Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas. Departamento de Economía. Análisis Espectral. Alvaro Montenegro. Bogotá, Marzo de 2009

Transcripción

1 Faculad de Cecas Ecoómcas y Admsravas Deparameo de Ecoomía Aálss Especral Alvaro Moeegro Bogoá, Marzo de 009 Esa vesgacó fue facada por la Pofca Uversdad Javeraa y correspode a desarrollos del proyeco Macroecoomía Cuaava Las opoes plaeadas e ese documeo refleja el pesameo de sus auores y o ecesaramee el de la Pofca Uversdad Javeraa.

2 1 ANÁLISIS ESPECTRAL Alvaro Moeegro Deparameo de Ecoomía Uversdad Javeraa Novembre 008 El aálss especral ee por objeo descompoer ua sere de empo esacoara e ua suma, posblemee fa, de compoees seodales de dversas frecuecas y ampludes. Las frecuecas más sgfcavas srve para explcar cclos ecoómcos, esacoaldad o caraceríscas esadíscas geerales del proceso aleaoro. Auque coee la msma formacó que el aálss e el domo del empo, el aálss e el domo de la frecueca puede faclar la ucó. El aálss especral de la produccó maufacurera colombaa o deeca la preseca de cclos ecoómcos. El aálss especral ee que ver co vbracoes y osclacoes, las cuales, e su forma más pura, so odulacoes s quebres abrupos que se repe peródcamee a ravés del empo, maeedo sempre la msma amplud y frecueca de osclacó, como la señal emda por u dapasó. Esas odulacoes se cooce como odas seodales (o coseodales) y so los compoees de práccamee odas las señales coocdas, como el rudo blaco, la voz, o la salda de u modelo ARMA. El aálss especral separa ua señal e las dversas odas seodales que la coforma. Deseo agradecer a Alfredo Coreras Eer por su valosa ayuda e ese rabajo. Las opoes expresadas so del auor y o compromee a la sucó.

3 La lusracó más famlar cosse e el paso de u rayo de luz blaca por u prsma que lo separa e compoees de dferees colores. Cada color correspode a u po de vbracó co caraceríscas parculares. El aálss especral se refere a la eoría y écca que perme descompoer ua señal o sere de empo (lumosa, soora, sesoral, ecoómca, ec.) e compoees seodales de dferees frecuecas y ampludes. E el aálss especral mpora meos la forma específca de la sere a lo largo del empo y más la defcacó de las odas seodales presees. Fucoes Seodales Ua fucó seodal, como la de la Fgura 1, se represea por CSe ( ) (1) dode, e el caso dscreo, que es el comú e seres de empo, la varable empo asume valores eeros, eso es 0,1,,3,. Co respeco a los demás parámeros, C es u coefcee llamado amplud, posvo o egavo, que mulplca la señal seodal; es la frecueca agular dada e radaes (por ejemplo radaes equvale a 180 grados); y es ua cosae llamada águlo de fase que srve para desplazar la señal e el empo, usualmee e ua cadad que se ecuera e el ervalo y radaes. La frecueca agular ambé se puede escrbr como f, dode f es la frecueca dada e cclos por udad de empo. Cclo se refere a la pare de la señal que se repe defdamee; puede medrse de valle a valle, o pco a pco, o de cualquer puo al msmo puo. La duracó del cclo, se defe como

4 período, el cual esá dado e udades de empo por cclo, y equvale al verso de la frecueca f. Es úl recordar alguas propedades rgoomércas de las formas seodales: Se( ) Se, Cos( ) Cos, Cos Se 1, Se( / ) Cos, ec. La úlma propedad os dce que las odas seodales y coseodales so equvalees excepo por u águlo de fase de / radaes (90 grados), que o afeca la forma de la curva y solo la desplaza u cuaro de cclo e el empo. La Fgura 1 muesra 100 observacoes de la fucó Se( /10), dode la amplud C es uara. La curva se dbuja pueada para efazar el carácer dscreo de la msma; eso es, para dcar que, auque la señal es eórcamee coua, sólo hay observacoes para puos equdsaes e el empo. S embargo, auque las seres sea dscreas, la cosumbre, que se segurá e adelae, es dbujar las curvas de maera coua uedo los puos observados. Cuao mayor sea el coefcee que mulplca al empo (por ejemplo, s e lugar de / 10 fuera / 4) mayor es la frecueca, lo que sgfca que la gráfca edría más cclos por udad de empo. S hcéramos C 5, por ejemplo, la amplud de la oda se mulplcaría por cco; los pcos llegaría a 5 y los valles a 5, e lugar de 1 y 1 como esá e la Fgura 1. 3 Represeacó Seodal La suma de odas seodales o coseodales, perfecamee peródcas pero de dferees frecuecas y ampludes, geera resulados que puede ser de apareca muy dferees a las odas seodales dvduales que parcpa

