Programación Lineal: Modelos PLE

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1 Programación Lineal: Modelos PLE CCIR / Matemáticas CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 1 / 35

2 Introduccion Introduccion En esta lectura se verán cómo se puede modelar situaciones mediante un modelo de programación lineal entera o entera mixta (PLE). También veremos algunos ejemplos que ilustran cómo modelar situaciones que nos son lineales, tanto en las restricciones como en la función objetivo, que mediante la introducción de variables binarias se pueden convertir a un modelo lineal. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 2 / 35

3 0-1 Knapsack problem 0-1 Knapsack problem Suponga que hay n proyectos y que el costo del proyecto i es c i y que por otro lado el valor del proyecto es a i. Cada proyecto se realiza o no, de manera que no es posible realizar una fracción de él. El presupuesto disponible es limitado y tiene el valor b. El problema de la mochila consiste en elegir un subconjunto de proyectos que maximice el valor obtenido y que no exceda el presupuesto dado: Max n a i x i i=1 sujeto a n c i x i b i=1 La variable binaria x i sirve para determinar cuando el proyecto i es seleccionado: 0 si no lo es, 1 si sí lo es. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 3 / 35

4 Ejemplo 1 Ejemplo 1 StockCo considera cuatro inversiones. La inversión 1 proporcionará un valor actual neto (VAN) de 16,000 dólares; la inversión 2 un VAN de 20,000 dólares; la inversión 3 un VAN de 12,000 dólares; y la inversión 4 un VAN de 8,000 dólares. Cada inversión requiere cierto flujo de caja en el momento actual; la inversión 1 requiere 5,000 dólares; la inversión 2 requiere 7,000 dólares; la inversión 3 requiere 4,000 dólares; y la inversión 4 requiere 3,000 dólares. Se dispone de 14,000 dólares para la inversión. Formule y resuelva un modelo PLE para maximizar el VAN obtenido por StockCo. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 4 / 35

5 Ejemplo 1 Ejemplo 1 StockCo considera cuatro inversiones. La inversión 1 proporcionará un valor actual neto (VAN) de 16,000 dólares; la inversión 2 un VAN de 20,000 dólares; la inversión 3 un VAN de 12,000 dólares; y la inversión 4 un VAN de 8,000 dólares. Cada inversión requiere cierto flujo de caja en el momento actual; la inversión 1 requiere 5,000 dólares; la inversión 2 requiere 7,000 dólares; la inversión 3 requiere 4,000 dólares; y la inversión 4 requiere 3,000 dólares. Se dispone de 14,000 dólares para la inversión. Formule y resuelva un modelo PLE para maximizar el VAN obtenido por StockCo. Variables de Decisión: { 1 si se realiza la inversión i x i = 0 otro caso Objetivo: Maximizar el VAN: Max z = 16, 000 x , 000 x , 000 x 3 + 8, 000 x 4 Restricciones: 5, 000 x 1 + 7, 000 x 2 + 4, 000 x 3 + 3, 000 x 4 14, 000 x i = 1 ó 0, para i = 1, 2, 3, 4. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 4 / 35

6 Ejemplo 1 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 5 / 35

7 Ejemplo 1 Modifique el modelo para StockCo para considerar por separado cada una de las siguientes restricciones: 1 StockCo puede realizar los más dos inversiones. 2 Si StockCo invierte en la inversión 2, entonces debe también invertir en la 1. 3 Si StockCo invierte en la inversión 2, entonces no podrá invertir en la 4. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 6 / 35

8 Ejemplo 1 Modifique el modelo para StockCo para considerar por separado cada una de las siguientes restricciones: 1 StockCo puede realizar los más dos inversiones. 2 Si StockCo invierte en la inversión 2, entonces debe también invertir en la 1. 3 Si StockCo invierte en la inversión 2, entonces no podrá invertir en la 4. Respuestas 1 Basta añadir al modelo la restricción: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 2 Esto hace que entre todos los proyectos hay a lo más dos sí s 2 Basta añadir al modelo la restricción: x 2 x 1 Esto hace que un sí para el proyecto 2 implique un sí para el proyecto 1. 3 Basta añadir al modelo la restricción: x 2 + x 4 1 Esto hace que entre los proyectos 2 y 4 hay a lo más un sí. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 6 / 35

