SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN

Transcripción

1 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE ÍNDICE 1. Dinámica en la recta real Puntos fijos Transformaciones lineales Hiperbolicidad El método de Newton Dinámica topológica Espacios métricos Equivalencias entre espacios métricos Otras propiedades topológicas Dinámica topológica Conjugación topológica Espacios métricos unidimensionales El círculo El conjunto de Cantor El círculo y sus homeomorfismos La familia de rotaciones Homeomorfismos del círculo Teorema de Denjoy El caos y sus propiedades La definición de caos La transformación caótica por excelencia Modelos deterministas que parecen aleatorios Teorema de Sharkovsky Bifurcaciones 48 Estas notas son una versión preliminar y apresurada de una introducción a los sistemas dinámicos discretos unidimensionales. Aún se encuentran en proceso de redacción, hay demostraciones incompletas e incluso secciones completas pendientes. Además, seguramente contienen una cantidad considerable de errores. Comentarios, correcciones y sugerencias son bienvenidas a la direccion de correo: aubin@matcuer.unam.mx Mayo 2011, Unidad Cuernavaca, Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México. Versión preliminar.

2 2 AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE 1. DINÁMICA EN LA RECTA REAL Un sistema dinámico definido en la recta real es una transformación f : R R, cuyo dominio y contradominio es el mismo conjunto de los números reales. Dado un punto cualquiera x, el valor de la imagen bajo f de dicho punto también pertenece al dominio de la transformación. De esta forma, podemos volver a aplicar la transformación f, ahora al punto f (x), y obtener el valor de la segunda iteración de f, en x, es decir, el punto: f ( f (x)) = f 2 (x), de hecho, podemos volver a aplicar la función tantas veces como queramos. Si bien es importante saber exactamente cuál es el valor de la función en cada punto, desde el punto de vista de los sistemas dinámicos, es mucho más importante determinar qué sucede con la sucesión de iterados x, f (x), f 2 (x), f 3 (x),..., si es finita o no, si converge y dónde se acumula. El conjunto todas las funciones reales, de variable real, es un conjunto demasiado grande para obtener resultados generales. A lo largo de esta sección consideraremos siempre funciones diferenciables en todo punto de R. En particular, éstas serán también continuas en cualquier punto del dominio. Dada una función f : R R y cualquier punto y R, la órbita positiva del punto y es el subconjunto de los números reales: O + (y) := { f n (y) n N} R. El principal objeto de estudio de los sistemas dinámicos son las órbitas de los puntos y la primera clasificación que podemos observar es de acuerdo a su cardinalidad: las podemos dividir entre las órbitas finitas y las infinitas Puntos fijos. Las órbitas finitas las podemos clasificar en dos. Si un punto x es tal que f (x) = x, entonces x es un punto fijo. Si x es un punto fijo de x, la órbita de x consta de un único elemento. Por otro lado, si existe k N tal que f k (x) =x y, además, f j (x) = x, para cada 0 < j < k, entonces x es un punto periódico de f y su periodo es precisamente k. Si x es un punto periódico de periodo k N entonces, la órbita de x consta exactamente de k elementos. En el caso en que la órbita positiva de un punto y sea infinita, podemos preguntarnos, además, si la sucesión de iterados de y converge o no. En caso afirmativo podemos demostrar el siguiente teorema. Teorema 1. Dada f : R R, una función contínua. Si la órbita positiva de y converge a un punto x, entonces x, el límite, es un punto fijo de f. Demostración: Supongamos que lím n f n (y) =x. Entonces, como f es continua en todo punto, ( ) f (x) =f lím f n (y) = lím f ( f n (y)) = lím f n+1 (y) =x, n n n y por lo tanto f (x) =x. Si la transformación f es invertible, podemos definir idénticamente la órbita pasada o negativa de x 0 mediante las iteraciones de f 1. O f (x 0)={ f k (x 0 ) k N}

3 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN 3 Sin embargo, no es necesario que la función sea invertible para estudiar su dinámica. Cuando f no es invertible, entonces f 1 (x 0 ) es un conjunto de puntos y cada punto en este conjunto es un predecesor de x 0. Si y f 1 (x 0 ), obviamente f (y) =x. Así, órbita pasada o negativa de x 0 consta de todas las posibles pre-imágenes de x 0 : O f (x 0)= f k (x 0 ) k N En ambos casos, invertible o no, la órbita completa de x 0 es la unión de su órbita futura y su órbita pasada: O f (x 0 )=O + f (x 0) O f (x 0) Es posible caracterizar los puntos fijos de una transformación contínua de acuerdo al comportamiento de las órbitas vecinas a él. Definición 1. Un punto fijo es atractor si existe ɛ > 0 tal que para todo y tal que x y < ɛ se tiene que lím n f n (y) =x. En palabras, un punto fijo x es atractor si la órbita de cualquier punto en alguna vecindad de x converge a él. Al intervalo B(x) más grande que contiene a x y que satisface que todo punto y B(x) converge a x se le llama intervalo de atracción de x. Definición 2. Un punto fijo es repulsor si existe ɛ > 0 para todo punto y tal que x y < ɛ existe k N tal que x f k (y) > ɛ. No es difícil ver que si f es biyectiva entonces está bien definida la función inversa de f y de esta manera si x es un punto fijo atractor de f, sí y solo sí x es un punto fijo repulsor de f 1. Encontrar un punto fijo de una transformación particular y determinar si este es atractor o repulsor nos brinda información sobre el sistema dinámico. Sin embargo, esta información es de índole local, pues sólo afirma qué sucede con las órbitas suficientemente cercanas al punto fijo. Cuando f no es inyectiva, la órbita negativa es un conjunto un poco más complicado. De hecho, aparecen otro tipo de puntos que no son periódicos, pero que su órbita futura es finita. A estos puntos se les conoce como pre-periódicos. Esto es, x es pre-periodico si existen n 0 1yk, tales que f k ( f n 0(x)) = f n 0(x). Un punto es pre-periódico cuando alguno de sus iterados es un punto periódico: x 0 x 1 x 2 x k 1 x 2. No es difícil demostrar que si f es biyectiva, entonces no hay puntos pre-periodicos Transformaciones lineales. Desde el punto de vista dinámico, las funciones continuas y biyectivas de la recta real más sencillas de estudiar son las transformaciones lineales. Las transformaciones lineales son aquellas que respetan la estructura de espacio vectorial de los números reales, es decir: la suma y el producto escalar. De hecho, T : R R es lineal si satisface que: T(αx + y) =αt(x)+t(y), para todos x, y y α números reales. Dado que la recta real es un espacio vectorial de dimensión 1, podemos afirmar que cualquier transformación lineal T es de la forma: T(x) =rx, para alguna

