MULTIPLICADOR EN EL CUERPO FINITO GF(2 163 ) USANDO BASES NORMALES GAUSSIANAS ABSTRACT RESUMEN

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1 MULTIPLICADOR EN EL CUERPO FINITO GF( 163 ) USANDO BASES NORMALES GAUSSIANAS Vldmr Trujllo, Jme Velsco-Medn, Julo C. López-Hernández Grupo de Boelectrónc y Nnoelectrónc, EIEE, Unversdd del Vlle A.A. 536, Cl, Colomb E-ml: vltruo@yubrt.unvlle.edu.co, jvelsco@unvlle.edu.co, jlopez@esc.unvlle.edu.co ABSTRACT In ths rtcle we present n rchtecture for multpler crcut n the feld GF( 163 ) usng gussn norml bss. Ths multpler s the mn functonl block of the rthmetc unt of cryptogrphc processor for ellptc curves. The hrdwre rchtecture s descrbed usng VHDL nd syntheszed by MAX+plus II on the CPLD EPF1KSFC67-1X. The smulton results show very good performnce for ths multpler. RESUMEN En este rtculo se present un rqutectur pr un multplcdor en el cuerpo fnto bnro GF( 163 ) usndo bses normles gussns. Este multplcdor consttuye el prncpl bloque funconl de l undd rtmétc de un crptoprocesdor pr curvs elíptcs sobre cuerpos bnros. L rqutectur del hrdwre es descrt usndo VHDL y es sntetzd usndo MAX+plus II de Alter sobre el crcuto CPLD EPF1KSFC67-1X. Los resultdos de smulcón muestrn un buen desempeño pr este multplcdor.

2 MULTIPLICADOR EN EL CUERPO FINITO GF( 163 ) USANDO BASES NORMALES GAUSSIANAS Vldmr Trujllo, Jme Velsco-Medn, Julo C. López-Hernández Grupo de Boelectrónc y Nnoelectrónc, EIEE, Unversdd del Vlle A.A. 536, Cl, Colomb E-ml: vltruo@yubrt.unvlle.edu.co, jvelsco@unvlle.edu.co, jlopez@esc.unvlle.edu.co RESUMEN En este rtculo se present un rqutectur pr un multplcdor en el cuerpo fnto bnro GF( 163 ) usndo bses normles gussns. Este multplcdor consttuye el prncpl bloque funconl de l undd rtmétc de un crptoprocesdor pr curvs elíptcs sobre cuerpos bnros. L rqutectur del hrdwre es descrt usndo VHDL y es sntetzd usndo MAX+plus II de Alter sobre el crcuto CPLD EPF1KSFC67-1X. Los resultdos de smulcón muestrn un buen desempeño pr este multplcdor 1. INTRODUCCION En los sstems de comunccón modernos es de vtl mportnc l confbldd y l segurdd de l nformcón. Entonces, en muchos csos con el propósto de lcnzr los requermentos nterores se us l rtmétc de cuerpo fnto GF( m ) pr l mplementcón de lgortmos crptográfcos tnto nvel de softwre como nvel de hrdwre. Sn embrgo, debdo l necesdd de cumplr con los requermentos de lt velocdd de los sstems crptográfcos, l myorí de ls plccones requeren mplementcones nvel de hrdwre. En este cso, pr el cálculo de ls opercones rtmétcs en el cuerpo fnto GF( m ), se requeren crcutos multplcdores de lto desempeño, puesto que l myorí de ls funcones rtmétcs mportntes tles como l nversón y l exponenccón están bsds en l multplccón. Dferentes lgortmos pr l multplccón en el cuerpo fnto GF( m ) tnto nvel de softwre como nvel de hrdwre (crcutos VLSI o crcutos FPGAs) hn sdo presentdos en l ltertur [1][][3][4][5]. Adconlmente, se hn utlzdo dferentes bses pr l representcón de los elementos del cuerpo fnto GF( m ) en los que operen tles multplcdores. Los crptosstems de curvs elíptcs defndos en los cuerpos bnros GF( m ), recomenddos por NIST (Ntonl Insttute of Stndrds nd Technology), ofrecen lt segurdd con clves de tmño menor que otros crptosstems de clve públc. Así, por ejemplo, un crptosstem de curvs elíptcs defndo en el cuerpo bnro GF( 163 ) requere