Un programa entero de dos variables Jueves, 4 de abril. La región factible. Por qué programación entera? Variables 0-1

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Un programa entero de dos variables. 15.053 Jueves, 4 de abril. La región factible. Por qué programación entera? Variables 0-1"

Transcripción

1 Jueves, 4 de abril Un programa entero de dos variables Introducción a la programación entera Modelos de programación entera Handouts: material de clase maximizar 3x + 4y sujeto a 5x + 8y 24 x, y 0 y entero Cuál es la solución óptima? La región factible Resolver PL (ignorar integralidad) obtener x=24/5, y=0; y z =14 2/5. Redondeo, obtener x=5, y=0, no factible! Dividir, obtener x=4, y=0, y z =12 El mismo valor de solución en x=0, y=3. El punto óptimo es x=3, y=1, y z =13 Por qué programación entera? Ventajas de las variables restringidas en valores enteros Más realistas Más flexibles Desventajas Más difícil de modelar Quizás mucho más difícil de resolver Variables 0-1 Programación entera: igualdades y desigualdades lineales más restricciones que dicen que una variable debe ser entera También permitimos x j {0,1}. Esto es equivalente a 0 x j 1 y x j entero El misterio de la programación lineal Algunos problemas de PL son fáciles (podemos resolver problemas con milliones de variables). Otros son más difíciles (incluso 100 variables pueden resultar complicadas). Hacen falta conocimientos y experiencia para saber cuál es cuál. Se trata de un área activa de investigación en el MIT y en otros centros. 5 6

2 El juego del fiver. El juego del fiver. Al hacer clic en un círculo cambia su color y el de los círculos adyacentes. Puede cambiar a rojo todos los círculos? 7 8 El juego del fiver. El juego del fiver. Escribamos un problema de optimización que resuelva el problema con el menor número de movimientos La optimización del juego del fiver x(i,j) = 1 si hago clic en en el cuadro en la fila i y la columna j. x(i,j) = 0 de otro modo Observemos el elemento en fila 3, y columna 2. Para convertirlo a rojo necesitamos que x(2,2) + x(3,1) + x(3,2) + x(3,3) + x(4,2) sea impar La optimización del juego del fiver. (i, j) que sea rojo para i = 1 a 5 y para j = 1 a 5 Deseamos minimizar el número de movimientos. Minimizar Σ i,j=1 a 5 x(i,j) Sujeto a x(i, j) + x(i, j-1) + x(i, j+1) + x(i-1, j) + x(i+1, j) es impar para i = 1 a 5, j = 1 a 5 x(i, j) es 0 o 1 para i = 1 a 5 y j = 1 a 5 x(i, j) = 0 de otro modo. Esto (con pocas modificaciones) es programación entera 11 12

3 La optimización del juego del fiver. (i, j) que sea rojo para i = 1 a 5 y para j = 1 a 5 Deseamos minimizar el número de movimientos. Desvelo la solución? Minimizar Σ i,j=1 a 5 x(i,j) Sujeto a x(i, j) + x(i, j-1) + x(i, j+1) + x(i-1, j) + x(i+1, j) - 2y(i,j) = 1 para i = 1 a 5, j = 1 a 5 x(i, j) es 0 o 1 para i = 1 a 5 y j = 1 a 5 y(i,j) es integral x(i, j) = 0 de otro modo. Esto es programación entera Tipos de programación entera Toda programación entera tiene igualdades y desigualdades lineales y todas o parte de las variables requieren ser enteras. Si todas las variables han de ser enteras, entonces se la conoce como programación entera pura. Si se requiere que todas las variables sean 0 ó 1, se llama programación entera binaria, o 0-1 Si algunas variables pueden ser fracionales y otras han de ser enteras, se llama programación entera mixta (PEM) 15 El ejemplo de la compañía Stockco Stockco está estudiando 6 inversiones. El líquido que se requiere para cada inversión así como el VAN de la inversión se da más adelante. El líquido disponible para las inversiones es $. Stockco desea maximizar su VAN. Cuál es la estrategia óptima? La inversión ha de seleccionarse entera, no se puede seleccionar una fracción de una inversión. 16 Datos para el problema Stockco Presupuesto inversión = $ Formulación programación entera Inversión Líquido necesario (miles) VAN añadido (miles) 5$ 7$ 4$ 3$ 4$ 6$ 16$ 22$ 12$ 8$ 11$ 19$ 17 Cuáles son las variables de decisión? 1, invirtiendo en i = 1,...,6, x i = 0, en otro caso Objetivo y restricciones? Max 16x x x 3 + 8x x x 6 5x 1 + 7x 2 + 4x 3 + 3x 4 + 4x 5 + 6x 6 14 x j ε {0,1} para cada j = 1 a 6 18

4 Restricciones en programaciones enteras Las restricciones en este caso son las indivisibilidades economicas, o se selecciona un proyecto, o no. No se puede seleccionar una fracción de un proyecto. Igualmente, la variables enteras pueden modelar requisitos lógicos (p. ej., si se selecciona el stock 2, también el stock 1.) Cómo modelar restricciones lógicas Se seleccionan 3 stocks. Si se selecciona el stock 2, también el stock 1. Si se selecciona el stock 1, el stock 3 no se selecciona. Se puede seleccionar el stock 4 o el stock 5, pero no ambos Formulación de restricciones Si se selecciona el stock 2, también el stock 1 Se seleccionan 3 stocks Representación bidimensional La restricción de la programación entera: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 =3 x 1 x 2 Stock 2 21 Stock 1 Trabaje con su compañero 5 min para tratar de modelar las otras restricciones. 22 Si se selecciona el stock 1, el stock 3 no se selecciona Se puede seleccionar el stock 4 o el stock 5, pero no ambos Representación bidimensional La restricción de la programación entera: Representación bidimensional La restricción de la programación entera: Stock 3 x 1 + x 3 1 stock 5 x 4 + x 5 = 1 Stock 1 23 stock 4 24

