CAPITULO IV MODELOS MULTIECUACIONALES

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1 CAPITULO IV MODELOS MULTIECUACIONALES 1. INTRODUCCIÓN En el modelo básico de regresión y para cualquier punto muestral t tenemos: y = β x + β x + + β x + u t 1 1t 2 2 t... k kt t expresándolo en matrices nos da: y = X β + u t t t donde, y t X t β escalar del valor de la variable endógena en el punto t. vector fila 1 x K de los valores de todas las exógenas en el punto t. vector columna K x 1 de parámetros del modelo. u escalar de la variable aleatoria en el punto t. Para el conjunto de todos los valores muestrales ( t = 1, 2,..., T), la correspondiente expresión matricial, es: siendo, Y X β U vector columna T x 1 de valores de la endógena. matriz T x K de valores de las exógenas. vector columna K x 1 de parámetros del modelo. vector columna T x 1 de las perturbaciones aleatorias. En el contexto de un modelo multiecuacional con g variables endógenas y k exógenas (o predeterminadas), una ecuación cualquiera que incluyese todas las variables y en la que la endógena cuyo comportamiento quisiésemos explicar fuera (ecuación h-ésima) adopta la siguiente expresión: considerando nulo el coeficiente de en el segundo miembro, es decir,. En forma matricial resulta:

2 108 donde, vector fila de los valores de todas las endógenas en el punto t. vector columna de los valores de los parámetros de las variables endógenas del modelo. vector fila de los valores de todas las exógenas en el punto t. vector columna de los parámetros de las variables exógenas del modelo. Para el conjunto de todos los valores muestrales ( t=1,2,...,t), puede expresarse la misma ecuación matricialmente de la siguiente forma: siendo, Y X vector columna de todos los valores muestrales de la variable endógena h. matriz de todos los valores muestrales de las variables endógenas del modelo, excepto la variable h. vector columna de los valores de los parámetros de las variables endógenas del modelo. matriz de todos los valores muestrales de las exógenas del modelo. vector columna de los parámetros de las variables exógenas del modelo. vector columna de las perturbaciones aleatorias. Para el modelo en su conjunto, referido a todos los valores muestrales, la expresión matricial será: que viene a ser la FORMA ESTRUCTURAL del modelo, pasamos miembro y nos queda: al primer sacamos factor común Y por la derecha, tenemos: despejándose las g endógenas del sistema de g ecuaciones, da:

3 109 viene a ser la FORMA REDUCIDA del modelo TIPOS DE MODELOS MULTIECUACIONALES Los modelos multiecuacionales se clasifican: 1º Modelos Recursivos (o en cadena causal (Wold) o recurrente) Cada variable endógena depende, además de las variables predeterminadas específicas de cada ecuación, de otras endógenas, pero sin que existan relaciones recíprocas de causalidad; así: o sea, influye sobre, pero no se da la relación de causalidad inversa, de sobre. Es adecuado el procedimiento de estimación de los mínimos cuadrados ordinarios, porque los términos de error de las ecuaciones están incorrelacionadas entre sí. 2º Modelos Bloque Recursivo o Bloque Recurrente Las ecuaciones pueden repartirse en grupos tales que entre ellas su relación es de carácter recursivo; ejemplo: la tercera ecuación (un bloque) determina a partir de y (otro bloque), sobre las que no influye, aunque éstas si lo hagan simultáneamente entre sí. Si el primer bloque está identificado, estas ecuaciones pueden estimarse utilizando la técnica de los mínimos cuadrados en dos etapas y para el segundo bloque es preciso utilizar el procedimiento de los mínimos cuadrados ordinarios. 3º Modelos interdependientes o de ecuaciones simultáneas Existen relaciones causales múltiples entre todas las variables endógenas del sistema. Ejemplo:

4 110 La simultaneidad de ecuaciones no permite un tratamiento aislado de cada una de las ecuaciones. En este caso, que existe correlación entre los términos de error de varias ecuaciones, es conveniente proceder a una estimación conjunta de parámetros. El método adecuado de estimación depende de la identificación de cada ecuación del modelo. 4º Modelos de ecuaciones aparentemente no relacionadas Se trata típicamente de ecuaciones similares referidas a diversas partes de un total (por ejemplo, tasas de actividad por grupos de sexo y edad, demanda de diferentes productos, etc.), que impide una independencia total entre las perturbaciones de cada ecuación y las de las restantes del sistema. Ejemplo: Los modelos de ecuaciones aparentemente no relacionadas (Seemingly unrelated equations) presentan correlación entre los términos de error de las ecuaciones del modelo; por lo tanto, el método adecuado de estimación es mínimos cuadrados trietápicos. Si las perturbaciones de cada ecuación no están relacionadas entre sí (están incorrelacionadas) no existirá, evidentemente, ninguna relación entre las tres ecuaciones; entonces la estimación minimocuadrática ordinaria es perfectamente apropiada. 2. ESPECIFICACIÓN DE UN MODELO MULTIECUACIONAL En el proceso de construcción de un modelo multiecuacional es conveniente realizar un diagrama causal, esto es, un grafo en el que mediante flechas se indican cuáles son las variables causa y cuáles las efecto o explicadas (endógenas). Las perturbaciones aleatorias son variables latentes o no observables, de naturaleza aleatoria, que influyen sobre las variables endógenas y que se representan dentro de un círculo para indicar que no son medibles directamente. Las interrelaciones entre las variables predeterminadas, o entre las perturbaciones aleatorias se representan mediante líneas que unen las variables relacionadas. Las variables endógenas son aquellas a las que apunta alguna flecha en un diagrama causal, y las predeterminadas son aquellas variables medibles de las que parte alguna flecha pero a las que no apunta ninguna. El modelo se formula a partir del diagrama causal, y, si las relaciones son lineales,