9 Ejemplo 2 Ejemplo 2 Gandhi Cloth Co puede fabricar 3 tipos de ropa: camisas, shorts y pantalones. Para poder fabricar la ropa, la compañía debe disponer de la maquinaria adecuada la cual debe rentar. Para fabricar camisas la maquinaria se renta en 200 dólares por semana; la maquinaria para hacer shorts se renta en 150 dólares por semana; y la maquinaria para hacer pantalones cuesta 100 dólares por semana. La siguiente tabla contiene información sobre los requerimientos para fabricar la ropa en tela y en horas de trabajo, así mismo contiene información sobre los precios de venta y los costos de la matera primas. TRABAJO TELA PRECIO VENTA COSTO Horas m2 dólares dólares Camisa Short Pantalón Disponibles Suponiendo que los costos de renta son independientes de las cantidades de ropa a producir, formule y resuelva un modelo PLE para la compañía Gandhi de manera que maximice sus ganancias semanales. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 7 / 35

10 Ejemplo 2 Variables de Decisión: x 1 = número de camisas a fabricar x 2 = número de shorts a fabticar x 3 = número de pantalones a fabricar Relativas a la renta de maquinaria: { 1 si se fabrican camisas y 1 = 0 otro caso { 1 si se fabrican shorts y 2 = 0 otro caso { 1 si se fabrican pantalones y 3 = 0 otro caso Objetivo Maximizar: z = + (12 x x x 3 ) (6 x x x 3 ) (200 y y y 3 ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 8 / 35

11 Ejemplo 2 Restricciones No exceder el número de horas disponibles de trabajo 3 x x x No exceder la cantidad semanda de tela disponible: 4 x x x Si se decide hacer al menos una camisa, debe rentarse la maquinaria de hacer camisas: x 1 M 1 y 1 Si se decide hacer al menos un short, debe rentarse la maquinaria de hacer shorts: x 2 M 2 y 2 Si se decide hacer al menos una pantalón, debe rentarse la maquinaria de hacer pantalones: x 3 M 3 y 3 x 1, x 2, x 3 enteros no negativos, y 1, y 2, y 3 1 ó 0. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 9 / 35

12 Ejemplo 2 Para las restricciones anteriores, M 1, M 2 y M 3 son números grandes de forma tal que un 0 en y i condiciona a que x i = 0 y un 1 en y i no pone restricciones a x i. Estos valores de M i son calculables por las restricciones. Por ejemplo, si sólo se hicieran camisas (x 2 = 0 y x 3 = 0) por las horas de trabajo se debe cumplir que 3 x 1 150, así x Por tanto, se puede elegir M 1 = 50 o un número mayor. De igual manera, si sólo se hacen shorts (x 1 = 0 y x 3 = 0) de la restricción de horas de trabajo se tiene que cumplir 2 x 2 150, y sí x Por tanto, se puede elegir M 2 = 75 o cualquier número mayor. Si ahora decidimos elegir sólo hacer pantalones (x 1 = 0 y x 2 = 0) por el número de horas disponibles se debe cumplir 6 x 3 150, y así x Por tanto, se puede elegir M 3 = 25 o cualquier número mayor. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 10 / 35

13 Ejemplo 2 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 11 / 35

14 Ejemplo 3 Ejemplo 3 Hay seis ciudades (ciudades 1-6) en el Condado Kilroy. El condado debe determinar en qué ciudad construir estaciones de bomberos. El condado quiere construir una cantidad mínima de estaciones, pero quiere asegurarse que para cada ciudad hay al menos una estación que está a 15 minutos de viaje. Los datos de los tiempos de viaje, en minutos, de una ciudad a otra están en la siguiente tabla. Formule y resuelva un modelo PLE que dirá en qué ciudades construir una estacíón de bomberos. HACIA DE Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Ciudad 5 Ciudad 6 Ciudad Ciudad Ciudad Ciudad Ciudad Ciudad CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 12 / 35

