suma de un número con su recíproco es 5. Los números son: A. B. C. 5 D La ecuación cuadrática que tiene por soluciones A. 7 0 C. 7 0 B D La solución de la ecuación cuadrática 5 0 es: A. 5 C. 5 B. 5 D La solución de la ecuación cuadrática m m 0 es: A. m m C. m m B. m m D. m m. La solución de la ecuación 5 0 A. C. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 79 es: es:

27 B. D.. La solución de la ecuación p p 0 0 es: A. B. 5 p p C. 5 5 p p D. 5 5 p p 5 p p 5. La solución de la ecuación logarítmica Log A. C. B. D.. La solución de la ecuación logarítmica Log Log9 Log 5 A. C. B. 0 D. 5. El valor de en la ecuación 5 0 es: A. Log C. Log0 B. D. Log0 Log5 Log 5. La solución de la ecuación 5 es: A. C. B. D. 7. La solución de la desigualdad es: A. C. B. D. 8. Un tai inicia un recorrido con un valor de $ 00 cobra $ 5 por cada 00 metros de recorrido. La cantidad de metros que se deben recorrer como máimo para que el costo de una carrera no supere $ 000 es: A. 0 C. 500 B. 000 D La solución de la desigualdad 0 es: A. o C. o B. D. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 80 es: es:

28 0. El siguiente sistema de ecuaciones: 8 8 A. Tiene eactamente una solución. C. Tiene infinitas soluciones. B. No tiene solución. D. Tiene dos soluciones.. La solución del siguiente sistema de ecuaciones es: A. 0,0 C., B., D. 5,. Según la grafica: La solución del siguiente sistema es: A.,, B., D., C. 5 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 8. Se desea crear un nuevo limpiador para el hogar con una concentración de 0 % de fosfato trisódico (TSP). Para obtener litros de dicho limpiador. Se requiere mezclar una solución con concentración de % de TSP con otra cua concentración es de 7 % de TSP Cuántos litros de cada una de estas soluciones se requiere mezclar?: A..5 litros.5 litros. C..0 litros.0 litros. B.. litros. litros. D. 0.5 litros.5 litros.. Cuatro personas van al circo. Por las entradas pagan $ El precio por adulto es $ 500 por niño $ 000. La distribución de personas era: A. niños adulto. C. niño adultos. B. niños adultos. D. adultos. 5. La solución del siguiente sistema de ecuaciones es: A.,, C.,, B.,, D.,, z z z 7 0

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 7. UNIDAD 7 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas que involucren la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo grado

Más detalles

LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

LA ECUACIÓN CUADRÁTICA INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: EDISON MEJIA MONSALVE TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N 0 FECHA DURACION 3

Más detalles

Tema 3 Álgebra Matemáticas I 1º Bachillerato. 1

Tema 3 Álgebra Matemáticas I 1º Bachillerato. 1 Tema 3 Álgebra Matemáticas I 1º Bachillerato. 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS LA DIVISIBILIDAD EN LOS POLINOMIOS Un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio Q(x) cuando el cociente

Más detalles

Curso º ESO. UNIDADES 6 Y 7: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas de Morón

Curso º ESO. UNIDADES 6 Y 7: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas de Morón 2º ESO UNIDADES 6 Y 7: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas de Morón OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS Lenguaje algebraico. Normas y Traducción

Más detalles

MATEMÁTICAS II CC III PARCIAL

MATEMÁTICAS II CC III PARCIAL UNIDAD DIDÁCTICA #3 CONTENIDO ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA TIPOS DE ECUACIONES RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES INECUACIONES LINEALES 1 ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA Una ecuación es una

Más detalles

2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).

2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores). Bloque 3. ECUACIONES Y SISTEMAS (En el libro Temas 4 y 5, páginas 63 y 81) 1. Ecuaciones: Definiciones. Reglas de equivalencia. 2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).