5 Representación de funciones no lineales Coste de los PC Pongamos que el coste de los PC es el siguiente: 2000$ cada uno si compra de 1 a $ cada uno si compra más de 10 Pongamos que se van a comprar como máximo 30 PC Asumamos que el nº de PC comprados sea x + y donde 0 x 10, y y 0 sólo si x = 10. coste es 2000$ x $ y Formulación con programacíón entera crear una variable tal que w = 1 si x = 10. coste es 2000 x y sujeto a 0 x 10 0 y w x/10 y 20 w w binario, x, y 0 entero Problema de localización del almacén n almacenes coste f i de abrir almacén i m clientes cliente j tiene una demanda de d j coste de envío por unidad c ij de servir al ciente i a través del almacén j. Variables: y j = 1 si se abre el almacén x ij = cantidad de la demanda del cliente i satisfecha a través del almacén j Supongamos que sabía qué almacenes estaban abiertos. S = conj. de alm. abiertos x ij = demanda satisfecha para cliente i en almacén j y j = 1 para j en S, y j = 0 para j no en S. sujeto a: los clientes ven su demanda satisfecha no se realizan envíos desde un almacén vacío minimice Σ i,j c ij x ij + Σ j S f j Σ i x ij = d j x ij d j if y j = 1 x ij = 0 if y j = 0 y, x 0 29 Más sobre localización de almacenes y i = 1 si se abre el almacén i y i = 0 en caso contrario x ij = flujo de i a j sujeto a: los clientes ven satisfecha su demanda los almacenes se abren o no se abren (no se dan aperturas parciales) no se realizan envíos desde un almacén vacío minimice Σ i,j c ij x ij + Σ i f i y i Σ i x ij = d j 0 y i 1 y i integral para todo i. x ij d j y i para todo i, j y, x 0 30

6 Dos aspectos clave de usar las variables enteras en el modelo Costes: incluimos el coste del almacén sólo si está abierto. Σ i f i y i Restricciones: no permitimos el envío desde el almacén j si no está abierto. x ij d j y i para todo i, j 31 Más sobre localización de almacenes El anterior es un subproblema que ocurre en la gestión de la cadena de suministo, y se puede enriquecer sistema de distribución más complejo restricciones de capacidad costes de transporte no lineales horarios de entrega productos múltiples normas de gestión y más 32 Utilización de Excel Solver para resolver programación entera Añadir las restricciones de las variables enteras (o añadir que una variable es binaria) Configurar Solver Tolerance. (La tolerancia es la desviación de porcentaje de la optimalidad permitida por Solver para resolver programación entera) el valor por defecto es 5% este valor es demasiado alto suele hallar el punto óptimo en pequeños problemas Comentarios sobre los modelos PE A menudo existen varios modos de modelar el mismo programa entero. Las calculadoras para resolver programación entera son muy sensibles a la formulación (lo que no sucede en la programación lineal) Ejemplo restricción A: 2x 1 + 2x x restricción B: x 1 + x x asumir que x es binario restricciones C: x 1 y, x 2 y,, x 50 y donde y es binario) restricción D: x x y B domina A, C domina D La razón no es obvia, hasta que se ven los algoritmos. 35 Resumen sobre programación entera Mejora mucho la capacidad de modelar Indivisibilidades económicas Restricciones lógicas Construcción de modelos no lineales problemas clásicos sobre gestión de presupuesto y gestión de la cadena de suministro No es fácil de modelar No es fácil de resolver 36

7 El número de stocks seleccionado no es tres Bien x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 4 o (1) x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 2 (2) Añadir una variable auxiliar w {0,1} con las siguientes propiedades: Si w = 1, se satisface la primera restricción (A) Si w = 0, se satisface la segunda restricción (B) Ya que w es 0 ó 1, al menos una de las dos restricciones debe ser satisfecha. 37 El número de stocks seleccionado no es tres (continuación) Añadir la restricción: x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 4w (A) Así que, si w=1, x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 4 (1) Nota: si w = 0, la primera restricción se satisface automáticamente x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x w (B) Así que, si w=0, x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 2 (2) Nota: si w = 1, la segunda restricción se satisface automáticamente (Si hubiésemos escrito 2 + 3w, habríamos eliminado de modo incorrecto la solución en la que x j = 1 para toda j) 38 Debe seleccionar el stock 1 salvo que el VAN de la cartera de valores supere $. Si VAN< 42 entonces x 1 =1. Añadir la restricción: x 1 (42 NPV)/42. Un denominador más grande también funciona. Recuerde que el VAN es 16x x x 3 + 8x x x 6 42x (16x 1 +22x 2 +12x 3 +8x 4 +11x 5 +19x 6 ) 39

Análisis de los datos

Análisis de los datos Universidad Complutense de Madrid CURSOS DE FORMACIÓN EN INFORMÁTICA Análisis de los datos Hojas de cálculo Tema 6 Análisis de los datos Una de las capacidades más interesantes de Excel es la actualización

Más detalles

Resumen de técnicas para resolver problemas de programación entera. 15.053 Martes, 9 de abril. Enumeración. Un árbol de enumeración

Resumen de técnicas para resolver problemas de programación entera. 15.053 Martes, 9 de abril. Enumeración. Un árbol de enumeración 5053 Martes, 9 de abril Ramificación y acotamiento () Entregas: material de clase Resumen de técnicas para resolver problemas de programación entera Técnicas de enumeración Enumeración completa hace una

