1.2 Definición de una ecuación diferencial

Transcripción

1 4 Ecuaciones diferenciales 4. Una parte importante del proceso de solución es tener presente ciertas condiciones, como la velocidad inicial la altura inicial del cuerpo en el ejemplo anterior, que quedarán incorporadas en la epresión final de la función que resuelve la ED. 5. En el ejemplo anterior el proceso de solución consistió simplemente en integrar la ED; de hecho en el proceso de solución generalmente habrá que hacer alguna integración, pero en otros casos podrían requerirse otros procedimientos. En las secciones siguientes definiremos con toda precisión lo que consideraremos una ecuación diferencial ordinaria, lo que se debe entender por sus soluciones cómo, al añadir ciertas condiciones adicionales a una ED, es posible determinar una única solución. En los siguientes capítulos nos ocuparemos de los diferentes métodos de solución para ellas. 1. Definición de una ecuación diferencial Antes de iniciar, es importante recordar que una ecuación es una proposición matemática que involucra una igualdad entre dos epresiones de cualquier índole, con la condición de que estas epresiones contengan términos indefinidos. Estos términos son epresiones, comúnmente llamadas incógnitas o indeterminadas, que representan algo (un número, vector, matriz, función, etc.) que no tiene asignado un valor fijo, pero que puede ser sustituido, en teoría al menos, por cualquier valor apropiado. Algunos valores convierten a la ecuación en una proposición falsa otros en una proposición verdadera; a estos últimos valores se les llama soluciones de la ecuación. Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación en la que se relaciona una variable independiente, una variable dependiente al menos una de sus derivadas. Una manera de epresar estas ecuaciones diferenciales es F.; 0 ; ;.n/ / D 0: Nos ocuparemos únicamente de estudiar las ED ordinarias que son las que tienen sólo una variable independiente todas las derivadas se realizan con respecto a esa variable independiente. Por otra parte, las derivadas que aparecen en una ecuación diferencial pueden ser de varios órdenes: primeras derivadas, segundas derivadas etc. Al maor orden de la derivada que participa en la ecuación diferencial se le llama el orden de la ED. Ejemplo 1..1 Las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales ordinarias: 1. 0 D, de orden D, de orden D 3, de orden / 5 5. d ( d D r 1.3/ D 3, de orden 4. ), de orden 1. k Las ecuaciones diferenciales parciales, o ecuaciones en derivadas parciales, son aquellas que tienen más de una variable independiente las derivadas (necesariamente parciales) se efectúan con respecto a estas variables independientes. Ejemplo 1.. Las siguientes son ecuaciones diferenciales @ C u, de orden

2 1.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales u D 0, D de orden. ), de sistema de dos ecuaciones parciales de orden 1.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales Soluciones de una ecuación Ejemplo Resolver la ecuación: D 0. H Resolver esta ecuación significa encontrar todos los valores que satisfacen la ecuación. Cuáles son esos valores? Depende en parte del conjunto en donde busquemos (es decir, el universo de trabajo), como se ve a continuación: 1. Si consideramos que R (el universo de trabajo es la recta real), el conjunto solución consta de un sólo punto D 1. Lo mismo sucedería si consideramos como universo de trabajo sólo a los números enteros o bien sólo a los racionales. Solución de D 0. D 1. Si el universo es ahora el plano R, el conjunto solución de D 0 consta de todos los puntos.; / que pertenecen a la recta D 1, paralela al eje, que pasa por el punto.1; 0/..1; / Solución de D 0..1; 0/ D 1 3. Si el conteto del problema para resolver la ecuación D 0 es el espacio R 3, el conjunto solución consta de todos los puntos.; ; z/ que se encuentran en el plano D 1, paralelo al plano z que pasa por el punto.1; 0; 0/.