4 4 AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE r R. Salvo en el caso de que r = 0, T siempre es invertible. Además podemos obtener un poco más de información: si T es lineal entonces tenemos que T(0) =T(0x) =0T(x) =0, para cualquier x R, y podemos concluir que el orígen siempre es un punto fijo de T. Esto es: T(0) =0. Determinar cuando el origen es un punto fijo atractor o repulsor depende del valor absoluto de r. El siguiente teorema caracteriza por completo la dinámica de cualquier sistema dinámico definido por una transformación lineal en la recta real. Teorema 2. Consideremos el sistema dinámico f : R R definido por una transformación lineal f (x) = r x, con r = Si r = 1 entonces, el 0 es el único punto fijo de f, además: i) si r < 1, entonces 0 es un atractor, y la órbita de cualquier punto de R converge al punto fijo. ii) si r > 1, entonces 0 es un repulsor, y la órbita de cualquier punto x R, con x = 0, diverge a ±. 2. Ahora bien, en el caso en que r = 1 tenemos que: i) si r = 1, todos los puntos x R son puntos fijos y ninguno es ni atractor ni repulsor. ii) si r = 1, el 0 es un punto fijo, no es atractor ni repulsor, y cualquier punto x = 0 es periódico de periodo 2. Demostración. Sabemos que el punto 0 es un punto fijo, porque f es lineal. Dado un punto inicial y 0 = 0. Denotemos su órbita futura por y n = f n (y 0 ), con n 1. Primero analicemos el caso en que r = 1. Para saber cuál es la dinámica de la órbita de y 0 calcularemos la norma de los iterados. y 1 = ry 0 = r y 0, y 2 = ry 1 = r 2 y 0,. y n = r n y 0. Como el valor de y 0 no depende de n, tenemos que si r < 1, la sucesión {y n } 0, cuando n tiende +. Entonces la órbita de cualquier punto en R converge al punto fijo y este es un atractor. Por otro lado, si r > 1, la sucesión y n tiende a +, cuando n tiende a +. Entonces la órbita de cualquier punto diferente de 0 diverge. No es difícil ver que dado cualquier ε > 0, si y 0 < ε, existe k N tal que y k > ε, es decir, el punto fijo 0 es un repulsor. Esto termina con la demostración del inciso 1. La demostración del inciso 2 es más sencilla. Si r = 1, ya sabemos que todos los puntos son puntos fijos y por esto, no es posible que ningún punto se aproxime o se aleje de otro. Ahora bien, si r = 1, ya sabemos que todos los puntos, salvo el 0 son periódicos de período 2, luego ninguno se aleja o se acerca al 0. En ambas situaciones no hay puntos fijos atractores ni repulsores Transformaciones afines. Dados r = 0 y b = 0 dos números reales, podemos definir una transformación afín f (x) = rx + b, que corresponde a componer una transformación lineal T(x) = rx, con una traslación S(x) =x + b. De hecho, f = S T(x). Es claro que el origen no es punto fijo

5 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN 5 de f. Sin embargo, podemos describir, de la misma manera que en el caso lineal, la dinámica de cualquier sistema dinámico en la recta definido por una transformación afín, como veremos en el siguiente Teorema. Teorema 3. Consideremos el sistema dinámico determinado por la transformación afín f (x) = rx + b, con ryb = Si r = 1, el punto punto fijo de f es a = b 1 r, y tenemos que: i) a es un atractor si r < 1 y la órbita de todos los puntos convergen a él. ii) a es un repulsor si r > 1 y la órbita de todos los puntos, exepto él mismo, divergen. 2. Si r = 1 tenemos dos situaciones: i) Si r = 1, no hay puntos fijos y todos los puntos divergen. ii) Si r = 1, el punto a no es atractor ni repulsor y el resto los puntos son periódicos de período 2. Demostración. Para empezar, hay que verificar que si r = 1, el punto a = b 1 r es un punto fijo de f (Ejercicio). Sea y 0 R y denotemos por y n = f n (y 0 ), con n 1 a los elementos de la órbita futura de y 0. Ahora bien si r = 1, el punto fijo a es un atractor, o un repulsor, de acuerdo al valor absoluto de r. Para demostrar esto, calculemos la diferencia y n a, primero: y 1 a = ry 0 + b b 1 r = ry 0 + rb 1 r = r y 0 a. De manera inductiva podemos calcular el término general, = ry b(1 r) b r = r y 0 + b 1 r y n a = ry n 1 + b b 1 r = r y n 1 a =...= r n 1 y 1 a = r n y 0 a. Ahora bien, la sucesión r n converge a 0 si r < 1 y diverge a + si r > 1. De esta manera, si r < 1 entonces lím y n a = lím r n y 0 a = 0, n n para cualquier condición inicial y 0, es decir y n a. Por lo tanto, la órbita de cualquier punto n converge al punto fijo a y este es un punto fijo atractor. Por otro lado, si r > 1 tenemos que y n a = r n y 0 a n +, sin importar la condición inicial y 0, es decir y n. Por lo tanto, la órbita de cualquier punto, excepto el punto fijo diverge, y el punto fijo es un repulsor. Esto demuestra el inciso 1). Veamos ahora el inciso 2. En el caso de que r = 1, dado que b = 0, sabemos que no hay ningún punto fijo y las órbitas son de la forma {y 0 + nb}, para cualquier condición inicial y 0. Por lo tanto todas las órbitas divergen. Ahora bien, si r = 1, el sistema dinámico es de la forma, y n+1 = y n + b.

6 6 AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE FIGURA 1. La grafica, la tangente, el punto fijo Por lo tanto, y n+2 = y n+1 + b = ( y n + b)+b = y n b + b = y n. Asi que todos los puntos son periódicos de orden 2, con excepción del punto fijo a = b 2. Incluso, cualquier órbita se mantiene a la misma distancia del punto fijo: y n+1 b 2 = ( y n + b) b 2 y n + b 2 = y n b 2. Por lo tanto, a no es un atractor, ni un repulsor Hiperbolicidad. Si suponemos además que la transformación f : R R, la que determina el sistema dinámico que estudiamos, es diferenciable en cualquier punto, podemos describir la dinámica local de sus puntos fijos, en el caso de que existan, de acuerdo al valor absoluto de la derivada evaluada en cada uno de ellos. Sabemos que si una función f : R R es diferenciable en algún punto x R, entonces el valor de la derivada de f, evaluada en el punto x, es decir f (x), es el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, que pasa por el punto (x, f (x)). Supongamos que x 0 R es un punto fijo de f ; es decir f (x 0 )=x 0. Localmente, es decir, para alguna vecindad de puntos de x 0, la gráfica de f y la gráfica de la recta tangente en (x 0, f (x 0 )), son muy parecidas (vea la Figura 1.3). Por otro lado, la recta tangente a la grafica de f en (x 0, f (x)) es la gráfica de una transformación afín T(x) = f (x 0 ) x +(1 f (x 0 ))x 0, que tiene a x como punto fijo (Ejercicio). De esta manera no es de extrañarse que el comportamiento dinámico esté determinado por la pendiente de esta recta, es decir, el valor de f (x). El Teorema del Valor Medio nos será de gran ayuda para entender la dinámica local de los puntos fijos, en términos de su derivada. Recordemos su enunciado: Teorema del Valor Medio. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [c, d] R, que además es diferenciable en el intervalo abierto (c, d) y que la derivada en ese intervalo es una función contínua. Entonces existe un punto z 0 (c, d) tal que, f (z 0 )= f (d) f (c) d c. El conjunto de funciones f : R R, que satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio, es decir, las funciones diferenciables en cualquier punto y cuya derivada es una función contínua, se le conoce como las funciónes de clase C 1. Teorema 4. Si f :R R de clase C 1. Supongamos que a es un punto fijo de f, entonces: 1. a es un atractor si f (a) < 1; 2. a es un repulsor si f (a) > 1.

