Matemáticas y Tecnología. Unidad 6 Área de figuras planas

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1 CENTRO PÚBLICO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS ESPA 1 Matemáticas y Tecnología Unidad 6 Área de figuras planas UNIDADES DE SUPERFICIE Para expresar el tamaño de una vivienda se emplean las unidades de superficie. Observa estas dos figuras. 5 cm 4 cm 3 cm figura A 4 cm figura B El perímetro (suma de la longitud de todos sus lados) de ambas figuras es 16 cm. Perímetro de la figura A = 3 cm + 3 cm + 5 cm + 5 cm = 3 cm cm 2 = 16 cm Perímetro de la figura B = 4 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm = 4 cm 4 = 16 cm Sin embargo, la figura B es mayor que la A. Para comparar dos figuras planas no es suficiente con calcular su perímetro sino que debemos averiguar cuánto cabe dentro de ellas, es decir, su superficie o área. Para averiguar la superficie de estas figuras debemos hacer uso de una unidad llamada centímetro cuadrado (cm 2 ). 1 cm 2 Un centímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 centímetro de lado Dividiendo las figuras en centímetros cuadrados se obtiene: Superficie figura A = 15 cm 2 Superficie figura B = 16 cm 2 De ambas figuras se puede decir que se necesita igual número de metros de valla para rodearlas (perímetro), pero distinto número de baldosas para cubrirlas (superficie). Página 1 de 8

2 Ejercicio 1 Fíjate en la definición de centímetro cuadrado y define las siguientes unidades: a) metro cuadrado (m 2 ) b) decímetro cuadrado (dm 2 ) c) kilómetro cuadrado (km 2 ) Ejercicio 2 Dibuja un decímetro cuadrado, un centímetro cuadrado y un milímetro cuadrado. Dibújalos uno dentro de otro, compartiendo un mismo vértice. Pide ayuda al profesor/a si no sabes como hacerlo. a) Cuántos centímetros cuadrados caben en el decímetro cuadrado? b) Cuántos milímetros cuadrados caben en el centímetro cuadrado? c) A cuántos milímetros cuadrados es igual un decímetro cuadrado? d) El centímetro cuadrado es la... parte del decímetro cuadrado. Múltiplos kilómetro cuadrado (km 2 ) 1 km 2 = 100 hm 2 = dam 2 = m 2 hectómetro cuadrado (hm 2 ) hectárea (ha) 1 hm 2 = 1 ha = 100 dam 2 = m 2 decámetro cuadrado(dam 2 ) área (a) 1 dam 2 = 100 m 2 Unidad metro cuadrado (m 2 ) centiárea (ca) Submúltiplos decímetro cuadrado (dm 2 ) 1 dm 2 = 0,01 m 2 (centésima de m 2 ) centímetro cuadrado (cm 2 ) 1 cm 2 = 0,0001 m 2 (diezmilésima de m 2 ) milímetro cuadrado (mm 2 ) 1 mm 2 = 0, m 2 (millonésima de m 2 ) Ejercicio 3 a) Completa en tu cuaderno la siguiente tabla sobre las unidades de superficie. Escribe las cantidades en forma de potencia de 10 (10 2, 10 3, 10 4, etc.): Unidades hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1 kilómetro cuadrado son 1 hectómetro cuadrado son 1 decámetro cuadrado son b) Cambia de unidad: 0,072 km 2 =... m 2 50,07 ha =... m 2 28,005 m 2 =... mm 2 45 dam 2 =... hm mm 2 =... m 2 0,705 km 2 =... hm 2 0,7 m 2 =... dam 2 8,009 dam 2 =... cm dm 2 =... m 2 0,003 hm 2 =... cm m 2 =... ha mm 2 =... m 2 Las medidas de superficie pueden expresarse en forma compleja (varias unidades) y en forma incompleja (una sola unidad). Así, se puede decir que la superficie de una solar es 803,065 m 2 (forma incompleja) o también 8 dam 2, 3 m 2, 6 dm 2 y 50 cm 2 (forma compleja). Página 2 de 8