15 Ejemplo 3 Variables de decisión: { 1 si estación de bomberos en la ciudad i x i = 0 si no Objetivo: Minimizar el total de estaciones de bomberos: Minimizar 6 i=1 x i Restricciones Cubrir a la ciudad 1: Como sólo ella misma y la ciudad 2 están a 15 minutos o menos, entonces la ciudad 1 se cubriría teniendo estaciones de bomberos en la ciudad 1 y/o en la ciudad 2: x 1 + x 2 1 Cubrir a la ciudad 2: x 1 + x 2 + x 6 1 Cubrir a la ciudad 3: x 3 + x 4 1 Cubrir a la ciudad 4: x 3 + x 4 + x 5 1 Cubrir a la ciudad 5: x 4 + x 5 + x 6 1 Cubrir a la ciudad 6: x 2 + x 5 + x 6 1 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 13 / 35

16 Ejemplo 3 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 14 / 35

17 Ejemplo 4 Ejemplo 4 FC-Co considera construir plantas en tres localidades desde donde se proveerán productos a otras 4 ciudades distintas. La primera de las posibles plantas tendría una capacidad de 39 productos y un costo de 91 unidades de capital; la segunda tendría una capacidad de 35 productos y un costo de 70 unidades de capital; la tercera tendría una capacidad de 31 productos a un costo de construcción de 24 unidades de capital. La ciudad 1 tiene una demanda de 15 productos, la segunda de 17, la tercera de 22 y la cuarta ciudad de 12 productos. Determine cuáles de las plantas debe construir de manera que se minimice el costo de construcción y el costo por envio total. Suponga que debe proporcionar a las ciudades los productos requeridos y que no debe exceder las capacidades de las plantas. Los costos de envio unitarios en unidades de capital desde cada planta a cada ciiudad están dados en la siguiente tabla. C1 C2 C3 C4 P P P CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 15 / 35

18 Ejemplo 4 Variables de decisión Objetivo y i : variable binaria que indica si la planta i se construye x i,j : Variable entera que determina cuántos productos se envian desde la plata i a la ciudad j. Restricciones Min z = 3 cp i y i + i=1 3 i=1 j=1 4 c i,j x i,j Cumplir demandas: Para toda ciudad j = 1, 2, 3, 4, 3 i=1 x i,j d j No exceder capacidades: Para toda planta i = 1, 2, 3, 4 j=1 x i,j s i y i Naturales: Para toda i = 1, 2, 3, y i es binaria. Naturales: Para toda i = 1, 2, 3 y para toda j = 1, 2, 3, 4, x i,j es entera. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 16 / 35

19 Ejemplo 4 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 17 / 35

20 Restricciones del tipo O BIEN Restricciones del tipo O BIEN Para codificar una restricción del tipo o bien f (x 1, x 2,..., x n ) 0 g(x 1, x 2,..., x n ) 0 el truco consiste en introducir una variable binaria (0 ó 1) y que indica cuál restricción se cumple, y lo anterior se codifica como f (x 1, x 2,..., x n ) M y g(x 1, x 2,..., x n ) M (1 y) donde M es un número positivo muy grande. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 18 / 35

21 Ejemplo 5 Ejemplo 5 Dorian Auto considera la fabricación de 3 tipos de autos: Compacto, mediano, y grande. En la siguiente tabla se muestran los recursos requeridos y las ganancias por cada tipo de auto. En la actualidad se cuenta con 600 toneladas de acero y 60,000 horas de trabajo. Para que la producción de un tipo de auto sea factible, hay que fabricar al menos 100 automóviles. Formule un modelo PLE para maximizar la ganancia de Dorian Auto. COMPACTO MEDIANO GRANDE Acero requerido 1.5 ton 3 ton 5 ton Trabajo requerido 30 horas 25 horas 40 horas Gancia obtenida 2,000 dólares 3,000 dólares 4,000 dólares CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 19 / 35

22 Variables de Decisión Objetivo Ejemplo 5 x i = Num de autos i a producir (i = 1 Compacto, i = 2 mediano, i = 3 grande) Restricciones Truco: Recursos: Max z = 3 g i x i i=1 Acero: 1.5 x x x Trabajo: 30 x x x 2 60, 000 Producción: 400 x i ó x i = 0 Restricciones naturales x i x i ó x i = 0 f = 400 x i 0 ó g = x i 0 (400 x i ) M y i y x i M (1 y i ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 20 / 35