3 6 Ecuaciones diferenciales z Solución de D 0. Observe que la solución de la ecuación considerada cambia dependiendo del universo de trabajo. Ejemplo 1.3. Resolver la ecuación: C D 5. H 1. Si el universo de trabajo es el plano R, el conjunto solución de C D 5 consta de todos los puntos.; / que pertenecen a la circunferencia de radio 5 con centro en el origen. La figura siguiente marca algunas de las soluciones como pares de números reales:. 3; 4/.0; 5/.4; 3/. 5; 0/.5; 0/. 3; 4/.0; 5/.4; 3/. Si trabajamos en R 3, el conjunto solución de C D 5 consta de todos los puntos.; ; z/ que pertenecen al cilindro recto circular de radio 5, con eje de simetría el eje z. z

4 1.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales 7 3. Cambiando el enfoque, supongamos que ahora nuestro universo es F D f f W R! R g, el conjunto de las funciones reales de variable real: podemos obtener dos funciones continuas como soluciones de la ecuación C D 5, despejando en función de (suponiendo que deseamos que la variable independiente sea ). C D 5 ) D 5 ) 1 D p 5 D p I ambas con dominio Œ 5; 5 : 5 Las gráficas de estas funciones son las siguientes: 1 D p D p 5. También eisten soluciones discontinuas como la siguiente: D (p 5 si 5 < 0I p 5 si 0 5: 5 5 En los ejercicios problemas de este libro estaremos buscando por lo general soluciones f./ F que sean continuas. Observe que una función como g./ D p 5, con 5 0, también es solución continua de la ecuación C D 5; sin embargo, en el universo F D f f W R! R g se tomarán las soluciones con el dominio más amplio posible. Así, es preferible la solución h./ D p 5, con 5 5. De los ejemplos anteriores podemos concluir que una ecuación puede tener una, varias o una infinidad de soluciones esto depende no sólo de la ecuación en sí, sino también del conjunto en el que buscamos las soluciones.

5 8 Ecuaciones diferenciales 1.3. Solución de una ecuación diferencial Una solución de una ecuación diferencial de orden n en un intervalo I es una función definida en dicho intervalo que puede derivarse al menos n veces que, al sustituirse junto con sus derivadas, se satisface a la ED. Esto es, resulta una identidad para los valores de en el intervalo I. Ejemplo Verificar que las funciones D 3 C 7 C Ce 4 (C R, constante) son soluciones de la ecuación diferencial 0 C 4 D 1 C 34 C 7: H Derivamos: D 3 C 7 C Ce 4 ) 0 D 6 C 7 4Ce 4 : Sustituendo & 0 en la ecuación diferencial, resulta: 0 C 4 D 6 C 7 D 6 C 7 D 1 C 34 C 7: La ED se satisface para todos los valores de R. 4Ce 4 C 4.3 C 7 C Ce 4 / D 4Ce 4 C 1 C 8 C 4Ce 4 D Con mucha frecuencia una solución de una ED puede estar definida de manera implícita como en el siguiente ejemplo. Ejemplo Usando derivación implícita, demostrar que las funciones definidas implícitamente por la ecuación son soluciones de la ecuación diferencial: H Derivamos con respecto a : Despejamos 0 : C 3 D 1; 0 D 6 C 6 : C 3 D 1 ) 0 C C 3 0 C 6 D 0: 0. C 6 / D 6 ) 0 D 6 C 6 : Ejemplo Encontrar los valores de r de tal manera que la función D e r sea solución de la ecuación diferencial: H Derivamos dos veces: Sustituendo, 0 & 00 en la ecuación diferencial: 00 C 7 0 C 1 D 0: D e r ) 0 D re r ) 0 0 D r e r : r e r C 7re r C 1e r D 0 ) e r.r C 7r C 1/ D 0 ) r C 7r C 1 D 0: Observe que aquí hemos cancelado el factor e r, que es 0 para todo R. Factorizando: r C 7r C 1 D.r C 4/.r C 3/ D 0: Las soluciones de esta última ecuación son: r 1 D 4 & r D 3. Tenemos entonces dos soluciones de la ecuación diferencial: 1 D e 4 & D e 3 :