3 Ejemplo 1 Expresar la medida compleja 6 hm 2, 25 dam 2, 2 m 2 y 8 dm 2 en forma incompleja (en m 2 ) 6 hm 2 = = m 2 25 dam 2 = = m 2 2 m 2 = = 2 m 2 8 dm 2 = 8 : 100 = 0, 08 m 2 Solución: 6 hm 2, 25 dam 2, 2 m 2 y 8 dm 2 = ,08 m 2 Ejemplo 2 Expresar la medida incompleja ,205 m 2 en forma compleja ,205 m 2 = m 2 + 0,205 m 2 Convertimos los m 2 en unidades superiores al m , 08 m 2 Convertimos los 0,205 m 2 en unidades inferiores al m m ,205 m = 20,5 dm 2 = 20 dm 2 + 0,5 dm dam hm dam m 2 0,5 dm = 50 cm 2 Solución: ,205 m 2 = 2 hm 2, 30 dam 2, 4 m 2, 20 dm 2 y 50 cm 2 Ejercicio 4 a) Transforma las siguientes cantidades complejas en incomplejas 3 km 2, 24 hm 2 y 7 m 2 =.dam 2 5 hm 2, 35 dam 2 y 7 dm 2 = m 2 b) Transforma las siguientes cantidades incomplejas en complejas: 305,078 hm ,305 dam ,009 m ,068 dm ,06 cm 2 CÁLCULO DEL ÁREA O SUPERFICIE DE FIGURAS PLANAS Área o superficie de un cuadrilátero rectángulo En el siguiente cuadrilátero se observa que sobre la base se pueden poner 8 cm 2 y sobre la altura, 3 cm 2. Así pues, en el cuadrilátero se pueden poner: 8 3 = 24 cm 2 Altura (3 cm) Base (8 cm) La superficie de un cuadrilátero rectángulo se obtiene multiplicando su base por su altura Muchos de los objetos habituales (suelo y paredes de las habitaciones, mesas, hojas de las puertas, etc.) tienen forma de cuadrilátero rectángulo. En estos casos no hablamos de base y la altura sino de largo y ancho (suelo de una habitación) o de largo y alto (pared de una habitación) Página 3 de 8

4 Área o superficie de un triángulo Los elementos fundamentales de un triángulo son: Base. Cualquier lado se puede considerar como base de un triángulo. Altura. Es la perpendicular al lado considerado como base, o su prolongación, desde el vértice opuesto Altura Altura 1 Base Altura 2 Base Base 1 Observa la siguiente figura. Es un cuadrilátero rectángulo dividido en dos partes, cada una de las cuales es un triángulo. A B Altura (3 cm) Triángulo ADC Triángulo ABC D Base (8 cm) C La superficie o área del triángulo ACD es obviamente la mitad que la del cuadrilátero rectángulo ABCD. Por lo tanto: Superficie del cuadrilátero ABCD = base altura. Por lo tanto, la superficie del triángulo será la mitad: Superficie del cuadrilátero Base altura Superficie del triángulo = = 2 2 Ejercicio 5 Calcula el área de los siguientes triángulos. Redondea los resultados hasta la centésima y escribe el resultado en forma incompleja y compleja. Triángulo 1 Triángulo 2 Conociendo cómo se calcula el área de un triángulo y de un cuadrilátero rectángulo, se puede calcular el área de cualquier polígono. Basta descomponer el polígono en triángulos y cuadriláteros rectángulos. Página 4 de 8

