Objetivos Didácticos. Criterios de Evaluación

Transcripción

1 Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús Unidad 01: Números Reales I La necesidad de medir o de resolver ecuaciones obliga a contemplar una clase de números llamados irracionales, que forman junto con los racionales, ya conocidos, el conjunto de los números reales. Especial atención merece la relación de orden entre números reales y el valor absoluto de un número real, que hace posible la introducción de subconjuntos notables de la recta real, así como el conocimiento y control de los errores producidos por el uso de aproximaciones. Identificar los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Comprender la relación de orden en Q. Operar con los números de N, Z y Q, y utilizar las propiedades de las operaciones. Representar gráficamente los números naturales, enteros, racionales y algunos irracionales. Números enteros y racionales. Operaciones y propiedades. Paso de expresión fraccionaria a decimal y de decimal a fraccionaria. Relación de orden en Q. Números irracionales. Error absoluto. Representación gráfica. Números reales. Utilizar los números reales para intercambiar información y resolver problemas basados en la vida cotidiana y en situaciones relacionadas con otras esferas del saber (ciencias humanas y sociales, economía, etc.). Transcribir problemas con enunciado literal o extraídos de la realidad, resolverlos mediante la técnica adecuada e interpretar sus soluciones. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús Unidad 02: Números Reales II Los números sirven para contar y medir, pero la mayor de sus ventajas es que sirven para operar con ellos, es decir, obtener cantidades nuevas a partir del cálculo con cantidades ya conocidas.

2 Se presentan las operaciones con los números reales y sus propiedades incidiendo especialmente en el desarrollo de técnicas de trabajo con potencias y radicales. La notación científica resulta conveniente para expresar cantidades demasiado grandes o pequeñas y operar con ellas. Para finalizar se plantea el principio de inducción, muy utilizado en la resolución de problemas. En esta unidad también se introducen los logaritmos, que por mucho tiempo constituyeron una herramienta básica para realizar cálculos aritméticos complejos. Se estudian sus propiedades, basadas en las propiedades de las potencias, y se utilizan en la resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Reconocer y definir los conjuntos más usuales de números reales (intervalos y entornos). Hacer estimaciones, determinando el error cometido. Realizar correctamente las potencias de números reales y las operaciones con radicales. Manejar el concepto de logaritmo y sus propiedades. Asimilar los conceptos que intervienen en la matemática financiera (INTERESES), necesarios para desenvolverse en situaciones cotidianas que los precisen. Resolver problemas financieros actuales. Intervalos, entornos y acotación. Estimación y notación científica. Potencias de exponente cualquiera. Radicales: operaciones con radicales. Racionalización. Logaritmos. Interés simple y compuesto. Anualidades de amortización y capitalización. Tasa anual equivalente (TAE). Utilizar los conjuntos más usuales de números reales para intercambiar información y resolver problemas. Emplear, de manera adecuada, en la resolución de problemas, las diversas formas de expresar números: notación científica, redondeos, estimaciones y aproximaciones por exceso y por defecto, controlando el margen de error exigible en cada situación. Transcribir problemas con enunciado literal o extraídos de la realidad, resolverlos mediante la técnica adecuada e interpretar las soluciones. Utilizar los diversos recursos que ofrece la matemática financiera para expresar situaciones económicas cotidianas. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús

3 Unidad 03: Polinomios y Fracciones algebraicas La unidad presenta la noción de expresión algebraica como la traducción a símbolos matemáticos de problemas de la vida cotidiana, lo que permite simplificar sus enunciados y expresarlos de forma sencilla. A continuación se establecen los diferentes tipos de expresiones algebraicas: ecuaciones, identidades y fórmulas, y se introduce la terminología a emplear. A continuación se repasa brevemente el modo de operar con polinomios, ya estudiado en ESO, y, desde un punto de vista más formal, se presentan las propiedades de las operaciones. La regla de Ruffini da paso a los teoremas del resto y del factor, que permiten, de forma sencilla, estudiar la divisibilidad de un polinomio entre el binomio x a. Por último, las operaciones con fracciones algebraicas ayudan a sistematizar los procedimientos estudiados en la unidad. Comprender los conceptos ligados a los polinomios y sus operaciones. Utilizar correctamente los algoritmos y procedimientos de cálculo con polinomios. Comprender el concepto de raíz de un polinomio y relacionarlo con el valor numérico. Estimar las posibles raíces de un polinomio y factorizarlo. Usar correctamente la regla de Ruffini. Reconocer las funciones polinómicas y manejar con soltura sus operaciones. Dominar los procedimientos relativos al cálculo de la función inversa de una dada. Interpolar y extrapolar valores en una tabla obtenida experimentalmente. Polinomios. Operaciones. Regla de Ruffini. Raíces de un polinomio. Teorema del Resto. Factorización de polinomios, polinomio irreducible. Funciones polinómicas. Operaciones. Función inversa de una dada. Interpolación y extrapolación. Distinguir y nombrar los polinomios según su grado y reconocer sus elementos. Realizar operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación, división) empleando los algoritmos más adecuados a cada situación. Aplicar el teorema del resto para descomponer un polinomio en producto de factores. Realizar operaciones (suma, producto por un número, producto de funciones y composición) con funciones polinómicas. Hallar la función inversa de una dada y entender su significado. Calcular, de forma aproximada, los valores que

4 toma una función desconocida a partir de unos datos que hemos observado (interpolación y extrapolación). Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús Unidad 04: Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. La unidad comienza presentando el concepto de ecuación, estudiado en cursos anteriores, y recordando la terminología propia: incógnita, miembro, solución, resolver, etc. Se recuerdan los procedimientos generales de trabajo con ecuaciones y, en particular, los procesos que conducen a la resolución de una ecuación de primer grado. Se hace un estudio detallado de las ecuaciones de segundo grado, completas e incompletas, y de sus métodos de resolución analítica, así como de las ecuaciones polinómicas de grado superior a dos y de las ecuaciones con radicales, introduce las inecuaciones de primer y segundo grado y el estudio de sus conjuntos solución. Los sistemas de ecuaciones permiten establecer relaciones entre varias variables y extraer conclusiones al respecto. La unidad comienza presentando y clasificando los sistemas de ecuaciones lineales de varias incógnitas y recordando conceptos como «solución de un sistema» o «resolver un sistema». Antes de estudiar los sistemas de segundo grado, la unidad introduce los sistemas con más de dos ecuaciones lineales y los sistemas de inecuaciones lineales. La unidad termina haciendo especial mención a la utilidad de los sistemas de ecuaciones e inecuaciones para resolver problemas aplicados a las ciencias sociales. Analizar y resolver ecuaciones de primer grado. Adquirir técnicas algebraicas y gráficas necesarias para resolver ecuaciones de segundo grado, bicuadradas. Interpretar y utilizar las relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación de segundo grado. Conocer los métodos algebraicos y gráficos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y aplicarlos. Estudiar y resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas aplicando el método de Gauss. Plantear y resolver sistemas no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando las técnicas algebraicas y gráficas necesarias para resolverlos.

5 Resolver inecuaciones con una y con dos incognitas. Resolver sistemas de inecuaciones con dos incógnitas, aplicando las técnicas algebraicas y gráficas adecuadas. Ecuaciones de primer grado, segundo grado y bicuadradas. Sistemas de dos y tres ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones no lineales con dos incógnitas. Desigualdades. Inecuaciones. Sistemas con inecuaciones lineales con dos incógnitas. Clasificar ecuaciones según su grado, número de soluciones y tipo de las variables. Resolver ecuaciones de primer grado y aplicarlas a la resolución de problemas reales. Utilizar la fórmula general, el discriminante y las relaciones entre raíces y coeficientes para resolver ecuaciones de segundo grado. Transcribir situaciones reales como ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales. Resolver analítica y gráficamente sistemas lineales de ecuaciones con dos incógnitas y determinar la compatibilidad o incompatibilidad. Aplicar el método de Gauss para estudiar y resolver sistemas. Resolver problemas reales utilizando sistemas no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas y determinar la compatibilidad o incompatibilidad de dichos sistemas. Hallar el conjunto solución de una inecuación con una incógnita y representarlo de manera adecuada sobre la recta numérica. Resolver inecuaciones con dos incógnitas y sistemas con inecuaciones y representar el conjunto solución de forma gráfica. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús Unidad 05: Funciones Elementales. Los modelos funcionales son utilizados para interpretar, analizar y predecir procesos asociados a las ciencias sociales y humanas que requieran el estudio de la relación entre dos magnitudes mediante el rigor que proporciona el método científico.