Más detalles

H E R R A M I E N T A S D E A N Á L I S I S D E D A T O S HERRAMIENTAS DE ANÁLISIS DE DATOS

H E R R A M I E N T A S D E A N Á L I S I S D E D A T O S HERRAMIENTAS DE ANÁLISIS DE DATOS H E R R A M I E N T A S D E A N Á L I S I S D E D A T O S HERRAMIENTAS DE ANÁLISIS DE DATOS Una situación que se nos plantea algunas veces es la de resolver un problema hacia atrás, esto es, encontrar

Más detalles

BREVE MANUAL DE SOLVER

BREVE MANUAL DE SOLVER BREVE MANUAL DE SOLVER PROFESOR: DAVID LAHOZ ARNEDO PROGRAMACIÓN LINEAL Definición: Un problema se define de programación lineal si se busca calcular el máximo o el mínimo de una función lineal, la relación

Más detalles

Programación Entera. P.E pura: Todas las variables de decisión tienen valores enteros.

Programación Entera. P.E pura: Todas las variables de decisión tienen valores enteros. Clase # 7 Programación Entera. Programación entera es programación lineal con la restricción adicional de que los valores de las variables de decisión sean enteros. P.E pura: Todas las variables de decisión

Más detalles

Curso Excel Básico - Intermedio

Curso Excel Básico - Intermedio Curso Excel Básico - Intermedio Clase 4 Relator: Miguel Rivera Adonis Introducción Base de Datos: Definición de Base de Datos Ordenar datos Formulario Filtros Trabajar con Sub-Totales Validación de Datos

Más detalles

2) Se ha considerado únicamente la mano de obra, teniéndose en cuenta las horas utilizadas en cada actividad por unidad de página.

2) Se ha considerado únicamente la mano de obra, teniéndose en cuenta las horas utilizadas en cada actividad por unidad de página. APLICACIÓN AL PROCESO PRODUCTIVO DE LA EMPRESA "F. G. / DISEÑO GRÁFICO". AÑO 2004 Rescala, Carmen Según lo explicado en el Informe del presente trabajo, la variación en la producción de páginas web de

Más detalles

La nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx

La nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx La nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx Resumen Se dan algunas definiciones básicas relacionadas con la divisibilidad

Más detalles

SOLUCION DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL EN UNA HOJA DE CALCULO. PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y ASIGNACION.

SOLUCION DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL EN UNA HOJA DE CALCULO. PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y ASIGNACION. UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE LA PRODUCCIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL SOLUCION DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL EN UNA HOJA DE CALCULO. PROBLEMAS DE

Más detalles

4.3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD

4.3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD 4.3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD El problema de programación lineal se puede considerar como modelo de asignación de recursos, en el que el objetivo es maximizar los ingresos o las utilidades,

Más detalles

MANUAL DE AYUDA HERRAMIENTA DE APROVISIONAMIENTO

MANUAL DE AYUDA HERRAMIENTA DE APROVISIONAMIENTO MANUAL DE AYUDA HERRAMIENTA DE APROVISIONAMIENTO Fecha última revisión: Junio 2011 INDICE DE CONTENIDOS HERRAMIENTA DE APROVISIONAMIENTO... 3 1. QUÉ ES LA HERRAMIENTA DE APROVISIONAMIENTO... 3 HERRAMIENTA

Más detalles

2. Entorno de trabajo y funcionalidad en Arquímedes

2. Entorno de trabajo y funcionalidad en Arquímedes 2. Entorno de trabajo y funcionalidad en Arquímedes 2.9. Presupuestos comparativos. Cómo contrastar ofertas... 1 2.9.1. Análisis de los datos del comparativo de presupuestos... 4 2.9.2. Ejemplo de comparativo

Más detalles

Ejercicios Certamen #2

Ejercicios Certamen #2 Ejercicios Certamen #2 ILI-281, Fundamentos de Investigación de Operaciones Primer período académico 2003 Esteban Sáez Departamento de Informática UTFSM Junio 2003 P1-C2-S1-2002 Un administrador de un

Más detalles

Guía de Apoyo Project Professional

Guía de Apoyo Project Professional Guía de Apoyo Project Professional Contenido INTRODUCCIÓN... 3 CAPITULO I: ELEMENTOS INICIALES DE PROJECT PROFESSIONAL... 4 Descripción de Entorno de trabajo... 4 Opciones de personalización de Project

Más detalles

Administración Local Soluciones

Administración Local Soluciones SISTEMA INTEGRADO DE GESTIÓN DE EXPEDIENTES MODULAR (SIGM) MANUAL DE USUARIO DE ARCHIVO PRÉSTAMOS Y CONSULTAS SIGM v3 Administración Local Soluciones Control de versiones Versión Fecha aprobación Cambio

Más detalles

Tecnología de la Información y la Comunicación. Base de datos. Consultas - 2007 -

Tecnología de la Información y la Comunicación. Base de datos. Consultas - 2007 - Tecnología de la Información y la Comunicación Base de datos Consultas - 2007 - Profesores del área Informática: Guillermo Storti Gladys Ríos Gabriel Campodónico Consultas Se utilizan consultas para ver,

Más detalles

Herramienta Solver. Activar Excel Solver

Herramienta Solver. Activar Excel Solver Herramienta Solver Introducción: Solver forma parte de una serie de comandos a veces denominados herramientas de análisis Y si. Con Solver, puede encontrar un valor óptimo (mínimo o máximo) para una fórmula

Más detalles

Ejercicio de estadística para 3º de la ESO

Ejercicio de estadística para 3º de la ESO Ejercicio de estadística para 3º de la ESO Unibelia La estadística es una disciplina técnica que se apoya en las matemáticas y que tiene como objetivo la interpretación de la realidad de una población

