Universidad de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Física Electromagnetismo

Transcripción

1 Universi e hile Fcult e iencis Deprtmento e Físic Electromgnetismo orrección Tre N o 2 Profesor: Pero Mirn Pulic el e Aril Ayuntes: Mnuel Rmírez Griel Román. ) Semos que l cpcitnci equivlente pr un conjunto e cpcitores será: pr n cpcitores en prlelo y eq = n, ) = , 2) eq 2 3 n pr n cpcitores en serie. Entonces, en primer lugr, seprremos nuestro circuito en sectores que nos permitn ir sumno los cpcitores y se en serie o prlelo según correspon. Llmemos sectores A, B y los siguientes: A B Figur : ircuito con sectores A, B y. omo poemos ver en l figur, tnto en el sector A como en el B se encuentrn un cpcitor y uno 2 en serie, por lo tnto, usno l ecución 2): Luego, eqa = + 2 =

2 eqa = = eqb. 3) En cmio, en el sector se encuentrn os cpcitores 2 en prlelo, por lo que usremos l ecución ), entonces: eq = = ) Vemos como se ve nuestro circuito consierno los cpcitores equivlentes encontros, D eq A 3 eq B eq Figur 2: ircuito con sector D. omo poemos ver, el sector D posee tres cpcitores en prlelo, entonces: eqd = eqa eqb. 5) Finlmente, nos quen os cpcitores en serie: eqt = eqd + eq = eqd + eq eq eqd, por lo tnto, el cpcitor equivlente totl el circuito es: eqt = eqd eq eq + eqd. 6) Finlmente, l reemplzr los tos numéricos en l ecución 6), se otiene que: eqt = 6, 06 [µf ]

3 ) Por efinición semos que Q = V ; luego, Q T otl = eqt V T otl. Ahor, como l crg es igul pr toos los cpcitores conectos en serie, Q T otl = Q Sector = Q SectorD, luego, Q SectorD = eqt V T otl. 7) Aemás Q SectorD = eqd V SectorD. 8) Igulno 7) con 8), eqt V T otl = eqd V SectorD V SectorD = eqt V T otl eqd. 9) omo en un circuito e cpcitores en prlelo l iferenci e potencil es el mismo pr c cpcitor, V SectorD = V 3. Entonces, Finlmente, reemplzno 9) en 0): Q 3 = 3 V SectorD. 0) Q 3 = 8, [] 2. ) Anlicemos el prolem como si fuern un pr e cpcitores conectos en prlelo, uno e ncho x con un ieléctrico e constne κ y otro e ncho l x y con vcío entre ls plcs, mos conensores e ncho. De est mner, l cpcitnci totl estrá etermin por, ) Semos que = ieléctrico + vcío = x κε 0 + ε 0 l x) = ε 0 κx + l x) = ε 0 xκ ) + l) ) y E = Q2 2, 2)

4 luego, reemplzno l ecución 3) en 2) otenemos Q = V, 3) sí, reemplzno finlmente l ecución ) en 4) V )2 E = 2 E = V 2, 4) 2 E = ε 0 2 xκ ) + l) V 2. 5) 3. ) Pr resolver este prolem primero usquemos l cpcitnci e un elgo conensor e plcs prlels configuro e l mner siguiente: Figur 3: Delgo cpcitor e plcs prlels Los cpcitores que presentn est configurción se pueen nlizr como un pr e conensores en serie, por lo tnto su cpcitnci viene por eq = 2 2 +, 6) one y 2 son ls cpcitncis e los conensores con constntes ieléctrics κ y respectivmente. Por otro lo, semos = κ ε 0 l x h 7) 2 = ε 0 l x h 2 8) Luego, reemplzno ls ecuciones 7) y 8) en 6) tenemos

5 eq = eq = ) l x l x κ ε 0 h ε 0 h 2 l x + κ ε 0 h κ ε 2 0 l2 x) 2 ε 0 l x h 2 ) h h 2 ε 0 l x κ h + h 2 eq = κ h h 2 ε 0 l x h h 2 κ h 2 + h ε 0 l κ eq = x 9) κ h 2 + h Ahor, consieremos el prolem inicil e l siguiente mner: Figur 4: pcitor e plcs prlels con ieléctricos κ y De l figur 4 poemos esprener que l segmentr verticlmente el conensor en elgos elementos, otenemos cpcitores compuestos por os ieléctricos, configuros e l mism mner que en el plntemiento que hicimos inicilmente. Luego, llmemos l cpcitnci el elgo conensor, entonces su vlor estrá etermino por l ecución 9), one De mner que h = L x h 2 = L x x = x l = W = ε 0 W κ κ L x) + L = ε 0W L κ x x) κ x + L x x

6 omo LW es igul l áre A) el cpcitor completo, poemos escriir = κ ε 0 A x 20) κ )x + L Así, como toos estos elgos conensores se encuentrn en prlelo, el vlor e l cpcitnci complet será l sum lgric e ls cpcitncis pequeñs pr toos los vlores e x entre 0 y L. Por lo tnto l cpcitnci complet f ) será, f = L 0 f = κ ε 0 A f = κ ε 0 A f = κ ε 0 A L f = κ ε 0 A κ ) ln 0 κ )x + L x [ ln κ )x + L) κ [ ] lnκ L) ln L) κ ) κ ] L 0 2) Luego multiplicno l ecución 2) por κ 2 κ 2 κ ε 0 A f = κ ) ln =, otenemos finlmente ) Ahor vemos que sucee cuno κ = = κ. Pr resolver este prolem vemos primero el vlor que tom el siguiente límite: κ ) 22) lnx) lím x x lím x lím x lnx) x lnx) x lnx)) = lím x x ) /x = lím x =, 23) por lo tnto, cuno κ = en otrs plrs κ / = ) se tiene e l ecución 22) que, ) f = κε 0A lím ln κ κ κ / f = κε 0A Lo que finlmente coincie con el vlor e l cpcitnci cuno tenemos un único ieléctrico e constnte κ.

7 4. En primer lugr, eemos seprr nuestro circuito en sectores, como muestr l figur 5, que nos permitn ir sumno los cpcitores en serie y prlelo según correspon. A B Figur 5: ircuito con sectores A, B y. Los tres sectores seleccionos en l figur preceente corresponen cpcitores conectos en serie, por lo tnto eeremos usr l ecución 2) pr encontrr sus cpcitores equivlentes, es ecir, por lo tnto, A = + A = 2, Y por el otro lo, A = 2 = B.. 24) entonces, = + + = 3, Ahor, nuestro circuito se verá como lo muestr l figur 6: = 3. 25) El sector D equivle os cpcitores en prlelo, por lo que usno l ecución ) y reemplzno 24) en ell, se otiene que:

8 D A B Figur 6: ircuito con sector D. D = + A = + 2 = = ) Entonces nuestro circuito se porí representr e l siguiente form: E D B Figur 7: ircuito con sector E. omo peemos ver en l figur 7, el sector E corresponen tres cpcitores en serie, es ecir, hor, si reemplzmos 26) en 27), = E + + D = 2 +, 27) D E = = 8 3.

9 Luego, E = ) Finlmente, nuestro circuito se puee representr como lo muestr l figur 8: Eq E B Figur 8: ircuito finl. Poemos ver que los cpcitores se encuentrn en prlelo, por lo tnto, Reemplzno 28), 24) y 25) en 29), otenemos Eq = E + + B +. 29) por lo tnto, Eq = = 24 Eq =