8.1 Al finalizar el tema el alumno debe conocer Características de la estimación utilizando los contrastes o test de hipótesis.

Transcripción

1 TEMA 8. Cotrastes de hipótesis. E este capítulo se epodrá el cotraste o test de hipótesis estadísticas, que está muy relacioado co la «estimació por itervalos» del capítulo aterior. Va a defiirse importates coceptos e este capítulo. Así: ipótesis estadística: Es cualquier afirmació que hagamos, verdadera o falsa, sobre algua característica descoocida de la població. Cotraste paramétrico: Si la hipótesis formulada se refiere al valor de u parámetro descoocido e de la població. Cotraste o paramétrico: Si la hipótesis formulada se refiere a la forma que tiee la fució de probabilidad [v. gr. la fució de cuatía, o la fució de desidad f(, )] de la població. E este capítulo sólo os referiremos a los cotrastes paramétricos. 8. Al fializar el tema el alumo debe coocer... Características de la estimació utilizado los cotrastes o test de hipótesis. Tipos de hipótesis estadísticas e los cotrastes paramétricos. Regió crítica y la regió de aceptació e u cotraste de hipótesis paramétrico. Diferetes tipos de errores que podemos cometer e u cotraste de hipótesis paramétrico. Potecia y fució de potecia de u cotraste de hipótesis paramétrico. El valor probabilístico o P-valor. Cotraste de hipótesis para la media de ua població ormal co desviació típica coocida. Cotraste de hipótesis para la media de ua població ormal co desviació típica descoocida. 8.2 Características de la estimació utilizado los cotrastes o test de hipótesis. Cuado se etrae ua muestra aleatoria de ua població, la evidecia obteida de la misma puede usarse para realizar iferecias sobre las características de la població. Como hemos visto, ua posibilidad es estimar los parámetros descoocidos de la població mediate el cómputo de estimadores putuales o - -

2 itervalos de cofiaza. Alterativamete, la iformació muestral puede utilizarse para verificar la validez de ua cojetura, o hipótesis, que el ivestigador realiza sobre la població. Por ejemplo: - U aalista afirma que la reta media aual de las familias residetes e la Comuidad de Madrid es al meos. Euros. Para verificar esta afirmació, se realiza u estudio utilizado ua muestra aleatoria de familias residetes e la comuidad y se ifiere el resultado a partir del resultado muestral. - Ua empresa recibe u cargameto de piezas y solo aceptará el evió si o hay más de u 5% de piezas defectuosas. La decisió de si aceptar la remesa puede basarse e el eame de ua muestra aleatoria de piezas. - Ua etidad fiaciera afirma que, e estos mometos de icertidumbre e iestabilidad bursátil, el 7 % de sus clietes ivierte e fodos coservadores. Para aalizar si es así, recoge las opiioes de ua muestra aleatoria de sus clietes. Los ejemplos puestos tiee algo e comú. La hipótesis se formula sobre la població y las coclusioes sobre la validez de esta hipótesis se basa e la iformació muestral. Para hacer más geeral uestra eposició, deomiaremos por el parámetro poblacioal de iterés (por ejemplo, la media poblacioal, la variaza o ua proporció). Supogamos que se formula ua hipótesis sobre este parámetro, y después tomamos ua muestra para ver si la hipótesis es cierta. La hipótesis que cotrastamos se llama hipótesis ula y la cotrastamos co la hipótesis alterativa. Después, a partir de los resultados obteidos e la muestra, o bie rechazamos la hipótesis ula a favor de la alterativa, o bie o rechazamos la hipótesis ula y supoemos que uestra estimació iicial del parámetro poblacioal podría ser correcta. El hecho de o rechazar la hipótesis ula o implica que ésta sea cierta, sigifica simplemete que los datos de la muestra so isuficietes para iducir u rechazo de la hipótesis ula. Es decir, uca se puede probar si lugar a dudas que la hipótesis ula es correcta y por cosiguiete uca es posible aceptarla como tal. Tato la hipótesis ula como la hipótesis alterativa puede ser simples o - 2 -

3 compuestas: - Si ua hipótesis, ula o alterativa, desiga u úico valor, llamado, para el parámetro poblacioal e este caso, se dice que la hipótesis es simple. - La hipótesis, ula o alterativa, tambié puede desigar u rago de valores para el parámetro descoocido. Ua hipótesis de este tipo se deomia compuesta y será cierta para más de u valor del parámetro poblacioal. E muchas aplicacioes, se cotrasta ua hipótesis ula simple digamos: : o Frete a ua alterativa compuesta, e alguos casos sólo iteresa alterativas a u lado de la hipótesis ula: :,o bie, :, las hipótesis alterativas de este tipo, se deomia alterativas uilaterales. o Frete a la alterativa geeral, de que el valor de es cualquiera distito de, es decir: :, las hipótesis alterativas de este tipo se deomia alterativas bilaterales. Volviedo a los ejemplos iiciales: o Sea reta media aual de las familias residetes e la Comuidad de Madrid. La hipótesis ula es que esta reta media aual es al meos. Euros ( es decir,. Euros o más ), luego teemos ua hipótesis ula compuesta: :. la alterativa obvia es que la reta media aual es iferior a. Euros, es decir: :. o La compañía resuelve aceptar evíos de piezas siempre que o tega evidecia para sospechar que más del 5 % so defectuosas. Deotemos por la proporció poblacioal de piezas defectuosas. La hipótesis ula aquí es que esta proporció es - 3 -