7 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN 7 Demostración. Sea a un punto fijo de f, es decir f (a) =a. Supongamos primero que la derivada en el punto fijo es menor que 1: f (a) < 1. Como por hipótesis la derivada de f es contínua, existe un intervalo I alrededor del punto a donde la derivada en todo punto x I es menor que 1. Incluso, si tomamos un número b < 1yb > f (a), existe ε > 0 tal que para todo x J =(a ε, a + ε) tenemos que f (x) < b < 1. Bajo estas condiciones, probaremos que si tomamos cualquier condición inicial en este intervalo, es decir, si y 0 J =(a ε, a + ε), entonces, si denotamos la órbita positiva de y 0 por y n = f n (y 0 ), para n 1, tenemos que: lím y n = a. n Para esto, tenemos que verificar que si tomemos cualquier y 0 J, entonces, a cada iteración nos vamos aproximando al punto fijo a, es decir y 0 a > y 1 a > > y k a > Primero observemos qué sucede con la distancia de y 1 a al punto fijo a. Como y 1 = f (y 0 ) tenemos que: y 1 a = f (y 0 ) a = f (y 0 ) f (a), pues a = f (a). Ahora podemos utilizar el Teorema del Valor Medio sustituyendo c = a y d = y 0, que nos dice que existe un número x 0 entre y 0 y a, tal que y 1 a = f (y 0 ) f (a) = f (x 0 ) y 0 a. Como x 0 está entre y 0 y a, entonces x 0 también está en J, lo que nos dice que f (x 0 ) < b. Por lo tanto, y 1 a = f (x 0 ) y 0 a < b y 0 a. Como y 1 también pertenece a J, podemos repetir una vez más este procedimiento y obtener que y 2 a < b y 1 a < b 2 y 0 a. De hecho, por inducción, podemos obtener esta desigualdad para cualquier k N: Ahora bien, como b < 1, podemos concluir que y k a < b k y 0 a. lím y k a = 0. k Es decir, a es un punto fijo atractor. Ahora supongamos que f (a) > 1. Otra vez, la hipótesis de que la derivada de f es contínua nos permite afirmar que, dado un número b tal que 1 < b < f (a) existe ε > 0 tal que f (x) > b, para cualquier punto x J =(a ε, a + ε). Para mostrar que a es un punto fijo repulsor, debemos probar que si tomamos cualquier condición inicial y 0 J, y 0 = a, existe un número k N, tal que y k ya no pertenece al intervalo J. La idea fundamental es que la distancia entre dos puntos que pertenecen al intervalo J no puede ser arbitrariamente grande. Así que, si probamos que y 0 a < y 1 a < < y k a <

8 8 AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE es decir, los iterados se alejan más y más del punto fijo, así que en algún momento tendrá que salirse de J. Nuevamente, primero demostraremos: y 1 a > y 0 a. Esta vez, el Teorema del Valor Medio nos dice que existe cierto x 0 J tal que y 1 a = f (y 0 ) f (a) = f (x 0 ) y 0 a. Pero en este caso sabemos que f (x 0 ) > b > 1 y por lo tanto, y 1 a = f (x 0 ) y 0 a > b y 0 a. Como queremos probar que existe alguna k 0 N tal que y 0 / J, supongamos que esto no sucede, es decir, supongamos que y k J, para toda k N. De ser así, podemos repetir el procedimiento anterior y obtener y k+1 a > b k+1 y 0 a para toda k. Sin embargo, como b > 1, la sucesión {b k } tiende a infinito cuando k tiende a infinito. Esto es es una contradicción pues el intervalo J es de longitud acotada 2ε. Por lo tanto, para cualquier condición inicial y 0 J existe un k 0 N tal que y k / J y luego, a es un punto fijo repulsor. El Teorema 4 nos permite establecer la siguiente definición. Definición 3. Sea f : R R una función de clase C 1 y supongamos que a R es un punto fijo de f. Decimos que a es un punto fijo hiperbólico si f (a) = 1. Cuando un punto fijo a es tal que f (a) = 1, se le denomina punto fijo indiferente. Observe que si bien el Teorema 4 caracteriza la dinámica de los puntos fijos hiperbólicos, no nos brinda ninguna información en el caso de que el punto fijo sea indiferente. En la sección estudiaremos el comportamiento local alrededor de estos puntos Órbitas periódicas. Una manera sencilla de estudiar una órbita periódica de periodo k 1 es considerarla como un punto fijo de el sistema dinámico determinado por g = f k. Así, podemos extender la definición de punto fijo hiperbólico para orbitas periódicas. Definición 4. Un punto x, periódico de periodo k, de f, es hiperbólico si x es un punto fijo hiperbólico de g = f k. Con esta definición, podemos extender el Teorema 4 de la siguiente manera: Teorema 5. Si a es un punto periódico hiperbólico de periodo k, entonces: 1. a es atractora si ( f k ) (a) < 1; 2. es repulsora si ( f k ) (a) > 1. Demostración. Basta aplicar la regla de la cadena, que garantiza que para cualquier x R: y utilizar la conclusión del Teorema 4. ( f k ) (x) = f (x) f ( f (x))... f k (x), Ejemplo: Consideremos el sistema dinámico determinado por la función: (1) f (x) = x 2 + x + 2