Más detalles

Investigación Operativa

Investigación Operativa Investigación Operativa Ingeniería Informática Curso 08/09 Introducción Programación lineal Programación entera Programación combinatoria y en redes Simulación Sistemas de colas Introducción: Qué es la

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver

Más detalles

Manual de guía para Clientes Sistema MoTrack

Manual de guía para Clientes Sistema MoTrack Manual de guía para Clientes Sistema MoTrack Contenido 1) introducción 2) Ingresar 3) Principal 4) Mapas 4.1) Mapa de los Móviles 4.2) Mapa de Flota de Móviles 5) Reportes 5.1) Reportes Detallados Reportes

Más detalles

EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO: MINIMIZACION. M. En C. Eduardo Bustos Farías

EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO: MINIMIZACION. M. En C. Eduardo Bustos Farías EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO: MINIMIZACION M. En C. Eduardo Bustos Farías 1 Minimización El método simplex puede aplicarse a un problema de minimización si se modifican los pasos del algoritmo: 1. Se cambia

Más detalles

Dirección de Operaciones

Dirección de Operaciones Dirección de Operaciones 1 Sesión No. 2 Nombre: Programación lineal Objetivo Al finalizar la sesión, el alumno será capaz de identificar los principios fundamentales de la programación lineal. Contextualización

Más detalles

El Problema del Transporte

El Problema del Transporte ASIGNATURA PROGRAMACIÓN LINEAL El Problema del Transporte Maestro Ing. Julio Rito Vargas Avilés Octubre 2014 1 Problema de Transporte Es un caso especial de problema de programación lineal (PPL), para

Más detalles

x 10000 y 8000 x + y 15000 a) La región factible asociada a las restricciones anteriores es la siguiente: Pedro Castro Ortega lasmatematicas.

x 10000 y 8000 x + y 15000 a) La región factible asociada a las restricciones anteriores es la siguiente: Pedro Castro Ortega lasmatematicas. Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Septiembre 2012 - Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos

Más detalles

Manual Oficina Web de Clubes (FBM)

Manual Oficina Web de Clubes (FBM) Manual Oficina Web de Clubes (FBM) INTRODUCCIÓN: La Oficina Web de Clubes de Intrafeb es la oficina virtual desde la que un club podrá realizar las siguientes operaciones durante la temporada: 1. Ver información

Más detalles

Unidad II: Análisis de Redes

Unidad II: Análisis de Redes Unidad II: Análisis de Redes 2.1 Conceptos Básicos Un problema de redes es aquel que puede representarse por: LA IMPORTANCIA DE LOS MODELOS DE REDES: Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a

Más detalles

Parámetros con la ventana de selección de usuario, reglas, texto y descomposición (IVE)

Parámetros con la ventana de selección de usuario, reglas, texto y descomposición (IVE) QUÉ SON CONCEPTOS PARAMÉTRICOS? Los conceptos paramétricos de Presto permiten definir de una sola vez una colección de conceptos similares a partir de los cuales se generan variantes o conceptos derivados

Más detalles

Manual para el uso del Correo Electrónico Institucional Via Webmail

Manual para el uso del Correo Electrónico Institucional Via Webmail Manual para el uso del Correo Electrónico Institucional Via Webmail Accesando la pagina de webmail DIFSON El primer paso va a ser entrar a la página de internet donde se encuentra el correo de DIFSON.

Más detalles

CURSO DE INFORMATICA 2005

CURSO DE INFORMATICA 2005 CURSO DE INFORMATICA 2005 Qué es Outlook? Outlook es un programa de Microsoft que se usa principalmente para recibir y enviar correos electrónicos. Además posee otros accesorios como Agenda, Calendario

Más detalles

Hoja1!C4. Hoja1!$C$4. Fila

Hoja1!C4. Hoja1!$C$4. Fila CAPÍTULO 6......... Cálculo y funciones con Excel 2000 6.1.- Referencias De Celdas Como vimos con anterioridad en Excel 2000 se referencian las celdas por la fila y la columna en la que están. Además como

Más detalles

Instructivo Software de Gestión de Duplicados (Cor-Dupli)

Instructivo Software de Gestión de Duplicados (Cor-Dupli) Instructivo Software de Gestión de Duplicados (Cor-Dupli) 1) Ingreso al sistema 2) Disposición de la información a. Estructura de la pantalla b. Estructura de información que se muestra en los listados

Más detalles

Tema 5: Dualidad y sensibilidad de los modelos lineales.

Tema 5: Dualidad y sensibilidad de los modelos lineales. ema 5: Dualidad y sensibilidad de los modelos lineales. Objetivos del tema: Introducir el concepto de Sensibilidad en la Programación Lineal Introducir el concepto de Dualidad en la Programación Lineal

Más detalles

Está invirtiendo demasiado tiempo y dinero en procesos que podrían ser mucho más simples, ágiles y beneficiosos para su empresa.

Está invirtiendo demasiado tiempo y dinero en procesos que podrían ser mucho más simples, ágiles y beneficiosos para su empresa. Su empresa utiliza más de una solución de software para gestionar las diferentes áreas y departamentos? Está invirtiendo demasiado tiempo y dinero en procesos que podrían ser mucho más simples, ágiles

Más detalles

Programación Lineal: Modelos PLE

Programación Lineal: Modelos PLE Programación Lineal: Modelos PLE CCIR / Matemáticas euresti@itesm.mx CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE euresti@itesm.mx 1 / 35 Introduccion Introduccion En esta lectura se verán cómo

Más detalles

Ensayo: Construcción de la Frontera Eficiente de Markowitz mediante el uso de la herramienta SOLVER de Excel y el modelo Matricial.