5 111 resulta la forma estructural, así: Y= YΓ + XΒ + U Antes de proceder a la estimación de los parámetros estructurales, es necesario presuponer que se cumplen una serie de hipótesis a priori o unas condiciones por parte del modelo para que sean válidas las distintas técnicas estadísticas de estimación y de contrastes diagnósticos. Las hipótesis a priori sobre cada ecuación son idénticas a las que se formulan sobre los elementos de un modelo uniecuacional y las hipótesis sobre el modelo en su conjunto, se refieren a la compatibilidad del sistema y a las relaciones entre las perturbaciones aleatorias de distintas ecuaciones. 1º Hipótesis sobre las variables predeterminadas, C C Las variables exógenas no son variables aleatorias y están medidas sin error. No existe multicolinealidad entre éstas. 2º Hipótesis sobre los parámetros estructurales, C C Los parámetros estructurales son constantes para todas las observaciones. Las ecuaciones del modelo son compatibles entre sí, o sea es posible hallar la forma reducida a partir de la estructural, lo que exige que: ( Γ) ri = g 3º Hipótesis sobre las perturbaciones aleatorias, C Para cada ecuación, las perturbaciones deben ser centradas: Eu h = 0 ( ) de varianza constante y sin autocorrelación: ( ) Var u 2 ( ) = σ 2 I h h T y su distribución debe ser Normal, es decir: u N 0,σ I h = 1,2,...,g h h T C Entre las perturbaciones de la misma observación t-ésima pero de las g ecuaciones pueden existir relaciones, pero éstas deben mantenerse constantes en todas las observaciones. La matriz de covarianzas: Var( u t ) = t = 1,2,...,T

6 no depende de t y es de dimensión g x g; su diagonal principal está formada por las varianzas: 112 σ h 2 h = 1,2,...,g de las perturbaciones de cada ecuación. Esta hipótesis se denomina de homocedasticidad entre ecuaciones. 4º Hipótesis sobre la identificabilidad del modelo, Para poder estimar las distintas ecuaciones es necesario imponer algunas restricciones sobre las matrices de parámetros estructurales α y β. Estas restricciones se denominan condiciones de identificabilidad, y se deben cumplir para que los parámetros sean estimables a partir de los datos e interpretables económicamente. Pueden existir en el modelo ecuaciones de definición (identidades), éstas se consideran eliminadas, por sustitución, a efectos metodológicos. Sólo en el caso de los modelos recursivos, la matriz será diagonal indicando precisamente la ausencia de autocorrelación entre los términos de error de ecuaciones diferentes; también se caracterizan por tener una matriz triangular indicativa de las relaciones en cadena causal IDENTIFICACIÓN La identificación constituye un paso previo a la estimación del modelo. El modelo visto antes, sólo tiene su verdadero sentido si unas ecuaciones pueden matemáticamente distinguirse de las otras o, en términos econométricos, si todas las ecuaciones son identificables INTUITIVO Tenemos el Modelo de Mercado, donde cada una de sus ecuaciones son función lineal del precio, es decir: Vemos que con T pares de valores de las cantidades y precios a que se hace cada transacción en el mercado, no es posible determinar ninguna de las dos ecuaciones, ya que sólo se dispone de una nube de puntos que pueden corresponder a un punto de equilibrio de oferta y demanda, con las desviaciones producidas por los efectos

7 113 de las perturbaciones aleatorias y. Un ajuste estadístico a dicha nube de puntos nos proporciona una estimación única de una función que es una combinación lineal de las dos anteriores y que carece de toda significación económica. En general, una ecuación de un modelo no es identificable si no puede distinguirse de las otras ecuaciones del modelo o de cualquier combinación lineal de las mismas. En el ejemplo planteado, la función demanda y la función oferta no se distinguen, por lo tanto, no están identificadas. La inclusión de una variable exógena en una sola de las dos ecuaciones del modelo permite identificar a una de las ecuaciones (aquella que la excluye). Ejemplo: Añadimos la variable renta o ingreso ( I ) en la función demanda. Disponemos de una nube de puntos dispuesta aleatoriamente alrededor de diferentes puntos de equilibrio obtenidos para los distintos niveles de renta diferenciadas, lo que permite identificar la función de oferta. En términos econométricos, tal situación se califica de exactamente identificada y el modelo está no identificado porque la función demanda no está identificada. Si añadiésemos ahora una nueva variable exógena a la segunda ecuación, tendríamos para resolver exactamente el sistema de relaciones entre ambos tipos de parámetros; es decir, se identifica la función demanda. En términos econométricos, tal situación se califica de exactamente identificada y el modelo esta exactamente identificado porque la función oferta sigue estando exactamente identificada por no haber cambiado. Si aún seguimos añadiendo nuevas variables exógenas diferentes en ambas ecuaciones, iríamos disponiendo de nuevos motivos de " identificación ", nuevos signos de identidad, en forma tal que en el sistema de relaciones entre parámetros habría más ecuaciones que incógnitas. En términos econométricos, tales situaciones se califican de sobreidentificada, referidas bien al modelo en su conjunto, bien a cada una de sus ecuaciones. Podemos adelantar que en la práctica econométrica: 1º Sólo en modelos muy reducidos (Ej. dos ecuaciones) pueden darse situaciones reales de no identificación, y ésta puede resolverse no limitándose a una relación

