Acá surge una duda cuántos valores de cada variable debemos medir? La respuesta no es obvia. Supongamos que decidimos tomar 3 medidas

Transcripción

1 CARACTERIZACION DE UN SISTEMA FISICO. Obteció de la relació fucioal etre dos variables Para poder eteder los feómeo o procesos que tiee lugar e u dado sistema ecesitamos ecotrar las variables que le produce modificacioes (etradas, e) e idetificar cómo respode dicho sistema (salidas, s) frete a cambios de las variables. Esto sigifica ecotrar la fució matemática que relacioa las etradas y co la salida, es decir ecotrar la relació fucioal: s = f(e). A tal fi deberemos aalizar el sistema y esayar su comportamieto, discutir y acordar e el grupo de trabajo qué magitudes se pretede medir, para luego proceder a la medició. El proceso de medició supoe: a) U sistema objeto de la medida b) U istrumeto de medida c) U sistema de comparació co la uidad o patró, que tiee su espacio de estados propio. Para defiir el proceso es ecesario especificar cómo debe realizarse la iteracció etre a, b y c. Esto implica e primer lugar la selecció del istrumeto más adecuado, luego el eteder cómo debe emplearse y sus limitacioes. Parte del proceso implica revisar si el istrumeto reproduce el valor esperado del patró 2 de la magitud a medir, este último proceso que correspode a la iteracció etre b y c se deomia calibració. El proceso defie ua magitud física y da como resultado u valor, el valor obteido es el úmero de veces que la uidad o patró está coteida e el sistema objeto de medida. El resultado será u úmero (e realidad es u itervalo ) co uidades. Supogamos ahora que estamos estudiado u sistema particular para el cuál la magitud m costituye la variable de etrada, e, y la m 2 la respuesta del sistema, s. Ua vez idetificado el sistema a estudiar y cuáles so las magitudes que se desea medir deberemos los istrumetos más adecuados para determiar los valores de m y m 2 y realizamos las medidas. Acá surge ua duda cuátos valores de cada variable debemos medir? La respuesta o es obvia. Supogamos que decidimos tomar medidas E la primera istacia registramos los datos e la Tabla.. Etrada Salida Tabla.. Valores obteidos de las magitudes m y m 2. úmero de medida m (uidades) m 2 (uidades) Roederer, Jua G. (986). Mecáica Elemetal. 8a. edició. EUDEBA. Bueos Aires. 2 Por patró etedemos ua uidad de medida que por coveció de acepta como referecia. Ver aputes de la cátedra de Física I. G. Pute. Medicioes: su iterpretació y presetació. Fotocopia e el CEILP o archivo e la págia de la cátedra Medició_06.doc.

2 Recordemos que uestro objetivo es ecotrar la fució que relacioa m co m 2, a tal fi parece más coveiete realizar ua represetació gráfica e la que m esté e abscisas y m 2 e ordeadas como se muestra e la Figura.. La Figura. parecería mostrar que los datos está sobre ua líea recta. Podemos pregutaros: si uiéramos los putos co ua recta y realizáramos uevas medidas de m, digamos co 0 < m < 50 Los valores que se obtega de m 2 será tales que caiga sobre dicha recta?. Figura IX.. Represetació gráfica de m 2 e fució de m Esta preguta equivaldría a pregutaros: So los tres datos obteidos suficietes para obteer ua fució m 2 = f(m ) cofiable e el itervalo [0,00]?. Es decir que prediga adecuadamete para el rago de valores de m compredido etre los valores extremos medidos (0 < m < 00) el valor esperable de m 2. Veamos qué obteemos al realizar las medidas itermedias que se muestra e la Tabla.2: Etrada Salida úmero de medida m (uidades) M 2 (uidades) Tabla.2. Valores itermedios obteidos para las magitudes m y m

3 Si graficamos los datos de la tabla precedete obteemos la Figura.2. Si uimos los putos de la Figura.2 co segmetos obtedremos la Figura.. Figura.2 Represetació gráfica del uevo cojuto m 2 e fució de m Ua mirada a esta última figura os muestra que si bie las magitudes m y m 2 parecería guardar ua relació lieal, o parece ta claro a partir de la figura cuál es la recta que represeta mejor dicha relació Figura.. Represetació gráfica de los datos coteidos e la Tabla.2. Se supoe ua relació lieal etre putos sucesivos