Ensayo: Construcción de la Frontera Eficiente de Markowitz mediante el uso de la herramienta SOLVER de Excel y el modelo Matricial. UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE MONAGAS POST GRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCIÓN FINANZAS FINANZAS INTERNACIONALES Ensayo: Construcción de la Frontera Eficiente de Markowitz mediante el uso de la

Más detalles

Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial :Solución Profr. Eduardo Uresti, Verano 2009

Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial :Solución Profr. Eduardo Uresti, Verano 2009 Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial : Profr. Eduardo Uresti, Verano 2009 Matrícula: Nombre: 1. Suponga que se tiene disponible la siguiente información salida de LINDO a un problema

Más detalles

Programación Lineal Entera

Programación Lineal Entera Programación Lineal Entera Los modelos de programación entera son una extensión de los modelos lineales en los que algunas variables toman valores enteros. Con frecuencia las variables enteras sólo toman

Más detalles

MÓDULO 2: TRATAMIENTO DE DATOS CON HOJA DE CÁLCULO. Tema 4: Herramientas de análisis: buscar objetivo, escenarios, Solver

MÓDULO 2: TRATAMIENTO DE DATOS CON HOJA DE CÁLCULO. Tema 4: Herramientas de análisis: buscar objetivo, escenarios, Solver MÓDULO 2: TRATAMIENTO DE DATOS CON HOJA DE CÁLCULO Tema 4: Herramientas de análisis: buscar objetivo, escenarios, Solver Leire Aldaz, Begoña Eguía y Leire Urcola Índice del tema Introducción Buscar Objetivo

Más detalles

INTERPRETACION ECONOMICA DEL ANALISIS DE SENSIBILIDAD

INTERPRETACION ECONOMICA DEL ANALISIS DE SENSIBILIDAD ESCOLA UNIVERSITÀRIA D ESTUDIS EMPRESARIALS DEPARTAMENT D ECONOMIA I ORGANITZACIÓ D EMPRESES INTERPRETACION ECONOMICA DEL ANALISIS DE SENSIBILIDAD Dunia Durán Juvé Profesora Titular 1ª Edición de 1995:

Más detalles

CANTABRIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / BLOQUE 1 / OPCIÓN A

CANTABRIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / BLOQUE 1 / OPCIÓN A CANTABRIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / BLOQUE 1 / OPCIÓN A BLOQUE 1 OPCIÓN A Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo

Más detalles

Capítulo 12: Indexación y asociación

Capítulo 12: Indexación y asociación Capítulo 12: Indexación y asociación Conceptos básicos Índices ordenados Archivos de índice de árbol B+ Archivos de índice de árbol B Asociación estática Asociación dinámica Comparación entre indexación

Más detalles

PRÁCTICA 1: Optimización con Excel 2010

PRÁCTICA 1: Optimización con Excel 2010 Grado en Administración de Empresas Departamento de Estadística Asignatura: Optimización y Simulación para la Empresa Curso: 2011/2012 PRÁCTICA 1: Optimización con Excel 2010 1. Modelización mediante hojas

Más detalles

Empresarial y Financiero NIVEL AVANZADO

Empresarial y Financiero NIVEL AVANZADO Curso de Excel Empresarial y Financiero NIVEL AVANZADO Rosa Rodríguez SESION 2: INDICE ANALISIS DE SENSIBILIDAD (3h) Validación de datos n Restricciones a la entrada de datos n Lista Dependiente n Administrador

Más detalles

Manual de la aplicación de seguimiento docente en la UJI

Manual de la aplicación de seguimiento docente en la UJI Manual de la aplicación de seguimiento docente en la UJI Introducción El objetivo del presente documento es, fundamentalmente, informar al PDI sobre el funcionamiento de la aplicación informática de apoyo

Más detalles

Pronósticos. Pronósticos y gráficos Diapositiva 1

Pronósticos. Pronósticos y gráficos Diapositiva 1 Pronósticos Pronósticos Información de base Media móvil Pronóstico lineal - Tendencia Pronóstico no lineal - Crecimiento Suavización exponencial Regresiones mediante líneas de tendencia en gráficos Gráficos:

Más detalles

En cualquier caso, tampoco es demasiado importante el significado de la "B", si es que lo tiene, lo interesante realmente es el algoritmo.

En cualquier caso, tampoco es demasiado importante el significado de la B, si es que lo tiene, lo interesante realmente es el algoritmo. Arboles-B Características Los árboles-b son árboles de búsqueda. La "B" probablemente se debe a que el algoritmo fue desarrollado por "Rudolf Bayer" y "Eduard M. McCreight", que trabajan para la empresa

Más detalles

Programación Lineal. Ficha para enseñar a utilizar el Solver de EXCEL en la resolución de problemas de Programación Lineal

Programación Lineal. Ficha para enseñar a utilizar el Solver de EXCEL en la resolución de problemas de Programación Lineal Programación Lineal Ficha para enseñar a utilizar el Solver de EXCEL en la resolución de problemas de Programación Lineal Ejemplo: Plan de producción de PROTRAC En esta ficha vamos a comentar cómo se construyó

Más detalles

INSTRUCCIONES BÁSICAS DE ACCESO AL PORTAL DEL CLIENTE

INSTRUCCIONES BÁSICAS DE ACCESO AL PORTAL DEL CLIENTE Para poder acceder a la información como Cliente debe acceder a la Plataforma Digital y registrarse, tal como hacía hasta ahora, con su usuario y contraseña. Si no cuenta con sus datos de acceso, puede

Más detalles

SISTEMAS DE INFORMACIÓN PARA ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES CADENA DE SUMINISTROS I

SISTEMAS DE INFORMACIÓN PARA ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES CADENA DE SUMINISTROS I SISTEMAS DE INFORMACIÓN PARA ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES 2003 CADENA DE SUMINISTROS I CADENA DE SUMINISTROS Gestión de la Cadena de Suministros (GCS): es un conjunto de enfoques y herramientas utilizadas