8 entre tan sólo las variables endógenas. Basta en todas estas situaciones con añadir nuevas variables exógenas o endógenas desplazadas, diferentes para cada ecuación, para eliminar la falta de identificación. 2º En modelos con un número relativamente elevado de ecuaciones, la situación real es prácticamente siempre de sobreidentificación, ya que unas ecuaciones se diferencian de otras por la exclusión de un gran número de variables distintas. No obstante, el problema planteado es importante desarrollarlo en todas sus implicaciones teóricas, ya que tiene decisivas incidencias en la elección de los métodos de estimación a utilizar en los modelos de ecuaciones simultáneas MEDIANTE LA CORRESPONDENCIA DE PARÁMETROS ENTRE LA FORMA ESTRUCTURAL Y LA FORMA REDUCIDA El problema de si podemos determinar las ecuaciones estructurales, siendo conocida la forma reducida, recibe el nombre de problema de identificación. Pero, hay que decir que el conocimiento de los parámetros estructurales no es absolutamente necesario cuando el propósito primordial es la predicción, porque es posible obtener pronósticos directamente a partir de las ecuaciones de la forma reducida. Diremos: 1º Que una ecuación está no identificada si no hay forma de estimar todos los parámetros estructurales a partir de la forma reducida. 2º Una ecuación está identificada si es posible obtener valores para los parámetros a partir del sistema de ecuaciones de la forma reducida El procedimiento consiste: en primer lugar, obtener la forma reducida del modelo: 114 donde, resulta un sistema de ecuaciones con G x K ecuaciones y G x (G+K) incógnitas. En segundo lugar hay que resolver este sistema de ecuaciones. EJEMPLO : Se tiene el siguiente modelo de mercado:

9 115 matricialmente es: despejando las variables endógenas, se tiene: calculando la inversa, nos da: efectuando las operaciones, tenemos la forma reducida del modelo: o, expresada así: resolviendo las relaciones entre los parámetros estructurales y los parámetros de la forma reducida, se obtiene:

10 116 Para encontrar los dos parámetros que faltan se tiene que resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones: matricialmente se expresa: despejando las incógnitas: resolviendo tenemos: simplificando: se obtiene los dos últimos parámetros, a saber:

11 117 La demanda y la oferta están exactamente identificada porque solamente se ha obtenido un solo valor para sus coeficientes estructurales; por lo tanto, el modelo de mercado está exactamente identificado SEGÚN LAS RESTRICCIONES SOBRE LOS PARÁMETROS ESTRUCTURALES DE LA ECUACIÓN Partiendo de la forma estructural del modelo: dejamos solamente en el segundo miembro las perturbaciones: se puede reescribir: donde, A Z matriz de (G+K) x G de todos lo coeficientes estructurales. vector de 1 x (G+K) de observaciones de todas las variables. La i - ésima ecuación se puede escribir como: donde es la i - ésima columna de A. Generalmente, la teoría económica impone restricciones sobre los elementos de, esto se expresa: donde es la matriz de restricciones de la primera ecuación; siendo el orden de la matriz de R x ( G + K ) y R es el número de restricciones de la ecuación.

12 118 También habrá restricciones sobre que surjan a partir de las relaciones entre los coeficientes estructurales y los coeficientes de la forma reducida, esta relación se expresa: post-multiplicando la ecuación por, nos queda: matricialmente sería: se reescribe: donde, A W matriz de (G+K) x G de todos lo coeficientes estructurales. matriz de K x (G+K) de observaciones de todas las variables. La i - ésima ecuación se puede escribir como: donde es la columna i de la matriz A. Combinando las restricciones de la i - ésima ecuación ( 3 ) con la i - ésima ecuación de la relación ( 4 ), se obtiene: donde, vector de (G+K) x 1 de todos lo coeficientes estructurales de la primera ecuación. matriz de (K+R) x (G+K) de todos los coeficientes de la forma reducida y de las restricciones de la primera ecuación. Si es conocida entonces la matriz es conocida; luego, tenemos un sistema de ecuaciones con K+R ecuaciones y G+K incógnitas. Por lo tanto, para la identificación

13 119 de la primera ecuación se requiere que el rango de la matriz sea G+K-1. Es decir: esto es suficiente para determinar los coeficientes de la primera ecuación de forma única, porque ésta está normalizada 1. La dificultad es que se requiere la construcción de la matriz, que incluso para modelos pequeños es complicada. Entonces es necesario tener una condición equivalente en términos de los coeficientes estructurales, así: 1º Como tiene K+R filas, una condición necesaria para que se cumpla es: simplificando: "El número de restricciones a priori no debe ser menor que el número de ecuaciones del modelo menos uno". S i solamente se tiene restricciones de exclusión, entonces las restricciones son: donde, R G g K k número de restricciones de la ecuación. número de variables endógenas corrientes del modelo. número de variables endógenas corrientes incluidas en la ecuación. número de variables exógenas y endógenas rezagadas del modelo. número de variables exógenas y endógenas rezagadas incluidas en la ecuación. Reemplazando en la condición necesaria y reordenando, y la condición necesaria se transforma: 1 La mormalización consiste en simplificar el modelo expresando el coeficiente de la variable endógena dependiente con el valor de uno.

