ONDAS. Onda es la propagación (sin disipación) de una perturbación desde una región del espacio a otra

Transcripción

1 ONDAS Onda es la propagación (sin disipación) de una perturbación desde una región del espacio a otra Las ondas transportan energía y cantidad de movimiento a través del espacio sin transporte neto de materia Se llaman ondas mecánicas cuando las ondas necesitan un medio material para propagarse v Tipos de ondas Onda transversal La perturbación es perpendicular a la dirección de propagación Polarización: Si la dirección de la perturbación esta bien definida. Si no cambia: polarización lineal, si gira regularmente: polarización cricular,... Onda longitudinal La perturbación tiene la misma dirección que la de propagación 1

2 Representación n de una onda perturbación sin perturbar x=f(x) sin perturbar Onda unidimensional La perturbación mantiene su forma mientras se propaga -t 0 en t 1 = en t 2 = en t 3 = t 0 vt v vt v x=f(x+oo ) x=f(x-oo ) x=f(x) O x(x,t) =f(x-vt) x(x,t) =f(x+vt) 2 f (x ± vt) x 2 2 f (x ± vt) t 2 O = È df (u) x Î Í du = d 2 f (u) du 2 = ±v È df (u) d 2 f (u) t Î Í du = v 2 du 2 t -t se propaga en el sentido positivo se propaga en el sentido negativo 2 x x = 1 2 x 2 v 2 t 2 x Ecución diferencial de una Onda 2

3 FUERZA TRANSVERSAL EN UNA CUERDA TENSA T T F y = T(senq 2 - senq 1 )ª T[ tg(q + dq) - tgq ] [ ] = T d tgq dx dx La perturbación en el caso de la cuerda es la desviación tgq = dy dx = x(x,t) vertical de la posición de equilíbrio Dy= x(x,t) x F y ª T d( x / x) dx dx = T 2 x(x,t) x 2 dx ONDAS TRANSVERSAL EN UNA CUERDA TENSA T T L = dm /dx = ra propiedad característica de la cuerda x(x,t) = Dy : a y = 2 x(x,t) distancia vertical a la posición de equilibrio t 2 r F = M r a 2 x x 2 = L T F y = T 2 x(x,t) x 2 dx = dm a y = dm 2 x(x,t) t 2 2 Ecuación n diferencial x de v = las ondas t 2 transversales en una cuerda tensa. T L velocidad de propagación 3

4 ONDAS LONGITUDINALES EN UNA VARILLA Física. Alonso-Finn x 0 x - x 0 Æ x velocidad de propagación n de las ondas longitudinales en una varilla x(x,t) = x - x 0 v = U r 2 x x = r 2 x 2 U t 2 U:modulo Young, r: : densidad x: : deformación n longitudinal ECUACION DE ONDAS DE PRESION EN UN GAS hiperphysics x(x,t) = p - p 0 x(x,t) = r - r 0 velocidad de propagación n de las ondas de presión n en un gas v = k r 0 2 x x 2 = r 0 k 2 x t 2 k:elasticidad (µp( 0 ), r 0 : densidad x: : cambio de presión n o densidad 4

5 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS TICAS x x(x,t) = E r x(x,t) = r velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas ticas 2 x x = em 2 x 2 t 2 v = 1 em e:permitividad m: : permeabilidad x: : cambio de los campos eléctrico y magnético En el vacio e 0 = (S.I.), m 0 = (S.I.) => c= ms ms -1 Ondas armónicas en una dimensión La perturbación viene definida por una función armónica x(x,t) = Asen[ k(x ± vt) + j] t=t 1 A: Amplitud de la onda k: número de onda l=2pk -1 : longitud de onda [ ] x(x,t 1 ) = Asen k(x ± vt 1 ) -vdt- t=t 2 x(x,t 2 ) = Asen k(x ± vt 2 ) [ ] vdt = l 4 fi Dt = 1 l 4 v = T 4 T: periodo f =T -1 : frecuencia 5

6 Expresiones usuales de las ondas armónicas x(x,t) = Asen[ k(x ± vt) ] x(x,t) = Asen[ kx ± wt] v = w k È x(x,t) = Asen 2p( x l ± t Î Í T ) v = l T Ondas armónicas en una dimensión x(x,t 1 ) x(x,t 2 ) x(x,t 3 ) En cada punto se da un movimiento armónico simple x(x 1,t) = Asen[ k(x 1 ± vt) ] = Asen[±w kv { t + { j ] 1 kx 1 6

7 Ondas en dos y tres dimensiones Ondas en dos y tres dimensiones Fuente Frentes de ondas Frentes de ondas Frente de ondas: Rayo: Rayos Es el lugar geométrico de los puntos con el mismo valor de la perturbación y a un mismo número de longitudes de onda l del origen de la propagación (en 2 dimensiones son lineas y en 3 dimensiones superficies) Lineas perpendiculares a los frentes de onda 7