Más detalles

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Sistemas de ecuaciones Nivel: 2 Medio Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas de ecuaciones lineales En distintos problemas de matemáticas nos vemos enfrentados

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 5 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 6 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles

Fabio Prieto Ingreso 2003

Fabio Prieto Ingreso 2003 Fabio Prieto Ingreso 00. INECUACIONES CON UNA VARIABLE.. Inecuación lineal Llamaremos desigualdad lineal de una variable a cualquier epresión de la forma: a + b > 0 o bien a + b < 0 o bien a + b 0 o bien

Más detalles

ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA

ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA La pendiente es un número que indica lo inclinado (o plano) de una recta, al igual que su dirección (hacia arriba o hacia abajo) de

Más detalles

Ecuaciones Cuadráticas Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por el método de factorización o utilizando la fórmula cuadrática.

Ecuaciones Cuadráticas Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por el método de factorización o utilizando la fórmula cuadrática. Ejemplos de Ecuaciones Cuadráticas e Inecuaciones Cuadráticas Ecuaciones Cuadráticas Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por el método de factorización o utilizando la fórmula cuadrática. El

Más detalles

Inecuaciones lineales y cuadráticas

Inecuaciones lineales y cuadráticas Inecuaciones lineales y cuadráticas 0.1. Inecuaciones lineales Una inecuación lineal tiene la forma ax + b < 0 ó ax + b > 0 ó ax + b 0 ó ax + b 0. El objetivo consiste en hallar el conjunto solución de

Más detalles

Revisora: María Molero

Revisora: María Molero 57 Capítulo 5: INECUACIONES. Matemáticas 4ºB ESO 1. INTERVALOS 1.1. Tipos de intervalos Intervalo abierto: I = (a, b) = {x a < x < b}. Intervalo cerrado: I = [a, b] = {x a x b}. Intervalo semiabierto por

Más detalles

Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.

Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 1 Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 1.- Factorización de polinomios. M. C. D y m.c.m de polinomios. Un número a es raíz de un polinomio es 0.

Más detalles

Inecuaciones: Actividades de recuperación.

Inecuaciones: Actividades de recuperación. Inecuaciones: Actividades de recuperación. 1.- Escribe la inecuación que corresponde a los siguientes enunciados: a) El perímetro de un triángulo equilátero es menor que 4. (x = lado del triángulo) b)

Más detalles

Ecuaciones, ecuación de la recta y sistemas

Ecuaciones, ecuación de la recta y sistemas Ecuaciones, ecuación de la recta y sistemas Ecuaciones Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita. Cuando una ecuación contiene

Más detalles

Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Sistemas Lineales pueden ser de No lineales Gráficamente Ecuaciones se clasifican se resuelven Algebraicamente Compatible determinado Compatible indeterminado

Más detalles

Departamento de Matemáticas http://matematicasiestiernogalvancom 1 Desigualdades e inecuaciones de primer grado Hemos visto ecuaciones de 1º y º grados, en los cuales el número de soluciones era siempre

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuaciones con valor absoluto El valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por: Propiedades a a si a si a 0 a < 0 i a y b son números reales y n es un número entero, entonces:

Más detalles

MODELOS LINEALES. Alejandro Vera Trejo

MODELOS LINEALES. Alejandro Vera Trejo MODELOS LINEALES Alejandro Vera Trejo Objetivo Se representará una situación determinada a través de la construcción de una o varias ecuaciones lineales. Se resolverán situaciones reales por medio de ecuaciones

Más detalles

C A P Í T U L O 5 PROPUESTA DE ENSEÑANZA: SECUENCIAS DIDÁCTICAS. Neevia docconverter 5.1

C A P Í T U L O 5 PROPUESTA DE ENSEÑANZA: SECUENCIAS DIDÁCTICAS. Neevia docconverter 5.1 C A P Í T U L O PROPUESTA DE ENSEÑANZA: SECUENCIAS DIDÁCTICAS CAPÍTULO. PROPUESTA DE ENSEÑANZA: SECUENCIAS DIDÁCTICAS. En este capítulo se mostrarán las diferentes secuencias didácticas o instrumentos

Más detalles

Preparación para Álgebra universitaria con trigonometría

Preparación para Álgebra universitaria con trigonometría Preparación para Álgebra universitaria con trigonometría Este curso cubre los siguientes temas. Usted puede personalizar la gama y la secuencia de este curso para satisfacer sus necesidades curriculares.