clves de 163 bts mentrs que el sstem RSA, con un segurdd computconl equvlente, requere clves de 14 bts. Entonces, nuestro objetvo es mplementr nvel de hrdwre lgortmos de multplccón pr cuerpos fntos específcos recomenddos por NIST. Generlmente, el desempeño de un multplcdor se clfc con bse dos crcterístcs prncples: el tempo requerdo pr relzr l opercón, y el número de compuerts lógcs requerds pr su mplementcón. En este orden de des, es mportnte notr que ls rqutecturs prlels son ms rápds que ls rqutecturs serles, sn embrgo ésts últms requeren de menos compuerts lógcs pr su mplementcón. Entonces, exste un compromso entre mbs crcterístcs que se debe consderr en el momento del dseño. Por ejemplo, pr certos lgortmos crptográfcos donde el tmño de ls clves es de 51 bts ó 14 bts no es práctco el uso de un rqutectur prlel pr el multplcdor, esto exge un grn cntdd de compuerts lógcs, lo que estrá lmtdo por l cpcdd de los dspostvos físcos que exsten en el mercdo. Sn embrgo, los lgortmos crptográfcos pr curvs elíptcs donde el tmño de l clve es de 163 bts ó 55 bts, un multplcdor prlelo es bstnte compettvo. En este trbjo se present el dseño de un mplementcón en hrdwre de un lgortmo presentdo en [6][7], pr relzr l multplccón en el cuerpo fnto GF( 163 ) usndo bses normles gussns. Este multplcdor es mplementdo prtr de lguns modfccones del lgortmo nteror. L rqutectur del multplcdor es sem-sstólc, debdo que es posble

3 relzr un descrpcón VHDL de tpo genérco pr l myorí de los bloques funconles, es decr, que con un pequeño cmbo se puede dseñr un multplcdor pr dferentes tmños de l plbr de los dtos de entrd (m). De otro ldo, debdo que el multplcdor present un opercón serl, l rqutectur de este utlz poc áre, entonces es posble relzr un rqutectur prlel pr procesr vros dtos smultánemente, lo cul permte ncrementr l velocdd de opercón. Este rtculo est orgnzdo de l sguente mner, l seccón present un descrpcón de ls opercones rtmétcs pr bses normles gussns en el cuerpo fnto GF( m ), l seccón 3 descrbe el lgortmo de multplccón nvel de bts pr bses normles gussns en el cuerpo fnto GF( 163 ), l seccón 4 present el dseño de l nuev rqutectur pr el multplcdor en el cuerpo fnto GF( 163 ) usndo bses normles gussns, l seccón 5 muestr los resultdos de ls smulcones. Fnlmente, l seccón 6 present lguns conclusones y el trbjo futuro.. OPERACIONES ARITMÉTICAS PARA BASES NORMALES GAUSSIANAS EN GF( m ).1 Conceptos sobre bses normles gussns L representcón de un elemento en el cuerpo fnto GF( 163 ) usndo bses normles present un ventj computconl debdo que permte relzr el clculo del cudrdo de un elemento de un mner efcente. Sn embrgo, multplcr elementos dstntos es lgo complcdo. Por lo tnto, con el propósto de soluconr est dfcultd, ANSI X9.6 recomend que ls Bses Normles Gussns (BNG) sen usds, ls cules permten relzr l multplccón de un mner más smple y efcente. Los conceptos báscos sobre bses normles gussns son presentdos en [8]. Un bse norml pr GF( m ) es de l form: { β, β, β,..., β m 1 }, donde β GF( m ), en donde, culquer elemento α GF( m ) puede ser escrto de l form: α = β donde {,1} =. El tpo T de un BNG es un entero postvo, el cul mde l complejdd de l multplccón con respecto l bse. Generlmente, el tpo T de menor vlor permte relzr un multplccón ms efcente. Se puede demostrr que pr un m y T ddo, el cuerpo fnto GF( m ) puede tener l