4 como mucho,5, es decir: :,5 basádose e la iformació muestral, se cotrasta esta hipótesis frete a la alterativa: :,5 o Como hipótesis de trabajo, la etidad fiaciera está iteresada e la proporció de clietes que cumple cierta característica. Si es la proporció de clietes que ivierte e fodos coservadores, la hipótesis ula es: :,7 esta hipótesis ula puede cotrastarse frete a la hipótesis alterativa bilateral, e la que u porcetaje distito del 7 % ivertirá e fodos coservadores. :,7 Después de especificar las hipótesis y de recoger la iformació muestral, debe tomarse ua decisió sobre la hipótesis ula. Las dos posibilidades que hay so o rechazar la hipótesis ula, o rechazarla a favor de la alterativa. Co el fi de llegar a ua de estas coclusioes, se adopta ua regla de decisió basada e la evidecia muestral. Esta regla de decisió es u euciado que emitimos para determiar si se rechaza la hipótesis ula. Especifica el valor crítico de los resultados muestrales. Si sólo se dispoe de ua muestra de la població, etoces el parámetro poblacioal o se coocerá co eactitud. Por cosiguiete, o se puede saber co seguridad si la hipótesis ula es cierta o falsa. Por tato, cualquier regla de decisió adoptada tiee cierta probabilidad de llegar a ua coclusió erróea sobre el parámetro poblacioal de iterés. De hecho, puede cometerse dos tipos de errores: - El Error de Tipo I, es rechazar la hipótesis ula cuado es cierta. Si la regla de decisió es tal que la probabilidad de rechazar la hipótesis ula cuado es cierta es, etoces se llama ivel de sigificació del cotraste. Por tato, la probabilidad de aceptar la hipótesis ula cuado es cierta es. - El Error de Tipo II, ocurre cuado o se rechaza la hipótesis ula y es falsa. Supogamos que para ua determiada regla de decisió particular, la probabilidad - 4 -

5 de cometer este error se deota por. Etoces, la probabilidad de rechazar ua hipótesis ula falsa es y se deomia potecia del cotraste. Lo ideal sería que las probabilidades de los dos tipos de errores fuese lo más pequeñas posible. Si embargo, hay ua clara compesació etre los dos errores. Cuado se ha tomado ua muestra, cualquier modificació de la regla de decisió que haga meos verosímil rechazar ua hipótesis ula cierta, ievitablemete, se traducirá e mayor verosimilitud de aceptar esta hipótesis cuado es falsa. Por tato, al dismiuir la probabilidad de cometer u Error de Tipo I, aumeta la probabilidad de cometer u Error de Tipo II. La úica forma de dismiuir simultáeamete las dos probabilidades de error será obteer más iformació sobre el verdadero valor del parámetro poblacioal, tomado ua muestra mayor. abitualmete, lo que se hace e la práctica, es fijar la probabilidad de cometer u Error de Tipo I a u ivel deseado, es decir, se fija el ivel de sigificació (los iveles de sigificació más corrietes, valores, so %, 5% y %). Esto determia la regla de decisió adecuada, que a su vez determia la probabilidad de u error de Tipo II. emos visto hasta ahora que, puesto que la regla de decisió queda determiada por el ivel de sigificació elegido, el cocepto de potecia o forma parte directa de la decisió de rechazar la hipótesis ula. Si embargo, el cálculo de la potecia, que resulta de la elecció de u ivel de sigificació particular, proporcioa al ivestigador ua valiosa iformació sobre las propiedades de la regla de decisió. Para u ivel de sigificació dado, cuato mayor sea la muestra, mayor será la potecia del cotraste. Para decidir lo grade que será la muestra, el ivestigador debe buscar equilibrio etre los beeficios de aumetar la potecia y el coste de adquirir iformació muestral adicioal. o Fases a realizar e u cotraste de hipótesis. E el cotraste de hipótesis utilizamos u cojuto de reglas que os permitirá determiar cual de etre las dos hipótesis establecidas, la hipótesis ula represetada por ( ), o la hipótesis alterativa ( ), debe aceptarse como cierta e base los - 5 -