Más detalles

Ecuaciones de 1er Grado 2. Incógnitas. Ing. Gerardo Sarmiento Díaz de León

Ecuaciones de 1er Grado 2. Incógnitas. Ing. Gerardo Sarmiento Díaz de León Ecuaciones de 1er Grado 2 Incógnitas Ing. Gerardo Sarmiento Díaz de León 2009 Teoría sobre ecuaciones de primer grado con 2 icognitas solución por los 3 metodos CETis 63 Ameca, Jalisco Algebra Área matemáticas

Más detalles

Bloque 1. Aritmética y Álgebra

Bloque 1. Aritmética y Álgebra Bloque 1. Aritmética y Álgebra 12. Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático

Más detalles

UNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

UNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. UNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. 10.1 Estudio elemental de la ecuación de segundo grado. Expresión general. 10.2 Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas. 10.3 Planteamiento

Más detalles

UNIDAD 8 INECUACIONES. Objetivo general.

UNIDAD 8 INECUACIONES. Objetivo general. 8. 1 UNIDAD 8 INECUACIONES Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás inecuaciones lineales y cuadráticas e inecuaciones que incluyan valores absolutos, identificarás sus conjuntos solución en

Más detalles

4 Ecuaciones e inecuaciones

4 Ecuaciones e inecuaciones Ecuaciones e inecuaciones INTRODUCCIÓN Comenzamos esta unidad diferenciando entre identidades y ecuaciones, y definiendo los conceptos asociados a cualquier ecuación: miembros, términos, coeficientes,

Más detalles

Desigualdades con Valor absoluto

Desigualdades con Valor absoluto Resolver una desigualdad significa encontrar los valores para los cuales la incógnita cumple la condición. Para ver ejemplos de las diferentes desigualdades que hay, haga Click sobre el nombre: Desigualdades

Más detalles

TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 1. ECUACIONES. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las variables en este caso se denominan incógnitas. Las soluciones de una ecuación

Más detalles

Preparación para Álgebra 1 de Escuela Superior

Preparación para Álgebra 1 de Escuela Superior Preparación para Álgebra 1 de Escuela Superior Este curso cubre los conceptos mostrados a continuación. El estudiante navega por trayectos de aprendizaje basados en su nivel de preparación. Usuarios institucionales

Más detalles

Dos inecuaciones se dice que son equivalentes cuando ambas tienen las mismas soluciones.

Dos inecuaciones se dice que son equivalentes cuando ambas tienen las mismas soluciones. 10. INECUACIONES Definición de inecuación Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. 2x + 3 < 5 ; x 2 5x > 6 ; x x 1 0 Inecuaciones equivalentes Dos inecuaciones se dice que son

Más detalles

GUÍA ECUACIONES. La intensión de resolver las ecuaciones es encontrar sus raíces o soluciones de la ecuación.

GUÍA ECUACIONES. La intensión de resolver las ecuaciones es encontrar sus raíces o soluciones de la ecuación. GUÍA ECUACIONES La intensión de resolver las ecuaciones es encontrar sus raíces o soluciones de la ecuación. Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales

Más detalles

TEMA 2. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS TEMA. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.. Repaso de polinomios - Epresión algebraica. Valor numérico - Polinomios. Operaciones con polinomios.. Identidades notables - Cuadrado de una suma de una diferencia

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES

EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES 1. Resolver las inecuaciones: a) 3-8 - 7 b) 6-5 > 1-10 a) Para resolver la inecuación, se pasan los términos con al primer miembro y los independientes al segundo quedando

Más detalles

RESUMEN ALGEBRA BÁSICA

RESUMEN ALGEBRA BÁSICA RESUMEN ALGEBRA BÁSICA TERMINO ALGEBRAICO: Es una expresión matemática que consta de un producto (o cociente) de un número con una variable elevado a un exponente (o con varias variables). TÉRMINO ALGEBRAICO

Más detalles

Tutorial MT-b11. Matemática Tutorial Nivel Básico. Inecuaciones e intervalos

Tutorial MT-b11. Matemática Tutorial Nivel Básico. Inecuaciones e intervalos 12345678901234567890 M ate m ática Tutorial MT-b11 Matemática 2006 Tutorial Nivel Básico Inecuaciones e intervalos Matemática 2006 Tutorial Inecuaciones e intervalos I. Definición y Propiedades de las