5 Ejemplo Para calcular el área de esta figura se divide en figuras conocidas: A B Figura 1: Cuadrilátero rectángulo ABED Figura 2: Triángulo BEC 1 2 Se calcula el área de cada figura por separado y luego se suman. D E C Ejercicio 6 Realiza las mediciones oportunas y calcula la superficie de la figura anterior, expresando el resultado en forma compleja (cm 2 y mm 2 ) Ejercicio 7 Calcula el área de las siguientes figuras. Divídelas en figuras conocidas, triángulos y cuadriláteros Circunferencia y círculo Circunferencia es una línea cerrada y curva cuyos puntos equidistan (están a la misma distancia; equi: igual) de otro llamado centro. En toda circunferencia, sea cual sea su tamaño, el cociente entre su longitud y la longitud del diámetro es siempre constante y es igual al número decimal inexacto 3, Este número se designa con la letra griega π (se pronuncia pi ) y se suele tomar 3,14 para hacer los cálculos. Longitud de la circunferencia Longitud del diámetro = π Página 5 de 8

6 Como la medición directa de la circunferencia (con una cinta métrica) es muy difícil de realizar, la longitud de la circunferencia se calcula midiendo el diámetro. Longitud de la circunferencia = π Longitud del diámetro Como el diámetro es dos veces mayor que el radio (diámetro = 2 radio) puede escribirse que la: Longitud de la circunferencia = π 2 radio. Esta expresión se escribe abreviadamente: Longitud de la circunferencia = 2 π r En las expresiones matemáticas con números y letras no se escribe el signo de multiplicar. Cuando no hay signo de operación se sobreentiende que es una multiplicación. Ejercicio 8 Nota: para la realización de los cálculos emplear π = 3,14 a) Calcula la longitud, en milímetros, de una circunferencia de 1,05 metros de radio. b) Calcula el diámetro, en kilómetros, de una circunferencia de 235,5 decámetros de longitud. c) Calcula el radio, en centímetros, de una circunferencia cuya longitud es de 2,669 metros. La porción de plano limitada por una circunferencia recibe el nombre de círculo. El área del círculo se calcula multiplicando el número π por el cuadrado del radio. Área del círculo = π r 2 Ejercicio 9 Calcula: a) La longitud de la circunferencia de la figura de la derecha. Expresa el resultado en mm. b) El área del círculo de la figura de la derecha. Expresa el resultado en forma compleja (cm 2 y mm 2 ) c) El área de un círculo cuyo diámetro mide 25 dm. Expresa el resultado en forma compleja. d) El área de un círculo cuya circunferencia mide 31,4 m. Expresa el resultado en forma compleja. Primero hay que averiguar el radio de la circunferencia. e) El área de una mesa circular sabiendo que su circunferencia mide 7,85 m. Expresa el resultado en forma compleja. Ejercicio 10 Calcula el área de una habitación que tiene forma de cuadrilátero rectángulo sabiendo que su perímetro es de 24 metros y que su largura es el doble que su anchura. Página 6 de 8

7 Ejercicio 11 Calcula el área de esta figura SOLUCIONES Nota importante. En los ejercicios en los que haya que realizar mediciones, es posible que el resultado obtenido sea ligeramente diferente al que figura aquí. Eso es debido a que la fotocopiadora NO realiza una copia exacta del documento, aumentado o disminuyendo el tamaño de las figuras. Ejercicio 1 a) metro cuadrado (m 2 ) es la superficie de un cuadrado de un metro de lado b) decímetro cuadrado (dm 2 ) es la superficie de un cuadrado de un decímetro de lado c) kilómetro cuadrado (km 2 ) es la superficie de un cuadrado de un kilómetro de lado Ejercicio 2 a) Cuántos centímetros cuadrados caben en el decímetro cuadrado? 100 cm 2 b) Cuántos milímetros cuadrados caben en el centímetro cuadrado? 100 mm 2 c) A cuántos milímetros cuadrados es igual un decímetro cuadrado? m mm 2 d) El centímetro cuadrado es la centésima parte del decímetro cuadrado. Ejercicio 3 a) Unidades hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1 km 2 = hm 2 = dam 2 = b) 0,072 km 2 = m 2 50,07 ha = m 2 28,005 m 2 = mm 2 45 dam 2 =... 0,45 hm mm 2 =... 0,55 m 2 0,705 km 2 =... 70,5 hm 2 0,7 m 2 =... 0,007 dam 2 8,009 dam 2 = cm dm 2 = ,05 m 2 0,003 hm 2 = cm m 2 =... 0,088 ha mm 2 =... 0,025 m 2 Ejercicio 4 a) Transforma las siguientes cantidades complejas en incomplejas 3 km 2, 24 hm 2 y 7 m 2 = ,07 dam 2 5 hm 2, 35 dam 2 y 7 dm 2 = ,07 m 2 b) Transforma las siguientes cantidades incomplejas en complejas: 305,078 hm 2 = 3 km 2, 5 hm 2, 7 dam 2 y 80 m ,305 dam 2 = 45 hm 2, 30 m 2 y 50 dm ,009 m 2 = 7 hm 2, 8 dam 2, 50 m 2 y 90 cm ,068 dm 2 = 40 dam 2, 5 m 2, 6 cm 2 y 80 mm ,06 cm 2 = 1 dam 2, 50 dm 2, 38 cm 2 y 6 mm 2 Página 7 de 8

