Además de las operaciones tradicionales, es posible expresar otras operaciones binarias. Tabla 1.1. Operación AND.

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1 Grupos y Cmpos Definición de operción inri Operciones como l sum, rest, multiplicción o división de números son considerds operciones inris, y que socin un pr de números con un resultdo. En generl, un operción inri tiene dos crcterístics esenciles: Se plic un pr de elementos con un nturlez determind. Asoci dicho pr con otro único elemento de l mism nturlez determind; l socición se reliz por medio de un criterio definido. Un operción inri ( ) definid en un conjunto S no vcío es un relción que sign cd pr de elementos, S un imgen = c, que puede o no pertenecer S. EJEMPLO 1.1. Si se consider l conjunto de los números rcionles y l sum, se tendrá que dich operción soci un pr de números rcionles otro único número rcionl; es decir, pr el pr de números rcionles, c, existe un d único número denotdo como + c que se conoce como l sum de y c. El criterio pr otener l sum de dos d d números rcionles es + c d + c = d d Además de ls operciones trdicionles, es posile expresr otrs operciones inris. EJEMPLO 1.2. L tl 1.1 especific l operción inri AND, que estlece un operción lógic utilizd en l electrónic y l computción ^ Tl 1.1. Operción AND. En este cso, el criterio que se estlece pr relizr l operción es l mism tl, y el conjunto sore el cul se plic es {0, 1}; en este cso se tendrí: 0 1 = = = = 0 Ls operciones inris tmién pueden definirse por medio de regls de correspondenci, y hciendo uso de ls operciones inris trdicionles. EJEMPLO 1.3. Se l siguiente operción inri 1 Ing. Aldo Jiménez Arteg x y = x y x, y Z

2 Se puede otener un resultdo pr l prej ( 1, 6): cuyo resultdo es = ( 1) 6 Propieddes de ls operciones inris Cundo un conjunto tiene definid un operción inri se puede formr un sistem lgerico que posee un estructur definid, l cul está ligd ls diferentes propieddes que pose l operción inri. Los niveles y diferentes tipos de estructurs lgerics están sujetos l nturlez de ls propieddes que se cumplen pr un operción en un conjunto ddo. Así, ls estructurs de grupo, nillo y cmpo se diferencin por el número de operciones y ls propieddes que ésts cumplen en un conjunto numérico ddo. L primer de ests propieddes es inherente l concepto de operción inri: cd pr de elementos de ciert nturlez se le sign un resultdo de és mism nturlez. EJEMPLO 1.4. Si se plic l sum los números nturles, el resultdo será otro número nturl: m + n = p m, n, p N Si se tuviesen los números nturles 3 y 4, el resultdo de su sum es 7, otro número nturl. Esto quiere decir que un operción inri es cerrd; o se, un operción definid en un conjunto S d como resultdo un elemento de ese conjunto S. Cerrdur Se l operción inri ( ), definid en S. Si el resultdo de plicr S está definido dentro del mismo S, entonces ( ) es cerrd; es decir, l operción inri es cerrd si S,, S EJEMPLO 1.5. Se l operción inri x y = x y x, y Z. Se otiene un resultdo que puede o no pertenecer los números enteros. Si el segundo operndo fuese myor cero, el resultdo es un número entero; por ejemplo, ( 2,3) rrojrí el siguiente resultdo: 2 3 = ( 2) 3 que es 8 Z. En cmio si l prej operr fuese (3, 2), el resultdo serí 3 2 = (3) 2 que es el número frccionrio 1 Z, y que es un número rcionl; por lo tnto, l operción ( ) no es cerrd pr el 9 conjunto de los números enteros. Existen csos más clros que permiten estlecer l cerrdur de un operción inri; el ejemplo clásico es cundo dich operción está definid por un tl. 2 Ing. Aldo Jiménez Arteg