6 resultados obteidos de la observació muestral. La hipótesis ula se matedrá mietras los datos o idique ua falsedad, uca se puede afirmar la hipótesis ula, lo úico que podemos hacer es aceptarla o rechazarla. Por tato, y e base a la iformació muestral, se itetará decidir si esta iformació os permite aceptar o rechazar la hipótesis establecida como ula. Se puede distiguir etre dos tipos de hipótesis: o Paramétricas, se refiere a características de los parámetros poblacioales. o No paramétricas, relacioadas co las características de la distribució.. Formular la hipótesis ula y la hipótesis alterativa e térmios de probabilidad. La especificació apropiada de la hipótesis ula y alterativa depede de la aturaleza propia del problema e cuestió. Las formas básicas de establecer las hipótesis sobre el parámetro so las siguietes: : : : : : : Las hipótesis debe ser formuladas de tal maera que sea mutuamete ecluyetes y complemetarias. 2. Determiar el estadístico apropiado, que se utilizará para rechazar o o rechazar la hipótesis ula. 3. Seleccioar el ivel de sigificació, valor.las hipótesis se cotrasta a u ivel de sigificació elegido, este ivel permite defiir la regió de rechazo o regió critica. El valor del ivel de sigificació, idica la importacia o sigificado que el ivestigador atribuye a las cosecuecias asociadas de rechazar icorrectamete la hipótesis ula. 4. Determiar la regió crítica o regió de rechazo y la regió de aceptació e la curva de la distribució del estadístico. El coocimieto de la regió crítica os permitirá decidir si se acepta o rechaza la hipótesis ula, e fució del estadístico elegido y del valor de sigificació fijado

7 ) : : 2) : : 3) : : - 7 -

8 5. Seleccioar aleatoriamete la muestra y calcular el valor del estadístico. Después de seleccioar de maera aleatoria la muestra, se ha de ver si el valor del estadístico calculado para esta muestra, cae e la regió crítica o e la regió de aceptació. 6. Iterpretació. Si el valor calculado para el estadístico cae detro de la regió crítica, etoces la hipótesis ula se rechaza. Y si el valor calculado cae detro de la regió de aceptació, etoces la hipótesis ula o se rechaza. 8.3 Valor Probabilístico o P-valor. Los paquetes iformáticos de aplicació estadística os proporcioa ua forma alterativa de tomar la decisió de rechazar o o la hipótesis ula basádose e lo que se deomia valor probabilístico o p-valor. El software estadístico proporcioa la probabilidad de obteer u valor del estadístico de prueba que sea al meos ta improbable o etremo como el valor eperimetal observado (supoiedo cierta). Es decir, se calcula la probabilidad de rechazo que tedría ua regió de rechazo que empezase e el valor eperimetal. Esta probabilidad recibe el ombre de p-valor. Ua vez determiado el p-valor se decide rechazar o o la hipótesis ula comparado este valor co el ivel de sigificació deseado. Cómo iterpretar el p- valor?: Cotraste o sigificativo: p- valor > α (o se rechaza ) Cotraste sigificativo: p- valor α (se rechaza ) 8.4 Relació etre los cotrastes de hipótesis y los itervalos de cofiaza. Podemos relacioar ambos coceptos de tal maera que si el valor del estimador obteido a partir de ua muestra aleatoria seleccioada, estuviese icluido e el itervalo de cofiaza costruido al ivel (- )% etoces o se rechazará la hipótesis ula al % de ivel de sigificació. E caso cotrario se rechazará la hipótesis ula

9 Ejemplos:. Ejemplo de cotraste para la media de ua distribució ormal: variaza poblacioal coocida. Supogamos ua població N,, co coocida. El objetivo es cotrastar ua hipótesis sobre la media poblacioal descoocida, mediate ua muestra aleatoria X,, X simple de tamaño. ) Comecemos co el problema de cotrastar la hipótesis ula de que la media poblacioal es al meos u cierto valor, esta hipótesis se represeta: : Supogamos que la hipótesis alterativa es: : Ua vez que hemos formulado tato la hipótesis ula como la hipótesis alterativa, determiamos el estadístico apropiado. Es atural que el cotraste sobre la media poblacioal se base e la media muestral. Como vimos e apartados ateriores, la distribució muestral de la media muestral es ormal, co media y desviació típica. Es decir, la variable aleatoria: Z sigue ua distribució ormal estádar N, Debemos seleccioar el ivel de sigificació, valor. Es decir, establecemos ua regla de decisió tal que, la probabilidad de rechazar la hipótesis ula, cuado es cierta, sea. Para determiar la regió de rechazo admitimos que la hipótesis ula es verdadera. Como e este caso, para la hipótesis ula o teemos u valor cocreto si o u rago de valores ), debemos elegir u valor cocreto para poder obteer la ( distribució del estadístico media muestral bajo la hipótesis ula : cierta. Seleccioamos el valor que es el meor valor que satisface la desigualdad, siedo etoces el ivel de sigificació el máimo. La regió de rechazo se obtedría teiedo e cueta que la variable aleatoria: - 9 -