8 Ejercicio 5 Triángulo 1 = 10,35 cm 2 = 10 cm 2 y 35 mm 2 Triángulo 2 = 11,03 cm 2 = 11 cm 2 y 3 mm 2 Ejercicio 6 Figura 1 = 11,4 cm 2 = 11 cm 2 y 40 mm 2 Figura 2 = 6,15 cm 2 = 6 cm 2 y 15 mm 2 Superficie total = 17,55 cm 2 = 17 cm 2 y 55 mm 2 Ejercicio 7 Figura 1 (romboide) Superficie de la figura = 32,9 cm 2 = 32 cm 2 y 90 mm 2 Figura 2 (rombo) Superficie de la figura = 24 cm 2 Figura 3 (hexágono regular) Superficie de la figura = 35,52 cm 2 = 35 cm 2 y 52 mm 2 figura 4 (trapezoide) Superficie de la figura = 26,62 cm 2 = 26 cm 2 y 62 mm 2 Ejercicio 8 a) mm b) 0,75 km c) 42,5 cm Ejercicio 9 Radio = 3 cm a) Longitud circunferencia = 18,84 cm = 188,4 mm = 188 mm b) Superficie del círculo = 28,26 cm 2 = 28 cm 2 y 26 mm 2 c) Radio del círculo = 12,5 dm; Superficie del círculo = 490,625 dm 2 = 4 m 2, 90 dm 2, 62 cm 2 y 50 mm 2 d) Superficie del círculo = 78,5 m 2 = 78 m 2 y 50 dm 2 e) Radio del círculo = 1,25 m; Superficie del círculo = 4,90625 m 2 = 4 m 2, 90 dm 2, 62 cm 2 y 50 mm 2 Ejercicio 10 Longitud = 8 m; Anchura = 4 m Área = 8 m 4 m = 32 m 2 Ejercicio ,14 3,15 Superficie semicírculo: = 15,58 cm 2 Superficie rectángulo: 6,3 3,1 = 19,53 cm 2 2 3,2 3,1 Superficie triángulos: 2 = 9,92 cm 2 Superficie total. 15, ,53 + 9,92 = 45,03 cm 2 2 EJERCICIOS DEL LIBRO RECOMENDADOS (páginas 139 y 140) Ejercicio 6 Ejercicio 7 Ejercicio 10 Figura A. Superficie sombreada = 19,2 mm 2 Figura B. Superficie sombreada = 400 m 2 Ejercicio 13 (A y B) Figura A. Superficie sombreada = 86 m 2 Figura B. Superficie sombreada = 109,04 dm 2 Ejercicio 14 Área del círculo = 1.962,5 m 2 Área del sector circular = 81,77 m 2 Página 8 de 8

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