ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN. RESOLUCIÓN REDUCIÉNDOLA A UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN Miguel Angel Nastri, Osar Sardella miguelangelnastri@ahoo.om.ar, osarsardella@ahoo.om.ar RESUMEN En algunos asos de resoluión de euaiones difereniales de segundo orden on oefiientes variables, es posible resolver la misma, reduiendo el problema a la soluión de euaiones de primer orden. Palabras lave: euaiones difereniales, orden superior, apliaión eonómia. DESARROLLO Así una euaión de la forma F d d ; d 0 Mediante una sustituión de p, en forma semejante a la resoluión de euaiones difereniales en derivadas pariales, se redue la euaión a la forma F dp ; p 0; que es una euaión de primer orden, de la ual puede despejarse p, resultando p f (x;) el valor d puede obtenerse de inmediato dado que p APLICACIÓN DE LA RESOLUCIÓN Como apliaión de la resoluión de euaiones de segundo orden reduiéndola a una euaión de primer orden, plantearemos un problema de dinámia eonómia, onsiderando un sistema omo dinámio uando su omportamiento en funión del tiempo se halla determinado por euaiones funionales. 37

2 En el aso de que la variable tiempo tenga un omportamiento ontinuo, el modelo dinámio ontinuo se resuelve mediante euaiones difereniales ordinarias. En un modelo de merado on expetativas de preios, los ompradores /o vendedores basan su onduta no sólo en el preio orriente, sino en la tendenia temporal del preio. Expresando: : preio x: tiempo Será: f(x); el preio en funión del tiempo La tendenia temporal del preio se establee a través de las derivadas primeras segundas del preio en funión del tiempo df d f ; Si la antidad demandada es: Q d 4-8 ( ) +. Si la antidad ofertada es: Q s La ondiión de equilibrio es: Q d Q s 4-8 ( ) ( ) -48 Resoluión de la euaión diferenial ordinaria inompleta u homogénea:. ( ) 0 I) d d dp dp d dp Haiendo: p ; p d d dp Reemplazando en I), queda: p. p 0 d Haiendo: dp p v. ; despejando ; resulta d dp p + d p dv v + v + ; v + d p p 38

3 Operando a fin de despejar d / : dv d v + v v ; dv v + d v d v. dv Obtenemos: II) v + Integrando II), resulta: ln ln( v + ) + ln apliando propiedades de logaritmos, queda: v III) + p p siendo: p v. ; v ; v Reemplazando v en III) : p p + + la expresión de p: p p ; + haiendo: - ; despejando p + ; d determinamos :. ± +, para despejar p d IV) ; p + Integrando IV), resulta: x + ± ln Elevando ambos miembros al uadrado. 39

4 (x + ) ln Considerando la expresión logarítmia del argumento oseante hiperbólio, siguiente: arg oseh ln ± + + si > 0 - si < 0 Reemplazando la expresión logarítmia, por el argumento oseante hiperbólio, resulta: [ x + ] arg oseh 0 despejando de esta euaión, tenemos la soluión de la euaión diferenial ordinaria inompleta u homogénea x + argoseh os eh( x + ) senh x + ; x+ senh x + e e ( ) x ( ) H e x+ x Para hallar la integral partiular omo soluión de la euaión diferenial ordinaria ompleta, apliamos el método de los oefiientes indeterminados, proponiendo una soluión partiular del tipo: derivando, resulta: e m x + n m ; 0 Sustituendo en la euaión diferenial ompleta: " ' resulta: 40 ( ) 48

5 0 ( mx + n) ( m) ( mx + n) 48 operando resulta: m m x 4mnx n 48 de donde: m x 0 m 0 4 m n x 0 m 0 m n 48 siendo: m0 ; resulta: n n ; n 4; n + ; n soluión partiular de la ompleta: + Se desarta la soluión negativa, en razón de que el preio de equilibrio debe ser positivo. Soluión general de la ompleta, omo suma de la soluión de la inompleta u homogénea la partiular de la ompleta que expresa la tendenia del preio en funión del tiempo e x+ x e La tendenia del preio para uando el tiempo tiende a infinito es el preio de equilibrio, determinado por la soluión partiular de la ompleta Dado que el lim lim + x+ x x x e e + : preio de equilibrio La importania de este proedimiento de resoluión, surge que el mismo puede ampliarse a euaiones difereniales ordinarias de orden superior al segundo. 4

6 CONSIDERACIONES FINALES Si la euaión diferenial tiene la forma: ( n) F, ', ",..., ( ) 0 d Se introdue la variable: p ' se alulan las derivadas suesivas en la siguiente forma dp dp d dp " d d p d dp d dp d p ' '' p p p d d d d así suesivamente on las siguientes derivadas La sustituión de las derivadas presentadas en la euaión diferenial: ( n) F, ', ",..., ( ) 0 dp + d p de orden n, ondue a una euaión diferenial de orden (n ). Si es posible resolverla se obtiene la soluión general de la forma: p F(,,,..., n ) lo que implia que: d p F,,,..., ) ( n que resulta ser una euaión diferenial de variables separables on lo que se obtiene la soluión de la euaión diferenial de que se trata REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Evans, Lawrene C. (00). Partial Differential Equations. AMS. Evans, Lawrene C. (005). An introdution to stohasti differential of Mathematis. U. Berkle. Simmons, George F. (993). Euaiones Difereniales. MGraw Hill. Strauss, W.A. (99). Partial Differential Equations. An introdution. New York: John Wile and Sons. 4