9 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN 9 FIGURA 2. Dibujo de la gráfica de f (x) = x 2 + x + 2 y la identidad. Este sistema dinámico tiene dos puntos fijos, uno en 2 y el otro en 2, que son repulsores, debido a que la derivada es f (x) = 2x + 1. Las órbitas de período 2 son soluciones de la ecuación f 2 (x) =x. f 2 (x) x = f ( x 2 + x + 2) x = ( x 2 + x + 2) 2 +( x 2 + x + 2)+2 x = x( x 3 + 2x 2 + 2x 4). Así, tendremos un punto fijo para f 2 en x, si x es solución de x( x 3 + 2x 2 + 2x 4) =0 x(x 2)(x 2 2) =0. Esta ecuación tiene cuatro soluciones diferentes: {0, 2, 2, 2}. Sin embargo, ± 2 son los puntos fijos de f, que también son fijos por f 2. Por otro lado, f (0) =2y f (2) =0. Por lo tanto la órbita {0, 2} es la única órbita periódica de período 2 del sistema dinámico definido por f. Qué sucede con los puntos cercanos a este 2-ciclo? se acercan o se alejan de él? Qué significa que el ciclo sea repulsor o atractor? Primero definamos qué significa una vecindad de radio ε alrededor de la órbita periódica, para algún número ε > 0. Para esto, tomemos un punto periódico a 0 de período k y denotemos su órbita como O(a 0 )={a 0, a 2,... a k 1 }. Alrededor de cada a i consideramos un intervalo abierto de longitud 2ε, centrado en a i, esto es (a i ε, a i + ε). Entonces, la vecindad de radio ε alrededor de la órbita periódica es la unión de dichos intervalos, esto es: V(O(a 0 )) = k 1 i=0 (a i ε, a i + ε). Si ε es un número pequeño, no es difícil ver que V(O(a 0 )) es una unión de k intervalos disjuntos. Asimismo, V(O(a 0 )) = V(O(a 1 )) =...= V(O(a k 1 )) Ahora bien, cómo podemos saber si la órbita períodica del sistema (1) es atractora o repulsora? Usando el Teorema 5 podemos probar que tanto el 0 como el 2 son puntos fijos repulsores de g = f 2 = f f. De hecho, podemos calcular la derivada de g usando la regla de la cadena: g (x) =f ( f (x)) f (x), por lo tanto, g (0) =f (2) f (0), y también g (2) = f (0) f (2). Como f (x) = 2x + 1, entonces f (0) =1yf (2) = 3 y luego g (0) = g (2) = f (0) f (2) = 3 > 1. El Teorema 5 indica que, en efecto, el 0 y el 2 son puntos fijos repulsores para g Puntos fijos indiferentes. Supongamos que a es un punto fijo del sistema dinámico definido por una función diferenciable, f. Hemos visto ya que cuando este punto fijo es hiperbólico

10 10 AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE FIGURA 3. FIGURA (1.2) La función x + x 2 ; f (a) =1, f (a) > 0. ( f (a) = 1), podemos obtener información sobre la dinámica de los puntos vecinos a él: si es atractor, convergen; si es repulsor, se escapan de una vecindad. Sin embargo no podemos concluir nada si el valor absoluto de la derivada es 1. En esta sección estudiaremos qué clase de comportamientos pueden existir alrededor de un punto fijo no hiperbólico. Debido a que la primera derivada no nos brinda información, tendremos que recurrir a las derivadas de orden superior y para eso supondremos que ellas existen, pues determinan el comportamiento monótono de las órbitas vecinas. Cabe recalcar que, como la derivada es una aproximación local de la función, sólo podemos investigar el comportamiento de los puntos cercanos al punto fijo, y a eso nos referimos cuando decimos: a una vecindad del punto tal. El caso en que f (a) =1. Consideremos un sistema dinámico definido por una función diferenciable f tal que a es un punto fijo de f, es decir f (a) =a y su derivada f (a) =1. Si Γ = {(x, y) R 2 y = f (x)} es la gráfica de f, entonces la ecuación de la recta tangente a Γ en el punto a está dada por y f (a) =f (a)(x a) =x ay = x es decir, la gráfica de f es tangente a la recta diagonal = {(x, x)}. Recordemos ahora que la segunda derivada de f mide la velocidad de cambio de la primera derivada, es decir, mide cómo varía la inclinación de la recta tangente a Γ. Hay tres posibilidades: f (a) > 0; f (a) =0; f (a) < 0. Si f (a) > 0, significa que f (x) es estrictamente creciente alrededor de a. En particular, 0 < f (x) < 1, para los valores de x a la izquierda de a (x < a) y f (x) > 1, a la derecha de a (x > a). Es decir, si x está a la derecha de a, la pendiente de la recta tangente en x a la gráfica Γ es mayor que la pendiente de la recta diagonal. Si x está a la izquierda de a, la tangente a Γ en x tiene pendiente menor que 1. Por lo tanto, la curva Γ es cóncava hacia arriba. Esto nos permite concluir que si x es cercano al punto a, tenemos que f (x) > x, y entonces f 2 (x) > f (x) > x, etcétera; es decir, la órbita del punto x, cercano a a es creciente; además, para los puntos x suficientemente cercanos a a, la derivada de f es estrictamente mayor que 0. Ahora bien, si x < a, tenemos que x < f (x) < f (a) =a y también f 2 (x) < f (a) =a. Por lo tanto, la sucesión { f k (x)} converge al punto fijo a. Por otro lado, si x > a, tenemos que a < f (x) < f 2 (x) < La órbita de x se aleja de a en cada iteración. En este caso decimos que el punto fijo atrae por la izquierda y repele por la derecha. A los puntos fijos que presentan este comportamiento también se les llama: semi-estables por la izquierda. Si f (a) < 0, la derivada f es decreciente en a. Entonces, si x es un punto cercano a a, tal que x < a, la derivada f (x) > 1, y si x > a entonces f (x) < 1. Esto es, la curva Γ es cóncava hacia abajo. Por lo tanto, para cualquier x cercano a a tenemos que f (x) < x, es decir, la órbita de x es

11 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN 11 FIGURA 4. Figura La función x x 2 ; f (a) =1, f (a) FIGURA 5. Figura x + x 3, f (a) =1, f (a) =0, f (a) > 0. una sucesión estrictamente decreciente: FIGURA 6. Figura es un atractor débil de x x 3. x > f (x) > f 2 (x) > f 3 (x) >... Por lo tanto, si x < a, los puntos se alejan de a, es decir que a repele por la izquierda, mientras que si x > a, entonces los iterados de x convergen a a, es decir que a atrae por la derecha. Por lo tanto, en esta situación el punto fijo atrae por la derecha y repele por la izquierda. También se dice que a es un punto fijo semi-estable por la derecha. Si f (a) =0, entonces a es un punto donde la curva Γ cambia de concavidad. Supongamos que f (0) = 0, entonces hay dos posibilidades: f (0) > 0ó f (0) < 0. Si f (0) > 0, entonces f es creciente en a. Como f (a) =0, entonces el valor de f es negativo antes de a y positivo después de a. Para x < a, esto implica que f (x) es decreciente, por lo tanto menor que 1. Asi que la curva es cóncava hacia abajo. Luego, a > x > f (x) > f 2 (x) >... por lo tanto a repele por la izquierda. Si x > a, entonces f (x) es positiva, así que f es creciente y por lo tanto mayor que 1. Entonces, la gráfica Γ es cóncava hacia arriba en x > a. Luego, a < x < f (x) < f 2 (x) <... y por lo tanto, a también repele por la derecha. En esta situación decimos que a es un repulsor débil. Observe la gráfica de la función f (x) =x + x 3 en la figura 1.3.2, que tiene un punto fijo en 0, con f (x) =1, f (0) =0y f (0) =6, por lo tanto, un repulsor débil. Si f (0) < 0, entonces f tiene el comportamiento opuesto: toma valores positivos antes de a y después valores negativos. Por tanto Γ es una gráfica cóncava hacia abajo, antes del punto fijo y es cóncava hacia arriba después de a. Por lo tanto Si x < a entonces, x < f (x) < f 2 (x) <...< a y la sucesión converge a a. Así que a atrae por la izquierda. Y si x > a, entonces x > f (x) > f 2 (x) >...> a y la suceción converge a a de ambos lados. En esta situación tenemos un atractor débil, como en la figura Podemos resumir toda la discusión anterior en el siguiente Teorema.