5 e la suma. Eso es cero ao para odas dscreas como couas. Para lusrar, la Fgura muesra la suma de las res odas cosedales 4 Cos( /10) Cos( /3) Cos( ). () S o supéramos cómo se geeró esa sere, podríamos cofudrla co ua sere de empo observada e la prácca, quzá cambos e el Pb, cambos e el preco de algú íulo bursál, ec. De hecho, esas seres de la vda real esá compuesas por ua fdad de señales odulaoras puras. El objevo del aálss especral es hacer lo coraro de lo hecho e la Fgura, dode combamos varas seres seodales de frecueca y amplud coocda para obeer ua sere de empo fal. E el aálss especral omamos la sere de empo observada y raamos de ecorar las odas seodales (frecuecas y ampludes) que la compoe; se raa de esablecer cuáles frecuecas esá presees y e qué proporcó. Eso se cooce como rabajar e el domo de la frecueca (las varables se grafca cora el eje de la frecueca). El aálss de seres de empo radcoal se hace e el domo del empo (las varables se grafca cora el eje del empo). El Teorema de Represeacó Especral dce que cualquer proceso esacoaro hasa de orde dos (esacoaro e covaraza o déblmee esacoaro) puede ser represeado por ua suma, posblemee fa, de señales seodales y coseodales [ver Hamlo (1994, capíulo 6)]. Ese eucado es la corapare e el domo de la frecueca del Teorema de Represeacó de Wold ulzado e el domo del empo. Los orígees del aálss especral se ecuera e las seres de Fourer, del maemáco fracés Jea Bapse Joseph Fourer, que a comezos del

6 sglo IX descompuso señales peródcas e sumas de odas seodales y coseodales. Ua explcacó uva de cómo podemos ulzar fucoes e geeral, y odas seodales e parcular, para represear oras fucoes, se ecuera e Lah (1968) capíulo 1. E prcpo, el procedmeo puede verse como ua regresó (mímos cuadrados ordaros) de la fucó o sere a explcar cora las fucoes que se haya escogdo como explcavas. Usado K érmos podemos expresar ua sere de empo x esacoara de meda cero como 5 x C1Cos( 1 1) CCos( ) C K 1 [ C Cos( )] K Cos( ) K K (3) dode C es la amplud, es la frecueca e radaes, es el águlo de fase, y es rudo co meda cero que recoge aquella pare de la sere que o es explcada por los K érmos ulzados (e eoría, ede a cero s K ede a fo). Ua forma de hacer que la sere de la Fgura se asemeje aú más a ua sere de la vda real es sumádole ua sere de rudo blaco, como la de la Fgura 3 (omada de ua ormal esádar). La sere resulae de esa suma se muesra e la Fgura 4. La expresó (3) puede smplfcarse para faclar esmacó apelado a la dedad rgoomérca Cos( ) Cos( ) Cos Se( ) Se (4)

7 6 que os perme expresar las sere elmado los águlos de fase, quedado ésa x e érmos de seos y coseos x K ( A Cos B Se ) (5) 1 dode A CCos y B CSe so las ampludes o coefcees de las odas. Noamos que ao x e el lado zquerdo como cada ua de las odas del lado derecho de la expresó so seres de empo. E oras palabras, podemos magar la expresó (5) como ua regresó dode x es la varable depedee y los K seos y coseos so las varables explcavas; podemos correr x cora esas odas ulzado mímos cuadrados ordaros, MCO, obeedo coefcees esmados  y Bˆ. Para efecuar la esmacó por MCO edríamos que coocer los coedos e x co el f de cosrur sus varables explcavas. Supogamos, por el momeo, que coocemos los. Eoces puede mosrarse [ver Presley (1980), capíulo 6] que los coefcees esmados por MCO será A ˆ xcos (6a) 1 Bˆ x Se (6b) 1