4 Podemos pregutaros etoces: a) Cuál es la fució que mejor represeta la relació etre ambas magitudes? b) Cómo la obteemos? c) Cómo la iformamos? 2. OBTENCIÓN DE LA MEJOR RELACION LINEAL ENTRE DOS MAGNITUDES 2.. Aproximació gráfica. Como primer paso e esta direcció podríamos trazar ua recta que iterpole uestros putos experimetales, iterpolar quiere decir que pase por el mayor úmero de putos posibles y deje la misma catidad de putos por ecima y por debajo como se muestra e la Figura 2... La recta podremos expresarla como: m 2 = A m + B (2.) dode A es la pediete y B la ordeada al orige Figura 2... Represetació gráfica de los datos de la Tabla.. E rojo: recta que represeta la relació fucioal. Algú alumo ateto ya se habrá pregutado: dóde tuvimos e cueta las icertidumbres 4 e las medidas de m y m 2?...y tedría razó e hacer la preguta, pues: o las tuvimos e cueta. Las tablas presetadas ateriormete o está completas, falta agregarle a cada medida cuál es la icertidumbre correspodiete. Por lo tato la presetació aterior de los datos, tato e forma de tabla como gráfica es icompleta o mejor aú icorrecta. Costruyamos, etoces, ahora adecuadamete, la Tabla.2 y la Figura.4. Tabla 2... Valores obteidos de las magitudes m y m 2,. icertidumbre e parétesis Etrada salida Número de medidam (uidades) m 2 (uidades) 0(0.2) 0(0.) 2 0(0.2) 9.7(0.) 20(0.2) 20.5(0.) 4 0(0.2) 29.7(0.) 5 40(0.2) 40(0.) 6 50(0.2) 49(0.) 7 60(0.2) 6.5(0.) 8 70(0.2) 74(0.) 9 80(0.2) 80(0.) 0 90(0.2) 88(0.) 00(0.2) 00(0.) 4 Icertidumbre de ua medida es el itervalo e el que teemos cofiaza de obteer el valor de ua ueva medida de la misma magitud si la medició se realiza e las mismas codicioes.

5 E la Figura.5 a la represetació de cada valor medido le correspoderá etoces u rectágulo que idica la icertidumbre de la medida de cada ua de las variables represetadas Figura Represetació gráfica de los datos de la Tabla Cómo costruimos a la recta que pueda represetar a la relació fucioal etre la etrada, m, y la salida, m 2? Debería ser ua recta que pase por todos los rectágulos. La relació fucioal estaría dada por: m 2 = A m + B (2.2) dode A y B o puede ser úmeros exactos sio itervalos de la forma A± ΔA, B± ΔB, dado que la recta debe costruirse a partir de datos experimetales que está afectados de icertidumbre. Los coeficietes de la recta expresada e la ecuació.2 o será por lo tato úmeros sio itervalos cómo los obteemos? Cómo expresaremos a la mejor fució que represete al cojuto de datos presetado e la Tabla 2..? Podríamos hacer uevamete ua iterpolació o podemos hacer ua Aproximació gráfica más elaborada. Podemos buscar las rectas de mayor y meor pediete que pase por el mayor úmero posible de rectágulos. A partir de éstas podremos obteer la recta promedio, como semisuma de las otros dos. Al itervalo e el que estará compredidas la pediete y la ordeada al orige de dicha recta promedio lo obtedremos a partir de la semidiferecia de las rectas de máxima y míima pediete, como se muestra a cotiuació. P 2 P 4 Figura 2... Represetació de los datos de la Tabla 2... Se muestra las rectas de máxima pediete ( ), de míima pediete ( ) y la promedio ( ). P P

