La familia de los números metálicos y su hijo pródigo: el número de oro

Transcripción

1 L fmili de los números metálicos y su hijo pródigo: el número de oro VIVIANA CONDESSE Universidd de Buenos Aires y Universidd Ncionl de Loms de Zmor, Argentin CLAUDIA MINNAARD Universidd CAECE y Universidd Ncionl de Loms de Zmor, Argentin Introducción Los números metálicos precen tnto en los sistems usdos en el diseño de ls construcciones por l civilizción romn hst los más recientes trbjos de crcterizción de cminos universles l cos. (Spindel, 99) El más fmoso de l fmili es el número de oro que h sido utilizdo mplimente en muchs culturs ntigus como bse de proporciones. Otros fmilires son el número de plt, el número de bronce, el número de cobre, el número de níquel y otros muchos más. Cuáles son lguns de ls crcterístics de estos números? ) Son todos irrcionles cudráticos. Lo que implic ser solución de un ecución cudrátic ) Son todos límites de sucesiones de Fiboncci. Si considermos l sucesión de Fiboncci,,,, 3,, 8, 3,,... En l cul n si n n n 3 n lim Puede demostrrse que el número de oro φ n n 3) Se pueden descomponer en frcciones continus. Revist Iberomericn de Educción (ISSN: 68-63) n.º 4/ 0 de mrzo de 007 EDITA: Orgnizción de Estdos Iberomericnos pr l Educción, l Cienci y l Cultur (OEI)

2 Vivin Condesse, Cludi Minnrd Teniendo en cuent ests crcterístics, nuestro propósito es cercrnos los números metálicos en los distintos niveles de enseñnz. Este cercmiento se busc trvés de distintos cminos: medinte conceptos lgebricos, cálculo combintorio, conceptos geométricos y nálisis de funciones. Desrrollo Desde un punto estrictmente mtemático, podemos definir número irrcionl utilizndo el concepto de frcción continu simple. Pero, qué es un frcción continu. Es un epresión de l form: b b b bn... b n n n En generl los i y b i pueden ser números reles o complejos. Sin embrgo si cd b i y cd i es un entero positivo pr i> ; entonces l frcción continu se denomin frcción continu simple, que en form brevid se represent [,, 3,.., n ] Los i son los términos de l frcción continu simple. Si el número de términos es finito, l frcción continu simple se denomin finit; y se denomin infinit si lo es el número de términos. Todo número rel puede epresrse como un frcción continu simple. Si el número es rcionl, se epres medinte un frcción continu simple finit; si el número es irrcionl, se represent medinte un frcción continu simple infinit. Tomemos lgunos ejemplos. En primer lugr, epresemos el número 9/43 como un frcción continu simple. Será finit pues se trt de un número rcionl. Efectumos el cociente indicdo y trbjndo lgebricmente, obtenemos, n Revist Iberomericn de Educción (ISSN: 68-63)

3 L fmili de los números metálicos y su hijo pródigo: el número de oro pero epresndo el número irrcionl, 9 Quedndo escrito en form brevid [, 4,,3, ] 43 Si el número es irrcionl, l descomposición es básicmente l mism, siendo el menor de los enteros entre los que está comprendido, y 0< < Por ejemplo, se 8 ; como < 8 < 3 8 ( 8 ) ( 8 ) 8 4 ( 8 ) 4 Si observmos tentmente hemos obtenido l mism epresión, lo que nos indic que deberímos repetir el proceso en form indefinid [ ] 8,,4,,4,,4,... o 8,,4 es un frcción continu periódic. Si procediérmos de mner similr, obtendrímos,4 3,, Puede probrse que todo irrcionl cudrático, es decir que es solución de l ecución cudrátic b c0 con,b, c Z, puede epresrse medinte un frcción continu periódic y que tod frcción continu periódic represent un irrcionl cudrático. Revist Iberomericn de Educción (ISSN: 68-63) 3

4 Vivin Condesse, Cludi Minnrd Pero, y nuestr fmili de los metálicos? Bueno, todos los números metálicos son irrcionles cudráticos, y eso nos permitirá cercrnos ellos de diferentes mners según el nivel en el que nos encontremos. Si plntemos l ecución cudrátic -b - 0 pr distintos vlores enteros de b, un lumno de nivel medio encontrrá en su solución lgunos números metálicos. ± 4 Así, si b es el número de oro. ± 4 4 Si b es el número de plt. 3± Si b es el número de bronce. Un lumno de nivel tercirio podrá epresrlo como frcciones continus. Si tommos l epresión generl 0 > 0 Operndo lgebricmente b b donde 0 b b b b donde b b b... Por lo tnto, un de ls soluciones de l ecución cudrátic puede ser epresd como l frcción continu simple infinit que depende únicmente del vlor de b. Es decir, b Así, el número de oro φ φ pr Revist Iberomericn de Educción (ISSN: 68-63) 4