6 Aunque los alumnos ya se han acercado al concepto de función en la Educación Secundaria Obligatoria y poseen determinadas destrezas en relación con el mismo, estamos en el momento óptimo de proceder a una formalización de los contenidos que se corresponda con su mayor grado de desarrollo de competencia cognitiva. Asimilar los conceptos y procedimientos relativos a funciones reales de variable real, necesarios para estudios posteriores. Estudiar el dominio y recorrido de funciones polinómicas, radicales, fraccionarias, cuadráticas, de proporcionalidad inversa y a trozos. Calcular la función lineal de la forma punto-pendiente. Resolver problemas mediante interpolación lineal. Transformar funciones a partir de otras mediante transformaciones sencillas. Representar gráficamente las funciones a partir de sus tablas de valores y viceversa. Asociar funciones (tablas, gráficas y fórmulas) a fenómenos corrientes. Representar gráficamente funciones elementales (cuadráticas, de proporcionalidad y definidas a trozos) dadas por sus expresiones analíticas. Encontrar e interpretar los puntos comunes a dos gráficas representadas sobre los mismos ejes de coordenadas. Calcular el valor absoluto de todo tipo de funciones. Sistemas de referencia. Dominio y recorrido. Dependencia entre variables. Función de forma punto-pendiente. Funciones reales de variable real. Función lineal, afín, cuadrática y de proporcionalidad inversa. Funciones definidas a trozos, Valor absoluto. Puntos comunes a dos gráficas. El número e. Función exponencial, logarítmica y trigonométrica Distinguir las variables dependientes de las variables independientes en problemas que traten sobre situaciones cotidianas. Calcular el dominio y recorrido de funciones sencillas. Representar gráficamente funciones elementales (rectas, parábolas, hipérbolas) dadas por tablas, gráficas o fórmulas. Interpretar de forma global fenómenos funcionales presentados en forma de tabla o de gráfica. Representar funciones definidas a trozos. Hallar gráfica y analíticamente los puntos de intersección de dos funciones elementales, dadas por su expresión analítica. Utilizar adecuadamente el concepto de logaritmo de un número, calcular su valor mediante aproximaciones y de forma exacta mediante la calculadora y hallar su característica y su mantisa.

7 Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús Unidad 06: Límites y Continuidad La unidad retoma el concepto de límite desde la óptica funcional. Dicho concepto ya se ha tratado anteriormente al estudiar las sucesiones, y, por tanto, los alumnos ya tienen una idea intuitiva del mismo, que ahora se afianza cuando se investiga intuitivamente, por métodos gráficos o con la calculadora, cuál es la tendencia de una función para determinados valores. En esta situación, la mayoría de los estudiantes son capaces de expresar, por puro sentido común, cuál va a ser el comportamiento de la función en tales circunstancias. Conviene tener presente que su formalización no es objetivo de la unidad, puesto que los estudiantes no poseen todavía la suficiente capacidad de abstracción y madurez para comprenderlo desde el punto de vista formal. El concepto de continuidad no conlleva una gran dificultad. Es tan visualmente evidente cuando una función es o no continua en un punto que, con frecuencia, los alumnos no sienten la necesidad de comprobar sus intuiciones. Una vez salvado este escollo, los estudiantes no suelen tener problemas en encontrar, por métodos algebraicos, las posibles discontinuidades y aplicar estos contenidos al describir el comportamiento de una función. Reconocer las funciones reales de variable real y determinar su variable dependiente e independiente, su dominio y recorrido. Distinguir las funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y circulares, utilizar sus propiedades y representarlas gráficamente. Representar las funciones definidas a trozos y obtener los puntos comunes a dos gráficas. Determinar, si existe, el límite de una función en un punto y obtener sus límites laterales. Obtener los límites infinitos y en el infinito (+,- ) de una función. Calcular los límites de las operaciones con funciones. Reconocer las asíntotas a partir de los límites Resolver las indeterminaciones del tipo L/0, 0/0, / y en el cálculo de límites. Determinar la continuidad de una función en un punto y estudiar sus discontinuidades, distinguiendo de qué tipo son. Función real de variable real. Dominio y recorrido. Función suma, diferencia, producto y cociente. Función compuesta e inversa. Reconocer relaciones funcionales reales de variable real, determinar la variable dependiente e independiente y su dominio y recorrido.