6 A la líea recta de máxima pediete de la Figura 2.. podemos represetarla por la fució: m 2 = A m + B (2.) y a la de míima pediete por la fució: m 2 = A 2 m + B 2 (2.4) Si hacemos la semisuma de las expresioes (2.) y (2.4) obtedremos los coeficietes, A y B, de la recta promedio. Mietras que la semidiferecia de (2.) y (2.4) os dará el itervalo de icertidumbre, ΔA y ΔB. Por lo tato el mejor cojuto de rectas que os iforma el itervalo e el que podremos esperar que caiga ua ueva medida, estará dado por la expresió: E la que m 2 = (A ± ΔA )m + (B ± ΔB) (2.5) A = (A + A 2 ) / 2 B = (B + B 2 ) / 2 (2.6) ΔA = (A - A 2 ) / 2 ΔB = (B - B 2 ) / 2 (2.7) Ejercicio: Grafique las cuatro rectas que surge de tomar todas las combiacioes posibles de sigos e la expresió 2.5 y aalice la fraja de valores posibles para la relació etre m y m 2. Revisemos los resultados, si pesáramos que las rectas de máxima y míima pediete delimita la fraja de valores posibles para pedietes y ordeadas al orige, eso implicaría que al puto e el que se produce la itersecció de las rectas de máxima y míima pediete le correspodería ua icertidumbre 0, hecho icompatible co la teoría de la medida. Volviedo a la figura.6, podemos apreciar que la fraja más adecuada para represetar la relació fucioal co su icertidumbre correspode a todas las rectas compredidas etre la recta defiida por los putos P y P 2 y la recta defiida por los putos P y P 4. Putos que so fácilmete obteibles. Por ej. el puto P se obtiee reemplazado e la recta de míima pediete el valor de m por el míimo valor de m, de esta maera obtedremos el máximo valor de la variable m 2 correspodiete al míimo valor de m. Siguiedo el mismo razoamieto podemos obteer el puto P 2 reemplazado e la recta de máxima pediete el valor de m por el máximo valor de m de esta maera obtedremos el máximo valor de la variable m 2 correspodiete al máximo valor de m. Los putos P y P4 se obtiee de maera similar para obteer los valores máximo y míimo de m 2 correspodietes al valor míimo y máximo de m. Se obtiee así la coordeadas de los putos P y P 2, [m mí, m 2máx (m mí )] y [m máx, m 2máx (m máx )] que permite determiar la recta que defie el límite superior de la fraja y las coordeadas de los putos P y P 4, [m mí, m 2mí (m mí )] y [m máx, m 2mí (m máx )] que permite determiar la recta que defie el límite iferior de la fraja. Todas las rectas correspodietes a la fraja costituye ua buea represetació de la medida. 2.2 Obteció aalítica de la mejor recta. EL Método de míimos cuadrados. Al costruir u modelo para u feómeo cocreto, debe teerse e cueta dos objetivos importates: la simplicidad y la precisió. A veces, estos dos objetivos etra e coflicto. Asi, por

7 ejemplo, u modelo lieal simple y = a + b x, para ajustar putos e u caso puede resultar satisfactorio, mietras que e otros casos, co u modelo cuadrático y = a + b x + c x 2, se cosigue ua precisió mucho mayor. y (x,y (x i,y d d 2 d (x 2,y 2 y= a +b x x Figura 2.2.: Ejemplo del caso lieal f(x) = a + b x Como medida de la calidad del ajuste que proporcioa y = f(x) como modelo para u cojuto de putos { (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ) } podemos adoptar la suma de los cuadrados de las diferecias etre cada valor de y y el correspodiete valor asigado a y por el modelo, esto es, la suma de los errores cuadráticos: S = [f(x ) y ] 2 + [f(x 2 ) y 2 ] [f(x ) y ] 2 = = i [ f(x i ) y i ] 2 PREGUNTA: por qué, o se propoe simplemete la suma de estas diferecias, e lugar de la suma de los cuadrados? Gráficamete, S se puede iterpretar como la suma de los cuadrados de las distacias verticales etre la gráfica de f y los putos del plao dados e el problema. E u modelo perfecto sería S = 0. Ahora bie, puesto que u modelo perfecto, e geeral, o es posible, os coformamos co buscar u modelo que haga míimo el valor de S. E Estadística se llama regresió o método de míimos cuadrados al modelo f(x) que cosigue el valor más pequeño posible para S. Probar que esta fució f(x) miimiza realmete el valor de S exige miimizar ua fució de varias variables, por ejemplo e el caso lieal f(x) = a + b x, será dos variables S(a, b), e el cuadrático f(x) = a + b x + c x 2, será tres variables S(a, b, c), etc. Caso lieal: la recta de mejor ajuste. Los putos obteidos experimetalmete, a partir de los cuales se supuso la existecia de ua proporció directa etre las magitudes ivolucradas o modelo lieal que las relacioe, por lo geeral o caerá todos sobre ua recta. Por esto es que surge la ecesidad de buscar valores de a y b de forma tal que la recta de ecuació y = a + b x se ajuste lo mas posible a los putos obteidos experimetalmete. Si para u valor x i el correspodiete valor de la medida es y i, al utilizar la ecuació y = a + b x se obtedría para x i el valor a+ b x i, a la diferecia o residuo lo idicamos d i = y i a b x i. El residuo d i represeta (si se lo toma e valor absoluto) la distacia vertical etre el puto (x i, y i ) y la recta de ecuació y = a + b x (ver Figura ). Los valores de a y b se ecuetra aalizado las primeras y segudas derivadas, esta forma de obteer a y b, la podrás estudiar e Matemática A. Si todavía o la cursaste, y los ecesitas para el Laboratorio, puedes usar los valores de a y b, y luego ver como se obtiee al estudiar este