menos un BNG. Entonces, es decudo hblr del tpo T de un BNG en el cuerpo fnto GF( m ). Un BNG exste cundo m no es dvsble por 8. Se m un entero postvo no dvsble por 8, y T un entero postvo, entonces un tpo T de un BNG en el cuerpo fnto GF( m ) exste s y solo s p = Tm + 1 es prmo. S { β, β, β,..., β m 1 } es un Bse Norml Gussn en el cuerpo fnto GF( m ), entonces el elemento = m α = β es representdo por l cden ) donde {,1} bnr ( En este cso, l dentdd multplctv es representd por un cden de unos, mentrs que l dentdd dtv es representd por un cden de ceros. Un resultdo mportnte pr l rtmétc de ls bses normles gussns es el teorem de Fermt. Pr todo β GF( m ) se tene: m β = β Este teorem es mportnte pr relzr el cudrdo de un elemento en el cuerpo fnto GF( m ).. Opercones rtmétcs pr bses normles gussns en GF( m ) Ls sguentes opercones rtmétcs se defnen sobre los elementos de un cuerpo fnto GF( m ) cundo se us un BNG de tpo T : Adcón: s = ( 1... m 1 ) y b = ( b b1b... b m 1 ) son elementos de GF( m ), entonces + b = c = ( cc1c... cm 1) donde c = ( + b ) mod. Cudrdo : se = ( 1... m 1 ) GF( m ), entonces = α α β =

4 = = α β de Fermt; + 1 = = α 1β debdo l teorem m β = β = = ( m m ) En este cso, el cudrdo es un smple rotcón l derech de l representcón del vector. Multplccón : se p = Tm + 1 y se u GF(p) un elemento de orden T. Se defne l secuenc F(1), F(),..., F(p-1) por : j F( u mod p) =, pr desde hst m-1 y j desde hst T-1. S = ( 1... m 1 ) y b = ( b b1b... b m 1 ) son elementos de GF( m ), entonces c m b = c = ( c c1c... c 1), donde = p k = 1 Inversón : F ( K + 1) b F ( P K ) s y GF( m ), l nvers de denotdo como -1 es el únco elemento c GF( m ) pr lo cul c = 1. El lgortmo usdo pr nversón est bsdo en l dentdd: 1 = n = n 1 ( ) 1 En [9], Itoh y Tsuj propuseron un método que mnmz el numero de multplccones pr clculr l nversones, el cul est bsdo en ls sguentes dentddes: n 1 1 = ( n 1 1 ) n 1 n 1 ( ), pr n 1 1, mpr 3. ALGORITMO DE MULTIPLICACIÓN PARA BASES NORMALES GAUSSIANAS EN GF( 163 ) L multplccón es l opercón fundmentl pr l mplementcón de sstems crptográfcos bsdos en curvs elíptcs. Entonces, con el propósto de lcnzr un buen segurdd pr l nformcón, NIST h recomenddo como un estándr el cuerpo fnto GF( 163 ) pr ser utlzdos en los sstems crptográfcos bsdos en curvs elíptcs. Debdo que l multplccón usndo bses normles optms no ncluye el cuerpo fnto GF( 163 ), el lgortmo de multplccón usndo bses normles gussns present un myor complejdd computconl. Un lgortmo nvel de bts pr l multplccón en el cuerpo fnto bnro GF( 163 ) usndo bses normles gussns es presentdo en [6][7], el cul es descrto en ls Tbls 1 y. En este cso se defnen los sguentes prámetros: m = 163, número de bts T = 4, número recomenddo por NIST pr el cuerpo fnto GF( 163 ) p = 653, numero prmo p = Tm + 1 U = 149, numero que stsfce l relcón U 4 mod p = 1 Algortmo 1. Multplccón pr BNG en GF( m ). Entrd : operndos A,B Sld : producto C 1 U A = (, 1,... m-1 ). V B = (b, b 1,...b m-1 ) 3. pr k = hst m-1 relzr: 4. c (k) = F(U,V) 5. U = rotcón l zquerd de U 6. V = rotcón l zquerd de V 7. fn 8. C C = (c, c 1,... c m-1 ) Donde: p k= 1 U j V F(U,V) = ( k+ 1 ) j( k ) Tbl 1. Algortmo de multplccón en GF( 163 ) usndo bses normles gussns 4. ARQUITECTURA DEL MULTIPLICADOR PARA BASES NORMALES GAUSSIANAS EN GF( 163 ) En est seccón se present el dseño de un rqutectur pr un multplcdor en el cuerpo fnto GF( 163 ) usndo bses normles gussns. L rqutectur present cutro bloques funconles, los cules permten mplementr ls dferentes funcones pr llevr cbo l multplccón. El