Más detalles

Productos notables. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

Productos notables. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. Productos notables Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones

Más detalles

GUÍAS DE ESTUDIO. Programa de alfabetización, educación básica y media para jóvenes y adultos

GUÍAS DE ESTUDIO. Programa de alfabetización, educación básica y media para jóvenes y adultos GUÍAS DE ESTUDIO Código PGA-02-R02 1 INSTITUCIÓN EDUCATIVA CASD Programa de alfabetización, educación básica y media para jóvenes y adultos UNIDAD DE TRABAJO Nº 1 PERIODO 1 1. ÁREA INTEGRADA: MATEMÁTICAS

Más detalles

Cuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Cuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 } LOS NÚMEROS REALES TEMA 1 IDEAS SOBRE CONJUNTOS Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (* ) o no pertenece (* ) a un conjunto. Los conjuntos se pueden

Más detalles

Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)

Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a) Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio Función Cuadrática: Es toda función de la forma: f() = a ² + b + c con a, b, c números Reales Puede suceder que b ó c sean nulos, por ej: f() = ½ ² + 5 f() = 5 ² ¾ Pero a no puede ser = 0, de los contrario

Más detalles

Parciales Matemática CBC Parciales Resueltos - Exapuni.

Parciales Matemática CBC Parciales Resueltos - Exapuni. Parciales Matemática CBC 2012 Parciales Resueltos - Exapuni www.exapuni.com.ar Compilado de primeros parciales del 2012 Parcial 1 1) Sea. Hallar todos los puntos de la forma, tales que la distancia entre

Más detalles

Identificación de inecuaciones lineales en los números reales

Identificación de inecuaciones lineales en los números reales Grado Matematicas - Unidad Operando en el conjunto de Tema Identificación de inecuaciones lineales en los números reales Nombre: Curso: A través de la historia han surgido diversos problemas que han implicado

Más detalles

2.- Ecuaciones de primer grado

2.- Ecuaciones de primer grado 3º ESO E UNIDAD 8.- ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Más detalles

CONJUNTOS NUMÉRICOS. La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria.

CONJUNTOS NUMÉRICOS. La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria. CONJUNTOS NUMÉRICOS La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar una determinada cantidad

Más detalles

Genera 10 parejas de números. Escríbelos, colocando entre ellos el signo adecuado de desigualdad. Intervalo [ 4,5] (0,3) [ 6,8) ( 7, 1] Desigualdad

Genera 10 parejas de números. Escríbelos, colocando entre ellos el signo adecuado de desigualdad. Intervalo [ 4,5] (0,3) [ 6,8) ( 7, 1] Desigualdad Hoja de trabajo personal Nº 1. EVALUACIÓN INICIAL Uso de los signos de desigualdad. Genera 10 parejas de números. Escríbelos, colocando entre ellos el signo adecuado de desigualdad. Intervalos sobre la

Más detalles

2x 1. compatible determinado, luego tiene una única solución. Para resolverlo aplicaremos reducción, 23y = 0

2x 1. compatible determinado, luego tiene una única solución. Para resolverlo aplicaremos reducción, 23y = 0 RELACIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS. Considera el sistema. 7 Atención a los coeficientes del sistema! 7. Sabemos antes de resolverlo que el sistema es compatible determinado, luego tiene una única solución.

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA CIRCUNFERENCIA

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA CIRCUNFERENCIA LA CIRCUNFERENCIA CONTENIDO. Ecuación común de la circunferencia Ejemplos. Ecuación general de la circunferencia. Análisis de la ecuación. Ejercicios Estudiaremos cuatro curvas que por su importancia aplicaciones

Más detalles

I.E.S. CUADERNO Nº 5 NOMBRE: FECHA: / / Inecuaciones. Resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.

I.E.S. CUADERNO Nº 5 NOMBRE: FECHA: / / Inecuaciones. Resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Inecuaciones Contenidos 1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita Definiciones Inecuaciones equivalentes Resolución Sistemas de inecuaciones 2. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita Resolución

Más detalles

Capítulo 4. Inecuaciones. M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática

Capítulo 4. Inecuaciones. M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática 1 Capítulo 4 Inecuaciones M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una

Más detalles

Lección 12: Sistemas de ecuaciones lineales

Lección 12: Sistemas de ecuaciones lineales LECCIÓN 1 Lección 1: Sistemas de ecuaciones lineales Resolución gráfica Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintos problemas.