12 12 AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE Teorema 6. Sea f una función de clase C 3 y sea a un punto fijo de f tal que f (a) =1. 1. Si f (a) > 0, entonces a atrae por la izquierda y repele por la derecha (semi-estable por la izquierda). 2. Si f (a) < 0, entonces a atrae por la derecha y repele por la izquierda (semi-estable por la derecha). 3. Si f (a) =0 yf (a) < 0, entonces a es atractor débil. 4. Si f (a) =0 yf (a) > 0, entonces a es repulsor débil. Ejemplo (7.2). Para cada valor de r N, consideremos el sistema dinámico definido por la función: f (x) =x + x r. Esta función tiene un único punto fijo: 0. La derivada de f es f (x) =1 + rx r 1. Así, si r = 1 entonces f (0) =2 y por lo tanto 0 es un repulsor hiperbólico ( f (0) > 1). Por otro lado, ya no es más hiperbólico si r > 1; de hecho f (0) =1. Consideremos entonces la segunda derivada de f, f (x) =r(r 1) x r 2. Si r = 2 entonces f (0) =2 > 0 y entonces, el Teorema anterior implica que el 0 atrae por la izquierda y repele por la derecha. Sin embargo si r > 2 la segunda derivada se anula ( f (0) =0), y no nos brinda más información. Calculemos le tercera derivada de f : f (x) =r(r 1)(r 2) x r 3. Si r = 3, entonces f (x) =6 > 0 y por lo tanto el 0 es un repulsor débil, como muestra la figura (1.14). Todavía nos podemos preguntar que sucede cuando r > 3, situación en la que tenemos f (0) = 0, y el teorema anterior no nos dice nada. En este caso continuamos el análisis como antes: utilizar las derivadas para determinar si la curva es cóncava hacia abajo o hacia arriba, de cada lado del punto fijo. Supongamos r = 4, así que f iv (0) =24. Esto quiere decir que f es creciente en 0, cambia de negativa a positiva al pasar por 0. Si tomamos x < 0, tenemos que f (x) < 0, entonces f es decreciente; luego f (x) > 1y la gráfica es cóncava hacia arriba, a la izquierda del punto fijo 0. Esto significa que la órbita de un punto a la izquierda del 0, suficientemente cercano, es una sucesión creciente, acotada por el 0. Por lo tanto, 0 es un atractor por la izquierda. Ahora bien, si x > 0, entonces f (x) es positiva. Por lo tanto f (x) es creciente, así que la órbita de x es una sucesión creciente no acotada: 0 < x < f (x) < f 2 (x) <... entonces 0 es un repulsor por la derecha. En resumen 0 atrae por la izquierda y repele por la derecha, o bien, es un punto fijo semi-estable por la izquierda. Si r = 5, tenemos que f (0) =0, f (0) =1, f (0) =f (0) = f (0) = f iv (0) =0, f v (0) = 120. Tomemos un punto x < 0, cercano al 0. Como f v (x ) > 0, sabemos que la función f iv es creciente, para valores negativos. Puesto que f iv (0) = 0, entonces f iv (x ) < 0, pues f iv es

13 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN 13 FIGURA 7. Figura La telaraña de la función x 4 2x 3 + 3x 1.: Se muestra un repulsor débil. creciente. Esto implica que la función f es decreciente. Análogamente, f (x ) > 0, pues tiene que decrecer para alcanzar el valor 0 en 0. Una vez más, f (x ) > 0 implica que f es una función creciente y entonces f (x ) < 0. Finalmente concluimos que, f es una función decreciente y por lo tanto que f (x ) > 1, pues f (0) =1. Podemos concluir entonces que la gráfica de f es cóncava hacia abajo, del lado izquierdo del 0; y por lo tanto el 0 repele por la izquierda. De la misma manera podemos concluir que la gráfica de f es cóncava hacia arriba, para valores positivos. De hecho, si x + > 0, cercano a 0, tenemos que f iv (x + ) > 0, por lo tanto f (x + ) es creciente. Luego f (x + ) > 0 y por tanto f también es creciente. Esto implica que f (x + ) > 1. Esto quiere decir que 0 repele también por la derecha. Así, se trata de un repulsor débil. Repitiendo estos argumentos obtenemos que cuando r es par, el punto fijo atrae por la izquierda y repele por la derecha (semi-estable por la izquierda); y cuando r es impar, el punto fijo es un repulsor débil. De hecho, obtenemos la prueba para el siguiente teorema. Teorema 7. Sea a un punto fijo del sistema dinámico definido por una función f, tal que f (a) = 1, f (a) =...= f (r 1) (a) =0, y f (r) (a) = 0, para r > Si f (r) (a) > 0 y r es par, entonces a es semi-estable por la izquierda. 2. Si f (r) (a) > 0 y r es impar, entonces a es repulsor. 3. Si f (r) (a) < 0 y r es par, entonces a es semi-estable por la derecha. 4. Si f (r) (a) < 0 y r es impar, entonces a es atractor. El caso en que f (a) = 1. Supongamos nuevamente que a es un punto fijo de f, pero esta vez f (a) = 1. La observación clave para analizar esta situación es que si consideramos g = f f = f 2, la regla de la cadena nos informa que g (a) = f ( f (a)) f (a) =(f (a)) 2 =( 1) 2 = 1 y así, podemos aplicar el Teorema 7 a la función g. Lema 1. El sistema dinámico definido por g = f 2 satisface las siguientes propiedades: 1. Cada punto fijo de f es también punto fijo de g. 2. g (a) =1, g (a) =0 yg (a) = 2 f (a) 3[ f (a)] Si a atractor para g, entonces a es atractor para f ; si a es repulsor para g entonces a es repulsor para f. Antes de demostrar este Lema, estudiemos un ejemplo. Ejemplo: Consideremos el sistema dinámico generado por la función f (x) = x x 2. Entonces g(x) =f ( f (x)) = x + x 2 (x 2 + x 4 + 2x 3 )= x 4 2x 3 + x. Por lo tanto, g (x) = 4x 3 6x 2 + 1,