3 EJEMPLO 1.6. Se el conjunto X = {, o, u } y l operción definid por l tl 1.2. ß ä ö ü Ä ä ö ü Ö ö ö ä Ü ä ö ü Tl 1.2. Operción Eszett definid pr X. Al plicr l operción un prej de elementos, se puede oservr que l operción es cerrd y que, l uscr el resultdo en l tl, siempre se otendrá como resultdo un elemento del conjunto X; es decir, l tl no contiene elementos fuer del conjunto donde se define l operción. ß o = o u ß u = u o ß u = Asocitividd Al momento de definir un operción inri se precisó que sólo podí relizrse con dos elementos de un solo conjunto; es decir, l trtr de operr tres elementos, primero se dee relizr l operción con dos de ellos, y después trjr con el resultdo y el tercer elemento. Este proceso de socir elementos pr operrlos se define como propiedd socitiv. Pr un operción inri ( ) definid en el conjunto S, l socición de elementos especific que ( ) c = ( c) EJEMPLO 1.7. En l sum de números enteros se tiene l socición cumplid. 3 Ing. Aldo Jiménez Arteg ( + ) + c = + ( + c),, c Z que su vez es extensión de l sum en los números nturles. EJEMPLO 1.8. Pr el conjunto X y l operción de l tl 1.2, l socición no puede cumplirse y que que son dos resultdos completmente diferentes. o ß (o ß u ) = o ß o (o ß o ) ß u = o ß u EJEMPLO 1.9. Pr ls mtrices de orden m n y l operción de sum, es posile socir los elementos que se operrán: y el resultdo no se verá lterdo. (A m n + B m n ) + C m n = A m n + (B m n + C m n ) Existenci del elemento neutro Si existe un elemento e dentro de un conjunto, que tiene l propiedd de no lterr otro elemento cundo se les plic un operción inri; entonces se hl de un elemento neutro.

4 Si se define l operción inri ( ) dentro del conjunto S, y existe un elemento e S tl que e =, S, entonces e es un elemento neutro por l derech. e =, S, entonces e es un elemento neutro por l izquierd. e = e, S, entonces e es un elemento neutro pr ( ). Esto quiere decir que un conjunto ddo tendrá, l menos, un elemento neutro si éste es neutro por l izquierd y por l derech. EJEMPLO Si se consider l conjunto de ls mtrices de orden m n y l operción de multiplicción, se verific que el elemento neutro serí l mtriz identidd: I m A m n = A m n donde I m es l mtriz identidd de orden m, l cul es un elemento neutro por l izquierd. I n A n m = A n m donde I n es l mtriz identidd de orden n, l cul es un elemento neutro por l derech. Ests son ls propieddes que cumple l mtriz identidd y que se estudiron en el tem de mtrices y determinntes. EJEMPLO El elemento neutro pr l operción de sum en los números complejos serí el número 0 + 0i, y que (x + yi) + (0 + 0i) = x + yi x + yi C Por medio de l conmutción en C, se verific que 0 + 0i es neutro por l izquierd y por l derech. EJEMPLO En el conjunto X del ejemplo 1.6 y l operción de l tl 1.2, se puede verificr que existen dos elementos neutros por l izquierd: ä y ü. En cmio, estos elementos no son neutros por l derech. Por lo tnto, l operción ß no posee elementos neutros. ß = ß o = o ß u = u u ß = u ß o = o u ß u = u ß = o ß = o u ß = ß u = u o ß u = u ß u = u Existenci de elementos inversos Los elementos inversos se relcionn directmente con el elemento neutro. En este cso, si el resultdo de l operción inri es el elemento neutro, entonces los dos elementos que intervinieron en l operción son inversos uno del otro. Ce destcr que si no existiese el elemento neutro, entonces tmpoco existen los inversos pues ms propieddes están ligds. 4 Ing. Aldo Jiménez Arteg

5 Al definir l operción inri ( ) dentro del conjunto S, y tomndo en cuent l existenci del elemento neutro e S, se dice que = e, S, entonces es el elemento inverso de por l derech. = e, S, entonces es el elemento inverso de por l izquierd. = e, S, entonces es el elemento inverso de pr ( ). Por lo tnto, si el inverso por l izquierd y por l derech es el mismo, entonces es un elemento inverso único pr. Además, un conjunto tendrá pr cd elemento su correspondiente inverso en un operción inri. EJEMPLO En l multiplicción de mtrices de orden n, y que son no-singulres, se tiene que I n A n = A n I n A n donde I n define l elemento neutro. En consecuenci, el elemento inverso de A por l izquierd será el mismo que el inverso por l derech: EJEMPLO Cd elemento del conjunto de los números reles tiene un solo inverso definido pr l operción de multiplicción: x x 1, x 0 R Siendo que uno es el elemento neutro en R pr l multiplicción, y que el cero es el único elemento que no posee inverso. Conmuttividd Cundo un operción inri permite que el orden de los elementos no influy en el resultdo que se otendrá, se dice que l operción permite l conmutción. Pr un operción inri ( ) definid en el conjunto S, l conmutción especific que: =, S EJEMPLO Pr l multiplicción de mtrices de orden dos no siempre se cumple l conmutción: En cmio, el producto = que son dos mtrices completmente diferentes = EJEMPLO Pr el conjunto X y l operción de l tl 1.2, l conmutción no puede consumrse en los csos ß u = u 5 Ing. Aldo Jiménez Arteg