Más detalles

RESUMEN DE CONCEPTOS

RESUMEN DE CONCEPTOS RESUMEN DE CONCEPTOS 1º ESO MATEMÁTICAS NÚMEROS NATURALES (1) Múltiplo de un número: Un número es múltiplo de otro si el segundo está contenido en el primero un número exacto de veces. Ejemplo: 16 es múltiplo

Más detalles

LOS NÚMEROS ENTEROS. Para restar un número entero, se quita el paréntesis y se pone al número el signo contrario al que tenía.

LOS NÚMEROS ENTEROS. Para restar un número entero, se quita el paréntesis y se pone al número el signo contrario al que tenía. Melilla Los números Enteros y operaciones elementales LOS NÚMEROS ENTEROS 1º LOS NÚMEROS ENTEROS. El conjunto de los números enteros Z está formado por los números naturales (enteros positivos) el cero

Más detalles

Función cuadrática. Ecuación de segundo grado completa

Función cuadrática. Ecuación de segundo grado completa Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto

Más detalles

Ecuaciones cuadráticas. Guía de trabajo Tema: Ecuaciones cuadráticas Curso: 3 B, 3 D, 3 F (todos)

Ecuaciones cuadráticas. Guía de trabajo Tema: Ecuaciones cuadráticas Curso: 3 B, 3 D, 3 F (todos) Ecuaciones cuadráticas. Guía de trabajo Tema: Ecuaciones cuadráticas Curso: B, D, F (todos) Introducción. En las semanas anteriores nos hemos abocado al estudio de la función cuadrática. Así, has aprendido

Más detalles

Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.1 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.1 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño ALGEBRA 1. LETRAS EN VEZ DE NÚMEROS En muchas tareas de las matemáticas es preciso trabajar con números de valor desconocido o indeterminado. En esos casos, los números se representan por letras y se operan

Más detalles

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números

Más detalles

Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades

Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades En álgebra es esencial manejar símbolos con objeto de transformar o reducir expresiones algebraicas y resolver ecuaciones algebraicas. Debido a que

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA V POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

UNIDAD DIDÁCTICA V POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES UNIDAD DIDÁCTICA V POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Temario: Definición de epresiones algebraicas y clasificación. Polinomio, grado. Operaciones. Regla de Ruffini. Factorización de Polinomios.

Más detalles

Matemáticas Universitarias

Matemáticas Universitarias Matemáticas Universitarias 1 Sesión No. 5 Nombre: Desigualdades lineales, cuadráticas y valor absoluto Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante conocerá las características y métodos de

Más detalles

1 er Problema. 2 Problema

1 er Problema. 2 Problema Facultad de Contaduría Administración. UNAM Lugares geométricos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS LUGARES GEOMÉTRICOS Eisten dos problemas fundamentales en la Geometría Analítica:.

Más detalles

Preparación para cálculo

Preparación para cálculo Preparación para cálculo Este curso cubre los siguientes temas. Usted puede personalizar la gama y la secuencia de este curso para satisfacer sus necesidades curriculares. Plan de estudios (406 temas)

Más detalles

Titulo: SISTEMAS DE ECUACIONES Año escolar: 3er. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com

Más detalles

FACTORIZACION FACTORIZACIÓN. Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.