14 14 AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE FIGURA 8. FIGURA 1.17 Telaraña de x x 2. En la 1era gráfica se muestran los primeros 10 iterados del punto x =,8. La 2a gráfica muestra las iteraciones 0 a 200, se ve como convergen al punto fijo. así que g (0) =1. También, g (x) = 12x 2 12x, así que g (0) =0. En esta situación, podemos aplicar el Teorema 7: Calculemos g : g (x) = 24x 12, por lo tanto g (0) = 12 < 0, y entonces 0 es un atractor débil de f. Demostración del Lema 1 La propiedad 1 es inmediata de la definición de g, si f (a) =a entonces g(a) =f 2 (a) = f ( f (a)) = f (a) =a. La propiedad 2 es también inmediata; la regla de la cadena permite expresar las derivadas de g en términos de las derivadas de f, así tenemos que, g (x) = ( f f ) (x) = f ( f (x)) f (x), y por lo tanto, g (a) =f (a) f (a) =1, que es la primera parte de la propiedad 2. También, así que, g (x) = f ( f (x)) f (x)+f ( f (x)) f (x) f (x) g (a) = f (a) f (a) + ( f (a)) 2 f (a) = f (a)+f (a) =0, pues f (a) = 1. Para calcular g (a) observe que g (x) = f ( f (x)) [ f (x)] f ( f (x)) f (x) f (x)+ + f ( f (x)) f (x) f (x)+f ( f (x)) f (x). Por lo tanto, ya que f (a) =a y f (a) = 1, g (a) = f (a)( f (a)) f (a)( f (a)) 2 + f (a) f (a) = = 2 f (a) 3[ f (a)] 2. Con esto queda demostrada la propiedad 2. Para probar la propiedad 3 supongamos primero que el punto fijo a es un atractor para g. Sea I un intervalo de atracción de a, para g, es decir, la órbita bajo g de cualquier punto en I converge al punto a. Entonces, si x I entonces la sucesión de iterados g n (x) = f 2n (x) converge a a, cuando n tiende a +. Por otro lado f (a) = a I y dado que la función f es continua, si x está suficientemente cerca de a, entonces, f (x) I. Entonces, la sucesión g n ( f (x)) = f 2n+1 (x) converge al punto a, cuando n tiende a + y por lo tanto f n (x) converge a a, para todo punto en I; es decir, a es un atractor para f. Supongamos ahora que a es repulsor de g, entonces dada ɛ > 0, tal que si 0 < x a < ɛ, entonces existe algún iterado n N tal que g n (x) a > ɛ. Esto obviamente implica que a es un repulsor de f, pues g n (x) =f 2n (x).

15 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN 15 FIGURA 9. La FIGURAS 18.a y 18.b abajo muestran el sistema dinámico correspondiente a la función f (x) = x + 2x 2, en una vecindad del 0, que es un punto fijo con derivada 1. Vemos como el 0 es un atractor, pero atrae muy débilmente. En la primera figura se muestran los primeros 20 iterados del valor inicial x 0 =,1, mientras que la figura 19 muestra los primeros 200 iterados de ese punto. Figura 1.18.a. Telaraña de función: x + 2x 2 cerca del punto fijo atractor 0. Figura 1.18.b. Los primeros 200 puntos en la órbita que inicia en el punto,01. El Lema 1 nos implica el siguiente teorema, que resume el estudio de la dinámica alrededor de un punto fijo con derivada 1. Teorema 8. Sea a un punto fijo de f tal que f (a) = 1 y sea g(x) =f 2 (x), entonces (2) g (a) = 2 f (a) 3[ f (a)] 2. Si este número es negativo, a es un atractor, si este número es positivo, a es un repulsor. Al número en (2) se le conoce como el wronskiano. Observamos que si g (a) es 0, entonces necesitamos usar la cuarta derivada, g iv (a). Si esta es negativa, entonces a es semi-estable por la derecha; si g iv es positiva, entonces a es semi-estable por la izquierda. Si g iv (a) es 0, hay que ir a la 5 a derivada, etc., y seguir utilizando el teorema El método de Newton. Un problema fundamental de las matemáticas es el de encontrar las raíces o ceros de un polinomio cualquiera, lo que significa determinar los valores de x para los cuales se cumple la ecuación p(x) =a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 Si el polinomio es lineal p(x) =ax + b esto es muy sencillo, x = b a. También si el polinomio es cuadrático, pues conocemos de sobra la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado. Sin embargo, para polinomios de grado mayor que 2, no existe una fórmula general. Muchos matemáticos han abordado este problema desde diferentes puntos de vista. Isaac Newton es uno de ellos y él diseñó un método dinámico que, si bien no indica exactamente cuales son las raíces de un polinomio dado, sí nos indica, a partir de una aproximación burda, como mejorarla arbitrariamente. Para empezar, pensemos que las raíces de un polinomio quedan determinadas por la intersección de la gráfica de p, esto es {(x, y) y = p(x)}, con el eje x {(x, y) y = 0}. (ver Figure 1.4). De hecho, el método de Newton es válido en un contexto más general pues encuentra las raíces o los ceros, no sólo de polinomios, sino de cualquier función f :R R, diferenciable. Dado que la función es contínua, podemos afirmar lo siguiente: Si tenemos dos puntos a < b donde f (a) < 0y f (b) > 0, existe entonces un punto c, tal que a < c < b y tal que f (c) =0. Esto se debe a que la imagen del intervalo (a, b) contiene al 0. Es decir, 0 f ((a, b)). Podemos pensar que cualquier punto z 0 en el intervalo (a, b) es una burda aproximación de la raíz en c. Para obtener una mejor aproximación, el método de Newton nos invita a trazar la recta tangente a la gráfica de f en el punto (z 0, f (z 0 )). La ecuación de esta recta en dicho punto es: y f (z 0 )= f (z 0 )(x z 0 ).

16 16 AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE x z y FIGURA 10. Las gráfica de una función y sus intersecciones con el eje {y = 0}. FIGURA 11. newton2.eps: dibujo del método de Newton NOIMG Supongamos que z 0 es tal que f (z 0 ) = 0, entonces podemos encontrar el punto de intersección de esta recta con el eje x, y esta ocurre donde y = 0, así que está dada por la ecuación lineal: x = x 0 f (x 0) f (x 0 ). Llamamos z 1 a este valor de x. Repetimos el proceso obteniendo una sucesión z 2 = z 1 f (z 1) f (z 1 ),. z n+1 = z n f (z n) f (z n ). Para poder repetir una y otra vez este procedimiento es fundamental que en ningún z i nos encontremos que f (z i )=0, pues no podríamos encontrar el siguiente z i+1. De hecho, en esta situación, la recta que pasa por el punto (z i, f (z i )) y es tangente a la gráfica de la función no intersecta al eje x, ya que ambas son paralelas. Sin embargo, si nos topamos con que f (z i )=0, simplemente repetimos el proceso tomando ahora un nuevo valor inicial z 0, cercano a z i, donde la derivada no sea cero. Ahora bien, podemos demostrar que la sucesión {z i } converge a una raíz de f. Para esto, definimos una nueva función g: g(x) =x f (x) f (x) Nos interesa esta función debido a que: a es un punto fijo de g si y sólo si a = g(a) =a f (a) f (a). Obviamente, para escribir la ecuación anterior, es necesario saber que f (a) = 0. De esta manera, todos los puntos fijos de g son raíces de la función f y viceversa, siempre y cuando su derivada no sea cero. En otras palabras, las raíces de f son puntos de equilibrio del sistema dinámico definido