6 1.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales 9 Ejemplo Encontrar los valores de r de tal manera que la función D r sea solución de la ecuación diferencial: H Derivamos dos veces con respecto a : D 0: D r ) 0 D r r 1 ) 0 0 D r.r 1/ r : Sustituendo, 0 & 00 en la ecuación diferencial, resulta: r.r 1/ r r r 1 3 r D r.r 1/ r r r 3 r D Entonces, suponiendo que 0, se obtiene: D r Œr.r 1/ r 3 D r.r r r 3/ D D r.r r 3/ D 0: r r 3 D 0 ).r 3/.r C 1/ D 0; esta última tiene soluciones r 1 D 3 & r D 1. Eisten entonces dos soluciones: 1 D 3 & D 1 : Advierta en este caso que la segunda función no está definida en D 0, así que podemos decir que 1 D 3 resuelve la ecuación diferencial en el intervalo. 1; 1/, mientras que D 1 resuelve la ecuación diferencial en. 1; 0/ o bien en.0; C1/. Es conveniente aclarar, para toda futura referencia lo que queremos decir por resolver. Resolver una ecuación diferencial es encontrar todas sus soluciones, es decir, es encontrar su conjunto solución. Siempre que sea posible, al resolver una ecuación diferencial ha que especificar en qué intervalo está definida cada función del conjunto solución. Advierta que en el ejemplo anterior hicimos lo que se indica: especificar en qué intervalo está definida la función del conjunto solución. En el estudio de ED es frecuente interpretar 0 D d como el cociente de diferenciales. De esta forma, d por ejemplo, si la ED es d M.; / D d N.; / ; ésta puede ser escrita como: M.; / d N.; / d D 0: A esta epresión de la ED la denotaremos como su forma diferencial. Ejemplo Probar que 3 3 C C D C define implícitamente la solución general de la ED:. C 1/ d C. / d D 0: H A fin de no recurrir al concepto de derivada, procedemos directamente por diferenciales. Debemos recordar que la diferencial de una función D f./ se define mediante: d D f 0./ d; de lo cual se desprende que las reglas de derivación son idénticas para diferenciales cambiando únicamente la palabra derivada por diferencial. Así, tenemos: d./ D d C d:

7 10 Ecuaciones diferenciales Para este ejemplo, calculamos la diferencial de ambos miembros de la solución general. Hallamos ( 3 d 3 C C ) D d.c/ ) d C d C 1 d d D 0 ) ) d C d C d d D 0 ). C 1/ d C. / d D 0 que es la ED propuesta Tipos de soluciones de ecuaciones diferenciales Al resolver una ecuación diferencial se encuentran comúnmente dos tipos de soluciones: 1. Una solución particular es la que representa una solución específica de la ecuación diferencial. a. En el ejemplo 1:3:6 hemos visto que 1 D 3 es una solución particular de la ecuación diferencial, para todo R D 0 b. Análogamente, en el ejemplo 1:3:5 vemos que D e 3 es una solución particular de 00 C 7 0 C 1 D 0:. Una solución general representa a una familia de funciones que satisfacen la ecuación diferencial. Esta representación de la familia necesariamente inclue una o varias constantes arbitrarias, como se ve en los siguientes ejemplos: a. La familia de funciones D 3 C4 C CC.C R/ es solución general de 0 D 3 C 8 C, como se aprecia de inmediato al derivar. b. Podemos decir, ampliando el anterior ejemplo, que si f./d D F./ C C; entonces se tiene que D F./ C C es solución general de la ecuación diferencial 0 D f./. En cierta forma la infinidad de soluciones de las ecuaciones diferenciales proviene de este hecho. c. Las funciones 1./ D A cos 3 &./ D B sen 3, para cualesquiera valores de A & B, son ambas soluciones de 00 C 9 D 0; como se comprueba de inmediato al derivar pues 1 00 que al sustituir en la ecuación diferencial resulta D 9A cos 3 & D 9A cos 3 C 9A cos 3 D 0 similarmente 00 D 9B sen 3 C 9B sen 3 D 0I 3 D A cos 3 C B sen 3 es solución general de la misma ecuación diferencial. D 9B sen 3, de modo