8 Ecuaciónes de las ondas en tres dimensiones x( r,t) = f ( k r r ± wt) X Z O Ondas planas: Y Ondas esféricas: origen en la fuente r r k / k r = cte r k = k r u x(r r r,t) = f (kr ± wt) r k x( r,t) = f (k x x + k y y + k z z ± wt) armónica: x( r,t) = x 0 sen(k x x + k y y + k z z ± wt) armónica: x( r,t) = x 0 sen(kr ± wt) r Intensidad de una Onda La intesidad I de una onda se define como la energía que fluye por unidad de tiempo a través de un área unidad perpendicular a la dirección de propagación. unidades de I en el S.I.: J s -1 m -2 o wat m -2 E = I v de dt = I S Energía por unidad de volumen (densidad de energía) Potencia media necesaria para mantener la perturbación en el medio de sección S Densidad de energía para una onda mecánica armónica unidimensional: E = E V = 1 Â m i w 2 A 2 2 V Onda armónica plana: I µe µw 2 = 1 2 rw 2 A 2 Onda armónica esférica: I µ E µ w 2 r 2 8

9 Superposición de Ondas armónicas. Interferencias Cualquier perturbación periódica se puede generar como superposición de ondas armónicas (desarrollo de Fourier) x(x,t) = [ ] Â A i sen k i (x ± vt) + j i i =1 La interferencia puede aumentar la perturbación (constructiva) o disminuir la perturbación (destructiva). Cuando la interferencia se da entre ondas de la misma frecuencia (y longitud de onda) es destructiva cuando la diferencia de fase es p x(x,t) = A 1 sen k(x ± vt) [ ] + A 2 sen[ k( x ± vt) + p] y constructiva cuando las ondas estan en fase x(x,t) = A 1 sen[ k(x ± vt) ] + A 2 sen[ k( x ± vt) ] Interferencia destructiva Interferencia constructiva Superposición de Ondas armónicas. Ondas estacionarias Cuando se producen interferencias de ondas en un medio, dependiendo de las caracteristicas del medio, puede llegarse a una situación en la que la interferencia es constructiva para una única longitud de onda. En este caso existen puntos en los que la perturbación es siempre nula (nodos) y otros en que la ampliud de la perturbación es máxima (vientres). Estas ondas se llaman estacionarias ya que aparentemente la perturbación no se desplaza. 9

10 Ejemplos de ondas estacionarias Propagación de ondas en medios limitados Cuando una onda incide sobre una superficie de separación entre dos medios en los que la velocidad de la onda es diferente parte de la onda se refleja y parte se transmite refracción: es el cambio en la dirección de propagación de una onda que atraviesa la superficie de separación entre dos medios en donde se propaga con diferente velocidad. reflexión: es el cambio en la dirección de propagación de la onda que no es capaz de atravesar la superficie de separación entre dos medios. 10

11 Método de Huygens Huygens ideó un método para construir la propagación de una onda a partir de los frentes de onda. Consideró que cada punto del rayos frente de onda emite una onda esférica de forma que la superposición de todas las ondas esféricas da como resultado un nuevo frente frentes de ondas (la envolvente de todos los frentes de onda esféricos). Repitiendo este procedimiento se puede obtener el frente de onda en cualquier instante una vez conocido el frente en un instante dado. Ecuaciones de la reflexión y refracción. generada en q i A' q rx A ' generada en A reflexión: AA' =' = vt sen q rx = sen q i => q rx =q i Ángulo del rayo incidente con la normal (ángulo de incidencia) igual a ángulo del rayo reflejado con la normal (ángulo de reflexión). generada en q i ' A q r generada en A A' v1 v 2 refracción: Los rayos incidente y refractado se encuentran en el mismo plano, AA' = v 2 t y ' = v 1 t por lo que: sen q r / sen q i = v 2 /v 1 El ángulo de refracción es mayor (menor) que el ángulo de incidencia si la velocidad de propagación en el nuevo medio es mayor (menor). 11

12 Reflexión total. Ángulo límite senq r = v2 sen q i 1 v1 Si v2>v1 existe un valor límite de qi (ángulo límite ql) a partir del cual no se da la refracción (ya que seria sen qr >1) y toda la onda se refleja. senq L = v1 v2 Cuando qi > ql se produce lo que se conoce como reflexión total. DIFRACCIÓN Es el fenómeno que se presenta siempre que una onda se encuentra con un obstáculo, o una abertura, de dimensiones comparables a su longitud de onda. La geometría de las ondas cambia Figura de difracción de un disco opaco 12

13 Dispersión de la Luz blanca La luz blanca se dispersa durante la refracción debido a que los distintos colores (distintas frecuencia) viajan en el vidrio a distintas velocidades lo que da lugar a distintos angulos de refracción. Paquetes de Onda Las perturbaciones se producen a menudo como un pulso que se propaga de un punto a otro. Este tipo de ondas se puede construir como superposición de infinitas ondas armónicas (transformada de Fourier). Una forma simple de generar un tren de pulsos es la superposición de dos ondas armonicas de frecuencia y longitud de onda parecidas x(x,t) = Asen[ k 1 x - w 1 t) ] + Asen[ k 2 x - w 2 t) ] k = k 1 + k 2 2, Dk = k 2 - k 1 w = w 1 + w 2, Dw = w w 1 È x(x,t) = 2 Acos 1 (Dkx - Dwt) Î Í 2 sen kx -wt [ ] 13