8 7 dode es el amaño de la muesra (el úmero de observacoes de la sere x ). La marz de varables explcavas de la regresó esá formada por seres seodales y coseodales. Aforuadamee ésas so orogoales ere sí permedo obeer expresoes secllas e la esmacó. La orogoaldad es smlar a cero covaraza, lo que se da s la suma del produco de las seres es cero, como e efeco sucede e Cos ( ) Se( j) d 0, para cualquer y 0 j eeros posvos. E cosecueca, como e cualquer regresó cuyas varables explcavas so orogoales, cada coefcee e las expresoes (6) resula proporcoal a la covaraza ere la varable explcava y la varable depedee, lo cual es uvamee sasfacoro. E realdad o coocemos los secueca de valores de, por lo que debemos esayar ua omados a dsacas coras, eso es, hacemos u barrdo de, y vamos regsrado el comporameo de prcpo del esmador deomado perodograma. Â y Bˆ. Ese es el El Perodograma La gráfca de ˆ A ˆ (a veces la gráfca de ˆ A ˆ ) versus se cooce B B como perodograma y se deoa I ( ). Los valores de I ( ) será dferees de cero cuado coedas e x., e el eje horzoal, cocda co ua de las frecuecas Nóese de (5) que ˆ ˆ A B C Cos C Se C, de maera que, e efeco, esaríamos grafcado ua cadad proporcoal a la amplud C de

9 cada oda e (3) versus la frecueca correspodee. E cera forma, esamos grafcado el coedo de eergía o poeca versus frecueca, lo que se cooce como el especro de la sere. La mayor frecueca posble (a la derecha e el eje horzoal) será la que correspoda a la llamada frecueca de Nyqus. S muesreamos la sere x cada udad de empo eoces el perodo mímo que podemos deecar es de udades de empo ya que, para esablecer u cclo, ecesamos por lo meos deecar (muesrear) u valle y u pco. S el perodo más coro es de udades de empo por cclo eoces la frecueca máxma será f 1/ cclo por udad de empo o expresada e radaes será f (1/ ). Lo aeror mplca que s coamos co muesras de ua señal coua que o coega frecuecas superores a f 1/ cclo por segudo, eoces podemos recosrur la señal compleamee co base e las muesras. Esa es la razó por la cual basa rasmr solo las muesras (observacoes) de ua señal coua, y o la señal complea (lo que resularía más cososo). Auque a prmera vsa parece cora uvo, las muesras rasmdas so sufcees para recuperar la oaldad de la señal coua e el puo de recepcó [ver, por ejemplo, Lah (1968) capíulo 1]. E efeco, ua señal dscrea puede verse como el muesreo de ua señal coua. Y s la señal que esamos muesreado coee frecuecas superores a, que es la máxma que podemos deecar, ésas se coablzará como de frecueca feror; eso es, para 8 0, las frecuecas, 4, 6,, se coablzará como de frecueca radaes; o para 0 f 1/, las frecuecas f 1, f, f 3,., se coablzará como de frecueca f cclos por udad de empo. Ese feómeo se cooce como alasg, y su explcacó se lusra e la Fgura 5