8 problema e Matemática A, ellos so: b = [ ( x i ) ( y i ) x i y i ] / [ ( x i ) 2 x i 2 ] a = [( x i ) ( x i y i ) ( x i 2 )( y i )] / [ ( x i ) 2 x i 2 ] dode e todas las sumas i se extiede de i = hasta i =, co igual al úmero de putos. Muchas calculadoras cietíficas tiee estas fórmulas icorporadas, permitiedo ecotrar a y b igresado los datos y efectuado muy pocas operacioes. La recta y = a + b x obteida de esta forma se deomia recta de cuadrados míimos o recta de regresió de los datos. Ver los apute sobre uso de Excel y plailla tipo y la justificació del método matemático e los apédices Apédice Uso de Excel Apédice 2 Plailla Excel tipo Apédice. Justificació del método Determiació de los valores de a y b (MATEMATICA A) Observamos que S(a, b) es ua fució poliómica de segudo orde e las dos variables a y b a valores o egativos, es decir S(a, b) 0, por tratarse de suma de cuadrados. Queremos ecotrar que valores de a y de b hace que esta suma S(a, b) sea míima. S(a, b) = [a + b x y ] 2 + [a + b x 2 y 2 ] [a + b x y ] 2 = [ a + b x i y i ] 2 = Como S(a, b) es ua fució derivable, ua forma de platear codicioes ecesarias de extremos relativos para fucioes de dos variables, es comezar determiado los putos críticos, ispeccioado los valores dode se aula las derivadas parciales S/ a y S/ b. Agrupado S/ b = 2 (y a b x ) ( x ) (y N a b x ) ( x ) i S/ b = b (x x N 2 ) + a (x x ) x y... x y S/ b = 0 b (x x 2 ) + a (x x ) = x y x y Esto se puede escribir: co s 2 = x i 2 ; s = b s 2 + a s = t () x i ; t = x i y i S/ a = 2 (y a b x ) ( ) (y a b x ) ( ) Agrupado S/ a = b (x x ) + a y... y

9 S/ a = 0 b (x x ) + a = y y Esto se puede describir: b s + a s 0 = t 0 (2) co s 0 = ; t 0 = Teemos etoces u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas (a, b) y i a s + b s 2 = t a s 0 + b s = t 0 Resolviedo se obtiee los putos críticos (m, b), que e este caso es uo solo: a = (s 2 t 0 s t )/ (s 0 s 2 - s 2 )= ( x i2 y i - x i x i y i )/( x i 2 --( x i ) 2 () b = (s 0 t s t 0 ) / (s 0 s 2 - s 2 )= ( x i y i - x i y i ) )/( x i 2 --( x i ) 2 (4) Ahora se puede mostrar que s 0 s 2 - s 2 0, veremos u caso particular ( = ) dado que la geeralizació es imediata, para lo cual se puede observar que si: ) Sumamos, admitiedo que o todas las abscisas coicide: (x x 2 ) 2 + (x x ) 2 + (x 2 x ) 2 = 2 (x 2 + x x 2 ) 2(x x 2 + x x + x 2 x ) > 0 2) ( ( 2 x i 2 > 2 x i x j (5) x i ) 2 = ( x + x 2 + x ) 2 = x 2 + x x 2-2(x x 2 + x x + x 2 x ) x i ) 2 = s 0 s 2 s 2 = s 0 s 2 s 2 = 2 x i x i 2 ( x i 2 2 s 0 s 2 s 2 0 x i x j x i ) 2 = x i 2 x i x j x i 2 2 Se tiee u úico puto crítico (a, b) dado por las ecuacioes () y (4), ahora se debe comprobar si se trata de u extremo relativo. Para ello ispeccioamos las derivadas segudas de S(a, b) y costruimos el determiate D cuyo valor es: D = ( 2 S / a 2 )(a, b) ( 2 S / b 2 )(a, b) [ ( 2 S / a b)(a,b)] 2 ( 2 S / a 2 )(a, b) = x i x j

10 ( 2 S / b 2 )(a, b) = x x 2 = ( 2 S / a b)(a,b) = ( 2 S / b a)(a,b) = x x = D = ( x i 2 ( x i ) 2 = D = D = 2 x i 2 x i ) 2 x i x i 2 2 x i 2 2 x i x j x i x j x i 2 x i x j > 0 por (6) x i D > 0 el úico puto crítico (a, b) defie el míimo relativo: S(a,b) y como S(a, b) es u poliomio o egativo, dicho míimo es absoluto.