Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones

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1 Prueba de evaluación continua Grupo D 7-XII-.- Se sabe que el 90% de los fumadores llegaron a padecer cáncer de pulmón, mientras que entre los no fumadores la proporción de los que sufrieron de cáncer de pulmón fue del 5%. Si la proporción de fumadores es del 40%, cuál es la probabilidad de que elegido un enfermo de cáncer resulte ser fumador? ( punto).- Disponemos de un dado cargado en el que la probabilidad de que salga un número es proporcional a dicho número. Se pide: a) Distribución de probabilidad de la v. a. número de puntos obtenidos al lanzar un dado. b) Probabilidad de que al lanzarlo salga un número par. c) Media o Esperanza Matemática..-La probabilidad de curación de un determinado tratamiento quirúrgico es Se pide: a) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 0 enfermos se curen la mitad. b) La probabilidad de que al menos se curen dos. c) Mediana. 4.- Para la función de distribución F() ATAN(), determinar: a) La función de densidad. b) Mediana. c) Moda. d) P( X ). e) tal que P(0 X ) Las ventas mensuales de dos tiendas de ordenadores siguen distribuciones X N(0,8) e Y N(50,6). Calcular la probabilidad de que: a) La primera, X, venda 00 o más ordenadores. b) La segunda, Y, venda menos de 40 ordenadores. c) Entre ambas vendan entre 50 y 80 ordenadores. 6.- a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: ) P7 7 p ) Pt8 p b) Calcular el valor de la variable que verifica: ) P ) P t6 0. ( punto) Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

2 .- Se sabe que el 90% de los fumadores llegaron a padecer cáncer de pulmón, mientras que entre los no fumadores la proporción de los que sufrieron de cáncer de pulmón fue del 5%. Si la proporción de fumadores es del 40%, cuál es la probabilidad de que elegido un enfermo de cáncer resulte ser fumador? Tenemos los siguientes sucesos: F= fumador ; C= cáncer Tenemos una partición en dos grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a uno de ellos: P(F)=0,4; P(F c )=0,6. Las probabilidades de tener cáncer condicionado a cada grupo: P(C/F)=0,9; P(C/F c )=0,05 Teorema de la Probabilidad total: c c P(C) P(C / F)P(F) P(C / F )P(F ) 0,90,4 0,05 0,6 0,9 Teorema de Bayes: P(FC) P(C / F)P(F) 0,90,4 P(F / C) c c P(C) P(C / F)P(F) P(C / F )P(F ) 0,9.- Disponemos de un dado cargado en el que la probabilidad de que salga un número es proporcional a dicho número. Se pide: a) distribución de probabilidad de la v. a. número de puntos obtenidos al lanzar un dado. b) Probabilidad de que al lanzarlo salga un número par. c) Media o Esperanza Matemática. 6 a) P X kk i i Nº Prob. k k k 4 4k 5 5k 6 6k Sumas k Nº Prob. / / / 4 4/ 5 5/ 6 6/ Sumas Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

3 b) P(X nºpar) PX i PX PX 4 PX 6 c) Media i Nº Prob. i P(X= i ). / / / 4/ / 9/ 4 4/ 6/ 5 5/ 5/ 6 6/ 6/ Sumas 9/ 9 EX PX i i i.-la probabilidad de curación de un determinado tratamiento quirúrgico es Se pide: a) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 0 enfermos se curen la mitad. b) La probabilidad de que al menos se curen dos. c) Mediana. Llamamos X a la variable aleatoria " Número de enfermos que se curan". Se trata de una variable aleatoria discreta con dos sucesos ecluyentes: el enfermo se cura o no. Por tanto, corresponde con una distribución binomial y su función de probabilidad es: n k nk P(X k) p ( p) k 0 k nk En nuestro caso: n=0 y p=0,65 P(X k) 0,65 ( 0,65) k 0 5 n5 a) P(X 5) 0,65 ( 0,65) 0, b) P(X ) P(X ) P(X 0) P(X ) F() 0, k nk c) La función de distribución: F() P(X ) 0, 65 ( 0, 65) k0k La mediana, M, es tal que F(M)=0,5 k F(k) 0 0, , , , , , , , , , Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

4 Dado que no hay un valor eacto de 0,5 se toma F(M)>0,5 y resulta M=7 4.- Para la función de distribución F() ATAN(), determinar: a) La función de densidad. b) Mediana y moda. c) P( X ). d) tal que P(0 X ) 0.4 a) La función de densidad se obtiene derivando la función de distribución: df() f() F'() d b) Mediana / F(M)=0,5 F(M) ATAN(M) 0,5 M 0 Moda: f() f'() 0 0 c) P( X ) f ()d F() F() ATAN 0,0468 d) P(0 X ) f(t)dt F() F(0) 0,4 F() F(0) 0,4 0,9 0 F(M) ATAN(M) 0,9 = Las ventas mensuales de dos tiendas de ordenadores siguen distribuciones X N(0,8) e Y N(50,6). Calcular la probabilidad de que: a) La primera, X, venda 00 o más ordenadores. b) La segunda, Y, venda menos de 40 ordenadores. c) Entre ambas vendan entre 50 y 80 ordenadores. X= ventas mensuales en la tienda X N(, ) N(0,8) Y= ventas mensuales en la tienda Y N(, ) N50,6 a) PX 00P(X 00) FX 00 0, b) PX 40 FY 40 0, c) X + Y N(, ) N(, ) N(, ) N70, 0 P50 X Y 80F 80F (50) 0, XY XY 6.- a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: ) P ) P t b) Calcular el valor de la variable que verifica: P 0.05 P t 0. = ) 5 = ) 6 8 Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 4

5 Prueba de evaluación continua Grupo B 8-XII-.- Una bolsa contiene 5 monedas equilibradas con cara y cruz; monedas con caras; y monedas con cruces. Se elige al azar una moneda y se lanza. Se pide: a) Probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento. b) Si en el lanzamiento ha salido cara, cuál es la probabilidad de que la moneda elegida tenga cara y cruz? ( punto).- Sea una variable aleatoria X con la siguiente distribución de probabilidad: k P(X k), para k= 0,,,, 4 k! Se pide: a) valor de α para que sea una distribución de probabilidad. b) Media. c) Moda. d) Mediana. e) P( X ), P( X ).- Para la función f() k, determinar: a) El valor de k para que f() sea la 5 función de densidad de una cierta variable aleatoria. b) Mediana y moda. c) Esperanza matemática y varianza. I.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.000, en una lista de 000 datos. Determinar: a) El tipo de distribución b) La probabilidad de que eista eactamente 4 datos incorrectos. c) Que eistan menos de datos incorrectos. d) Que como máimo eistan datos incorrectos. e) Que como mínimo eistan 4 datos incorrectos f) Calcular la media y varianza de datos mal anotados. II.- Se ha realizado un eamen de tipo test con un gran número de preguntas. Las puntuaciones finales del test se dan sobre 50 puntos (enteros del 0 al 50). Las puntuaciones finales en actas son redondeadas al entero más próimo a partir de las puntuaciones reales, esto es, obtienen, por ejemplo, los alumnos con nota en el intervalo [.5,.5). Para aprobar el eamen se eige una puntuación de 5. Si suponemos que las puntuaciones antes de ser redondeadas siguen una distribución normal de media 0 y varianza 5: a) Qué puntuación máima (no redondeada) delimita el % de las notas más bajas? b) Qué puntuación mínima (no redondeada) delimita el 0% de las notas más altas? c) Qué porcentaje de alumnos aparecerán en las actas de notas finales (redondeadas) con 5 puntos eactamente? d) Cuál será el porcentaje de suspensos en actas (notas finales redondeadas)? III.- a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: P p P t p ) ) 7 b) Calcular el valor de la variable que verifica: P 0.9 P t 0. ) ) 5 90 ( punto) 8 6 Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 5

6 .- Una bolsa contiene 5 monedas equilibradas con cara y cruz; monedas con caras; y monedas con cruces. Se elige al azar una moneda y se lanza. Se pide: a) Probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento. b) Si en el lanzamiento ha salido cara, cuál es la probabilidad de que la moneda elegida tenga cara y cruz? Sean los siguientes sucesos: A= la moneda elegida tiene cara y cruz B= la moneda elegida tiene cruz y cruz C= la moneda elegida tiene cara y cara X= Obtener cara en el lanzamiento de la moneda Tenemos una partición en tres grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a uno de ellos: P(A)=5/9; P(B)=/9;P(C)=/9. La probabilidad de obtener cara con cada grupo: P(X/A)=0,5; P(X/B)=0;P(X/C)= a) Teorema de la Probabilidad total: 5 P(X) P(X / A)P(A) P(X / B)P(B) P(X / C)P(C) 0, b) Teorema de Bayes: 5 0,5 P(A X) P(X / A)P(A) P(A / X) 9 5 P(X) P(X) 0,5 9.- Sea una variable aleatoria X con la siguiente distribución de probabilidad: k P(X k), para k= 0,,,, 4 k! Se pide: a) valor de α para que sea una distribución de probabilidad. b) Media. c) Moda. d) Mediana. e) P( X ), P( X ) Tenemos una variable aleatoria discreta con función de probabilidad Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 6

7 a) Debe cumplir que: k P(X k), para k= 0,,,, 4 k! 4 4 k P(Xk) 7, k0 k0k! 0!!!! 4! entonces k 4 k EXkPX k k k! 7 7 (k )! b) Media k0 k0 k0 c) Moda Es bimodal, ya que la máima probabilidad se obtiene para {,} d) Mediana X Prob. F() Sumas La mediana, M, es tal F(M)>0,5; se cumple para M= e) P( X ) 0 4 P( X ) PX PX Para la función f() k, determinar: 5 a) El valor de k para que f() sea la función de densidad de una cierta variable aleatoria. b) Mediana y moda. c) Esperanza matemática y varianza. 8 Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 7

8 5 8 5 a) Se cumple que: f()d k d k k Gráfica de la función de densidad b) La mediana, es el valor de que verifica F()=0,5 5 t F() dt 0,5 M Moda: es el máimo de la función de densidad f() f '() c) Media o Esperanza matemática: Varianza: 8 5 E[X] f ()d d f()d 0 d 5 5 I.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.000, en una lista de 000 datos. Determinar: a) El tipo de distribución b) La probabilidad de que eista eactamente 4 datos incorrectos. c) Que eistan menos de datos incorrectos. d) Que como máimo eistan datos incorrectos. e) Que como mínimo eistan 4 datos incorrectos f) Calcular la media y varianza de datos mal anotados. a) Se trata de una variable aleatoria discreta con dos situaciones éito o fracaso. Puesto que np = 0.4 es inferior a 5 Se trata de una distribución de Poisson (Ley de casos raros). Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 8

9 0.4 P X 4 e 4! b) Distribución de Poisson de parámetro λ = 0.4, luego c) P(X < ) = F() = d) P(X ) = F() = e) P(X 4) = P(X < 4) = F() = f) Media = λ = n p = 0.4. Varianza = = = =.- Se ha realizado un eamen de tipo test con un gran número de preguntas. Las puntuaciones finales del test se dan sobre 50 puntos (enteros del 0 al 50). Las puntuaciones finales en actas son redondeadas al entero más próimo a partir de las puntuaciones reales, esto es, obtienen, por ejemplo, los alumnos con nota en el intervalo [.5,.5). Para aprobar el eamen se eige una puntuación de 5. Si suponemos que las puntuaciones antes de ser redondeadas siguen una distribución normal de media 0 y varianza 5: a) Qué puntuación máima (no redondeada) delimita el % de las notas más bajas? b) Qué puntuación mínima (no redondeada) delimita el 0% de las notas más altas? c) Qué porcentaje de alumnos aparecerán en las actas de notas finales (redondeadas) con 5 puntos eactamente? d) Cuál será el porcentaje de suspensos en actas (notas finales redondeadas)? Solución La variable puntuación sigue una distribución N(0, 5) P X 0. F a) b) c) P X 0. P X 08. F P 4. 5 X 5. 5 F 5. 5 F , por tanto, 4,84% P X 4. 5 F , por tanto,,56% d).- a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: P p p = ) 7 P t p p = ) 8 b) Calcular el valor de la variable que verifica: ) P 5 90 ) 6 F P t 0. F() 0.55 = Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 9

10 Prueba de evaluación continua Grupo A 8-XII-.- Mediante una encuesta se sabe que la clase baja de una población constituye el 0%, la clase media el 65% y la clase alta el 5%. Y además, que el 5% de la clase baja, el 50% de la clase media, y el 80% de la clase alta tienen casa propia. a) Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar en una población tenga casa propia? b) Al seleccionar al azar una persona, se encuentra que tiene casa. Cuál es la probabilidad de que esa persona sea de la clase baja? ( punto).- Sea la función de probabilidad de la variable aleatoria el número de clientes que llegan a una tienda en una hora: i P(X= i ) 0 0, 0, 0, 0, 4 0,05 5 0,05 Sumas Se pide: a) Función de distribución. b) Media. c) Moda. d) Mediana. e) P( X ), P( X ).- Un almacén distribuye un producto en eclusiva en una gran ciudad y lo recibe semanalmente de fábrica. El nº de millares de artículos vendidos cada mes, X, es una variable aleatoria continua cuya función de densidad viene dada por: 0 si < 0 f () k( ) si 0 Se pide: si a) k para que f() sea efectivamente función de densidad. P X 0.5 P X P 0X, P( X ) b),, c) Media. d) Moda. Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 0

11 I.- En un estudio sobre la preferencia de los clientes hacia una determinada marca X se ha obtenido que el 40% de los clientes tienen la marca X como su marca favorita. Si se etrae una muestra aleatoria de 8 sujetos obtener las probabilidades siguientes: a) El tipo de distribución. b) Que clientes tengan la marca X como su marca favorita. c) Que menos de clientes tengan la marca X como su marca favorita. d) Que como máimo clientes tengan la marca X como su marca favorita. e) Que como mínimo haya 5 clientes que tengan la marca X como su marca favorita. f) Calcular la media y varianza. II.- El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media cl, y desviación estándar cl. a) Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga. Eactamente cl?. Al menos.5 cl?. Menos de cl. 4. Entre y 4 cl b) Calcular la cantidad de centilitros que le corresponde a los percentiles P95, P5 y la mediana. c) En un envase de 6 botes cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? III.- a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: ) P7 p ) Pt8 p b) Calcular el valor de la variable que verifica: P 0.95 P t 0.05 ) ) Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

12 .- Mediante una encuesta se sabe que la clase baja de una población constituye el 0%, la clase media el 65% y la clase alta el 5%. Y además, que el 5% de la clase baja, el 50% de la clase media, y el 80% de la clase alta tienen casa propia. a) Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar en una población tenga casa propia? b) Al seleccionar al azar una persona, se encuentra que tiene casa. Cuál es la probabilidad de que esa persona sea de la clase baja? Sean los siguientes sucesos: A= clase baja ; B= clase media ; C= clase alta X= casa propia Tenemos una partición en tres grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a uno de ellos: P(A)=0,; P(B)=0,65;P(C)=0,05. La probabilidad de tener casa propia con cada grupo: P(X/A)=0,05; P(X/B)=0,50; P(X/C)=0,8 a) Teorema de la Probabilidad total: P(X) P(X / A)P(A) P(X / B)P(B) P(X / C)P(C) 0,050, 0,5 0,65 0,80,05 = 9 0,8 50 b) Teorema de Bayes: P(AX) P(X / A)P(A) 0,050, P(A / X) P(X) P(X) 0, Sea la función de probabilidad de la variable aleatoria el número de clientes que llegan a una tienda en una hora: i P(X= i ) 0 0, 0, 0, 0, 4 0,05 5 0,05 Sumas Se pide: a) Función de distribución. b) Media. Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

13 c) Moda. d) Mediana. Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones e) P( X ), P( X ) a) i P(X= i ) F() 0 0, 0, 0, 0,4 0, 0,7 0, 0,9 4 0,05 0,95 5 0,05 Sumas 0 si 0 0, si 0 0, 4 si F() 0,7 si 0,9 si 4 0,95 si 4 5 si 5 c) Media 5 EXkPX k, 95 c) Moda k0 i P(X= i ) i P(X= i ) 0 0, 0 0, 0, 0, 0,6 0, 0,6 4 0,05 0, 5 0,05 0,5 Sumas,95 Es bimodal, ya que la máima probabilidad se obtiene para {,} d) Mediana La mediana, M, es tal F(M)>0,5; se cumple para M= Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

14 e) P( X ) 0 P( X ) P X P X 0,0, 0,5.- Un almacén distribuye un producto en eclusiva en una gran ciudad y lo recibe semanalmente de fábrica. El nº de millares de artículos vendidos cada mes, X, es una variable aleatoria continua cuya función de densidad viene dada por: 0 f () k( ) si < 0 si 0 Se pide: si a) k para que f() sea efectivamente función de densidad. b) PX 0.5, PX, P0 X, P( X ) c) Media. d) Moda. 0 k k 4 0 a) Se cumple que: 0,5 b) P X 0.5 d 0 f ()d 0d k d d 0 5 P X d d P 0 X 7 8 P X d d P( X ) d 8 c) Media o Esperanza matemática: Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 4

15 0 E[X] f ()d d d 0 d) Moda: es el máimo de la función de densidad 0 si <0 si > 4 f '() 6( ) si 0 6( ) 0 No puede ser =0, ya que f(0)= y f(0)=. Por tanto, la Moda es =0 I.- En un estudio sobre la preferencia de los clientes hacia una determinada marca X se ha obtenido que el 40% de los clientes tienen la marca X como su marca favorita. Si se etrae una muestra aleatoria de 8 sujetos obtener las probabilidades siguientes: a) Que clientes tengan la marca X como su marca favorita. b) Que menos de clientes tengan la marca X como su marca favorita. c) Que como máimo clientes tengan la marca X como su marca favorita. d) Que como mínimo haya 5 clientes que tengan la marca X como su marca favorita. e) Calcular la media y varianza. SOLUCIÓN Se trata de una variable aleatoria binomial de parámetros n = 8; p =0.4, es decir, B(8, 0,4). 6 a) P(X ) = b) P(X ) F( ) c) P(X ) F( ) P(X 5) P X 5) F( 4) d) e) EX n p. V X n p q.9 Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 5

16 II.- El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media cl, y desviación estándar cl. a) Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga. Eactamente cl?. Al menos.5 cl?. Menos de cl. 4. Entre y 4 cl b) Calcular la cantidad de centilitros que le corresponde a los percentiles P95, P5 y la mediana. c) En un envase de 6 botes cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? SOLUCIÓN a) b) f d 0. PX. PX. 5 PX. 5 F PX F P X 4 F4 F P X F P X F P X 05. F 05. Mediana c) Sea B la variable aleatoria contenido de 6 botes. B N 6 0., 6 N. 98, 6, portanto, calculamos PB 75. F III.- SOLUCIÓN a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: P p P t p ) ) b) Calcular el valor de la variable que verifica: P ) ) P t 0.05 F() Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 6

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