5 dgrm de bloques del multplcdor se muestr en l Fgur 1. Algortmo. Genercón de los subíndces j(k) de l funcón F(U,V). Entrd: prámetros T, m, U, p Sld: j(1), j(),... j(p-1) 1. w 1. pr j = hst T-1 relzr 3. n w 4. pr = hst m-1 relzr 5. j(n) 6. n n mod p 7. fn 8. w UW mod p 9 fn Tbl. Algortmo de genercón de J(k) C <= ( U V 1 ) ( U 1 V ) ( U 1 V 117 ) ( U 1 V 13 ) U 1 V 11 )... ( U 97 V 149 ) (U 97 V 4 )... ( U 99 V 115 ) ( U 99 V 4 ) ( U 99 V 58 ) ( U 99 V 9 ) L grn prtculrdd del rreglo es que present un estructur rregulr, y por lo tnto el hrdwre es dedcdo pr mplementr el cuerpo fnto GF( 163 ). En este cso, no es posble desrrollr un rqutectur sstólc o estructurd pr hcer un descrpcón VHDL de tpo genérco, es decr, que con un pequeño cmbo en l sgncón del tmño de l plbr de dtos de entrd (m), se puede generr un rreglo pr l funcón F(U, V) pr dferentes tmños de plbr. El rreglo tene dos entrds de dtos de 163 bts cd un y un sld de 1 bt. Todos los bts de U y V entrn en form prlel l rreglo pr l funcón F(U, V) y se obtene solmente un bt c de sld, el bt c de sld del rreglo es lmcendo y desplzdo en el regstro sere-prlelo. Posterormente los dtos U y V son rotdos pr obtener un nuevo bt c, est secuenc se repte 163 veces hst obtener el producto A.B = C. De cuerdo l descrpcón funconl, el rreglo pr l funcón F(U,V) est compuesto por 65 compuerts AND y 651 compuerts XOR. Con el propósto de reducr el numero de compuerts, lguns modfccones fueron llevds cbo, lo cul permte obtener 644 compuerts AND y 643 compuerts XOR. El hrdwre del rreglo pr generr l funcón F(U,V) se muestr en l Fgur. Fgur 1. Arqutectur del multplcdor pr bses normles gussns en GF( 163 ) 4.1 Arreglo pr l funcón F(U,V) El rreglo pr l funcón F(U,V) es el bloque funconl ms mportnte en l rqutectur del multplcdor, y es un rreglo de compuerts AND y XOR, el cul permte mplementr l funcón F(U,V) del lgortmo presentdo en l seccón nteror. L descrpcón funconl del rreglo pr l funcón F(U, V) es: Fgur. Hrdwre del rreglo pr generr l funcón F(U,V)

6 4.. Regstros de rotcón Los regstros de rotcón son los regstros encrgdos de desplzr y rotr los dtos de entrd U y V pr el rreglo de l funcón F(U,V). 4.3 Crcuto fn de multplccón rreglo f(u, V), el dseño dspone de dos rreglos y por ultmo el dseño 3 tene 4 rreglos F(U, V) tl como se observ en l Fgur 1. Estos resultdos se obtuveron pr un perodo de reloj de 3ns..= = b. El crcuto fn de multplccón es un crcuto contdor, el cul cuent el numero de rotcones que llevn cbo los regstros de rotcón, y cundo l cuent lleg 163 rotcones, el crcuto gener un señl pr ndcr el fn de l multplccón. 4.4 Regstro sere-prlelo El regstro sere-prlelo cptur en cd cclo de reloj el bt de sld del rreglo de l funcón F(U,V) y este bt es lmcendo en un regstro de 163 bts, es decr, cd vez que se cptur el bt de sld, los bts nterores son desplzdos, en otrs plbrs este regstro converte l nformcón de sere prlelo, y de est form el resultdo es lmcendo en el regstro de 163 bts. 4.5 Undd de control.b= 3 = c. L undd de control es mplementd usndo un mqun de estdos fnto (FSM), l cul estblece l secuenc del procesmento de los dtos. 5. RESULTADOS DE SIMULACIÓN.c= b = 4. Un vez