Ecuaciones Diferenciales

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1 1 Parte IV Ecuaciones Diferenciales Esta sección tiene como propósito dar algunos de los conceptos básicos relacionados con las ecuaciones diferenciales e ilustrar su importancia en la resolución de problemas en diferentes campos del conocimiento. Se estudiarán algunos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales y algunas de sus aplicaciones. 1. De nición de Ecuación Diferencial Si en una ecuación, la incógnita es una función de una o varias variables y si en la ecuación aparece una o más derivadas de la función (derivadas parciales si se trata de una función de varias variables) entonces se dice que ella es una ecuación diferencial. Recordemos que dada una función y = f (x) su primer derivada se denota por y 0 o por. Esta misma notación se generaliza para la segunda, tercera,..., n-ésima derivada, respectivamente, de la siguiente forma y 00 o bien d2 y 2, y000 o bien d3 y 3, y(4) o bien d4 y 4, : : :, y(n) o bien dn y n, Ejemplo 1.1 Las siguientes son ecuaciones diferenciales: (a) d2 y 2 + xy 2 = 0 (b) y 00 + (2 cos x) y 0 + y = e @t = v; v = v (s; t) una función de dos variables. (d) y xy 0 + x 2 y = x + 1 u 2 u = 0; u = u (x; y; z) una función de tres Según la lista de ecuaciones anterior, se puede notar que existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, donde pueden estar involucradas varias variables y derivadas, lo que claramente nos remite a una clasi cación de las mismas. En primer lugar observe que en (a), (b) y (d) la función incognita depende de una sola variable; estas se llaman ecuaciones diferenciales

2 1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL 2 ordinarias. Mientras que en las ecuaciones (c) y (e) la función incógnita depende de dos y tres variables, respectivamente. Si en una ecuación diferencial la función incógnita depende de dos o más variables se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales o simplemente una ecuación diferencial parcial. Nuestro propósito es estudiar las ecuaciones diferenciales ordinarias, estas se pueden calsi car de acuerdo con el orden de la mayor de las derivadas de la función incógnita presente en la ecuación. Para lo cual vamos a dar la siguiente de nición: De nición 1.1 (Oden de una ED) Si el orden máximo de las derivadas que guran en una ecuación diferencial es igual a n, se dice que la ecuación diferencial es de orden n (o que es de n esimo orden): Ejemplo 1.2 Determine el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) y 00 + xy 0 = sin x (b) y (4) y 000 = y 0 y + 2x 5 (c) d2 y 2 + xy 2 = 0 (d) y xy 0 + x 2 y = x + 1 En general, una ecuación diferencial ordinaria de n tipo R/ (a) orden 2, (b) orden 4, (c) orden 2 y (d) orden 3 F x; y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y (n) = 0 esimo orden es una ecuación del donde F es una función de n + 2 variables, donde x es la variable independiente, y la función incógnita (depende de x) y y 0 ; y 00 ; : : : ; y (n) las derivas de y. Ejemplo 1.3 Note que la ecuación (d) del ejemplo anterior es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden donde F (x; y; y 0 ; y 00 ; y 000 ) = y xy 0 + x 2 y x 1

3 2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL 3 2. Solución de una Ecuación Diferencial Ahora vamos a considerar el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria de n esimo orden. De nición 2.1 (Solución de una ED) Una solución de una ecuación diferencial ordinaria F x; y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y (n) = 0 sobre un intervalo abierto I es una función y = f (x) tal que las derivadas f 0 (x) ; : : : ; f (n) (x) existen y se satisface que F x; f (x) ; f 0 (x) ; f 00 (x) ; : : : ; f (n) (x) = 0 para cualquier x 2 I. Ejemplo 2.1 Veri que que la función dada es solución de la ecuación diferencial. (a) d2 y 2 + y = 0; f (x) = 2 sin x + 3 cos x (b) y y 00 3y 0 = 0; g (x) = e 3x (c) 2x 2 y xy 0 y = 0; y = x 1 2 (d) u 00 u = e 2t ; u = C 1 e t + C 2 e t e2t, con C 1 ; C 2 constantes reales. Considere ahora la siguiente ecuación diferencial y 0 = 2x la función f 0 (x) = x 2 es una solución de dicha ecuación. Note que también las funciones f 1 (x) = x 2 + 1, f 2 (x) = x y f 3 (x) = x 2 + 3, son solución de la ecuación diferencial. De hecho, la función f de nida por f (x) = x 2 + C es una solución de la ecuación y 0 = 2x para cualquier constante real C. Nos referiremos a C como una constante arbitraria. Note que la ecuación es de primer orden y esta solución tiene una constante arbitraria. Podemos ahora introducir ciertos conceptos referentes a las soluciones de las ecuaciones diferenciales.