23 Ejemplo 5 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 21 / 35

24 Funciones Linealmente Seccionadas Funciones Linealmente Seccionadas Suponga una función linealmente seccionada en la variable var, f (var); cuyos puntos de ruptura son var = b 1, var = b 2,... var = b n. Para algún k (k = 1, 2,..., n 1) se tiene que var = z k b k + (1 z k ) b k+1 y así f (var) = z k f (b k ) + (1 z k ) f (b k+1 ) f (b k+1 ) f (var) f (b k ) b k var b k+1 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 22 / 35

25 Funciones Linealmente Seccionadas Estrategia de modelación con variables enteras: Reemplace: f (var) = z 1 f (b 1 ) + z 2 f (b 2 ) + + z n f (b n ) Adicione al modelo las restricciones: z 1 y 1 z 2 y 1 + y 2 z 3 y 2 + y 3. z n 1 y n 2 + y n 1 z n y n 1 y 1 + y y n 1 = 1 z 1 + z z n = 1 var = z 1 b z n b n y i = 0 ó 1 para i = 1, 2,... n 1, z i 0 para i = 1, 2,..., n CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 23 / 35

26 Ejemplo 6 Ejemplo 6 La compañía MyCo produce dos tipos de productos que vende a granel, digamos A y B. Estos productos se basan en una misma materia prima y diferentes cantidades de mano de obra. El precio de venta de cada kilogramo de A es de 200 pesos y cada kilogramo de B se vende en 250 pesos. Cada kilogramo de A requiere 4 horas de mano de obra y dos kilogramos de materia prima (1 kilogramo de materia prima se pierde en el proceso). Cada kilogramo de B requiere 6 horas de mano de obra y dos kilogramos y medio de materia prima (Un y medio kilogramos se pierden en el proceso). La compañía dispone de 400 horas de mano de obra a la semana y la materia prima la compra por semana a un proveedor a un precio de 50 pesos cada kilogramo, pero por cada kilogramo después de comprar 100 recibe un descuento de 5 pesos. El proveedor no puede proporcionar más de 200 kilogramos por semana. Suponga que la materia prima no puede ser almancenada por la compañía. Modele y resuelva mediante PLE la situación de MyCo para maximizar sus ganancias semanales. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 24 / 35

27 MODELO VD Objetivo Ejemplo 6 x= total de kg de A a producir y= total de kg de B a producir z= total de kg de materia prima a comprar Max w = Costo(plan) = ventas costos = (200 x y) C(z) f (b 3 ) = 9500 C(z) f (b 2 ) = 5000 f (b 1 ) = 0 b 1 = 0 b 2 = 100 b 3 = 200 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 25 / 35

28 Ejemplo 6 Las restricciones quedan: Referente a la materia prima: Usada = 2 x y Disponible = z (en kg) Referente a las horas de mano de obra: Usada = 4 x + 6 y Disponible = 400 (en hrs) La capacidad del proveedor de surtir materia prima z 200 (en kg) Naturales x, y, z 0 Ahora tenemos el pendiente de la función C(z) que no es lineal. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 26 / 35

29 Ejemplo 6 En este caso, la función linealmente seccionada C(z) tiene 3 puntos de ruptura: (b 1 = 0, C(0) = 0), (b 2 = 100, C(100) = 5000) y (b 3 = 200, C(200) = 9500). Por tanto, requerimos sólo 3 1 = 2 variables binarias y i (y 1 y y 2 ) y 3 variables auxiliares z i (z 1, z 2 y z 3 ). Cambiaremos C(z) = z 1 f (b 1 ) + z 2 f (b 2 ) + z 3 f (b 3 ) = z z z = 5000 z z 3 y añadiremos al modelo las restricciones: z 1 y 1, z 2 y 1 + y 2, z 3 y 2, y 1 + y 2 = 1, z 1 + z 2 + z 3 = 1, z = z 1 b 1 + z 2 b 2 + z 3 b 3 = 100 z z 3 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 27 / 35

30 Ejemplo 6 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 28 / 35

31 Ejemplo 7 Ejemplo 7 Euing Gas produce dos tipos de gasolina (G1 y G2) a partir de dos tipos de petróleo (P1 y P2). Cada galón de G1 debe contener al menos 50 % de P1, y cada galón de G2 debe contener al menos 60 % de P1. Cada galón de G1 se vende 12 centavos de G2 a 14 centavos. Actualmente se disponen 500 galones de P1 y 1,000 galones de P2. Se pueden comprar 1,500 galones extra de P1 a los siguientes precios: los primeros 500 a 25 centavos el galón, los siguientes 500 a 20 centavos el galón, y los últimos 500 a 15 centavos el galón. Modele y resuelva mediante PLE la situación de Euing Gas para maximizar sus ganancias. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 29 / 35