14 Paquetes de Onda en Medios Dispersivos En muchos casos la velocidad de una onda en un medio es independiente de su frecuencia (o longitud de onda). Sin embargo en algunos medios, conocidos como dispersivos, esto no es así si no que la velocidad de propagación de las ondas armónicas varía con la frecuencia v=v(w). Un ejemplo es la propagación de ondas superficiales en un líquido. Debido a la dispersión, una onda no armónica (como un pulso) cambiará de forma según se propaga, ya que las distintas componentes armónicas viajan a distinta valocidad. v g (t 2 - t 1 ) t = t t = t 1 2 x Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase Si nos fijamos en un tren de pulsos como el de la figura, la envolvente (linea roja discontinua) se desplazara a una velocidad (de grupo) diferente que la velocidad de (fase) con que se mueven los máximos de la perturbación (cada uno de los extremos de la linea roja continua) t 1 v f = w k t 2 È x(x,t) = 2 Acos 1 (Dkx - Dwt) Î Í 2 sen[ kx -wt] v g = Dw Dk 14

15 Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase t=t 0 sen[0.1x - 0.1(t-t 0 )]+sin[0.11x (t-t 0 )] Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase t=t 1 15

16 Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase t=t 2 Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase t=t 3 16

22 Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase v f = w k ª ª = 1 t=t 13 sen[0.1x - 0.1(t-t 0 )]+sin[0.11x (t-t 0 )] v g = Dw = Dk = 2 Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase Velocidad de fase v f = w k v g Velocidad de grupo = dw dk = d[kv (k)] f dk = v f + k dv f dk Curvas de dispersión medio no-dispersivo v f =cte=v g w dispersivo v g <v f no dispersivo v g =v f dispersivo 0 0 v g >v f k La energía de la onda se desplaza a la velocidad de grupo 22

23 Efecto Doppler r v v : r velocidad de la onda S respecto del medio v R 0 T S T R v S T S v R t 2 D 0 v R t 1 v R T R Fuente Receptor t 1 T S t 2 t D 0 +v R t 2 -v S T S =L=v(t 2 -T S ) t L D 0 +v R t 1 =v t 1 t 1 = D 0 v - v R t 2 = D 0 + (v - v S )T S v - v R Efecto Doppler T R = t 2 - t 1 = v - v S v - v R T S w R = v - v R v - v S w S si v S =0 w R = w S (1- v R v ), l R = l S si v R =0 w R = w S (1+ v S v - v S ), l R l S si v S =v si v>>v S,v R w R =, v S v fi onda de choque w R = w S (1- v R - v s v ) expresión también válida para las ondas electromagnéticas cuando v R -v S <<c 23

24 r v Cuando solo se mueve el receptor l=cte r v R T = Dt N v R Dt v Dt Si v es la velocidad de la onda. Número de ondas que pasan por un receptor quieto en el tiempo Dt: N= v Dt / l => T=l/v un receptor acercandose con velocidad v R : N R =(v-v R )Dt / l T R = Dt /N R = l/(v-v R ) = v/(v-v R )T Cuando se mueve el emisor cambia l l = T S (v ± v S ) Ondas en una cubeta producidas por una fuente puntual que se mueve hacia la derecha con velocidad menor a la de la onda Frentes de ondas emitidos por una fuente puntual en movimiento. Cada uno de los frentes fue emitido cuando la fuente estaba en la posición correspondiente al número 24

25 sen q = v v S ONDAS DE CHOQUE Si una fuente se mueve con una velocidad mayor que la de las ondas, no habrá ondas delante de la misma. Detrás de la fuente, las ondas se apilan unas encima de otras formando una onda de choque donde la perturbación se hace muy grande ONDAS DE MACH cono de Mach Numero de Mach v S v v sonido = 340 m/s. 25

26 Radiación Cerenkov Se produce cuando una partícula cargada se mueve en un medio a una velocidad mayor que la de la luz en ese medio v > c/n La radiación se emite en un cono cuya apertura viene dada por la ecuación de las ondas de choque. Efecto Doppler en ondas electromagnéticas ticas Átomo hidrogenoide w R = w S Expansión del Universo 1 - v RS / c v RS / c 2 26

27 EJEMPLO El radar de la policía para medir la velocidad de los coches (coche acercandose al coche de policía) a) La frecuencia de al onda que choca con el coche es mayor que la emitida b) El coche actúa como fuente móvil que emite ondas de frecuencia mayor que las que le llegan v S = Dw 2w 0 c v S = velocidad de coche (180 km/h) w 0 =frecuencia del radar (10 9 s -1 ) C = 3x10 8 m/s Dw = 500 s -1 27