SEMANA 06: CIRCUNFERENCIA

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1 1 SEMANA 06: ECUACION DE LA : 1. Canónica ² + y² = r², su centro es C (0, 0). Ordinaria ( h)² + (y-k)² = r², su centro es C (h, k) 3. General ² + y² + D +Ey + F= 0 Su centro es C = (-, ). Su radio es r= 4 PARA QUE UNA EXPRESIÓN DEL TIPO ² + y² + D +Ey + F= 0 SEA UNA DEBE CUMPLIR QUE: A. Los coeficientes de e y sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación. B. No tenga término en y. C. ( ² 0 Problema 01: Indica si la ecuación: 4 + 4y - 4-8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia A. Como los coeficientes de e y son distintos a la unidad, dividimos por 4: B. No tiene término en y. C. Es una circunferencia, cumple las tres condiciones. Problema 0: Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(;6) y radio r = 4 ( - )² + (y - 6)² = 4² ² - () + ² + y² - (6y) + 6² = 4² ² y² - 1y + 36 = 16 ² + y² - 4-1y =0 ² + y² - 4-1y + 4 = 0 D = -4, E = -1, F = +4 Problema 04: Encuentra el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación + y 16 + y PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (;6) y con radio r = 4. Dibuje la curva. ) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3. 3) Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(;6) y radio r = 4 4) Hallar la ecuación general de la circunferencia de radio 4 y centro (3;). 5) Hallar el radio y el centro de la circunferencia. + y y 6) Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación 4² + 4y² y = 0 7) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(,0), B(,3), C(1, 3). 8) Indicar si la ecuación: 4 + 4y - 4-8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

2 Es el conjunto de puntos (;y) en R, tales que su distancia a un punto fijo llamado centro es siempre igual a una constante llamada radio. Es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano. Se le conoce a la ecuación de una circunferencia de radio r, r 0 y centro P ( h; ) : 0 k ECUACIÓN ORDINARIA DE LA Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "". ( h)² + (y-k)² = r² Problema 01: Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(;6) y con radio r = 4 ( - )² + (y - 6)² = 4² ECUACIÓN CANÓNICA DE LA Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "". ² + y² = r² Problema 0: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3 ² + y ² = 3² ECUACIÓN GENERAL DE LA Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así: ² + y² + D +Ey + F= 0 Problema 03: Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(;6) y radio r = 4 ( - )² + (y - 6)² = 4² ² - () + ² + y² - (6y) + 6² = 4² ² y² - 1y + 36 = 16 ² + y² - 4-1y =0 ² + y² - 4-1y + 4 = 0 D = -4, E = -1, F = 4 Verificamos: El centro es: C = (-, ) C = (, ) C = (,6 ) El radio es r= 4 r= r= = 64 = 8 = 4 r= 4 Problema 04: Hallar la ecuación general de la circunferencia de radio 4 y centro (3;).

3 Solución: ( h) + ( y k) = r ( 3) + ( y ) = y 6 + y = = 0 + y 6 3 = 0 Problema 05: Hallar el radio y el centro de la circunferencia. + y y Solución: Agrupamos términos y pasamos el término independiente al otro lado. Completamos trinomios y lo que sumemos (para completar), lo sumamos también del otro lado. Se pasa a la forma: ( h) + ( y k) = r ( ) + ( y + 18y + 81) = ( + 3) + ( y + 9) = 5 Entonces: Centro : C(-3;-9), Radio : r=5 Problema 06: Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación 4² + 4y² y = 0 PROBLEMA 07. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(,0), B(,3), C(1, 3). Si sustituimos e y en la ecuación por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema: PROBLEMA 08. Indicar si la ecuación: 4 + 4y - 4-8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio. A. Como los coeficientes de e y son distintos a la unidad, dividimos por 4: 3

4 B. No tiene término en y. C. Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones. 4

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