17 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN 17 FIGURA 12. Las fosas de atraccion, en C, de los puntos fijos del método de Newton. por g: y n+1 = y n f (y n) f (y n ). Cabe notar que la derivada de g la podemos calcular con la siguiente fórmula: g (x) =1 ( f (x) f (x) f (x) f (x) ( f (x)) 2 ) = ( f (x) f (x) ( f (x)) 2 Por lo tanto, todas las raices de f son puntos fijos atractores de este sistema dinámico, de acuerdo con el Teorema 4, ya que si f (z) =0y f (z) = 0, entonces g (z) =0 < 1. Con toda esta discusión, hemos demostrado el siguiente Teorema, el cual nos garantiza que el método de Newton efectivamente converge a una raíz de la función. Teorema 9. Sea f (x) diferenciable y z una raíz de f tal que f (z) = 0, entonces z es un punto fijo atractor del sistema dinámico T(y) =y f (y) f (y). EJEMPLOS: [Posiblemente dos ejemplos: encontrar una raíz cubica de 5 (incluye dibujo) y alguna raíz de f (x) = x 3 + 2x 2 + 5x + 6. Podría, en el segundo ejemplo hablarse de las diferentes fosas de atracción. El texto orig está en el arch. El método de Newton(2).doc] Observamos que las raíces de la ecuación que obtenemos por este proceso son, en general, aproximadas: a mayor número de iteraciones del proceso, mejor es la aproximación. Sabemos que un polinomio p(x) puede tener várias raices diferentes, dependiendo del grado de p(x). Acabamos de ver que cada raíz de p(x) es un atractor del método de Newton definido por p(x). La fosa inmediata de atracción, la fosa total. Cómo se distribuyen? Ver figura 1.4. ) 2. DINÁMICA TOPOLÓGICA La estructura topológica de un conjunto, es decir, la noción subconjuntos abiertos y cerrados, es una estructura que permite definir funciones continuas en espacios más generales que la Recta Real y nos permite extender el estudio de sistemas dinámicos a otros conjuntos. Por otra parte, podemos construir la estructura topológica de un conjunto a partir de una noción adecuada de distancia entre sus puntos. Además, esta noción de distancia también nos permitirá determinar cuándo una sucesión de puntos converge o no. En esta sección recordaremos algunas definiciones y propiedades de los espacios métricos que nos serán útiles en el estudio de los sistemas dinámicos discretos Espacios métricos. Recordemos la definición de convergencia de una sucesión de números reales: la sucesión {x n R n N} converge al punto z R si y solo si, para cualquier ɛ > 0 existe un número N N de manera que si n N entonces la distancia entre el punto x n de la sucesión y el candidato a punto límite z, es menor que ε, es decir: d(x n, z) = x n z < ε.

18 18 AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE Indudablemente, esta definición se puede extender a cualquier conjunto de puntos donde esté bien definida una noción de distancia entre sus puntos. Dado un conjunto arbitrario M de puntos, una función distancia satisface la siguiente definición: Definición 5. Una función que asigna a cualquier pareja de puntos de M un número real no negativo, es decir, una función d : M M R + {0}, es una función distancia si satisface las siguientes tres propiedades: 1. d(x, x) =0, para todo x M, 2. d(x, y) =d(y, x), para todos x y y M (simetría), 3. d(x, y) d(x, z)+d(z, y), para todos x, y, z M (la desigualdad del triángulo). A la pareja (M, d) formada por un conjunto de puntos M con una función distancia d la llamaremos espacio métrico. En el caso de los números reales, la distancia esta definida por el valor absoluto de su diferencia. Así, la pareja (R, ) es un espacio métrico. Ejemplo: En el plano R 2, la función d : R 2 R 2 R +, definida por la fórmula: (3) d(x, y) := (x 1 y 1 ) 2 +(x 2 y 2 ) 2, donde x =(x 1, x 2 ) y y =(y 1, y 2 ), satisface las propiedades de una función distancia. Sorprendentemente, hay una función distancia (trivial) que hace de cualquier conjunto un espacio métrico. Esta distancia trivial está definida de la siguiente manera: d(x, y) =1 si x = y, y d(x, x) =0, para cualquier x X. Sin embargo, para esta función distancia las únicas sucesiones convergentes son las eventualmente constantes Estructura topológica. Asi como generalizamos la noción de convergencia en R a los espacios métricos, también podemos extender la noción de continuidad de una función. Dados dos espacios métricos (M, d M ) y (N, d N ), decimos que una función f : M N es contínua en x M si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si d M (x, y) < δ entonces d N ( f (x), f (y)) < ɛ. Y decimos que f es contínua si es continua en cualquier punto x M. Por otro lado, en cualquier espacio métrico (M, d), podemos definir dos familias de subconjuntos de M: los subconjuntos abiertos y los subconjuntos cerrados de M. Los conjuntos abiertos generalizan la noción de vecindad, sin necesidad de calcular la distancia entre los puntos explicitamente. Un subconjunto U M es un subconjunto abierto si para cada x U existe ε > 0 talque la bola de radio ε con centro en x está contenida en U, esto es B ε (x) ={y M d(x, y) < ε} U. Una vecindad de un punto z es cualquier subconjunto abierto U tal que z U. Por otro lado, los complementos de los subconjuntos abiertos también son importantes y por eso llevan un nombre aparte: Un subconjunto A M es cerrado si su complemento M A es un subconjunto abierto.