Más detalles

Bases de datos en Excel

Bases de datos en Excel Universidad Complutense de Madrid CURSOS DE FORMACIÓN EN INFORMÁTICA Bases de datos en Excel Hojas de cálculo Tema 5 Bases de datos en Excel Hasta ahora hemos usado Excel básicamente para realizar cálculos

Más detalles

Listado de Trabajo TRANSPORTE

Listado de Trabajo TRANSPORTE Listado de Trabajo TRANSPORTE Problema 1 Una compañía de servicios Informáticos, recibe pedidos de sus productos desde tres diferentes ciudades, en las siguientes cantidades: La ciudad A pide 18 Pc portatiles.

Más detalles

x + y 4 2x + 3y 10 4x + 2y 12 x 0, y 0

x + y 4 2x + 3y 10 4x + 2y 12 x 0, y 0 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL JUNIO 2000. OPCIÓN B. Una empresa especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de mesas y

Más detalles

MANUAL DE AYUDA HERRAMIENTA DE APROVISIONAMIENTO

MANUAL DE AYUDA HERRAMIENTA DE APROVISIONAMIENTO MANUAL DE AYUDA HERRAMIENTA DE APROVISIONAMIENTO Fecha última revisión: Marzo 2016 INDICE DE CONTENIDOS HERRAMIENTA DE APROVISIONAMIENTO... 2 1. QUÉ ES LA HERRAMIENTA DE APROVISIONAMIENTO... 2 HERRAMIENTA

Más detalles

ARREGLOS DEFINICION GENERAL DE ARREGLO

ARREGLOS DEFINICION GENERAL DE ARREGLO ARREGLOS DEFINICION GENERAL DE ARREGLO Conjunto de cantidades o valores homogéneos, que por su naturaleza se comportan de idéntica forma y deben de ser tratados en forma similar. Se les debe de dar un

Más detalles

Problemas de Programación Entera

Problemas de Programación Entera Problemas de Programación Entera 1. Se está estudiando la manufactura de tres nuevos productos textiles, que denominaremos P1, P2 y P3. Cada producto requiere para su producción el alquiler de una máquina,

Más detalles

Conciliación bancaria en CheqPAQ Cargado de estado de cuenta

Conciliación bancaria en CheqPAQ Cargado de estado de cuenta Conciliación bancaria en CheqPAQ Cargado de estado de cuenta Introducción Con la finalidad de mantenerte informado respecto a todos los cambios y mejoras de los productos de CONTPAQ i, ponemos a tu disposición

Más detalles

TÉCNICAS DE GESTIÓN ADMINISTRATIVA PARA PEQUEÑAS EMPRESAS

TÉCNICAS DE GESTIÓN ADMINISTRATIVA PARA PEQUEÑAS EMPRESAS COMBINAR CORRESPONDENCIA CON OFFICE 2003 Combinar correspondencia nos permite incluir en un documento datos almacenados en otro lugar. De esta forma podremos obtener copias de un mismo documento pero con

Más detalles

Si el comando Solver no aparece en el menú Herramientas, deberá instalar la macro automática Solver como sigue:

Si el comando Solver no aparece en el menú Herramientas, deberá instalar la macro automática Solver como sigue: El Solver de Excel El Solver se utiliza para determinar el valor máximo o mínimo de una celda modificando otras celdas; por ejemplo, el beneficio máximo que puede generarse modificando los gastos de publicidad.

Más detalles

PAGINA WEB - MANUAL DE USUARIO

PAGINA WEB - MANUAL DE USUARIO PAGINA WEB - MANUAL DE USUARIO Bienvenido, con este manual queremos acercarnos a Ud. a fin de instruirlo en el uso de nuestra nueva página web. Así, le mostraremos todas las opciones con la que cuenta.

Más detalles

Tema 6: Problemas Especiales de Programación Lineal

Tema 6: Problemas Especiales de Programación Lineal Tema 6: Problemas Especiales de Programación Lineal Transporte Asignación Transbordo Tienen una estructura especial que permite modelizar situaciones en las que es necesario: Determinar la manera óptima

Más detalles

P r e g u n t a s m á s F r e c u e n t e s :

P r e g u n t a s m á s F r e c u e n t e s : ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. Q U É E S D R O P B O X? 2. C Ó M O I N S T A L A R E L P R O G R A M A D R O P B O X? 3. C Ó M O C R E A R U N A C A R P E T A P A R A C O M P A R - T I R A R C H I V O S U T I

Más detalles

Curso de Excel. Empresarial y Finanzas SESIÓN 5: ÍNDICE EXCEL. Documento propiedad de J. David Moreno Universidad Carlos III de Madrid

Curso de Excel. Empresarial y Finanzas SESIÓN 5: ÍNDICE EXCEL. Documento propiedad de J. David Moreno Universidad Carlos III de Madrid Curso de Excel Empresarial y Finanzas SESIÓN 5: OPTIMIZACIÓN A TRAVÉS DE EXCEL J. David Moreno ÍNDICE 1. Operaciones con matrices 1. Aplicación: ió Cálculo l de la Rentabilidad d de una cartera 2. Aplicación:

Más detalles

GENERACIÓN DE ANTICIPOS DE CRÉDITO

GENERACIÓN DE ANTICIPOS DE CRÉDITO GENERACIÓN DE ANTICIPOS DE CRÉDITO 1 INFORMACIÓN BÁSICA La aplicación de generación de ficheros de anticipos de crédito permite generar fácilmente órdenes para que la Caja anticipe el cobro de créditos