10 e la cual se muesra la señal orgal y los puos muesreados. La clave esá e eeder que solo observamos los valores que muesreamos, los cuales dbuja ua sere de meor frecueca que la orgal. La pérdda de precsó será poca s la frecueca de muesreo es sufceemee ala para capar odas las odas co poeca sgfcava. E la prácca, usualmee o eemos corol sobre la frecueca de muesreo co la cual se recoleca los daos (daros, mesuales, rmesrales, auales, ec.) y debemos cojeurar s dcha asa de muesreo deja por fuera frecuecas mporaes más alas. E cera forma, ese feómeo correspode al ubcuo problema e esadísca de saber s ua muesra es represeava de la poblacó. El efeco llamado beas es oro caso de combacó de odas movédose e el msmo espaco o medo que produce ua apareca y efeco dferee a las seres dvduales. Se raa de la suma de dos odas co frecuecas muy cercaas ere sí que produce u efeco de modulacó que audvamee se percbe como pulsacoes de baja frecueca. Supoedo dos frecuecas cercaas f 1 y f, la frecueca ( f1 f ) / se escuchará pulsado a la más baja frecueca f1 f. La Fgura 6 lusra ese caso de beas, o pulsos, para 500 observacoes de la señal dada por Se( / ) Se( /.1). Por razoes práccas, la escogeca usual de frecuecas de esmacó es 9 dode 0,1,,3,, / q / q, de maera que 4 6 0,,,,,. Esa escogeca asegura que odos los seos y coseos cosderados ega u úmero compleo de cclos e la muesra de amaño, y que las ordeadas del perodograma sea depedees ua de oras, propedad que resula muy coveee para pruebas de hpóess.

11 Auque el perodograma esá defdo ere 10 y e radaes (o ere.5 y. 5 e cclos por udad de empo), e razó de su smería suele mosrarse sólo el lado posvo correspodee al ervalo [ 0, ] e radaes (o [ 0,.5] e cclos por udad de empo). Como se mecoó, el perodograma I (), para cada, es proporcoal al cuadrado de los coefcees e (6) de la esmacó por MCO, eso es, I ( ) 1 xcos 1 x Se (7) dode es ua cosae de proporcoaldad. Esa expresó puede escrbrse como el cuadrado de la magud o módulo del úmero complejo 1 1 x Cos x Se (8) dode 1, oacó que se maedrá por ser la radcoal, esperado que o se cofuda co el msmo símbolo cuado ése sea ulzado para deoar algú -ésmo elemeo o subídce o ídce e los límes de ua sumaora. A su vez, esa ecuacó puede expresarse, usado la dedad de Euler e Cos Se, como 1 x e para 4 6 0,,,,, (9)

12 11 dode la ulzacó del sgo egavo (e lugar del posvo) e la pare magara se hace por covecó [ver, por ejemplo, Schwarz y Shaw (1975), capíulo]. Ua buea explcacó de los úmeros magaros y complejos e el coexo del aálss especral se puede ecorar e Loy (007). La Auocovaraza Exse ua relacó muy eresae ere el perodograma y la fucó de auocovaraza R ( ) de la sere x [para dealles sobre la auocovaraza R ( ) ver Moeegro (007)]. Sguedo a Presley (1981, p. 399), y recordado que la magud al cuadrado de u úmero complejo es gual al úmero por su cojugado, la expresó (9) puede escrbrse como 1 v xe xve x xvcos( v) (10) v1 1 v1 dode los érmos seodales se cacela. Defedo u uevo ídce v de maera que oma los valores de 1 ( 1) hasa 1, y, para fjo, va desde 1 hasa. Así ( 1) 1 x x Cos Rˆ( ) Cos (11) ( 1)

13 1 dode es ua cosae de proporcoaldad y R ˆ ( ) es la auocovaraza esmada bajo el supueso Ex 0. S la auocovaraza refleja correlacó posva, como e u AR(1) co coefcee posvo, habrá predomo de frecuecas bajas; s la auocovaraza refleja correlacó egava, como e u AR(1) co coefcee egavo, habrá predomo de frecuecas alas. U modelo ARMA puede geerar especros co pcos e ua o varas frecuecas de resoaca (egevalores). De (11) se puede ferr que ua sere de rudo ee u especro plao (depedee de ) de maera que la eergía se dsrbuye uformemee e odas las frecuecas. El Especro E geeral los procesos esocáscos ecorados e la prácca o edrá u juego de frecuecas seodales fjas. El elemeo aleaoro volucrado e las seres reales lleva a pesar que presea u rago de frecuecas alrededor de las que pudera ser frecuecas prcpales, de maera que el especro o será dscreo so couo, co valores para odo. Llamamos s () a ese especro couo de ua sere x, smlar a ua dsrbucó de probabldad, dode s ( ) d se erprea como la corbucó a la eergía o poeca oal de la sere, coeda e los compoees seodales cuyas frecuecas esá ere y d. De maera smlar a la ecuacó (11), se puede mosrar [Grager y Newbold (1986, cap. )] que, para seres reales y cosderado el ervalo, podemos escrbr