6 Por lo tnto, no existe l conmutción pr est operción. u ß = EJEMPLO Pr ls mtrices digonles de orden 3 y l multiplicción se tiene que: c 11 c c 11 = c 22 c c Cuyo resultdo será el mismo en mos csos: 11 c c c 33 Ests cinco propieddes permiten estlecer un jerrquí de estructurs, que se vuelven más complets según l nturlez de sus elementos, el número de operciones inris que se define en ellos, y ls propieddes que cumplen ests operciones. Definición de grupo L estructur lgeric más simple que se estudirá será el grupo. Este define un conjunto que posee un operción inri y se cumplen tres propieddes: socición, elemento neutro y elemento inverso. Se G un conjunto no vcío con un operción inri ( ) definid. G es un grupo si: G ( ) c = ( c) e G, e = e G, = e pr culquier,, c G. EJEMPLO De los conjuntos numéricos conocidos, el primero que posee un estructur de grupo es el conjunto de los números enteros estleciendo l sum como su operción inri: 1. + Z,, Z 2. ( + ) + c = + ( + c) 3. 0 Z, + 0 = Z, + ( ) = ( ) + 0 Los números nturles no poseen este tipo de estructur, y que no está definido un elemento neutro pr l sum ni mucho menos los elementos inversos. EJEMPLO Pr el conjunto de los números complejos y l operción definid como 6 Ing. Aldo Jiménez Arteg z 1 ю z 2 = z 1 2

7 Se stisfce que l operción es cerrd, y que l multiplicción de números complejos rroj un resultdo en C; demás, el conjugdo de un número complejo es otro complejo. Pr compror si existe l socición se dee verificr que z 1 2 C (z 1 ю z 2 ) ю z 3 = z 1 ю (z 2 ю z 3 ) (z 1 ю z 2 ) ю z 3 = z 1 ю (z 2 ю z 3 ) z 1 2 ю z 3 = z 1 ю z 2 3 (z)z = z1 (z) 2 3 z 1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 Se otiene que mos ldos de l iguldd son diferentes; por lo tnto, C jo l operción ю no es un grupo. EJEMPLO Se el sistem ddo por (R {0}, ~), donde x ~ y = 2xy, x, y 0 R Se verific que el resultdo de l operción será un número rel. Además, se oserv que l propiedd socitiv se cumple. Por otro ldo, (x ~ y) ~ z = x ~ (y ~ z) 2xy ~ z = x ~ 2yz 2(2xy)z = 2x(2yz) 4xyz = 4xyz e ~ x = x 2ex = 2e = 1 e = 1 2 Como el elemento neutro e está definido, implic que se cumple est propiedd. Finlmente, x ~ x = e 2xx = 1 2 x = 1 2x Y existe un elemento inverso pr cd x que pertenezc l conjunto ddo. Por lo tnto, los números reles diferentes de cero formn un grupo con respecto l operción definid. 7 Ing. Aldo Jiménez Arteg

8 Sugrupo De un grupo G se pueden tomr suconjuntos, que posilemente puedn formr un grupo tomndo l operción definid pr G. Se (G, ) un grupo. Un suconjunto H de G es un sugrupo si él mismo es un grupo pr l operción ( ); es decir, (H, ) es un grupo. Pr poder identificr si H G es un sugrupo pr l operción ( ), st con verificr si se cumple que H,, H H, H EJEMPLO Se se que (Z, +) es un grupo; sin emrgo, los suconjuntos de los números nturles y los números negtivos no pueden ser sugrupos. Pr l cerrdur de l sum se se que m + n N, m, n N Análogmente, + Z,, Z Sin emrgo, l trtr de determinr el elemento inverso pr sum, se se que los inversos ditivos pr los números nturles se encuentrn en el conjunto de los números negtivos, y vicevers. Esto quiere decir, que unque Z es un grupo, sus suconjuntos no necesrimente lo son. EJEMPLO Se el grupo (R, +). Si Q R, entonces se cumple que y demás, el inverso ditivo + c d Q Q Por lo tnto, Q form un sugrupo del grupo R pr l sum. Grupo elino El grupo elino ñde l propiedd conmuttiv l definición de grupo. (G, ) es un grupo elino (o conmuttivo) si l operción ( ) cumple con =,, G EJEMPLO Se M el siguiente conjunto: 8 Ing. Aldo Jiménez Arteg