19 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN 19 La estructura topológica de un espacio métrico (M, d) está dada por la familia de subconjuntos abiertos de M. Además, podemos enunciar la continuidad de una función sólo en términos de los subconjuntos abiertos. Teorema 10. Dados dos espacios métricos (M, d) y (N, r), una función f : M N es contínua si y sólo si para cualquier subconjunto abierto U N se tiene que f 1 (U) M es un subconjunto abierto de M. Ejercicio: Demuestre el Teorema 10. La noción de convergencia también se puede enunciar en términos de abiertos. Una sucesión {x n } M tal que x n converge a x si para cualquier abierto U tal que x U existe un número N N de manera que x n U, para toda n N. Ejercicio: Con esta definición de convergencia demuestre que si f es continua, cualquier sucesión {x n } M tal que x n converge a x, entonces la sucesión { f (x n )} N converge a f (x) Equivalencias entre espacios métricos. Desde el punto de vista de la topología, la noción de equivalencia entre dos espacios métricos es la noción de homeomorfismo. Dos espacios métricos (M, d M ) y (N, d N ) son homeomorfos si existe una función biyectiva h : (M, d M ) (N, d N ) tal que h es continua y también h 1. Cualquier función h : (M, d M ) (N, d N ) biyectiva, continua y con inversa continua es un homeomorfismo. Si h es un homeomorfismo podemos afirmar que cualquier subconjunto V M es un abierto de M, si y solo si h(v) es abierto en N; pues basta aplicar la definición de continuidad de h y de h 1. Un homeomorfismo es una correspondencia biunívoca entre los puntos de M y los puntos de N, y también una correspondencia entre los subconjuntos abiertos de ambos espacios. Ahora bien, desde el punto de vista de la métrica, la noción de equivalencia es la isometría. Una función h : (M, d M ) (N, d N ) es una isometría si para cualquiera dos puntos x, y M se verifica que: d M (x, y) =d N (h(x), h(y)). Ejercicio: Demuestre que si una función sobreyectiva h : (M, d M ) (N, d N ) es una isometría, entonces es biyectiva y además es un homeomorfismo De cualquier manera, la clase de homeomorfismos es mucho más grande que la de las isometrías, pues por ejemplo, cualquier par de intervalos I =(a, b) y J =(c, d) son homeomorfos y solo serán isométricos si a b = c d Otras propiedades topológicas. En esta sección revisaremos algunas propiedades topológicas que nos serán de gran utilidad para describir los comportamientos dinámicos que nos interesan. La conexidad de un subconjunto de un espacio métrico (M, d) es una propiedad topológica y refleja lo que intuitivamente corresponde a la situación en la que el subconjunto consta de una sola pieza. Para definir formalmente esta noción es mucho más fácil determinar cuándo un subconjunto es disconexo. Un subconjunto A M es disconexo si existen dos abiertos U y V, disjuntos, esto es, U V =, de manera que la unión de ambos cubren al subconjunto A. En fórmulas: A U V

20 20 AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE y además, cada uno de los abiertos intersecta al conjunto: A U = y A V =. La negativa de esta propiedad determina a los conjuntos conexos. Un subconjunto es conexo si no es disconexo. Cualquier intervalo (a, b) R con a < b es conexo. Ejercicio: Demuestre que el subconjunto de los números racionales es disconexo en R. Un subconjunto A M es totalmente disconexo si para cualesquiera dos puntos diferentes x y y A existen dos abiertos U y V M, disjuntos U V =, y de modo que x U, y V y que A U V. Un subconjunto A de los números reales R es totalmente disconexo si no contiene ningún subintervalo: esto es, para cualquier a, b R, con a < b, el intervalo (a, b) (R A) =. Ejercicio: Demuestre que el subconjunto de los números racionales es totalmente disconexo en R. Dado un subconjunto A M, un punto x M es un punto de acumulación de A si existe una sucesión infinita {a n A} tal que a n x cuando n +. Un punto a A es un punto aislado de A si existe un abierto V M tal que V A = a. Decimos, además, que A M es un subconjunto perfecto si todos los puntos de A son puntos de acumulación de A. Ejercicio: Si A m es un subconjunto perfecto, entonces A no tiene puntos aislados. A partir de un conjunto cualquiera A, podemos construir la cerradura del conjunto A, que denotaremos por A, como el conjunto de todos los puntos en M que podemos obtener como límite de alguna sucesión convergente de elementos de A. Otra manera equivalente de definir la cerradura de A es como el cerrado más chico que contiene a A. Observe que si A es cerrado, entonces A = A. La cerradura del conjunto {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1}, con la métrica definida en (3), es precisamente el disco de radio 1: {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. Un subconjunto A M es denso en M si la cerradura de A es todo M. Dicho de otra manera, para cualquier elemento x M existe una sucesión {a n } A que converge a x. Los números racionales forman un subconjunto denso de R. Para observar esto basta recordar el hecho de que entre dos números reales cualesquiera x < y, siempre existe un número racional r entre ellos, es decir x < r < y. Así, dado un número real r cualquiera, siempre podemos encontrar una sucesión de números racionales {q n Q} que converge a r. El conjunto de los números irracionales también es denso en R. Ejercicio: Dados x 1,..., x k R, para alguna k N. Demuestre que el conjunto R {x 1,..., x n }, para es un subconjunto abierto y denso en R. Una propiedad topológica un poco más abstracta es la compacidad. Un subconjunto A M es compacto si toda cubierta abierta de A tiene una subcubierta finita que también lo cubre. Es decir, si A es compacto y tenemos colección de subconjuntos abiertos de M, digamos {U α α A}, donde A es cualquier subconjunto de índices, tal que A α A U α, entonces podemos afirmar

21 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN 21 FIGURA 13. Figura 2.4 El α y el ω límites. con seguridad que existen un número finito k N y α 1, α 2,..., α k A, tales que verifican que: A U α1 U α2 U αk Una consecuencia de la compacidad es la siguiente: Si un subconjunto A M es compacto, entonces cualquier sucesión de puntos de A contiene una subsuseción convergente. Ejercicio: Demuestre esta última afirmación, esto es, si A M es compacto y x n A, para n N, entonces existen n j N y un punto z A tales que lím j x nj = z. Si A R es un subconjunto cerrado y acotado, es decir, A = A y además existe M R tal que para todo a A se cumple que a M, entonces A es un subconjunto compacto de R Dinámica topológica. Sea M =(M, d) un espacio métrico compacto y f : M M una función contínua. Dado un punto cualquiera x M, ahora si podemos estudiar el conjunto en dónde se acumula la órbita positiva de x: el ω límite de x (se lee, el omega límite de x. Para definir este conjunto necesitamos combinar algunas de las nociones topológicas que recordamos en la sección anterior. Definición 6. Dado un punto x M, el ω limite es el conjunto: ω(x) ={y M k j N tal que lím f k j (x) =y} j + Este conjunto consiste de todos los puntos en el espacio y M tales que la órbita de x visita infinitas veces cualquier vecindad de y. De manera más precisa, y ω(x) si existe una sucesión creciente y no acotada de números enteros positivos k j N de modo que f k j(x) converge a y, cuando j tiende a +. Proposición 1. Si f : M M es una transformación continua y M es un espacio compacto, entonces para cualquier x M el conjunto ω(x) es no vacío. Demostración. Dado que M es compacto, la órbita de x siempre tiene una subsucesión convergente. Si y es límite de esta subsucesión, entonces y ω(x). De la misma manera podemos definir el conjunto donde la órbita negativa de un punto se acumula. A este conjunto se le denomina el α-límite de x 0 y se define de manera muy semejante al ω-límite: α(x 0 )={y M {k j N} y y kj f k j (x 0 ) tales que y kj y cuando j + }. De hecho, si f es biyectiva entonces α(x 0 )={y M y kj f k j (x 0 ) tal que lím y k j + j = y}, y de hecho, α f (x) = ω f 1(x), donde ω f 1(p) es el ω-límite de p con respecto a la transformación f 1. Sin embargo, cuando no lo es, hay que tener un poco de cuidado pues f 1 (x) es un subconjunto y no un único punto.