14 13 s( ) 1 R( ) e 1 1 x R( ) Cos R( ) Cos (1) 1 dode, a su vez, x ) e s( ) R( ) E( x d (13) es la fucó de auocovaraza de x. La Expresó para s () ambé puede escrbrse e fucó de las auocorrelacoes, lo cual se logra dvdedo por la varaza x de la sere x. Al gual que la fucó de auocorrelacó, el especro puede ayudar e la defcacó del po de modelo (AR, MA, ARMA) que mejor se ajusa a los daos. El perodograma es el esmador de s (), de la msma maera que el hsograma puede ser cosderado como u esmador de la fucó de desdad de probabldad. Propedades de Muesreo El perodograma es u esmador asócamee sesgado de las frecuecas del especro pero es cossee e el sedo de que su varaza o dsmuye a medda que el amaño de la muesra aumea. El problema radca e que la esmacó para cada frecueca es práccamee depedee de las demás, y esamos esmado aas auocorrelacoes como observacoes [eso se puede ver de (11), recordado que R ( ) R( )], de maera que la gráfca del perodograma, cora, resula erráca y volál.

15 14 Ua solucó es suavzar el perodograma ulzado flros o veaas smlares al uso e el domo del empo del promedo móvl cerado; de hecho, se ulza u méodo smlar para esmar fucoes de desdad de probabldad (kerel esmao). Debe adverrse, s embargo, que suavzar el perodograma ee su coso ya que e muesras fas puede geerar sesgo e la esmacó (y e fas s el suavzado se hace mal). Para cada se promeda los esmavos de I () para frecuecas cercaas a, a la zquerda y a la derecha, dado mayor peso a I ) y ( meos a las demás frecuecas. La forma de las poderacoes cofgura ua veaa o kerel que se mueve a lo largo del eje producedo el perodograma suavzado. Hay muchas formas de veaas, las hay recagulares (como la de ua dsrbucó uforme), ragulares, e forma de carpa, o o leales, y oras [para ejemplos de veaas y su dseño se puede cosular Soca y Moses (1997)]. El sofware para el aálss especral usualmee presea ua veaa (y su acho) como defaul pero perme al usuaro escoger ere ua gra varedad de opcoes. Bajo codcoes geerales, la esmacó suavzada para cada es cossee y coverge e dsrbucó a ua ormal depedeemee de la veaa escogda (auque la escogeca de la veaa fluye e la efceca esadísca), lo cual perme realzar pruebas de hpóess. E muchos casos, las seres ecoradas e la prácca suele ser o esacoaras por lo cual es ecesaro esmar y elmar la edeca, dferecar o omar cambos porceuales para obeer esacoaredad. E el caso de las seres esacoales, ésas puede verse como la suma de dos especros, uo que correspode al proceso s el efeco esacoal y oro que correspode al efeco esacoal. E geeral, el especro de ua suma de

16 procesos esocáscos esacoaros depedees de meda cero es la suma de sus especros. 15 Ejemplos Para la esmacó de los especros se ulzó el programa SgVew de SgalLab, versó Todos los especros, excepo el de la Fgura 7, fuero suavzados por medo de la veaa Hag, que vee como defaul. E la Fgura 7 se observa el especro esmado s suavzar para 1000 observacoes de la sere Cos /10) Cos( / 3) Cos( ) ( (de las cuales solo se había mosrado 100 e la Fgura 4). Como es de esperarse, se ve res pcos proucados. El prmero correspode a la frecueca más baja,.05 cclos por udad de empo, geerada por el érmo Cos( /10), la cual se despeja de f / 10 o f 1/ El segudo pco correspode al érmo Cos () y se ecuera cerca de f 1/ La frecueca más ala, cerca de f 1/ , correspode al érmo Cos( /3). El especro del érmo de rudo cludo e la ecuacó de la sere refleja eergía reparda de maera más o meos uforme e odas las frecuecas, el cual se suma al especro de las oras res señales coseodales de la sere. La fgura 8 muesra el especro suavzado de la Fgura 7. Auque esecalmee coee la msma formacó, la amplud de los pcos varía porque ahora las ordeadas del especro correspode a u promedo de puos adyacees segú las poderacoes de la veaa ulzada. La Fgura 9 muesra ua sere comúmee ulzada como bechmark e el aálss de seres de empo. Se raa de la sere lces arapados aualmee ere 181 y 1934 e el oroese caadese, e el dsro del Ro Mackeze.

17 16 La sere, que puede cosularse e Campbell y Walker (1977), es obvamee peródca y evoca el ema de la eraccó ere la presa y su predador. La Fgura 10 muesra el especro para la sere de lces cuyo eje horzoal de frecueca esá marcado e cclos por año. El pco se observa cerca de 0.11 cclos por año lo que equvale a u período u poco superor a 9 años. La Fgura 11 muesra la sere de produccó real mesual de la Muesra Mesual Maufacurera publcada por el Dae, s rlla, desde La sere es o esacoara co evdees perodcdades. La Fgura 1 muesra el cambo porceual e la sere y la Fgura 13 su especro. U ema de erés es s exse compoees e la sere que pueda reflejar la preseca de cclos ecoómcos, eso es, de compoees co períodos de varos años. La frecueca más baja que se observa e el especro esá alrededor de.033 cclos por mes o u período cercao a los 30 meses, lo que podría sugerr u cclo ecoómco de.5 años. S embargo, su poeca (magud) es a baja que realmee o se puede hablar de cclos e esa sere. El prmer compoee sgfcavo esá a ua frecueca de.08 cclos por mes que represea el cclo aual. Le sgue compoees a frecuecas aproxmadamee armócas de.17 cclos por mes o perodo de 6 meses, de.5 cclos por mes o período de 4 meses, de.34 o perodo de res meses, y dos frecuecas de.4 y.47 cclos por mes, co períodos ere y.5 meses. Podría obeerse ua prmera aproxmacó de la sere del cambo porceual e la produccó real maufacurera [sguedo la ecuacó (5)] a ravés de ua suma de señales seodales y coseodales de dferees ampludes y períodos cercaos a los 1, 6, 4, 3, y.3 meses; o podría clurse alguas de esas frecuecas como varables adcoales e ua esmacó radcoal de esa sere e el domo del empo.

18 17 REFERENCIAS Campbell, M. J. y Walker, A. M. (1977) A Survey of Sascal Work o he MacKeze Rver Seres of Aual Caada Lyx Trappgs for he Years ad a New aalyss, Joural of he Royal Sascal Socey, Seres A (Geeral), 140, 4, Grager C. W. y Newbold P. (1986) Forecasg Ecoomc Tme Seres, Academc Press. Hamlo, James (1994) Tme Seres Aalyss, Prceo Uversy Press. Lah, B. P. (1968) Commucao Sysems, Joh Wley ad Sos, Loy, Gareh (007) Musmahcs: The Mahemacal Foudaos of Musc, MIT Press. Moeegro, Alvaro (007) Seres de Tempo, Javegraf, Faculad de Ecoomía, Uversdad Javeraa. Presley, M. B. (1981) Specral Aalyss ad Tme Seres, Academc Press. Schwarz, M. y Shaw, L. (1975) Sgal Processg: Dscree Specral Aalyss, Deeco, ad Esmao, Mc Graw-Hll. Soca, Pere y Moses, Radolph (1997) Iroduco o Specral Aalyss, Prece Hall.

19 18 Fgura 1. Se / Fgura. Cos( /10) Cos( /3) Cos( )

20 19 Fgura Fgura Cos( /10) Cos( / 3) Cos( )

21 Fgura 5. Alasg o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o -1. observado orgal Fgura 6. Beas geerados por la señal Se( / ) Se( /.1)

22 1 Fgura 7. Especro s suavzar de Cos( /10) Cos( / 3) Cos( ) Fgura 8. Especro suavzado de Cos( /10) Cos( / 3) Cos( )

23 Fgura 9. Lces arapados aualmee (Lyx rappgs) Fgura 10. Especro de la sere de lces arapados aualmee

24 3 Fgura 11. Produccó real mesual maufacurera Fgura 1. Varacó porceual e la produccó real mesual maufacurera

25 4 Fgura 13. Especro de la varacó porceual e la produccó real maufacurera