4 2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL 4 Solución General: Normalmente una ecuación diferencial de orden n tiene una solución que involucra n constantes arbitrarias; tal solución se llama solución general de la ecuación diferencial. Solución Particular: Una solución particular es la que se obtiene de una solución general al sostituir las constantes por valores especí cos. Generalmente estos valores especí cos provienen de ciertas condiciones dadas. Solución Singular: Estas son soluciones que no se pueden obtener a partir de la solución general. Problema de Valores Iniciales: Es un problema que busca determinar la solución de una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especi cadas en un cierto valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. Ejemplo 2.2 Considere la ecuación diferencial (d) del ejemplo 2.1 u 00 u = e 2t (a) Comprobamos que la función u = C 1 e t + C 2 e t e2t es solución general de la ecuación diferencial. Note que esta ecuación es de segundo orden y que la solución posee dos constantes arbitrarias C 1 y C 2. (b) Si se dan valores especí cos a C 1 y C 2 se obtiene soluciones particulares para la ED, como las siguientes u = 1 3 e2t ; con C 1 = C 2 = 0 u = e t + e t e2t ; con C 1 = C 2 = 1 u = 1 2 et 1e t e2t ; con C 1 = 1 2 y C 2 = 1 Note que esta ecuación diferencial no posee soluciones singulares. (c) Halle la solución de la ecuación u 00 u = e 2t con las condiciones iniciales u (0) = 1 y u 0 (0) = 0. (estamos ante un problema de valores iniciales). R/ u = 2e t e2t

5 3 EJERCICIOS 5 Ejemplo 2.3 Considere la ecuación diferencial (y 0 ) 2 4y = 0 (a) Compruebe que y = (x + C) 2 es solución general de la ecuación diferencial. (b) Enuncie almenos cuatro soluciones particulares. (c) Compruebe que g (x) = 0 es también solución de la ecuación diferencial (esta es un solución singular Por qué?) Note que el proceso para comprobar si una función es solución de una ecuación diferencial es muy sencillo, pues todo se reduce a derivar, sustituir y efectuar manipulaciones algebraicas. 3. Ejercicios 1. Cuáles de las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias? En caso de serlo determine su orden. a) 3y xy 0 = e x b) + x2 y = xe x c) 4y(5) + 3x 2 y (4) y 0 d) d3 y 3 + 4d2 y 2 + = u f ) u0 + 3u 00 u = xu = 0 = 2xy h) x u y = 2. Indique el orden de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales a) 3y 0 + 4y 00 = 5y 000 b) 4u (4) + u 5 + 6u = x c) 3u00 10xu 0 u 000 = 2xu d) sin y cos y 0 = y 000 e) (tan x) y + e x y 0 = 2y Determine si la función o las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial correspondiente. Considere C; C 1 y C 2 constantes arbitrarias. a) y 00 y = 0; y 1 (x) = e x ; y 2 (x) = 1 2 (ex + e x ) b) y 00 +2y 0 3y = 0; y 1 (x) = e 3x ; y 2 (x) = e x c) x 2 u xu 0 + 4u = 0 con x > 0; u 1 (x) = x 2 ; u 2 (x) = x 2 ln x d) y 00 + y = sec x con 0 < x < 4 ; y = (cos x) ln (cos x) + x sin x e) yy 0 = e 2x ; y 2 = 3e 2x + C

6 3 EJERCICIOS 6 f ) xu 0 = u + x 2 + u 2 ; u = x tan x g) y + xy 0 = x 4 (y 0 ) 2 ; y = C 2 + C x h) y 00 4y = 0; y = C 1 e 2x + C 2 e 2x i) y00 + (sin x) y 0 sin x + 2 cot x = y x con 0 < x < ; y = x sin x 4 j ) 2y0 + 2y 00 y 000 = x 3 + x 2 x con x > 0; y = x + ln (Cx) ; con C > Pruebe que y (x) = Ae x + Bxe x (A y B constantes arbitrarias) es solución de la ecuación diferencial y 00 2y 0 + y = 0. Encuentre un valor para A y un valor para B, tales que y (0) = y 0 (0) = Pruebe que y (x) = A cos x + B sin x cos 2x (A y B constantes) es solución de y 00 + y = 3 cos 2x Calcule un valor de A y un valor de B, de manera que y (0) = 0 y y 0 (0) = 2 6. Muestre que y = 4e 2x +2e 3x es una solución del problema de valores iniciales >< y 00 + y 0 6y = 0 y (0) = 6 >: y 0 (0) = 2 7. Si y = (x 2 + C) e x es la solución general de +y = 2xe x, resuelva los siguientes problemas de valores iniciales a) b) < : < : + y = 2xe x y (0) = 2 + y = 2xe x y ( 1) = e + 3. Si y = C 1 e 4x + C 2 e 3x es la solución general de d2 y 12y = 0, resuelva los 2 siguientes problemas de valores iniciales a) b) >< >: >< >: d 2 y 2 d 2 y 2 12y = 0 y (0) = 5 y 0 (0) = 6 12y = 0 y (0) = 2 y 0 (0) = 6

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