FACTORIZACION FACTORIZACIÓN. Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores. -PA-0 FACTORIZACION V0 Página de 9 NOCION: FACTORIZACIÓN Factorizar un número consiste en epresarlo como producto de dos de sus divisores. Ejemplo: Factoriza 0 en dos de sus divisores :, es decir 0 = Y

Más detalles

MATEMÁTICAS ÁLGEBRA (TIC)

MATEMÁTICAS ÁLGEBRA (TIC) COLEGIO COLOMBO BRITÁNICO Formación en la Libertad y para la Libertad MATEMÁTICAS ÁLGEBRA (TIC) GRADO:8 O A, B DOCENTE: Nubia E. Niño C. FECHA: 23 / 02 / 15 GUÍA UNIFICADA: # 1 5; # 1-6 y 1-7 DESEMPEÑOS:

Más detalles

1. ESQUEMA - RESUMEN Página EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página EJERCICIOS DE DESARROLLO Página EJERCICIOS DE REFUERZO Página 25

1. ESQUEMA - RESUMEN Página EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página EJERCICIOS DE DESARROLLO Página EJERCICIOS DE REFUERZO Página 25 1. ESQUEMA - RESUMEN Página. EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página 6. EJERCICIOS DE DESARROLLO Página 17 5. EJERCICIOS DE REFUERZO Página 5 1 1. ESQUEMA - RESUMEN Página 1.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. 1.. VALOR

Más detalles

Los números enteros Z = {,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }

Los números enteros Z = {,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } Los números enteros La unión de los números naturales y los enteros negativos forma el conjunto de los números enteros, que se designa con la palabra Z. Está constituido por infinitos elementos y se representan

Más detalles

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES

ECUACIONES E INECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES 1.- Escribe las expresiones algebraicas que representan los siguientes enunciados: a) Número de ruedas necesarias para fabricar x coches. b) Número de céntimos para cambiar x

Más detalles

ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA

ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Una ecuación no polinómica es, en general, más difícil de resolver que una

Más detalles

Capitulo IV - Inecuaciones

Capitulo IV - Inecuaciones Capitulo IV - Inecuaciones Definición: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o

Más detalles

INECUACIONES. Inecuaciones INECUACIONES DE 1 GRADO. Indicadores. Contenido INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES

INECUACIONES. Inecuaciones INECUACIONES DE 1 GRADO. Indicadores. Contenido INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES INECUACIONES DE GRADO INECUACIONES Para resolver una inecuación lineal o de primer grado debemos usar las propiedades de las desigualdades además de tener en cuenta los siguientes casos: Indicadores Representa

Más detalles

Tema 4. Ecuaciones e Inecuaciones.

Tema 4. Ecuaciones e Inecuaciones. Tema 4. Ecuaciones e Inecuaciones.. Ecuaciones con una incógnita... Ecuaciones de primer grado.. Ecuaciones de segundo grado.3. Ecuaciones bicuadráticas.4. Ecuaciones polinómicas.. Ecuaciones con radicales..6.

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

Ecuaciones de 2º grado

Ecuaciones de 2º grado Ecuaciones de 2º grado Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax 2 + bx +c = 0 con a 0. Resolución de ecuaciones de segundo grado Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos

Más detalles

CASO I: FACTORIZACION DE BINOMIOS

CASO I: FACTORIZACION DE BINOMIOS CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS ACTIVIDAD ACADEMICA: FUNDAMENTOS MATEMATICOS DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD N : FACTORIZACION

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES. Nacho Jiménez

SISTEMAS DE ECUACIONES. Nacho Jiménez SISTEMAS DE ECUACIONES Nacho Jiménez 1. Ecuaciones con dos incógnitas. Soluciones. 1.1 Representación gráfica. Sistemas de ecuaciones. Sistemas equivalentes..1 Sistemas compatibles determinados. Sistemas

Más detalles

1. dejar a una lado de la igualdad la expresión que contenga una raíz.

1. dejar a una lado de la igualdad la expresión que contenga una raíz. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones reales: Solución x 1 + x = 0 ; 3 x = 3 ; ln(x 1) + 4 = ln 3 Ecuaciones con raíces: No todas las ecuaciones de este tipo son sencillas de resolver, pero podemos intentar

Más detalles

Unidad 3: Razones trigonométricas.