5 L fmili de los números metálicos y su hijo pródigo: el número de oro el número de plt pr el número de bronce pr Si pensmos en lumnos de los últimos ños de l escuel secundri básic o en los primeros ños del polimodl, podremos presentr lgunos de los números irrcionles, sin recurrir l formlizción, trvés del cálculo combintorio o geométrico. Poseemos vris estmpills de $ y de $. Encuentr tods ls forms posibles de ubicr ls estmpills en el sobre (siempre lineds) en el cso que el frnqueo correspondiente se de: $3, $4; $; $6; $7 y $8. Te nims indicr (sin escribirls) cuánts posibiliddes hy en el cso de un frnqueo de $9 y de $0?. Arm el cociente de dos términos consecutivos de l sucesión, observs lgun prticulridd? Resolviendo el problem, se obtiene pr los distintos frnqueos, ls siguientes posibiliddes: $3 3 forms $4 forms Revist Iberomericn de Educción (ISSN: 68-63)

6 Vivin Condesse, Cludi Minnrd $ 8 forms $6 3 forms Un plicción geométric pr lumnos del nivel medio, consiste en l mnipulción de tngrms distintos l tngrm chino trdicionl. Est opción está bsd en l construcción del tngrm prtir de un pentágono regulr l que se le trzn dos digonles, un segmento de un tercer digonl y segmentos prlelos los ldos y est últim digonl. Al cortr por los segmentos trzdos en el pentágono se obtienen siete triángulos. B A I H C G F E D El problem consiste con cinco de esos triángulos formr el pentágono originl con un hueco, tmbién de form pentgonl, ubicdo en el centro; y estblecer l relción entre l digonl del pentágono hueco y el ldo y l digonl del pentágono originl. Revist Iberomericn de Educción (ISSN: 68-63) 6

7 L fmili de los números metálicos y su hijo pródigo: el número de oro De l mnipulción de ls figurs es posible estblecer l relción d d l ( siendo d y d ls digonles del pentágono originl y del hueco, respectivmente, y l el ldo del pentágono originl) y, por semejnz de triángulos: d l d l l d' l d l dd l l d dl l ( ) 0 Siendo l solución positiv de l ecución l l 4l d d l Un lumno de nivel tercirio con conocimientos de nálisis puede cercrse l número de oro trvés del estudio de funciones. McMullin y Weeks (00) proponen un interesnte relción entre el número de oro y los polinomios de curto grdo. Muchos polinomios de curto grdo tienen tres onds y por lo tnto dos puntos de infleión. Si considermos l rect que ps por los puntos de infleión, est rect determin tres regiones en l curv. El áre de ests regiones, si ls considermos de izquierd derech, está en relción : : Si buscmos ls otrs intersecciones entre l rect y l curv ests tienen como bsciss I D ( ( ) ( ) b ( ) b ) () Siendo y b ls bsciss de los puntos de infleión. Como vemos el número de oro y su conjugdo nuevmente hcen su prición. Tomemos un ejemplo: 4 3 Se l función f ( ) 36 Revist Iberomericn de Educción (ISSN: 68-63) 7

8 Vivin Condesse, Cludi Minnrd Sus derivds primer y segund son: f ( ) 4 3 f ( ) Los puntos de infleión son I ( -, - 3) y D ( 3, - 83). L rect determind por estos puntos tiene como ecución y Los puntos de intersección entre l curv y l rect (que no son puntos de infleión) tienen como bscis i d () Aplicndo ls relciones vists nteriormente, recordndo que - y b 3 result: i 3 3 ( ) *( ) ( ) *3 3 3 d ( ) *3 ( ) *( ) (3) Si comprmos () y (3) observmos que se cumplen ls relciones plnteds en () Revist Iberomericn de Educción (ISSN: 68-63) 8

9 L fmili de los números metálicos y su hijo pródigo: el número de oro Conclusión Hemos trtdo de recoger lgunos portes con respecto L Fmili de los Números Metálicos. No podemos dejr de mencionr que dichos portes son prciles, y que son tnts ls plicciones en ls que encontrmos l número de oro y sus fmilires, que serí imposible brcrls tods en este trbjo. Pero, trvés de ls ctividdes y ejemplos propuestos hemos intentdo relcionr nuevos conocimientos con conceptos y eistentes en l estructur cognitiv, relizndo prendizjes prtir de l motivción. Bibliogrfí CÓLERA, J., GUZMÁN, M., et l. (99): Mtemátics. Editoril Any. IGLESIAS, Lucreci (99): Propuest didáctic. Elementos de Mtemátic (Universidd CAECE), vol IX, n.º XXXV. MCMULLIN, L., y WEEKS, A. (00): The Golden Rtio nd Fourth Degree Polynomils. Ntionl Council of Techers of Mthemtics. Dirección en Internet: PETTOFREZZO, A., y BYRKIT, D. (99): Introducción l teorí de los números. Editoril Prentice Hll Interncionl. SPINADEL, V. (99): L fmili de los números metálicos y el diseño. Centro de Mtemátic y Diseño MAY DI. Fcultd de Arquitectur, Diseño y Urbnismo. Universidd de Buenos Aires. Dirección en Internet: sci.net/dt/works/tt/486.content.pdf Revist Iberomericn de Educción (ISSN: 68-63) 9