14 "El número de variables excluidas de la ecuación debe ser como mínimo tan grande como el número de ecuaciones del modelo menos uno". Simplificando G en ambos lados de la desigualdad, nos queda: 120 "El número de variables predeterminadas (exógenas y endógenas rezagadas) excluidas de la ecuación debe ser como mínimo tan grande como el número de variables endógenas incluidas menos 1". A la condición necesaria se le conoce como condición de orden para la identificabilidad. Con frecuencia, para modelos grandes esta es la única condición que se aplica, puesto que la aplicación de la de rango se hace difícil, si no es imposible. 2º La condición de rango o condición suficiente se puede establecer como: EJEMPLO: Cuando las restricciones son todas del tipo de exclusión, la i - ésima columna de es un vector de ceros y las restantes G - 1 columnas constan de los coeficientes de las otras ecuaciones estructurales de las variables que no aparecen en la primera ecuación. Si la condición de orden da igualdad y la condición de rango se cumple (existe una sola submatriz cuadrada de orden G - 1), entonces la primera ecuación esta exactamente identificada. Si la condición de orden es R > G - 1 y la condición de rango se cumple (hay más de una submatriz cuadrada de orden G - 1), entonces la primera ecuación esta sobreidentificada. Si la condición de orden es R > G - 1 y la condición de rango no se cumple (no existe ninguna submatriz cuadrada de orden G - 1), entonces la primera ecuación no esta identificada. Si la condición de orden es R < G - 1 no se cumple (no existe ninguna submatriz cuadrada de orden G - 1), entonces la primera ecuación no esta identificada. 1º RESTRICCIONES DE EXCLUSIÓN Significa que ciertas variables no aparecen en determinadas

15 ecuaciones. Replantemos el modelo de mercado de la siguiente forma: 121 Despejando las perturbaciones del modelo y expresandolo matricialmente, nos da: en forma general, es: sujeto a las restricciones siguientes: La identificación se realiza ecuación por ecuación, en este modelo se tiene dos variables endógenas (Q y P), tres variables exógenas (1, I y W) y cada ecuación tiene una sola restricción ; el procedimiento es el siguiente: Primera ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden:

16 Nos indica que es probable que la ecuación este exactamente identificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condicion de rango, primero obtenemos la matriz: 122 A continuación, aplicamos la condición: Por lo tanto, concluimos que la demanda está exactamente identificada. Segunda ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden: Nos indica que es probable que la oferta este exactamente identificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condicion de rango, primero obtenemos la matriz: A continuación, aplicamos la condición:

17 Por lo tanto, concluimos que la oferta está exactamente identificada. Como todas las ecuaciones del modelo están exactamente identificada, entonces el modelo de mercado está exactamente identificado. 2º RESTRICCIONES LINEALES HOMOGÉNEAS Son las que afectan a dos o más coeficientes de la ecuación. Consideremos el modelo de mercado siguiente: 123 La matriz de coeficientes A sigue siendo la misma y la restricción lineal homogénea se considera, así: Luego la matriz de restricción queda: La identificación se realiza ecuación por ecuación, en este modelo se tiene dos variables endógenas (Q y P), tres variables exógenas (1, I y W); el procedimiento es el siguiente: Primera ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden:

18 Nos indica que es probable que la ecuación este sobreidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición de rango, primero obtenemos la matriz: 124 A continuación, aplicamos la condición: Por lo tanto, concluimos que la demanda está sobreidentificada. Segunda ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden: Nos indica que es probable que la oferta este exactamente identificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición de rango, primero obtenemos la matriz: A continuación, aplicamos la condición:

19 Por lo tanto, concluimos que la oferta está exactamente identificada. Como todas las ecuaciones del modelo están identificada, entonces el modelo de mercado está identificado. 3º RESTRICCIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS Son las que afectan a dos o más coeficientes de la ecuación y son diferentes de cero. Consideremos el modelo de mercado siguiente: 125 La matriz de coeficientes A sigue siendo la misma y la restricción lineal homogénea se considera, así: Luego la matriz de restricción queda: La identificación se realiza ecuación por ecuación, en este modelo se tiene dos variables endógenas (Q y P), tres variables exógenas (1, I y W); el procedimiento es el siguiente: Primera ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden: Nos indica que es probable que la ecuación este exactamente identificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición de

20 126 rango, primero obtenemos la matriz: A continuación, aplicamos la condición: Por lo tanto, concluimos que la demanda está exactamente identificada. Segunda ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden: Nos indica que es probable que la oferta este sobreidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición de rango, primero obtenemos la matriz: A continuación, aplicamos la condición: Por lo tanto, concluimos que la oferta está sobreidentificada. Como todas las ecuaciones del modelo están identificada, entonces

21 127 el modelo de mercado está identificado CUANDO SE TIENE IDENTIDADES EN EL MODELO Las identidades por sí mismas no plantean problema de identificación puesto que, en general, los coeficientes se conocen y hecho normalmente son la unidad. Se puede formular dos procedimientos a seguir: 1º Todas las identidades aparecen en forma explícita en el modelo. 2º Las identidades se pueden sustituir en las otras ecuaciones estructurales, por lo que se reduce de forma efectiva el tamaño del modelo. La eliminación de las identidades no cambia ninguna de las conclusiones en relación a la identificabilidad de cualquier ecuación de comportamiento o cualquier otra estructural tanto en su forma original como en la revisada. EJEMPLO: 1º MODELO DE MERCADO Se tiene 3 variables endógenas ( ( cantidad demandada ), (cantidad ofrecida), ( precio ) ) y 2 variables exógenas (1 (intercepto ), ( renta o ingreso ) ) y la matriz de coeficientes (A) es: Primera ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden:

22 128 Nos indica que es probable que la oferta esta exactamente identificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición de rango: Por lo tanto, concluimos que la oferta este exactamente identificada. Segunda ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden: Nos indica que la demanda no está identificada. La tercera ecuación es una identidad no es necesario identificarla. Como solo una de las ecuaciones del modelo está identificada, entonces el modelo de mercado no está identificado. 2º MODELO DE MERCADO TRANSFORMADO Se tiene 2 variables endógenas ( ( cantidad demandada ) y (precio) ) y 2 variables exógenas ( 1 ( intercepto ), ( renta o ingreso ) ) y la matriz de coeficientes ( A ) es: Primera ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden:

23 129 Nos indica que es probable que la oferta este exactamente identificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición de rango: Por lo tanto, concluimos que la oferta está exactamente identificada. Segunda ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden: Nos indica que la demanda no está identificada. Como solo una de las ecuaciones del modelo está identificada, entonces el modelo de mercado no está identificado CUANDO SE TIENE RESTRICCIONES SOBRE LOS PARÁMETROS ESTRUCTURALES ENTRE ECUACIONES Hay casos en los que la teoría económica sugiere restricciones entre ecuaciones. Estas restricciones también pueden servir para asegurar la identificabilidad. La imposición de restricciones entre ecuaciones requiere que cada ecuación esté normalizada, pues en caso contrario la restricción es ambigua. La identificabilidad se puede examinar por los siguientes métodos: 1º Empleando la relación entre los parámetros estructurales y los de la forma reducida. 2º Investigando el conjunto de estructuras transformadas admisibles que satisfagan la restricción.