dseñd l rqutectur del multplcdor, cd bloque funconl del multplcdor es descrto de mner estructurl usndo VHDL. Posterormente, est rqutectur es sntetzd sobre el crcuto CPLD EPF1KSFC67-1X y se llevn cbo ls respectvs smulcones con el propósto de verfcr el funconmento del multplcdor. Los resultdos de ls smulcones pr ls prncples opercones de multplccón son mostrds en l Fgur 3. Desde los resultdos de l smulcón se observ que el perodo de reloj es de 3ns, sn embrgo, el mínmo perodo de reloj con el cul trbj el crcuto es de 3.5ns, lo cul mplc que l máxm frecuenc de l señl de reloj es de 4.55Mhz. En l Tbl 3 se muestrn los resultdos de los dferentes dseños propuestos pr l rqutectur del multplcdor, presentndo el número de celds lógcs utlzds en el CPLD EPF1KSFC67-1X, y el tempo que trdn en relzr un multplccón; cd dseño dfere en el numero de rreglos F(U, V) sí: el dseño 1 tene un Fgur 3. Resultdos de smulcón pr ls opercones, 3 y 4 Celds lógcs % de celds lógcs Tempo de multplccón en µs Dseño Dseño Dseño Tbl 3. Tempo de multplccón y número de celds lógcs pr dferentes rqutecturs

7 6. CONCLUSIONES El dseño nvel de hrdwre de un nuevo multplcdor en el cuerpo fnto bnro GF( 163 ) usndo bses normles gussns es presentdo. En este trbjo, tres dferentes dseños pr l rqutectur del multplcdor hn sdo propuestos. En este cso, cd dseño se h mplementdo (smplfccón del rreglo pr l funcón F(U,V) y duplccón del hrdwre pr F(U,V)) con el propósto de lcnzr un myor desempeño nvel de áre y velocdd. Debdo l rregulrdd de l estructur del rreglo de l funcón F(U,V) no es posble dseñr un rqutectur estructurd del multplcdor pr culquer vlor de m del cuerpo fnto GF( m ) usndo bses normles gussns. Sn embrgo, debdo que l descrpcón es relzd en VHDL y l mplementcón del multplcdor es llevd cbo usndo crcutos CPLDs-FPGAs, es mportnte conclur que prtr de este prmer dseño es posble dseñr rápdmente otros multplcdores pr culquer vlor de m del cuerpo fnto GF( m ) usndo bses normles gussns. [5] J. Goodmn nd A. Chndrksn, An energyeffcent reconfgurble publc-key cryptogrphy processor, IEEE Journl of sold-stte crcuts, 1. [6] Dgtl Sgnture Stndrd, FIPS PUB 186-, Jnury. [7] J. Solns, Effcent rthmetc on Kobltz curves, Desgn, codes nd Cryptogrphy,, [8] D. Johnson nd A. Menezes, The ellptc curve dgtl sgnture lgorthm (ECDSA), Techncl report CORR 99-34, Unversty of Wterloo, [9] T. Itoh y S. Tsuj, A fst lgorthm for computng multplctve nverses n GF( m ) usng norml bses, Informton nd Computton, El trbjo futuro est orentdo dseñr un multplcdor en cuerpo fnto GF( 33 ) usndo bses normles gussns, y l dseño de un crptoprocesdor pr un crptosstem bsdo en curvs elíptcs. 7. AGRADECIMIENTOS Este trbjo h sdo ptrocndo por Alter Corporton trvés del Progrm Unverstro. Los utores dn especl grdecmentos Mrs. Rlene Mrcocc de Alter Corporton. 8. BIBLIOGRAFÍA [1] L. Song nd K.K. Prhí, Low energy dgtserl/prllel fnte feld multplers, Journl of VLSI Sgnl Processng Systems, [] L. Go, S. Shrvstv, nd G. Sobelmn, Ellptc curve sclr multpler desgn usng FPGAs, Workshop on cryptogrphc hrdwre nd embedded systems (CHES 99), [3] G. Orlndo nd C. Pr, A super-serl Glos feld multpler for FPGAs nd ts pplcton to publc key lgorthms, IEEE symposum on feldprogrmmble custom computng mchnes (FCCM 99), [4] C. Km, S. Oh nd L. Jongn, A new hrdwre rchtecture for opertons n GF( m ), IEEE Trnsctons on Computers,.