Más detalles

Ciclo de vida y Metodologías para el desarrollo de SW Definición de la metodología

Ciclo de vida y Metodologías para el desarrollo de SW Definición de la metodología Ciclo de vida y Metodologías para el desarrollo de SW Definición de la metodología La metodología para el desarrollo de software es un modo sistemático de realizar, gestionar y administrar un proyecto

Más detalles

GUÍA DE USUARIO: GOOGLE DRIVE

GUÍA DE USUARIO: GOOGLE DRIVE GUÍA DE USUARIO: GOOGLE DRIVE Google Drive es una herramienta telemática de la web 2.0 que permite el trabajo virtual de forma colaborativa. En Google Drive podemos encontrar una barra de navegación en

Más detalles

Para crear una lista como la anterior, primero escribe la información, y después selecciona el texto y aplícale el formato de viñetas.

Para crear una lista como la anterior, primero escribe la información, y después selecciona el texto y aplícale el formato de viñetas. Módulo 3 Herramientas de Cómputo Listas, tabulaciones, columnas y cuadros de texto Listas En muchas ocasiones es necesario que enumeres diferentes elementos en tus documentos. Word no sólo reconoce números

Más detalles

Gestión de Retales WhitePaper Noviembre de 2009

Gestión de Retales WhitePaper Noviembre de 2009 Gestión de Retales WhitePaper Noviembre de 2009 Contenidos 1. Introducción 3 2. Almacén de retales 4 3. Propiedades de los materiales 6 4. Alta de retales 8 5. Utilización de retales en un lote de producción

Más detalles

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES CÁRDENAS ESPINOSA CÉSAR OCTAVIO racsec_05@hotmail.com Boleta: 2009350122 CASTILLO GUTIÉRREZ

Más detalles

Fórmulas y enfoques utilizados para calcular el Tasa Efectiva de Interés (TEI) o Costo Anual Total (CAT)

Fórmulas y enfoques utilizados para calcular el Tasa Efectiva de Interés (TEI) o Costo Anual Total (CAT) Fórmulas y enfoques utilizados para calcular el Tasa Efectiva de Interés (TEI) o Costo Anual Total (CAT) El propósito del Costo Anual Total (CAT) El precio verdadero del préstamo no solamente incluye los

Más detalles

Universidad Tec Milenio: Profesional IO04001 Investigación de Operaciones I. Tema #8

Universidad Tec Milenio: Profesional IO04001 Investigación de Operaciones I. Tema #8 IO04001 Investigación de Operaciones I Tema #8 Uso de software de PL Objetivos de aprendizaje Al finalizar el tema serás capaz de: Manejar una hoja de cálculo como Excel para la Manejar una hoja de cálculo

Más detalles

magh - CBTis12 Recuerde que debe contar con un correo valido de Gmail.

magh - CBTis12 Recuerde que debe contar con un correo valido de Gmail. La herramienta de la web 2.0 blog, permite al alumno expresar ideas, para nuestra clase se utilizará para que estructuren su portafolio de evidencias, Para acceder a la página del Blogger, haga clic en

Más detalles

MUNIA Manual de usuario

MUNIA Manual de usuario MUNIA Manual de usuario by Daisoft www.daisoft.it 2 La tabla de contenido I II 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 III 3.1 3.2 3.3 IV 4.1 4.2 V 5.1 5.2 5.3 Introducción... 3 Vencimientos... 6 Tipos... de vencimientos

Más detalles

Manual para la utilización de PrestaShop

Manual para la utilización de PrestaShop Manual para la utilización de PrestaShop En este manual mostraremos de forma sencilla y práctica la utilización del Gestor de su Tienda Online mediante Prestashop 1.6, explicaremos todo lo necesario para

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

L A P R O G R A M A C I O N

L A P R O G R A M A C I O N L A P R O G R A M A C I O N L I N E A L 1. INTRODUCCIÓN: la programación lineal como método de optimación La complejidad de nuestra sociedad en cuanto a organización general y económica exige disponer

Más detalles

Unidad I. 1.1 Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal)

Unidad I. 1.1 Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal) Unidad I Sistemas numéricos 1.1 Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal) Los computadores manipulan y almacenan los datos usando interruptores electrónicos que están ENCENDIDOS o APAGADOS.

Más detalles

NOTAS TÉCNICAS SOBRE EL SIT: Documentos de Gestión

NOTAS TÉCNICAS SOBRE EL SIT: Documentos de Gestión NOTAS TÉCNICAS SOBRE EL SIT: Documentos de Gestión Introducción...2 Tipos de documentos...2 Datos de Cabecera...3 Nuevo Documento... 3 Modificar Documento... 4 Añadir, modificar y eliminar Artículos...5

Más detalles

Ingeniería en Informática

Ingeniería en Informática Departamento de Informática Universidad Carlos III de Madrid Ingeniería en Informática Aprendizaje Automático Junio 2007 Normas generales del examen El tiempo para realizar el examen es de 3 horas No se

Más detalles

Programación Lineal Entera

Programación Lineal Entera Programación Lineal Entera P.M. Mateo y David Lahoz 2 de julio de 2009 En este tema se presenta un tipo de problemas formalmente similares a los problemas de programación lineal, ya que en su descripción

Más detalles

Covarianza y coeficiente de correlación

Covarianza y coeficiente de correlación Covarianza y coeficiente de correlación Cuando analizábamos las variables unidimensionales considerábamos, entre otras medidas importantes, la media y la varianza. Ahora hemos visto que estas medidas también

Más detalles

Instructivo de Microsoft Excel 2003

Instructivo de Microsoft Excel 2003 Instructivo de Microsoft Excel 2003 El presente instructivo corresponde a una guía básica para el manejo del programa y la adquisición de conceptos en relación a este utilitario. Que es Microsoft Excel?