24 130 EJEMPLO: MODELO DE MERCADO 1º Expresando el modelo matricialmente: despejando las variables endógenas, nos da: resolviendo se tiene: nos da la forma reducida, que en términos generales se expresa: resolviendo las relaciones entre los parámetros estructurales y los parámetros de la forma reducida, se obtiene: Para encontrar los dos parámetros que faltan se tiene que resolver

25 131 el siguiente sistema de dos ecuaciones: matricialmente se expresa: despejando las incógnitas: resolviendo tenemos: se puede expresar: simplificando: se obtiene los dos últimos parámetros, a saber:

26 132 La demanda y la oferta están exactamente identificada porque solamente se ha obtenido un solo valor para sus coeficientes estructurales; por lo tanto, el modelo de mercado está exactamente identificado. 2º Expresando el modelo de demanda y oferta matricialmente de la siguiente forma: Hacemos la identificación del modelo analizando la matriz de transformación admisible 2, esta se define: Se premultiplica el modelo por la matriz de transformación admisible, así: realizando las operaciones nos da: Los coeficientes del modelo transformado debe satisfacer las mismas restricciones que el modelo original, luego tenemos: 2 La matriz de transformación admisible es la matriz que nos permite transformar el modelo cumpliendo las restricciones del mismo.

27 133 1º el coeficiente de la variable ingreso en la oferta es nulo: 2º las condiciones de normalización del modelo: 3º la restricción entre ecuaciones: reemplazando los valores de f 11 y f 12 nos queda: Compatibilizando esta ecuación con la segunda condición de normalización se obtiene: Por lo tanto, la matriz de transformación admisible es: y es la única que se ha obtenido, entonces el modelo de mercado está exactamente identificado.

28 CUANDO SE TIENE RESTRICCIONES SOBRE LA MATRIZ DE VARIANZA- COVARIANZA Supongamos que consideramos restricciones a la matriz de varianzas y covarianzas de las perturbaciones de las G ecuaciones estructurales, ésta se expresa: 134 Estas restricciones también pueden servir para asegurar la identificabilidad. La imposición de restricciones entre ecuaciones requiere que cada ecuación esté normalizada, pues en caso contrario la restricción es ambigua. La identificabilidad se puede examinar por los siguientes métodos: 1º Empleando la relación entre los parámetros estructurales y los de la forma reducida. 2º Investigando el conjunto de estructuras transformadas admisibles que satisfagan la restricción. EJEMPLO: MODELO DE MERCADO sujeto a: 1º Expresando el modelo matricialmente: despejando las variables endógenas, nos da:

29 135 resolviendo se tiene: nos da la forma reducida, que en términos generales se expresa: Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: resolviendo las relaciones entre los parámetros estructurales y los parámetros de la forma reducida, podemos obtener: Ahora trabajamos con las perturbaciones de la forma reducida de la siguiente forma: 1.- La varianza de la perturbación de la primera ecuación de la forma reducida, es: considerando los valores de la matriz de varianzas y covarianzas, nos queda:

30 La varianza de la perturbación de la segunda ecuación de la forma reducida, se expresa: reemplazando las restricciones de la matriz de varianzas y covarianzas, nos da: 3.- La covarianza entre la perturbación de la primera y segunda ecuación de la forma reducida, es: empleando las restricciones de la matriz de varianzas y covarianzas, nos da: Si juntamos todas las ecuaciones obtenidas, excepto la correspondiente a B 2, tenemos: Se tiene un sistema de ecuaciones con 6 ecuaciones y 6 incógnitas que tiene solución única, por lo tanto, la demanda y la oferta están exactamente identificada porque solamente

31 se obtiene un solo valor para sus coeficientes estructurales; por lo tanto, el modelo de mercado está exactamente identificado. 2º Expresando el modelo matricialmente de la siguiente forma: 137 Hacemos la identificación del modelo analizando la matriz de transformación admisible, esta se define: Se premultiplica el modelo por la matriz de transformación admisible, así: realizando las operaciones nos da: Los coeficientes del modelo transformado debe satisfacer las mismas restricciones que el modelo original, luego tenemos: 1º el coeficiente de la variable ingreso en la oferta es nulo:

32 138 2º las condiciones de normalización del modelo: Por lo tanto, la matriz de transformación admisible queda: La matriz de varianza - covarianza de las perturbaciones de la estructura transformada es: Es decir: Considerando la restricción de la matriz de varianza - covarianza, se tiene: Se tenía: Por lo tanto, la matriz de transformación admisible es: y es la única que se ha obtenido, entonces el modelo de mercado está exactamente identificado.