8 1.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales 11 Además de los tipos anteriores, algunas ecuaciones diferenciales que se encuentran en raras ocasiones en la práctica admiten un tercer tipo de soluciones llamadas singulares, además de la solución general particular. Tal es el caso por, ejemplo, de la ecuación diferencial 0 D. /: Cua solución general es D p p ; donde p es una constante arbitraria. Por otra parte, si consideramos la función D, nos encontramos con que es otra solución de 0 D. /. Lo interesante de este ejemplo es que D no es una solución particular obtenida de la solución general D p p ; por tal motivo a D se le llama una solución singular. Ejercicios Soluciones de ecuaciones diferenciales. En cada uno de los siguientes ejercicios se presenta una ecuación diferencial una función. Verificar que la función es solución de la ED. En cualquier caso, las C (con subíndice o sin él) que aparecen son constantes C D cos I D sen.. 0.tan / D 0I D C cos. 3. L di C Ri D EI dt i D E R C Ce R L t ; donde L 0; R 0 & E son constantes dadas C es una constante arbitraria D 3 I D p D 3 I D 1 3 C C. 6. sen d d C.sen C cos / D e I D e. 1/ C C. sen 7. 0 C cos D 1 sen I D sen 1 C Ce sen. 8. d d C p D 1 C p 1 1 e I D d 9. C d D 0I D C C C. d d 1 C p D e. / I D ln.c C e /. [ ] d D. a / d d d I D C a C 1 C C. 1.. C /d d D 0I D p C /d C d D 0I D.C ln / D tan.ln /I D e arcsen.c/..e C C/ d 3 d C 3 d 3 d D 0I D C 1 C C C C 3. d d k d d C k D e I D.C 1 C C /e k C e, con k D constante..k 1/

9 1 Ecuaciones diferenciales / d d d d A D 0I D e C I D e e t dt C Ce. 19. d d D 1 C 1 C I D C C 1 C. 0.. / 0 D 3. C 1/I D 1.4 Condiciones iniciales 0 D C 1 e A arcsen C C e A arcsen, donde A es una constante. 5 3 C 5 C p. De las definiciones ejemplos de la sección anterior se ve que en general las ecuaciones diferenciales pueden tener una infinidad de soluciones. Entonces podemos preguntarnos: cómo escoger alguna de las soluciones en particular? Las ecuaciones diferenciales servirán para modelar diversas situaciones en ingeniería ciencias, de modo que la pregunta anterior tiene mucho sentido, pues si para resolver algún problema aplicado se requiere de sólo una respuesta del modelo en lugar de esto encontramos una infinidad de posibles respuestas, aún faltará decidir cuál de ellas resuelve el problema; así pues, se necesita más información para decidir. Por ejemplo, en un problema de caída libre, si un objeto parte desde una altura de 100 m sobre el suelo, en la sección 1:1 hemos visto que su altura estará dada en cada momento t por s.t/ D 1 gt C v 0 t C s 0 ; donde la información dada nos permite ver que s 0 D 100 m, pero no se conoce la velocidad inicial v 0. La epresión parte desde una altura de 100 m nos da la idea de que puede haber un empuje o velocidad al iniciar el eperimento pero no nos da su valor. Así que lo más que podemos decir es que la altura del móvil al tiempo t será s.t/ D 4:9t C v 0 t C 100, para una respuesta a cualquier pregunta concreta sobre el movimiento necesariamente dependerá del valor v 0. Esta cantidad, que debería conocerse para determinar una única solución, es lo que se conoce como una condición inicial. Dada una solución.t/ de una ecuación diferencial F.t; ; 0 / D 0, una condición inicial se especifica como.t 0 / D 0. Es decir, la solución.t/ toma el valor 0 para t D t 0. Si una ecuación diferencial puede resolverse para obtener una solución general que contiene una constante arbitraria, bastará con una condición inicial para determinar una solución particular; en casos en que la solución general de una ecuación diferencial contenga dos o más constantes arbitrarias, es de esperarse que se necesiten dos o más condiciones, aunque éstas se pueden dar de varias formas, que revisaremos en su oportunidad. Ejemplo Una solución general de la ecuación diferencial 0 4 D 0 puede escribirse como 4 D C. Determinar la solución particular que satisface a la condición./ D p 7. H Basta con sustituir los valores 0 D, 0 D p 7 en la solución general para definir un valor de C : C D 4./. p 7/ D 16 7 D 9: Por tanto, la solución particular buscada es 4 D 9 o bien D 4 9, de donde D p 4 9. Observe que al despejar hemos hecho una elección en el signo positivo del radical, para que se cumpla efectivamente la condición inicial.