32 Variables de Decisión Ejemplo 7 x ij = Num de galones del petróleo i destinados a gasolina j. X i = Num de galones del petróleo i usados en total. Objetivo Max z = 0.12 (x 11 + x 21 ) (x 12 + x 22 ) Costo(X 1 ) Restricciones Producción: X 1 = x 11 + x 12 Producción: X 2 = x 21 + x 22 Recursos petróleo 2: X 2 1, 000 Recursos petróleo 1: X 1 2, 000 Calidad: x (x 11 + x 21 ) Calidad: x (x 12 + x 22 ) Restricciones naturales x i 0 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 30 / 35

33 Ejemplo 7 Problema: Costo(X 1 ) es una función seccionada Costo(x) = 0 para 0 x 500 (Los primeros 500 ya se tienen) Costo(x) = (x 500) para 500 x 1, 000 Costo(x) = (x 1, 000) para 1, 000 x 1, 500 Costo(x) = (x 1, 500) para 1, 500 x 2, 000 Los extremos de la gráfica de la función costo son: P 1 (b 1 = 0, f (b 1 ) = 0), P 2 (b 2 = 500, f (b 2 ) = 0), P 3 (b 3 = 1000, f (b 3 ) = 125), P 4 (b 4 = 1500, f (b 4 ) = 225), y P 5 (b 5 = 2000, f (b 5 ) = 300): Reemplazaremos: Costo(X 1 ) por z z z z z Adicionaremos al modelo: z 1 y 1, z 2 y 1 + y 2, z 3 y 2 + y 3, z 4 y 3 + y 4, z 5 y 4 y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = 1 z 1 + z 1 + z 3 + z 4 + z 5 = 1 X 1 = z z z 3 1, z 4 1, z 5 2, 000 y i binaria para i = 1, 2, 3, 4y z i 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 31 / 35

34 Ejemplo 7 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 32 / 35

35 Restricciones del tipo SI, ENTONCES Restricciones del tipo SI, ENTONCES Para codificar una restricción del tipo Si f (x 1, x 2,..., x n ) > 0 entonces g(x 1, x 2,..., x n ) 0 el truco consiste en introducir una variable binaria (0 ó 1) y que indica cuál restricción se cumple, y lo anterior se codifica como g(x 1, x 2,..., x n ) M y f (x 1, x 2,..., x n ) M (1 y) donde M es un número positivo muy grande. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 33 / 35

36 Ejemplo 8 Ejemplo 8 Hay que realizar cuatro trabajos en una misma máquina. En la tabla siguiente se indica el tiempo requerido por trabajo y la fecha ĺımite para entregarlo. El retraso de un trabajo es el número de días, después de la fecha ĺımite, hasta la la terminación del trabajo. Si se termina el trabajo a tiempo o antes el retraso es cero. Formule y resuelva un modelo PLE para minimizar el retraso total de los cuatro trabajos. TIEMPO REQUERIDO PARA TERMINAR (días)(t i ) FECHA LÍMITE (d i ) Trabajo 1 6 Final del día 8 Trabajo 2 4 Final del día 4 Trabajo 3 5 Final del día 12 Trabajo 4 8 Final del día 16 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 34 / 35

37 Ejemplo 8 Variables de decisión y i = días de retraso en el trabajo i. x i = el día en el cual el trabajo i se inicia. Función Objetivo Minimizar Z = 4 i=1 y i Restricciones Dos trabajos no se pueden empalmar: Para todo i j: x i + t i x j ó x j + t j x i x i + t i x j 0 ó x j + t j x i 0 x i + t i x j M z ij y x j + t j x i M (1 z ij ) con z ij binario. Contabilización del retraso: Si x i + t i > d i, entonces y i = x i + t i d i : De otra manera Si x i + t i d i > 0, entonces y i x i t i + d i 0. con w i binario. x i + t i d i y i M w i y x i + t i d i M(1 w i ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 35 / 35

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