33 MÉTODOS DE ESTIMACION Los métodos de estimación se utilizan para cuantificar los parámetros estructurales de un modelo basándose en los valores de las variables endógenas y exógenas del modelo. Se clasifican de la siguiente forma: 1º Enfoque Directo Se estima ecuación por ecuación, sin distinguir entre exógenas y endógenas y sin considerar la existencia de otras variables del modelo y no de la ecuación. Tenemos el método de mínimos cuadrados ordinarios. 2º Enfoque de Información Limitada La estimación es ecuación por ecuación, pero distinguiendo entre exógenas y endógenas y considerando la existencia de otras variables del modelo. Se denomina de información limitada porque considera qué variables están incluidas en la ecuación y cuáles excluidas de ella, pero pertenecientes al modelo. Se tiene mínimos cuadrados indirectos, mínimos cuadrados bietápicos, mínimos cuadrados de clase k y máxima verosimilitud con información limitada. 3º Enfoque de Información Completa Estimación del modelo en su conjunto e información total sobre especificación de todas las ecuaciones. Tenemos mínimos cuadrado trietápicos y máxima verosimilitud con información completa MÍNIMOS CUADRADOS INDIRECTOS 3 Es una técnica con información limitada que puede ser usada para obtener estimaciones consistentes de una ecuación exactamente identificada. Comprende dos pasos: 1º La estimación de los parámetros de la forma reducida utilizando mínimos cuadrado ordinario. 2º La estimación de los parámetros de la forma estructural y utilizando las relaciones entre estos parámetros y los parámetros de la forma reducida y las restricciones de la identificación. 3 Johnston, J. pág Pulido San Román, Antonio pág

34 Supongamos que se pretende estimar la primera ecuación del modelo de ecuaciones simultáneas: 140 donde, y vector de observaciones, T x 1, de la variable endógena dependiente. matriz de observaciones, T x (G 1-1), de las demás variables endógenas corrientes incluidas en la ecuación. vector, (G 1-1) x 1, de los coeficientes estructurales correspondientes a las variables de. matriz de observaciones, T x k 1, de las variables predeterminadas o exógenas que aparecen en la ecuación. vector, k 1 x 1, de coeficientes relacionados con. vector, T x1, de perturbaciones de la ecuación. Es inconveniente aplicar mínimos cuadrados ordinarios porque las variables de están correlacionados con. Podemos rescribir la forma estructural de la primera ecuación de la siguiente forma: matricialmente sería: y si consideramos las variables excluidas de la ecuación, se tiene: sujeto a: y. El modelo multiecuacional en su forma estructural sería:

35 donde, Y X U 141 matriz de observaciones, T x G, de las variables endógenas corrientes del modelo. matriz, G x G, de los coeficientes de las variables endógenas del modelo. matriz, K x G, de los coeficientes de las variables exógenas y/o predeterminadas del modelo. matriz de observaciones, T x K, de las variables exógenas y/o predeterminadas del modelo. vector, T x G, de las perturbaciones de cada ecuación del modelo. La forma reducida del modelo multiecuacional es: donde, Y X V matriz de observaciones, T x G, de las variables endógenas corrientes del modelo. matriz, K x G, de los coeficientes de la forma reducida correspondientes a las variables de X. matriz de observaciones, T x k, de las variables exógenas o predeterminadas del modelo. vector, T x G, de las perturbaciones de la forma reducida. El primer paso del método de mínimos cuadrados indirectos consiste en estimar por mínimos cuadrados ordinarios los coeficientes de la forma reducida, así: verificaremos la propiedad del estimador, es decir: concluimos que el estimador de mínimo cuadrado ordinario de la forma reducida es insesgado. Asimismo, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios de los coeficientes de la forma reducida es el estimador de mínima varianza. En el segundo paso, primero requerimos obtener la relación de los coeficientes de la forma estructural y los coeficientes de la forma reducida, de la siguiente forma: despejando Y se llega a la forma reducida: donde:

36 142 que viene a ser la relación que existe entre los coeficientes de la forma estructural y los coeficientes de la forma reducida. Se puede expresar de la siguiente manera: empleando las estimaciones de la forma reducida ( primer paso ) se tiene: y para los coeficientes estimados de la primera ecuación puede escribirse: premultiplicando por exógenas, tenemos: la inversa de la matriz de segundo momento de las variables como: obtenemos los productos de matrices así: Reemplazando en la ecuación ( 1 ) los producto de la matrices y los vectores de los coeficientes de la primera ecuación, obtenemos: multiplicamos las matrices y sabemos que los coeficientes de las variables endógenas y

37 143 exógenas excluidas de la ecuación son cero, resultando: reordenando, obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente: matricialmente: solucionando el sistema de ecuaciones normales, obtenemos los estimadores de mínimos cuadrados indirectos de los parámetros estructurales: El estimador de mínimos cuadrados indirectos de los parámetros estructurales es sesgado porque es una función no lineal de las estimaciones de la forma reducida del modelo; pero es consistente porque es una función continua del estimador de mínimos cuadrados ordinarios de la forma reducida, que es consistente. EJEMPLO: Consideremos el mercado del arroz: Primero estimamos la forma reducida del modelo, el comando a usar para estimar la primera ecuación es el siguiente: y nos da: LS LOG(Q) C LOG(I) LOG(SC)

38 144 LS // Dependent Variable is LOG(Q) Sample: Included observations: 27 Variable Coefficien Std. Error t-statistic Prob. C LOG(I) LOG(SC) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) para la segunda ecuación, el comando es: y el computador, nos muestra: LS LOG(P) C LOG(I) LOG(SC) LS // Dependent Variable is LOG(P) Sample: Included observations: 27 Variable CoefficienStd. Errort-Statistic Prob. C LOG(I) LOG(SC) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Por último, se emplea la relación entre los parámetros estructurales y los parámetros de la forma reducida para obtener los estimadores de los parámetros estructurales, ésta es: de aquí se deduce:

39 MÍNIMOS CUADRADOS BIETAPICOS 4 Este método forma parte de los que hemos denominado de información limitada, ya que el método se aplica ecuación a ecuación y sólo exige conocer la lista de variables predeterminadas del modelo, pero no la especificación concreta de todas las restantes ecuaciones. El procedimiento consta: 1º La estimación de los parámetros de la forma reducida utilizando mínimos cuadrado ordinario, luego se obtiene la estimación de las variables endógenas. 2º Estimar por mínimos cuadrados ordinarios los parámetros de la forma estructural y sustituyendo las variables endógenas explicativas por las estimaciones obtenidas en la primera etapa. La forma estructural de la primera ecuación del modelo es: donde, y vector de observaciones, T x 1, de la variable endógena dependiente. matriz de observaciones, T x (G 1-1), de las demás variables endógenas corrientes incluidas en la ecuación. vector, (G 1-1) x 1, de los coeficientes estructurales correspondientes a las variables de. matriz de observaciones, T x k 1, de las variables predeterminadas 4 Johnston, J. pág Pindyck, Robert y Rubinfeld, Daniel pág Pulido San Román, Antonio pág

40 146 o exógenas que aparecen en la ecuación. vector, k 1 x 1, de coeficientes relacionados con. vector, T x 1, de perturbaciones de la ecuación. En la primera etapa estimamos la regresión siguiente: aplicando mínimos cuadrados ordinarios se obtiene: a continuación calculamos la predicción de las variables endógenas explicativas de la primera ecuación, resultando: Para la segunda etapa se estima la ecuación transformada siguiente: utilizando las ecuaciones normales de mínimos cuadrados ordinarios, se tiene: debemos obtener otra forma que contenga únicamente las matrices de las observaciones reales. Sabemos que: considerando el supuesto: empleando lo mencionado anteriormente podemos simplificar la siguiente expresión: Considerando este resultado y las estimaciones de la variable endógena explicativa de la primera etapa, las ecuaciones normales de la segunda etapa se pueden reescribir:

41 147 resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen los estimadores de mínimos cuadrados bietápicos, que son: Para demostrar que los estimadores de mínimos cuadrados bietápicos son consistentes, reemplazamos el supuesto: en la forma estructural del modelo, se tiene: agrupando las variables explicativas y los coeficientes en matrices, obtenemos: se expresa de la siguiente forma: aplicando mínimos cuadrados ordinarios se obtiene el estimador de mínimos cuadrados bietápicos, así: reemplazando y, queda: considerando el supuesto, la expresión anterior se reduce: aplicando límite probabilístico:

42 148 y el estimador de mínimos cuadrados bietápicos será consistente si: uno de los supuestos del modelo es que X no están correlacionadas en el límite con las perturbaciones, entonces se tiene: Sabemos que la forma reducida estimada es: reemplazando en el primer límite probabilístico tenemos: Como los mínimos cuadrados ordinarios dan estimaciones consistentes de los coeficientes de la forma reducida, por lo tanto, el estimador de mínimos cuadrados bietápicos es consistente. La matriz de varianza asintótica es: reemplazando, nos queda: lo podemos expresar de la siguiente forma: introduciendo el límite probabilístico, nos da: considerando que queda: y sustituyendo en la expresión anterior, nos

43 149 Es el de mínima variancia de entre todos los estimadores de variables instrumentales que utilizan como instrumentos combinaciones lineales de las variables predeterminadas del modelo. EJEMPLO : Existen varias formas de aplicar en el Eviews el método de mínimos cuadrados en dos etapas. 1º ESTIMAR EL MODELO ETAPA POR ETAPA En la primera etapa estimamos la forma reducida del modelo y generamos la variable endógena estimada, así: Primera ecuación: LS LOG(Q) C LOG(I) LOG(SC) con la ecuación abierta se ejecuta : Procs Forecast QE y Static Ok. Segunda ecuación: LS LOG(P) C LOG(I) LOG(SC) con la ecuación abierta se ejecuta : Procs Forecast PE y Static Ok. Para la segunda etapa se estima el modelo transformado (sustituyendo las variables endógenas explicativas por las estimaciones de la primera etapa) de la siguiente forma: Primera ecuación: LS LOG(Q) C LOG(PE) LOG(I) el computador nos muestra: LS // Dependent Variable is LOG(Q) Sample: Included observations: 27 Variable Coefficien Std. Error t-statistic Prob. C LOG(PE) LOG(I) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

44 150 Segunda ecuación: LS LOG(Q) C LOG(PE) LOG(SC) nos da: LS // Dependent Variable is LOG(Q) Sample: Included observations: 27 Variable Coefficien Std. Error t-statistic Prob. C LOG(PE) LOG(SC) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) º ESTIMACION MEDIANTE EL COMANDO DE EVIEWS Primera ecuación: o se ejecuta: TSLS LOG(Q) C LOG(P) C LOG(I) LOG(SC) Quick Estimate Equation TSLS Equation Specification: LOG(Q) C LOG(P) LOG(I), Instrument list: C LOG(I) LOG(SC) Ok. El resultado es: TSLS // Dependent Variable is LOG(Q) Sample: Included observations: 27 Instrument list: C LOG(I) LOG(SC) Variable Coefficien Std. Error t-statistic Prob. C LOG(P) LOG(I) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