Unidad 3: Razones trigonométricas. Unidad 3: Razones trigonométricas 1 Unidad 3: Razones trigonométricas. 1.- Medida de ángulos: grados y radianes. Las unidades de medida de ángulos más usuales son el grado sexagesimal y el radián. Se define

Más detalles

UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES

UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES En la Sección anterior se abordó contenidos relacionados con las funciones y gráficas, continuamos aprendiendo más sobre funciones; en la presente unidad abordaremos

Más detalles

open green road Guía Matemática ECUACIÓN DE PRIMER GRADO profesor: Nicolás Melgarejo .co

open green road Guía Matemática ECUACIÓN DE PRIMER GRADO profesor: Nicolás Melgarejo .co Guía Matemática ECUACIÓN DE PRIMER GRADO profesor: Nicolás Melgarejo.co 1. Relación de igualdad En Matemática cuando dos expresiones tienen el mismo valor o representan lo mismo, diremos que existe una

Más detalles

MATEMÁTICAS 3º ESO PENDIENTES HOJA 1 GEOMETRÍA PLANA. 1.- Calcular el área y el perímetro de los siguientes polígonos:

MATEMÁTICAS 3º ESO PENDIENTES HOJA 1 GEOMETRÍA PLANA. 1.- Calcular el área y el perímetro de los siguientes polígonos: MATEMÁTICAS º ESO PENDIENTES HOJA GEOMETRÍA PLANA.- Calcular el área y el perímetro de los siguientes polígonos: a) Un cuadrado de lado 5 cm de lado b) Un cuadrado de diagonal 0 cm. c) Un rectángulo de

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Incognitas

Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Incognitas PreUnAB Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Incognitas Clase # 9 Agosto 2014 Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas Definición Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o más

Más detalles

Colegio Universitario Boston. Funciones

Colegio Universitario Boston. Funciones 70 Concepto de Función Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, tal que relaciona, a cada elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto Para indicar que se ha establecido una

Más detalles

Nombre y apellidos Nº EXAMEN TEMA 3. ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS 4º E.S.O.

Nombre y apellidos Nº EXAMEN TEMA 3. ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS 4º E.S.O. 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones (1p): a) 2x 2 50 = 0 b) 7x 2 + 5x = 0 2.- Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada (1p): x 4 10x 2 + 9 = 0 3.- Resuelve el sistema de ecuaciones por cualquiera de

Más detalles

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado Matemáticas Unidad 16 Ecuaciones de primer grado Objetivos Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando

Más detalles

TEMA 6. Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas

TEMA 6. Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas TEMA 6 Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas 1. Ecuación de Primer grado con dos incógnitas Vamos a intentar resolver el siguiente problema: En una bolsa hay bolas azules y rojas,

Más detalles

Guía de Matemática Tercero Medio

Guía de Matemática Tercero Medio Guía de Matemática Tercero Medio Aprendizaje Esperado: 1. Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de segundo grado; explicitan sus procedimientos de solución y analizan la existencia y

Más detalles

UNIDAD 1 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

UNIDAD 1 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES UNIDAD 1 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Al término de la unidad, el alumno: Reconoce cuando un sistema de ecuaciones es lineal o no, y cuáles son sus incógnitas. Aplica el método

Más detalles

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el

Más detalles

Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones

Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones 1. El álgebra El álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números y letras con las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar, dividir, potencias

Más detalles

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x = Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.

Más detalles

gráfica de una función afín dada en forma explícita

gráfica de una función afín dada en forma explícita PARADA TeÓRICA 3 Función afín. Ecuación explícita de la recta A la función polinómica de primer grado f(x) = ax + b, siendo ay b números reales, se la denomina función afín. Los coeficientes principal

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Resúmenes de Matemáticas para la E.S.O. ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En

Más detalles

Titulo: SISTEMAS DE INECUACIONES (INECUACIONES SIMULTANEAS) Año escolar: 3er año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

RESUMEN DE CONCEPTOS TEÓRICOS MATEMÁTICAS 1º ESO. CURSO

RESUMEN DE CONCEPTOS TEÓRICOS MATEMÁTICAS 1º ESO. CURSO RESUMEN DE CONCEPTOS TEÓRICOS MATEMÁTICAS 1º ESO. CURSO 2015-2016 UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES (1) Múltiplo de un número: Un número es múltiplo de otro si el segundo está contenido en el primero un número

Más detalles

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN Capítulo 2 PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN 2.1.2 2.1.4 Los alumnos utilizaron la ecuación = m + b para graficar rectas describir patrones en los cursos anteriores. La Lección 2.1.1 es un repaso. Cuando

Más detalles