8 Funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y circulares. Funciones definidas a trozos. Puntos comunes a dos gráficas. Límite de una función. Límites laterales. Indeterminaciones. Continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad. Realizar operaciones con funciones: suma, diferencia, producto y cociente, cálculo de la función compuesta de dos funciones y de la inversa de una dada. Reconocer las funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y circulares, utilizar sus propiedades y características y obtener sus gráficas. Representar funciones definidas a trozos y calcular los puntos comunes a dos gráficas de forma analítica o gráfica. Determinar, si existe, el límite de una función en un punto y de sus límites laterales. Obtener los límites infinitos y en el infinito de una función. Utilizar las propiedades de los límites para el cálculo de límites de operaciones con funciones. Resolver problemas de indeterminaciones en el cálculo de límites. Determinar la continuidad de una función en un punto y estudiar de sus discontinuidades, señalando de qué tipo son. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús Unidad 07: Iniciación al Cálculo de Derivadas El concepto de derivada es una de las herramientas más potentes de la matemática. La derivada de una función en un punto expresa la rapidez con la que cambia una función al variar la variable independiente y, además de ser un valioso instrumento para el estudio local de una función, muchos problemas de las ciencias aplicadas llevan implícito este concepto. Se introduce la derivada a través de la tasa de variación media de una función en un intervalo y se resuelve el problema histórico del cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto. La función derivada representa una continuidad natural del concepto de derivada. Asegurar las técnicas de derivación mediante la práctica suficiente es uno de los objetivos de la unidad. Por último, se estudia la relación de la derivada con la monotonía y puntos singulares de una función, lo que va a ser especialmente útil cuando se utilice dicha función como modelo para describir fenómenos

9 de tipo social o económico, donde la optimización de funciones adquiere un especial significado. Utilizar la variación media e instantánea de una función para interpretar situaciones de la vida cotidiana. Obtener la derivada de una función en un punto y la función derivada de una función dada, así como sus derivadas laterales. Utilizar la relación entre derivabilidad y continuidad para resolver distintos problemas. Calcular derivadas usando la regla de los cuatro pasos. Obtener derivadas de operaciones con funciones. Aplicar la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función compuesta. Utilizar la tabla de derivadas para hallar la función derivada de una función cualquiera. Obtener la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una función en un punto dado. Obtener el dominio, simetrías y puntos de corte con los ejes de una función dada. Calcular las asíntotas horizontales y verticales de una función. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su derivada primera. Obtener los puntos críticos de una función y sus máximos y mínimos a partir de sus derivadas primera y segunda. Determinar las regiones del plano donde la función existe. Representar gráficamente funciones utilizando todos los elementos anteriores. Resolver problemas reales de optimización de funciones Variación media y variación instantánea de una función. Derivada en un punto. Función derivada. Interpretación geométrica. Derivadas laterales. Derivabilidad y continuidad. Regla de los cuatro pasos. Tabla de derivadas. Derivada de operaciones con funciones. Regla de la cadena. Recta tangente y normal a una función. Dominio de un función. Simetrías de una función. Puntos de corte con los ejes. Asíntotas horizontales y verticales. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Regiones del plano donde existe la gráfica. Representación gráfica. Optimización. Hallar la variación media de una función en un intervalo y su variación instantánea. Determinar la derivada de una función en un punto y obtener la función derivada asociada a esa función. Utilizar la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas. Determinar las derivadas laterales de una función en un punto. Utilizar la relación entre derivabilidad y continuidad para resolver problemas. Obtener la función derivada de una función aplicando la regla de los cuatro pasos. Utilizar la tabla de derivadas para calcular derivadas de funciones. Calcular derivadas de operaciones con funciones y aplicar la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas. Obtener la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en un punto dado. Resolver distintos problemas donde aparezca

10 el concepto de derivada de una función. Hallar el dominio de una función. Estudiar las simetrías de una función y determinar los puntos de cortes con los ejes. Determinar las asíntotas verticales y horizontales y estudiar la posición relativa de la gráfica con respecto a ellas.