10 Z sigue ua distribució ormal estádar. Y la probabilidad de rechazar la hipótesis ula, cuado es cierta: c P c / P tipificado teemos: P z Z z Sabiedo c c z c es el valor crítico que delimita la regió de rechazo de la regió de aceptació, la regió de rechazo vedrá determiada por: z Que la media muestral observada, se ecuetre e la regió de rechazo o e la regió de aceptació, os permitirá establecer si se rechaza o o rechaza la hipótesis ula. 2) Este razoamieto tambié es válido e u cotraste de la forma: : : E este caso la regió de rechazo quedaría defiida como aparece e el gráfico y c valor crítico que delimita la regió de rechazo de la regió de aceptació sería: - -

11 c z Y por tato, la regió de rechazo vedrá defiida por: z 3) Los cotrastes vistos hasta ahora se diferecia del cotraste bilateral: : : Este tipo de cotraste preseta dos regioes de rechazo. Por tato eistirá dos valores críticos (uo iferior y otro superior) que delimita la regió de rechazo de la regió de aceptació: if z 2 La regió de rechazo viee defiida: z 2 sup z 2 z ; 2 y la regió de aceptació será: z 2 z 2 - -

12 Supogamos que dispoemos de ua muestra aleatoria de observacioes de ua població co media y variaza 2. Si el tamaño de la muestra es grade (para muestras de 3 o más observacioes) los procedimietos de cotraste desarrollados para el caso e el que la variaza poblacioal es coocida puede emplearse cuado es descoocida reemplazado 2 por la variaza muestral observada. Además, estos procedimietos resulta aproimadamete válidos icluso si la distribució de la població o es ormal. 2. Ejemplo de cotraste para la media de ua distribució ormal: variaza poblacioal descoocida. E este caso cosideraremos u uevo problema de ua muestra aleatoria de observacioes tomadas de ua població ormal, e el que se quiere cotrastar ua hipótesis sobre la media poblacioal. La variaza poblacioal o es coocida y el tamaño de la muestra o es muy grade. Los procedimietos aplicados e la secció aterior o so apropiados. E este caso la variable aleatoria: t s sigue ua distribució t de Studet co grados de libertad. Usado el mismo argumeto que se utilizó e el apartado aterior, co la distribució t de Studet tambié podemos obteer cotrastes válidos. Supogamos ua muestra aleatoria simple,, que se ha obteido de ua població ormal co media y desviació típica descoocida. Si la media y la - 2 -

13 variaza de la muestra so: i i y 2 2 s i Para u ivel de sigificació teemos los siguietes cotrastes de hipótesis: i ) : : Teiedo e cueta que es u cotraste uilateral, e el que la regió de rechazo queda defiida a la izquierda, y que el estadístico de prueba sigue ua distribució t de Studet co grados de libertad. La regió crítica vedrá determiada por: t s 2) : : La regió crítica vedrá determiada por: t s 3) : : La regió de rechazo viee defiida: s t ; t 2 y la regió de aceptació será: 2 s t s t 2 2 s - 3 -

14 8.5 Resume y pregutas frecuetes. Objetivo de la estimació utilizado cotraste de hipótesis. Qué es ua hipótesis estadística? Qué tipos de hipótesis estadísticas podemos realizar e u cotraste de hipótesis paramétrico? Eplique qué es la regió crítica y la regió de aceptació de u cotraste de hipótesis. Cuáles so los resultados posibles de uestra decisió sobre la hipótesis ula e u cotraste? Defia el cocepto de error de tipo I y II e u cotraste de hipótesis paramétrico. Cómo se puede medir? Eplique el sigificado que tiee el valor crítico e u cotraste de hipótesis paramétrico. Qué es la potecia de u cotraste de hipótesis? Qué es la fució de potecia de u cotraste de hipótesis? Eiste algua relació etre el error de tipo I y el error de tipo II? Eplique la respuesta. Qué procedimieto se suele seguir para realizar u cotraste de hipótesis paramétrico?. Qué efecto tiee el ivel de sigificació o el tamaño de la muestra sobre la potecia de u cotraste de hipótesis? Qué estadístico se utiliza e u cotraste de hipótesis para la media de ua població ormal si la desviació típica poblacioal es coocida? Y si la desviació típica poblacioal es descoocida? Cómo está delimitada la regió crítica y de aceptació e u cotraste de hipótesis para la media de ua població ormal? Eplíquelo mediate u gráfico. Defiició y utilizació del p-valor. Relació etre los cotrastes de hipótesis y los itervalos de cofiaza

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