45 151 Segunda ecuación: o se ejecuta: TSLS LOG(Q) C LOG(P) C LOG(I) LOG(SC) Quick Estimate Equation TSLS Equation Specification: LOG(Q) C LOG(P) LOG(SC), Instrument list: C LOG(I) LOG(SC) Ok. obtenemos: TSLS // Dependent Variable is LOG(Q) Sample: Included observations: 27 Instrument list: C LOG(I) LOG(SC) Variable Coefficien Std. Error t-statistic Prob. C LOG(P) LOG(SC) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) º ESTIMACION MEDIANTE UN SISTEMA DE ECUACIONES La estimación mediante un sistema de ecuaciones nos proporciona la covariancia entre la perturbación de una ecuación con respecto a otra ecuación del modelo, lo que nos permite analizar la correlación que existe entre las perturbaciones entre ecuaciones del modelo. El Eviews nos puede proporcionar esta información porque nosotros le proporcionamos la especificación del modelo multiecuacional, a diferencia de los dos casos anteriores que solamente se le proporciona la especificación de una ecuación del modelo. Debemos crear un sistema de ecuaciones con la siguiente instrucción: Objects New Objects System Ok se escribe: INST C LOG(I) LOG(SC) LOG(Q) = C(1) + C(2) * LOG(P) + C(3) * LOG(I) LOG(Q) = C(4) + C(5) * LOG(P) + C(6) * LOG(SC) Name Ok Estimate Two - Stage Least Squares la pantalla nos muestra:

46 152 System: SYS1 Estimation Method: Two-Stage Least Squares Sample: Instruments: C LOG(I) LOG(SC) Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C(1) C(2) C(3) C(4) C(5) C(6) Determinant residual covariance Equation: LOG(Q) = C(1) + C(2) * LOG(P) + C(3) * LOG(I) Observations: R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Sum squared resid Durbin-Watson stat Equation: LOG(Q) = C(4) + C(5) * LOG(P) + C(6) * LOG(SC) Observations: R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Sum squared resid Durbin-Watson stat MÁXIMA VEROSIMILITUD CON INFORMACIÓN LIMITADA 5 Este enfoque fue desarrollado por Anderson y Rubin, la aplicación del método sólo exige conocer, aparte de la especificación de la ecuación que se va a estimar, qué variables predeterminadas aparecen en las otras ecuaciones del modelo, al igual que con los mínimos cuadrados bietápicos. El enfoque de máxima verosimilitud con información limitada consiste en maximizar la función de verosimilitud para las variables endógenas sujeto a la restricción de que el modelo tenga solución. El desarrollo matemático del método es largo y complicado, pero se puede demostrar que en definitiva se reduce a hallar los coeficientes de las variables endógenas que minimicen un cociente de variancias. Asumamos que queremos estimar la primera ecuación del modelo de ecuaciones simultáneas: 5 Pindyck, Robert y Rubinfeld, Daniel pág

47 donde, y 153 vector de observaciones, T x 1, de la variable endógena dependiente. matriz de observaciones, T x (G 1-1), de las demás variables endógenas corrientes incluidas en la ecuación. vector, (G 1-1) x 1, de los coeficientes estructurales correspondientes a las variables de. matriz de observaciones, T x k 1, de las variables predeterminadas o exógenas que aparecen en la ecuación. vector, k 1 x 1, de coeficientes relacionados con. vector, T x 1, de perturbaciones de la ecuación. despejando la perturbación, tenemos: matricialmente, sería: la rescribimos, así: definimos que es el vector de combinación lineal de las variables endógenas que aparecen el la ecuación, entonces la expresión queda: o, así: da: Calculamos la suma de cuadrados de los residuos de la primera ecuación y nos donde,

48 154 reemplazando el valor de Z y sacando factor común, tenemos: se puede rescribir: donde es una matriz de residuos de la regresión. Ahora regresionamos Z respecto a todas las variables exógenas y predeterminadas (X) y calculamos la suma de cuadrados de los residuos, obteniendose: se reemplaza Z y se simplifica, quedando: reexpresandolo, sería: donde es una matriz de residuos de la regresión. El Principio de la razón mínima de variancias sugiere que la estimación de se elija de modo que conserve esta reducción en la suma de los cuadrados de los residuos lo más pequeña posible, es decir, que minimice la razón: la segunda suma de cuadrados no será superior a la primera, porque la segunda regresión contiene todas las variables explicativas de la primera regresión ( ) más el conjunto ( ); por lo tanto,. Para minimizar se obtiene la derivada parcial de respecto a : simplificando:

49 155 igualando a cero la derivada parcial y simplificando, nos da: Este sistema de ecuaciones tiene una solución no trivial, si se cumple la ecuación siguiente: resolviendo esta ecuación se obtiene el estimador de. Este resultado se sustituye en (2) y se reemplaza, nos queda: se obtiene el estimador de. Reemplazamos en la ecuación (1) el valor de Z y nos da: Con las ecuaciones (3) y (4) calculamos los estimadores de máxima verosimilitud con información limitada, los cuales son sesgados y consistentes por la misma razón que el estimador de mínimos cuadrados en dos etapas MÍNIMOS CUADRADOS TRIETAPICOS 6 Las tres etapas que justifican el nombre del método son: 1º La estimación de los parámetros de la forma reducida utilizando mínimos cuadrado ordinario, luego se obtiene la estimación de las variables endógenas. 2º Estimar por mínimos cuadrados ordinarios los parámetros de la forma estructural y sustituyendo las variables endógenas explicativas por las estimaciones obtenidas en la primera etapa. 6 Johnston, J. pág Pulido San Román, Antonio pág

50 3º La estimación por mínimos cuadrados generalizados del sistema utilizando como variables instrumentales la matriz de todas las predeterminadas con la matriz de covarianzas de las perturbaciones previamente estimada a través de los residuos de mínimos cuadrados en dos etapas. Utilizamos para expresar el conjunto de las g ecuaciones para todos los valores muestrales, la notación: 156 donde, Y vector de observaciones, T x G, de las variables endógenas. Así: vector, G x G, de los coeficientes estructurales correspondientes a las variables de Y. Tenemos: X matriz de observaciones, T x K, de las variables predeterminadas o exógenas que aparecen en la ecuación. Expresado: ± vector, K x G, de coeficientes relacionados con X. Representado: