TEMA DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS.

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1 1. Dstrbucoes Bdmesoales de Frecuecas Idepedeca y Relacó Fucoal de dos Varables. 1.. Tablas de Correlacó y de Cotgeca Dstrbucoes Margales Dstrbucoes Codcoadas Idepedeca Estadístca.. Represetacoes Gráfcas. 3. Mometos de Dstrbucoes Bdmesoales Mometos Respecto al Orge. 3.. Mometos Respecto a las Medas Cálculo de los Mometos Cetrales e fucó de los Mometos Respecto al Orge Método Reducdo para el Cálculo de Varaza y Covaraza Valor de la Covaraza e caso de Idepedeca Estadístca. 4. Auste Método de los Mímos Cuadrados Auste de ua Recta Auste de ua Parábola Auste Hperbólco Auste Potecal Auste Expoecal. 4.. Método de los Mometos. 5. Regresó Regresó Leal Recta de Regresó de Y sobre Recta de Regresó de sobre Y. 5.. Coefcetes de Regresó. 6. Correlacó Campo de Varacó de R y su Iterpretacó. 6.. Coefcete de Correlacó Leal Iterpretacó Aalítca de r Iterpretacó Geométrca de r. 7. Varaza debda a la Regresó y Coefcete de Determacó Leal. 8. Aplcacoes de la Regresó y la Correlacó Uso y Abuso de la Regresó. 8.. Predccó. Bblografía Recomedada. 1/5

2 TEMA 6 ERIE ETADÍTICA BIDIMEIOALE. COEFICIETE DE VARIACIÓ. VARIABLE ORMALIZADA. APLICACIÓ AL AÁLII, ITERPRETACIÓ Y COMPARACIÓ DE DATO ETADÍTICO. 1. DITRIBUCIOE BIDIMEIOALE DE FRECUECIA. estudamos sobre la msma poblacó dos caracteres cuattatvos e Y y los medmos e las msmas udades estadístcas, obteemos dos seres estadístcas de las varables e Y. Cosderado smultáeamete ambas seres, el par de valores (x,y ) le correspode ua varable estadístca Bdmesoal. Es posble estudar de forma separada la dstrbucó de la poblacó segú el carácter o Y, obteedo x, x, y, y o cualquer otro parámetro. Pero puede ser teresate cosderar de forma smultáea los dos caracteres, co el obetvo de determar las posbles relacoes etre ellos y así poder respoder a pregutas como Exste algú tpo de relacó etre los caracteres e Y?. Vamos a ver strumetos estadístcos que os va a permtr obteer la exsteca o o de cocdecas etre los valores de dos varables y, a partr de esas cocdecas, formular la hpótess de ua relacó causal etre los dos caracteres. exste cocdecas estadístcas etre los valores de dos caracteres, o lo que es lo msmo, s exste relacó etre las dos varables, las cocdecas puede ser más o meos fuertes, y la tesdad de la relacó puede varar etre auseca total de relacó o lgazó perfecta Idepedeca y Relacó Fucoal de dos Varables. DEF Dremos que dos varables so depedetes cuado o exste relacó etre ambas. Iversamete, cuado la relacó etre dos varables es perfecta, dremos que está relacoadas fucoalmete, lo cual mplca que su relacó puede expresarse como yf(x). DEF Dremos que Y depede fucoalmete de cuado podamos establecer ua aplcacó que os trasforme los elemetos de e elemetos de Y. Desde el puto de vsta de la Estadístca, lo que realmete os teresa es que podemos determar los elemetos de Y coocdos los de, o vceversa. Pero esa crcustaca o será muy habtual. Exste característcas como la estatura y el peso, cosumo y reta, etc. e los que au exstedo terrelacó, es mposble defr ua aplcacó e el setdo estrctamete matemátco. Es decr, o depede fucoalmete ua de otra. Estadístcamete hablado, es claro que el peso depede e certa forma de la estatura, el cosumo depede de la reta, etc. Este tpo de relacó o expresable a través de ua determada aplcacó es la coocda como Depedeca Estadístca. Y /5

3 este tpo de depedeca s admte grados, ya que puede haber depedecas más o meos fuertes. Estos tpos de depedeca se puede expresar gráfcamete medate u segmeto de la recta real, dode e u extremo stuamos la depedeca fucoal y e el otro la depedeca. Los putos termedos del segmeto se correspode co los dferetes grados de depedeca estadístca. 1.. Tablas de Correlacó y de Cotgeca. Dada ua poblacó, e la que estudamos smultáeamete dos caracteres e Y, podemos represetar la dstrbucó medate teras de la forma (x, y, ), dode x e y so dos valores cualesquera y es la frecueca absoluta couta del valor -ésmo de y -ésmo de Y. Los resultados se puede represetar e ua tabla de doble etrada coocda como Tabla de Correlacó. \ Y y 1 y y. x x 1 x m m1 m m m. 1 la dstrbucó bdmesoal es de atrbutos, la tabla de doble etrada recbe el ombre de Tabla de Cotgeca Dstrbucoes Margales. A partr de ua dstrbucó bdmesoal podemos realzar el estudo de cada ua de las varables de forma aslada. Tedríamos así dos dstrbucoes udmesoales las cuales sería las correspodetes a e Y respectvamete. Para poder obteerlas, ecestamos determar las frecuecas margales. La dstrbucó margal de se halla obteedo cuatas veces se repte el valor x, depedetemete de que aparezca coutamete o o co algú valor de Y. Así, teemos que la dstrbucó margal de sería: x 1 x x m m m 1 3/5

4 Aálogamete obtedríamos la dstrbucó margal de Y Dstrbucoes Codcoadas. e puede formar otro tpo de dstrbucoes udmesoales e las que prevamete haría falta defr ua codcó. E geeral, las dstrbucoes de codcoadas a que Y tome u determado valor (por eemplo y ) so: x /y x 1 x x m / 1 m De forma aáloga costruríamos las dstrbucoes de Y codcoadas a que tome u determado valor. La frecueca relatva de la dstrbucó codcoada a algú valor de y es: f / Aálogamete, la frecueca relatva de la dstrbucó codcoada a algú valor de x es: f 1.5. Idepedeca Estadístca. / DEF Dremos que dos varables e Y so depedetes estadístcamete cuado la frecueca relatva couta es gual al producto de las frecuecas relatvas margales. Es decr:, E este caso, las frecuecas relatvas codcoadas será: f / f / Como vemos, las frecuecas relatvas codcoadas so guales a sus correspodetes frecuecas relatvas margales, lo que os dca que el codcoameto o exste. Las varables so depedetes, puesto que e las 4/5

5 dstrbucoes margales se estuda el comportameto de ua varable co depedeca de los valores que pueda tomar la otra.. REPREETACIOE GRÁFICA. La represetacó gráfca más utlzada cosste e represetar cada parea de valores medate u puto e u sstema de ees coordeados. Por tato, la dstrbucó vedrá dada por u couto de putos que recbe el ombre de ube de Putos o Dagrama de Dspersó. Cuado ua parea de valores está repetda, uto a la represetacó del puto correspodete se dca el valor de su frecueca. La represetacó gráfca de la ube de putos puede hacerse tato co datos agrupados (las marcas de clase so las que se represeta) como co datos s agrupar. E el dagrama de tres dmesoes y utlzado los límtes de tervalos (o las marcas de clase), el escalograma más adecuado es el costtudo por paralelepípedos cuyo volume sea la correspodete frecueca, y los lados de la base cada ua de las ampltudes de los respectvos tervalos de las varables, y dode es el volume del paralelepípedo y h la altura del msmo. ( L L 1 ) ( L L 1 ) h 3. MOMETO DE DITRIBUCIOE BIDIMEIOALE. Al gual que se defe los mometos e las dstrbucoes udmesoales, podemos hacerlo e las bdmesoales. Por tato, podemos dstgur etre mometos respecto al orge y mometos respecto a la meda Mometos Respecto al Orge. DEF Defmos el mometo de orde r,s respecto al orge para la dstrbucó (x,y, ) como m α x r y s Podemos calcular los mometos de prmer orde: rs m m m 10 m α x 1 y 0 x x x 1 x m m m α 01 x y y y y y També resulta secllo calcular los mometos de segudo orde: 5/5

6 m m m m x x x α x y 0 0 m m m y y y α x 0 y 0 1 m α 01 x y Mometos Respecto a las Medas. DEF Defmos el mometo de orde r,s respecto a las medas para la dstrbucó (x,y, ) como: rs (x x) r (y ) s m 1 Los mometos de prmer orde so y 1 x x)1 (y y) 0 (x x) x x) m m m m ( 10 ( ( ) 0 ( ) 1 ( ( ) ( ) ) y y y y y y m m m 01 x x y y Los Mometos de segudo orde so: m (x x) 0 0 ( ) ( ) 0 m ( ) m (x x) m (x x) 0 x x y y x x ( ) 0 ( ) ( ) ( ) m m m (y 0 x x y y y y y y ( ) 1 ( ) 1 m 11 x x y y 1 1 y) Y DEF Llamamos Covaraza al mometo µ 11, que també se represeta por Cálculo de los Mometos Cetrales e Fucó de los Mometos respecto al Orge. Al gual que sucede e las dstrbucoes udmesoales, los mometos cetrales de ua dstrbucó bdmesoal puede expresarse e fucó de los mometos respecto del orge. 6/5

7 Veamos: m (x x) m x ( x x + ) x m α 0 xα 10 + x α α +α α 0 α α Por tato teemos que α m x x x m + x 1 1 De forma aáloga comprobaríamos que α α Y Además, de la covaraza podemos decr: ( ) 1 ( y (x xy y + yx x ) m 11 1 x 1 1 x y y m 1 1 m m m m x y x y y x + xy α 11 xα 01 yα 10 + xy α 11 α 10 α 01 α 01 α 10 + α 10 α 01 α 11 α 10 α 01 os queda que la covaraza es 11 α 11 α 10α Método Reducdo para el Cálculo de Varaza y Covaraza. E aquellos casos e los que os pueda parecer coveete, podemos realzar determados cambos de varable para así smplfcar los cálculos. Los cambos de varable sempre será los msmos: x ' x O 1 c 1 y ' O y c sedo O 1 y O orígees de trabao arbtraros que se procura sea putos cetrales de la dstrbucó. Así, sabemos que: x c 1 x'+o 1 y c y'+o c ( ' ) 1 c ( ' ) Y Y c c ' 1 7/5

8 3.5. Valor de la Covaraza e caso de Idepedeca Estadístca. egú hemos vsto, la covaraza se podía expresar como 11 α 11 α 10α 01 La codcó de depedeca estadístca era, Calculemos, segú esta codcó, el valor de α 11 m α 11 x y x y x y α 10 α m m Luego, cuado las varables so depedetes, la covaraza es ula. E cambo el recíproco o tee por qué ser certo. 4. AJUTE. ea (x,y, ) ua dstrbucó bdmesoal e la que supoemos que exste relacó etre las varables aleatoras e Y. represetamos e u sstema de ees coordeados los pares de valores de ambas varables, el problema del auste cosste e obteer la ecuacó de ua curva que pase cerca de los putos y se adapte lo meor posble a los msmos, cumpledo uas determadas codcoes. Cuado pretedemos realzar u auste os ecotramos co dos problemas: 1) Elegr el meor tpo de curva que se adapte a los datos dspobles, es decr, aquella que meor represete la relacó exstete etre e Y. Es mportate, sólo a modo de oretacó, ver la represetacó gráfca de los putos. ) Fado el tpo de curva a través de su ecuacó e forma explícta co u certo úmero de parámetro, determar éstos medate las codcoes que se mpoga segú el procedmeto de auste plateado Métodos de los Mímos Cuadrados. Dados los putos (x 1,y 1 ), (x,y ),..., (x m,y m ), podemos elegr ua fucó de auste defda por: y f(x,a 1,a,...,a ) e la que tervee parámetros (a 1,a,...,a ) co <m. Para cada valor x de la varable, teemos dos valores para Y: 1) El valor, y, observado e la propa dstrbucó. * ) El valor, que deotaremos por y, que se obtee de susttur x por x e la fucó f. 8/5

9 Para cada térmo x, exste ua dfereca etre el valor observado e la dstrbucó y el obtedo e forma teórca, que llamaremos Resduo. e y y * El método de mímos cuadrados cosste e determar los parámetros a 1,a,...,a de tal forma que los resduos sea mímos. tomamos la suma de todos los resduos * (y y ) os ecotramos co dos problemas a la hora de mmzar la expresó. El prmero es que teemos resduos de dferete sgo, los cuales se compesará e la suma, pudedo dar ua suma muy pequeña para resduos muy grades. El segudo problema es que la determacó de los parámetros o es úca, ya que obtedríamos dferetes coutos de parámetros que arroaría la msma suma míma de los resduos. Para solucoar estos problemas sguedo co el método de mímos cuadrados, lo que vamos a hacer es tratar de mmzar la expresó: * (y y ) Como los valores teórcos so los obtedos a partr de la curva austada, teemos que la expresó a mmzar se queda como: (y f ( x, a 1, a,, a )) para lo cual, la codcó ecesara es que las prmeras dervadas parcales respecto a cada uo de los parámetros se aule. El sstema que se obtee recbe el ombre de stema de Ecuacoes ormales. 9/5

10 ' [y f ( x ; a 1, a,, a )] ( f a ) 0 1 a 1 [y f (x ; a, a,, a )] ( f ' ) 0 1 a a [y f (x ; a, a,, a )] ( f ' ) 0 1 a a Resolvedo este sstema determamos los valores de los parámetros, así como la propa fucó f. A cotuacó vamos a utlzar el método descrto para austar alguas fucoes que corretemete se suele presetar Auste de ua Recta. Dada ua ube de putos, vamos a tratar de austarla medate ua recta de ecuacó y * a + bx Para determar los coefcetes a y b buscaremos el mímo de la fucó: (y y ) (y (a + bx )) (y a bx ) * para lo cual, obtedremos las dervadas parcales de la fucó co respecto a los parámetros. Al gualar a cero ambas expresoes, resolvemos el sstema de dos ecuacoes que aparece. (y a (y a bx )( 1) 0 a bx )( x ) 0 b Dvdedo ambos membros por, os queda: (y a bx ) 0 (y a bx )(x ) 0 Operado y cambado térmos de u membro a otro: 10/5

11 y a + b x y x a x + b x Podemos resumr la expresó ateror e: y a + b x y x a x + b x Ahora ya estamos e codcoes de resolver el sstema, llamado stema de Ecuacoes ormales. b a y bx Auste de ua Parábola. E este caso, la curva seleccoada para austarse a la ube de putos es * y a + bx + cx y para hallar los parámetros a, b y c debemos mmzar la fucó (y a bx cx ) Las prmeras dervadas parcales de la fucó co respecto a cada uo de los parámetros os determa el sstema sguete: (y a (y b a bx cx )( 1) 0 a bx cx )( x ) 0 (y a bx cx )( x ) 0 c Realzado las msmas operacoes que e el caso ateror para la recta, el sstema se trasforma e y a + b x + c x x y a x + b x + c x x y a x + b x + c x 11/5

12 de cuya resolucó se obtee los valores umércos de los parámetros de la meor parábola de segudo grado e el setdo mímo cuadrátco para la ube de putos dada Auste Hperbólco. o fucoes de la forma: yx b y b 1 x sedo b ua costate cualquera. També se puede cosderar la fucó ateror pero desplazada ua certa catdad a: y a + b 1 x El auste por mímos cuadrados lo podemos reducr al caso de la recta, ya vsto aterormete, s más que efectuar la trasformacó z 1 x co lo que la fucó se coverte e y a+bz Auste Potecal. La forma geeral de la fucó potecal es y a x b que de forma aáloga al ateror, lo podemos reducr al caso de ua recta smplemete tomado logartmos e ambos membros. log y log a + b log x y' a'+bx' Auste Expoecal. La ecuacó geeral es y a b x y reptedo el caso ateror, al tomar logartmos se os reduce al caso de ua fucó leal. log y log a + x log b 1/5

13 4.. Método de los Mometos. El Método de los Mometos se basa e el hecho coocdo de que dos dstrbucoes so tato más parecdas cuato mayor catdad de mometos guales tega. Dada la dstrbucó bdmesoal (x,y ) dada por u úmero de putos, recordemos que uestro obetvo era ecotrar ua certa fucó y*f(x,a 0,...,a ) que se auste lo más posble a la ube de putos obteda. Para hallar la fucó, bastará basaros e la propedad que hemos eucado, para lo cual, sólo tedremos que gualar los +1 prmeros mometos obtedos de la dstrbucó observada co sus correspodetes de la dstrbucó teórca. Teedo e cueta que los mometos respecto al orge de la dstrbucó observada vee dados por la expresó: 1 r s α rs x y 1 que para el valor s1 se coverte e: α r1 1 x r y 1 r:0,1,,... De forma aáloga, los mometos correspodetes a la dstrbucó teórca obtedos a partr de la fucó sería: α r1 1 x r y * 1 r:0,1,,... dode, recordemos, y *f(x,a 0,...,a ) Igualado los +1 prmeros mometos, obteemos el sstema de ecuacoes: y 1 1 x y * x y 1 x y 1 * y 1 y x * 1 Teemos así u sstema de +1 ecuacoes que os permte calcular el valor de los +1 parámetros que determa la fucó y *f(x,a 0,...,a ) esta fucó fuera u polomo de grado k, el sstema que se obtee es el stema de Ecuacoes ormales obtedo por el método de Mímos Cuadrados cuado la fucó a austar es u polomo de grado k. 13/5

14 5. REGREIÓ. La Regresó tee por obeto la determacó de ua certa estructura de depedeca que meor exprese el tpo de relacó de la varable Y co las demás. Es decr, trata de poer de mafesto, a partr de la formacó dspoble, la estructura de depedeca que meor explque el comportameto de la varable Y (varable depedete) a través de todo el couto de varables 1,,..., k (varables depedetes) co las que se supoe que está relacoada. E este tema sólo vamos a tratar el caso de dspoer de ua varable depedete, ya que estamos estudado dstrbucoes bdmesoales. ea pues, e Y dos varables cuya dstrbucó couta de frecuecas es (x,y, ) DEF Llamaremos Regresó de Y sobre a la fucó que explca la varable Y para cada valor de. DEF Llamaremos Regresó de sobre Y a la fucó que explca la varable para cada valor de Y Regresó Leal. La regresó será leal cuado la curva de regresó, obteda o seleccoada, sea ua recta. Desarrollaremos este caso partcular por ser el más empleado Recta de Regresó de Y sobre. Hacedo uso de la técca de mímos cuadrados para el auste de ua recta, debíamos hacer míma la fucó: (y a bx ) llegado al sstema de ecuacoes ormales y a + b x y x a x + b x Dvdedo ambas ecuacoes por, expresamos el sstema e fucó de los mometos respecto al orge: α 01 a + b α 10 α 11 a α 10 + b α 0 14/5

15 Para resolver el sstema, multplcamos la prmera ecuacó por α 10 y sumamos ambas, quedado: α α α b α 0 α 10 0 Despeado a e la prmera ecuacó y susttuyedo el valor de b obtedo a α 01 α 10 y x Por tato, la recta de regresó de Y sobre, e fucó de los mometos quedará: y y x + x Y reordeado los térmos obteemos: y y (x x) Recta de Regresó de sobre Y. Partedo de la fucó (x a by ) y realzado u desarrollo aálogo al del apartado ateror, llegamos a que la recta de regresó de sobre Y será: x x ( y y) DEF Llamaremos Cetro de Gravedad de la dstrbucó couto de e Y al puto (x, y), lugar dode se corta ambas rectas de regresó. Y 5.. Coefcetes de Regresó. Los coefcetes de regresó leal so las pedetes de las rectas de regresó. Así, el coefcete de regresó de Y sobre será pero b 15/5

16 y b tg α x luego el coefcete de regresó de Y sobre os mde la tasa de cremeto de Y para varacoes de. Es decr, b dca la varacó de la varable Y para u cremeto utaro de la varable. De forma aáloga, el coefcete de regresó de sobre Y será y como b Y b' tg α' y x b os dcará la varacó de correspodete a u cremeto utaro de Y. Tato el sgo de b como de b será el sgo de la covaraza. Ua covaraza postva os dará dos coefcetes de regresó postvos y sus correspodetes rectas de regresó crecetes. la covaraza es egatva, las dos rectas de regresó será decrecetes al serlo sus pedetes. E caso de que la covaraza sea cero, las pedetes será ulas y por tato las rectas será paralelas a los ees coordeados y perpedculares etre sí. 6. CORRELACIÓ. DEF Llamamos Correlacó al grado de depedeca mutua etre las varables de ua dstrbucó. El problema que se os platea es como medr la tesdad co que dos varables de ua dstrbucó bdmesoal está relacoadas. Recordemos que a través de la curva de regresó expresábamos la estructura de la relacó exstete etre las varables, y que para cada valor de x obteíamos ua dfereca, llamada resduo, etre el valor de Y e la ube de putos y el correspodete valor teórco obtedo e la fucó. todos los putos de la ube estuvera e la fucó, obtedríamos depedeca fucoal, sedo el grado de depedeca etre las varables el máxmo posble. Cuato más se alee los putos de la fucó (mayor sea los resduos) meor será la relacó etre ambas. Es por ello que para estudar la depedeca etre las varables vamos a hacer uso de los resduos. DEF Llamaremos Varaza Resdual a la meda de todos los resduos elevados al cuadrado. (y y ) * (y y * ) ry 16/5

17 la varaza resdual es grade, etoces los resduos, por térmo medo, será grades, lo que sgfca que los putos estará muy separados de la fucó, sedo pequeña la depedeca etre las varables. Razoado gual, s la varaza es pequeña, la relacó será grade. Para que la relacó etre la depedeca de las varables y la medda utlzada sea drecta (e lugar de versa como ocurre co la varaza resdual), defmos el sguete coefcete. DEF Llamamos Coefcete de Correlacó Geeral de Pearso a R 1 ry DEF Llamamos Coefcete de determacó al cuadrado del coefcete de correlacó, R. Y 6.1. Campo de Varacó de R y su Iterpretacó. Despeado la varaza resdual del coefcete de correlacó R, teemos ry (1 R ) Y Dado que la varaza margal de Y y la varaza resdual so sumas de sumados o egatvos, ambas será o egatvas, de lo cual deducmos que y de aquí obteemos 1 R 0 1 R 1 Por tato, el rago de valores de R es el tervalo cerrado [-1,1] Aalcemos ahora, e fucó de los valores de este coefcete, que depedeca exste etre las varables. 1) R1 0. ry Todos los valores teórcos cocde co los obtedos de la observacó y, por tato, la depedeca es fucoal. Dremos que exste Correlacó Postva Perfecta, dcado co Perfecta que ambas varables varía e el msmo setdo. ) R 1 0. ry E este caso, la depedeca també es fucoal pero ambas varables varía e setdos opuestos. Decmos que exste Correlacó egatva Perfecta. 17/5

18 3) R0 ry Y o exste gua relacó etre la varable Y y la varable, lo cual sgfca que o está asocadas. Dremos etoces que la Correlacó e ula. 4) 1<R<0. La Correlacó es egatva, sedo más fuerte coforme más cerca esté de 1. 5) 0<R<1. La Correlacó es Postva, y cuato más próxma esté a uo, más depedeca exstrá etre las varables. 6.. Coefcete de Correlacó Leal. abemos que la varaza resdual es (y y * ) ry y que los valores teórcos de la dstrbucó so y * y + ( x x) usttuyedo esta expresó e la varaza resdual teemos: * y y + ( x x) ry (y y ) (y y) ( x x) (y y) + (y y) (x x) Y + ( Y ) (x x) DEF Llamamos Coefcete de Correlacó Leal, al coefcete de correlacó geeral aplcado al caso de ua fucó leal. e deota por r y es Y Y 1 ry r 1 Y Y Y 18/5

19 Y el Coefcete de Determacó Leal es r Y Ya hemos vsto e el apartado ateror que R també os srve para r. 1 r 1 y la terpretacó dada para 6.3. Iterpretacó Aalítca de r. Teedo e cueta las rectas de regresó de Y sobre y de sobre Y y el coefcete de correlacó leal, podemos expresar las rectas de la sguete forma: y y r Y x x r Y (x x) ( y y) Cosderemos ahora los sguetes casos: 1) r1. La varaza resdual es cero y los valores teórcos cocde co los observados. Por tato, todos los putos de la ube está e la recta. La correlacó leal es perfecta postva y las rectas de regresó cocde, ya que al susttur r por 1 e la expresó ateror, obteemos la msma recta. E este caso, la depedeca fucoal exstete vee refleada por ua recta crecete, al ser la pedete postva. ) r 1. La correlacó es perfecta egatva. E este caso las rectas també cocde, pero la recta es decrecete al ser la pedete egatva. 3) r0 La correlacó es ula y las dos rectas so y y 0 x x 0 las cuales so dos rectas paralelas a cada uo de los ees y por tato, perpedculares etre sí. 19/5

20 4) 1<r<0. La correlacó es egatva y las rectas de regresó, las cuales ahora so dferetes, será las dos decrecetes ya que el sgo de las pedetes es el msmo que el de la covaraza, que es la que da el sgo a r. 5) 0<r<1 La correlacó es postva, sedo las dos rectas de regresó crecetes Iterpretacó Geométrca de r. Partedo de las rectas represetamos teemos de regresó de Y sobre y de sobre Y, s las abemos que b b' Y multplcado membro a membro obteemos b b' r Y Y Es decr r b b' el coefcete de correlacó leal es la meda geométrca de los coefcetes de regresó leales. 0/5

21 Por otra parte teemos que b tgα b' tgα' c tg ν α' 1 tg ν α' Por lo cual, el coefcete de correlacó leal se puede expresar como r b b' tg α ν tg α' 1) r±1 Teemos que ambas tagetes so guales lo cual mplca que α ν α', lo que geométrcamete sgfca que las dos rectas cocde, como se puede ver e la gráfca ateror. ) r0 Etoces teemos que se debe verfcar ua de las dos expresoes sguetes: tgα 0 α 0 ν tg α' α' 0 luego las dos rectas so dos paralelas a cada uo de los ees. Como coclusó, podemos decr que r es u coefcete tal que cuado es gual a +1 o 1, el águlo etre rectas es de cero grados, ya que cocde. Cuado r es cero, el águlo formado es de 90º. De aquí deducmos que cuado más se acerque r al valor +1 o 1 mas pequeño será el águlo etre rectas. Por tato, r també mde la apertura exstete etre las rectas de regresó. 7. VARIAZA DEBIDA A LA REGREIÓ Y COEFICIETE DE DETERMIACIÓ LIEAL. El teto de explcar ua varable e fucó de la otra vee motvado por el supuesto, el cual hemos de comprobar, de que la formacó que sumstra ua varable sobre la que se regresa va a meorar el coocmeto del comportameto de la otra varable. Es decr, se supoe que e el caso de la regresó de Y sobre, Y se explca meor a través de que co la dstrbucó margal de Y. Para ver e que medda la meora de la descrpcó de ua varable a través de la otra tee lugar, vamos a defr prmero el cocepto de Varaza Debda a la Regresó. Para ello, hemos de cosderar las tres varables que se obtee e la regresó. 1/5

22 y, que represeta los valores observados de la varable Y. y * que represeta los valores teórcos asgados a x e la regresó de Y sobre. e que so los resduos o errores que se geera e la regresó mímocuadrátca. Los valores medos de estas tres varables so 1) La meda de la sere observada de Y y y ) La meda de los valores teórcos. y* y * y 3) La meda de los resduos e la regresó leal de Y sobre e e 0 Teedo e cueta estos resultados, podemos defr las sguetes varazas: DEF Llamamos Varaza Total de los valores observados a Y (y y) DEF Llamamos Varaza de los Errores o Resduos a e (e e) teemos e cueta que la meda de los resduos tee valor ulo, al desarrollar la expresó ateror llegamos a que que es la llamada varaza resdual. e ry DEF Llamamos Varaza Debda a la Regresó, a la varaza de los valores teórcos. (y * y *) (y * y) R /5

23 E la regresó leal, podemos ecotrar ua relacó etre las tres varazas aterores, la cual pasamos a obteer. Para ello tedremos e cueta que la regresó es leal. * ( x x) y R (y y) y + (x ( ) x) ( ) r Y Por otra parte, la varaza resdual será Luego teemos que (1 r ) r ry Y Y Y ry Y R + Y R ry Dvdedo ambas ecuacoes membro a membro R ry 1 + Y El prmer sumado del segudo membro os dca la parte de la varacó de Y que es explcada por la recta de regresó. El segudo sumado dca la parte o explcada por la recta, la que escapa de ésta o varacó resdual. De la expresó ateror teemos R 1 ry r Y El coefcete de determacó leal r os medrá el grado de acerto de la utlzacó de la regresó. O lo que es lo msmo, r os dará el porcetae de varabldad de Y que queda explcada por la regresó. La troduccó de r, coefcete de correlacó leal, se ustfca co el f de añadr a r el carácter de la asocacó (postva o egatva). Teedo e cueta la expresó ateror, s r 1, es decr, s la correlacó es perfecta: r R 1 R Y Y Y Y 3/5

24 lo que mplca que la varaza resdual ry es ula, luego se ha meorado al máxmo la descrpcó de Y medate la utlzacó de la formacó sumstrada por. Toda la varabldad margal de Y está coteda e la regresó. r0, caso de correlacó ula r R 0 Y 0 R ry Y es decr, e este caso o os srve para amplar la descrpcó del comportameto de la varable Y. 8. APLICACIOE DE LA REGREIÓ Y LA CORRELACIÓ Uso y Abuso de la Regresó. La aplcacó de los métodos expuestos de regresó y correlacó exge u aálss teórco prevo de las posbles relacoes etre las varables. Puede ocurrr que se seleccoe dos varables cualesquera al azar y que dé la casualdad de que, estadístcamete, la correlacó sea perfecta cuado o exste relacó posble etre ellas. Por eemplo, el hecho de que, casualmete, la correlacó leal etre la tasa de ataldad e ueva Zelada y la produccó de cereales e España a lo largo de u determado perodo fuera perfecta o os debería llevar a supoer que exste algú tpo de relacó leal etre estas varables. e debe seleccoar varables etre las que la fudametacó teórca avale algú tpo de relacó, evtado, e lo posble, relacoes a través de otra varable prcpal.. Por eemplo, el cosumo de bebdas puede varar e la msma dreccó que el cosumo de gasola, pero o porque ua varable depeda drectamete de la otra, so porque ambas va e el msmo setdo que las varacoes de la reta, que será la prcpal varable explcatva. 8.. Predccó. El obetvo últmo de la regresó es la predccó o proóstco sobre el comportameto de ua varable para u valor determado de la otra. Así, dada la recta de regresó de Y sobre, para u valor x 0 de la varable, obteemos y 0 Es claro que la fabldad de esta predccó será tato mayor, e prcpo, cuato meor sea la correlacó etre las varables. Por tato, ua medda aproxmada de la bodad de la predccó podría ver dada por r. 4/5

25 BIBLIOGRAFÍA RECOMEDADA. Itroduccó a la Teoría de la Estadístca. Aut.: Mood/Graybll. Ed. Agular. Itroduccó a la Probabldad y la Medda. Aut. Procopo Zoroa. Ed. PPU Algortmo. Matemátcas II. Cou. Aut.: Vzmaos y Azola. Edt. M. 5/5

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