Más detalles

Unidad 4 Programación lineal

Unidad 4 Programación lineal Unidad 4 Programación lineal PÁGINA 79 SOLUCIONES 1. Las regiones quedan: a) b) 2. El sistema pedido es: x y > 1 2x + y < 7 y > 1 1 PÁGINA 91 SOLUCIONES 1. Sumando los kilos de todos los sacos, obtenemos

Más detalles

MANUAL DE USUARIO DESKTOP

MANUAL DE USUARIO DESKTOP 2013 TEM SOLUCIONES MANUAL DE USUARIO DESKTOP Usuario Desktop Tem Soluciones TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN... 3 LOGIN... 4 Login... 4 PÁGINA DE BIENVENIDA... 4 ENVIAR SMS... 5 Solo SMS (Single SMS):...

Más detalles

Unidad 5 Utilización de Excel para la solución de problemas de programación lineal

Unidad 5 Utilización de Excel para la solución de problemas de programación lineal Unidad 5 Utilización de Excel para la solución de problemas de programación lineal La solución del modelo de programación lineal (pl) es una adaptación de los métodos matriciales ya que el modelo tiene

Más detalles

Plataforma Educativa Manual del Docente Nivel II Módulo 3 Wiki

Plataforma Educativa Manual del Docente Nivel II Módulo 3 Wiki 2014 Plataforma Educativa Manual del Docente Nivel II Módulo 3 Wiki Dirección Provincial de Tecnologías Educativas Dirección Provincial de Tecnologías Educativas Ministerio de Educación Ministerio de Educación

Más detalles

Guía para la Automatización de Documentos en. Microsoft Word

Guía para la Automatización de Documentos en. Microsoft Word UNIVERSIDAD SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE SAN MARCOS USAC-CUSAM Guía para la Automatización de Documentos en Microsoft Word ID Y ENSEÑAD A TODOS 2015 PRESENTACIÓN El Instituto de Investigaciones

Más detalles

MANUAL GESTIÓN DE STOCKS

MANUAL GESTIÓN DE STOCKS MANUAL GESTIÓN DE STOCKS (TPVAND2 Y WINEX-TPV3) Página 1 Consideraciones Lo primero que quisiéramos reseñar es que cuando usted lea este manual es posible que no esté completamente actualizado debido a

Más detalles

Guía Práctica para el Uso del Servicio de Software Zoho CRM

Guía Práctica para el Uso del Servicio de Software Zoho CRM Guía Práctica para el Uso del Servicio de Software Zoho CRM Parte 3 Administración de Roles y Perfiles Uso de la Funcionalidad de Cuentas Uso de la Funcionalidad de Contactos Desarrollado por Mind Andina

Más detalles

Clases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut

Clases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut Clases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut Este texto intenta ser un complemento de las clases de apoyo de matemáticas que se están realizando en la

Más detalles

APLICACIONES CON SOLVER OPCIONES DE SOLVER

APLICACIONES CON SOLVER OPCIONES DE SOLVER APLICACIONES CON SOLVER Una de las herramientas con que cuenta el Excel es el solver, que sirve para crear modelos al poderse, diseñar, construir y resolver problemas de optimización. Es una poderosa herramienta

Más detalles

EJERCICIOS EXCEL. Guardar el libro en tu pen drive, con el nombre PRACTICA1_ALUMNO_GRUPO.

EJERCICIOS EXCEL. Guardar el libro en tu pen drive, con el nombre PRACTICA1_ALUMNO_GRUPO. EJERCICIOS EXCEL EJERCICIO DEL PRECIO CON IVA Crear un libro para saber cuál es el precio de un artículo aplicándole el 16% de IVA. El precio sin IVA es un valor que se tendrá que introducir, así como

Más detalles

Operaciones Morfológicas en Imágenes Binarias

Operaciones Morfológicas en Imágenes Binarias Operaciones Morfológicas en Imágenes Binarias Introducción La morfología matemática es una herramienta muy utilizada en el procesamiento de i- mágenes. Las operaciones morfológicas pueden simplificar los

Más detalles

Combinar correspondencia (I)

Combinar correspondencia (I) Combinar correspondencia (I) Mediante la opción Combinar correspondencia Word2007 nos permite incluir en un documento, datos almacenados en otro sitio. De esta forma podremos obtener copias de un mismo

Más detalles

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

SOLUCIÓN CASO GESTIÓN DE COMPRAS

SOLUCIÓN CASO GESTIÓN DE COMPRAS SOLUCIÓN CASO GESTIÓN DE COMPRAS Comenzamos por abrir un libro de trabajo y lo guardaremos con el nombre Compras. 1) En primer lugar resolveremos el primer apartado en la hoja 1 del libro de trabajo procediendo

Más detalles

UNIDAD 6. Programación no lineal

UNIDAD 6. Programación no lineal UNIDAD 6 Programación no lineal En matemática Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto

Más detalles

Práctica B: Monitorización del rendimiento del sistema

Práctica B: Monitorización del rendimiento del sistema Monitorización y optimización del rendimiento en Windows 2000 1 Práctica B: Monitorización del rendimiento del sistema Objetivos En este laboratorio, aprenderemos a: Monitorizar el rendimiento del sistema

Más detalles

TPVFÁCIL. Caja Real. Definiciones.

TPVFÁCIL. Caja Real. Definiciones. TPVFÁCIL. Caja Real. TPVFÁCIL incluye desde la versión 3.3.2 la posibilidad de manejar dos cajas, la Caja Real y la Caja normal. La idea es esconder los datos de caja que pueden alcanzar los usuarios no

Más detalles