1. Modelos Expresados en Variables de Estado 1

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1 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc 1 1. Modelos Exresados en Varables de Estado 1. Modelos Exresados en Varables de Estado Introduccón Defncón Forma General Solucón Formas Canóncas. Un Ejemlo Resumen 16

2 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc Introduccón En la reresentacón como funcón de transferenca no se consderan las varables nternas No es ráctca en sstemas con más de una entrada y una salda 1.2. Defncón Estado: conjunto de varables que descrben a un sstema en todo nstante. No hay una únca reresentacón ara un msmo sstema Las varables de estado no necesaramente tenen nterretacón físca El número de estados concde con el número de olos de la funcón de transferenca (en los sstemas SISO)

3 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc 3 Ejemlo 1.1. anque Agtado F, h F st Q Masa total en el tanque ρv = ρ Ah donde ρ : densdad del líqudo (se suone ndeendente de la temeratura) V : volumen del líqudo A, h: área del recente y altura del líqudo F,

4 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc 4 ( nt) ( ) ( ) E = U + K cn + P ot como el tanque no se mueve dk dt dp de du = =, = = dt dt dt ara líqudos du dh dt dt sendo H la entalía total del líqudo en el tanque y es, ( ) ρ ( ) H = ρvc = Ahc ref ref donde c : caacdad calórca del líqudo en el tanque ref : la temeratura a la cual la entalía esecífca es cero.

5 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc 5 Se defnen las sguentes varables de estado: x = [ h ] arámetros constantes: ρ, A, c, Balance de masa: ( ρ Ah) ref d = ρf ρf F, F : caudales de entrada y salda dt Ah& = F F Balance de energía: Acum. de energía energía de entrada energía de salda energía del vaor = + temo temo temo temo ( ref ) dh d ρ Ahc = = ρfc ( ref ) ρfc ( ref ) + Q dt dt sendo Q la energía calórca or undad de temo del vaor suonendo ref =

6 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc 6 dh Q A = F F + dt ρc dh d dh d Q A = Ah + A = Ah + ( F F) = F F + dt dt dt dt ρc d Q Ah = F( ) + dt ρc Las ecuacones de estado son: Ah& = F F Ah& = F( ) + Q ρc varables de estado: x = [ h ] varables de salda (meddas): y = [ h ] varables de entrada (manuladas): u = [ Q F] erturbacones (no controladas): d = [ F] arámetros constantes: ρ, A, c, ref

7 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc 7 Analzar: - equlbro - una reduccón de - una reduccón de F Lnealzacón en un unto de trabajo. Equlbro Ah& = F F = Ah F Q ρc & = ( ) + = F( ) F = F = F Q = ρc

8 desarrollo en sere entorno al unto de equlbro F F dh& dh& h& = + F F + F F = F F F F = F F A A df df A A A ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F Q F Q & = ( ) + = ( ) + + Ah c Ah Ah ρcah F F ( F F ) ( ) ( ) Ah Ah Ah 1 F Q ρcah A ca h ( ) ( Q Q ) ( ) ( h h ) 2 ρ F F 1 F Q 1 & = F + + Q ( ) + h 2 Ah Ah Ah ρcah A ρca h h& h b12 Q bd12 = a21 a 22 + b21 F + bd21 b d22 F & h 1 h = Modelo en Varables de Estado.doc 8

9 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc Forma General ( ) + ( ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) && y t ay& t by t cu t [1.1] && y t ay& t by t cu t [1.2] 1 2 ( ) = ( ) () = & () x t y t x t y t ( ) () [1.3] ( ) u() t Ax() t Bu() t () () = [ 1 ] () = () x& t 1 x t = + = + y t x t Cx t 1 1 x& 2 t b a x2 t c [1.4] ( ) = ( ) + ( ) () = () + () x& t Ax t Bu t y t Cx t Du t [1.5] sx() s X = AX() s + BU() s Y() s = CX() s + DU() s ara X = [1.6]

10 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc 1 ( ) 1 X () s = si A BU() s 1 Y() s = C( si A) BU() s [1.7] ara sstemas SISO Y () s = C( si A) 1 B+ D [1.8] U() s no contemla las condcones ncales () 1.4. Solucón ( ) At ( τ ) ( τ ) At t x t e x e Bu d t t = + τ [1.9]

11 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc Formas Canóncas. Varables de Fase Reresentacón en varables de fase ( n ( n 1 y t + a y t + + a y t = u t ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 L [1.1] 1 2 n 1 ( ) = ( ) () = & () x t y t x t y t ( n 2 () = () ( n 1 = () x t y t x y t nk M n 1 ( ) = ( ) () = () x& t x t 1 2 x& t x t 2 3 M () = n() () = () L () + () x& t x t x& t a x t a x t u t n 2 n 1 n 1 K K x& t x t u t K 1 -a -a1 K -an-1 1 () = M M M () +M () [1.11] [1.12] Sstema comleto

12 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc 12 m bz m + b z + L+ b Y( z) = U( z) n z + a z + + a m 1 m 1 n 1 n 1 L 1 W( z) = U( z) n z + a z + L+ a n 1 n 1 ya sabemos la forma canónca m m 1 ( m m 1 L ) Y( z) = b z + b z + + b W( z) y = b x + b x + L + b x = Cx k m m+ 1k m 1 mk 1k k 1 K K x& t x t u t Ax t Bu t K 1 -a -a1 K -an-1 1 () = M M M () + M () = () + () [ L ] y = b b b x = Cx k m m 1 k k [1.13]

13 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc 13 + y bn bn 1 bnan 1 b 1 bna1 b bna u x& n + xn xn 1 x 3 x2 x1 an 1 a 1 a

14 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc Ejemlo de Varables de Fase Sean dos funcones de transferenca en aralelo (tanque calentador agtado): k1 k2 G1( s) = G2( s) = [1.14] 1+ s1 1+ s2 k1 k k1( 1+ s2) + k2( 1+ s 2 1) G( s) = G1( s) + G2( s) = + = [1.15] 1+ s1 1+ s2 ( 1+ s1)( 1+ s2) k 1 2+ k 2 1 k1+ k2 s + Y( s) k1+ k2 + ( k k1) s G( s) = = = [1.16] 2 U( s) 1+ ( 1+ 2) s+ 1 2s s + s Y( s) bs 1 + b G( s) = = [1.17] 2 U s s + as+ a ( ) 1 2 () + () + ( ) = ( ) + ( ) && yt ayt & ayt but & but [1.18] () = () + () = () + () xt & a xt 2 a 1 1 ut Axt But [1.19] () [ ] y t = b b x = Cx 1 2 k k

15 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc 15 + y b2 b1 u + x& 2 x2 x1 a 2 a 1

16 2 3 Modelo en Varables de Estado.doc Resumen Reresentacón en varables de Estado Ecuacón Dferencal Matrcal de Prmer Orden Exlctacón del estado nterno del sstema Relacón entre funcón de transferenca y varables de estado.

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