9 M = m 11 m 12 m 21 m m 11, m 12, m 21, m 22 R 22 y l operción sum de mtrices trdicionl. Pr determinr si (M, +) es un grupo elino se deen demostrr ls propieddes de socición, existenci de elemento neutro, existenci de elementos inversos y conmutción. De ls propieddes del grupo se se que E = es el elemento neutro de l sum, y A = represent 22 los elementos inversos; l socición y conmutción en l sum se cumplen como un extensión de ls propieddes de l sum en los números reles. En consecuenci, el sistem (M, +) es un grupo elino. EJEMPLO Se el conjunto A = {, } y l operción definid en l tl 1.3. Pr verificr si (A, +) es un grupo elino se tiene: + A Tl 1.3. Operción inri en A. Cerrdur: todos los resultdos posiles en l tl pertenecen l conjunto; por lo tnto, l operción es cerrd. Asocición: + ( + ) = ( + ) + + = + = + ( + ) = ( + ) + + = + = + ( + ) = ( + ) + + = + = + ( + ) = ( + ) + + = + = + ( + ) = ( + ) + + = + = + ( + ) = ( + ) + + = + = Además, pr los csos en los cules todos los operndos son igules, se cumple l propiedd. Por lo tnto existe l socición pr (A, +). Elemento neutro: 9 Ing. Aldo Jiménez Arteg e + = e = e + = e = Por lo tnto, existe un único elemento neutro (); y sí, se cumple l propiedd. Elementos inversos: + = =

10 + = = Pr este ejemplo, los elementos inversos existen; por lo tnto, l propiedd se cumple. Finlmente, l propiedd conmuttiv qued como: + = + = L conmutción tmién es válid pr l operción. Por lo tnto, se concluye que (A, +) es un grupo elino. Definición de cmpo Supóngse hor un conjunto con dos operciones inris; l estructur que se otendrá será más complet: el cmpo o cuerpo. Dich estructur contiene ls propieddes y estudids en el Álger Superior l momento de formlizr el conjunto de los números reles y de los números complejos: cerrdur, socición, conmutción, elemento neutro y elementos inversos pr ls operciones de sum y multiplicción; y l distriución de l multiplicción sore l sum. Q, R y C son los únicos cmpos numéricos; esto no quiere decir que sen los únicos, y que pueden estlecerse operciones con conjuntos no-numéricos. Sen K un conjunto no vcío, ( ) y ( ) dos operciones inris cerrds definids en K. (K,, ) es un cmpo, si Pr l primer operción se cumple: 1. L socición, ( c) = ( ) c 2. L conmutción, = 3. L existenci del elemento neutro, e = 4. L existenci de elementos inversos, = e Pr l segund operción se cumple: 1. L socición, ( c) = ( ) c 2. L conmutción, = 3. L existenci del elemento neutro, f = 4. L existenci de elementos inversos, = f, e Pr ms operciones se cumple: 5. L distriución de l segund operción sore l primer, ( c) = ( ) (c ) donde e es el cero del cmpo (neutro de ) y f es l unidd del cmpo (neutro de ). EJEMPLO Los sistems (R, +, ) y (C, +, ) son cmpos, y que en mos conjuntos, con ls operciones de sum y multiplicción se cumplen ls propieddes de un cmpo. Además, se tiene que el cero del cmpo no tiene inverso en l multiplicción y es diferente de l unidd del cmpo; en mos sistems éstos últimos elementos pertenecen tnto los números reles como los números complejos. 10 Ing. Aldo Jiménez Arteg

11 EJEMPLO Se el conjunto V, definido por: V = {(x, y, z) x, y, z R} y ls operciones definids como: (x 1, y 1, z 1 ) + (x 2, y 2, z 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) (x 1, y 1, z 1 ) (x 2, y 2, z 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2 ) Se dee verificr si l estructur (V, +, ) es un cmpo. En este cso, l primer operción define un sum trdicionl de vectores; por lo tnto, ls propieddes de l primer operción del cmpo son: Asocición, u + (v + w) = (u + v ) + w Conmutción, u + v = v + u Elemento neutro, e + u = u e = 0 Elementos inversos, + u = e = u pr todo u, v, w V. En l segund operción es necesrio demostrr que ls crcterístics restntes del cmpo se stisfcen correctmente. Asocición: (x 1, y 1, z 1 ) [(x 2, y 2, z 2 ) (x 3, y 3, z 3 )] = [(x 1, y 1, z 1 ) (x 2, y 2, z 2 )] (x 3, y 3, z 3 ) (x 1, y 1, z 1 ) (x 2 x 3, y 2 y 3, z 2 z 3 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2 ) (x 3, y 3, z 3 ) (x 1 x 2 x 3, y 1 y 2 y 3, z 1 z 2 z 3 ) = (x 1 x 2 x 3, y 1 y 2 y 3, z 1 z 2 z 3 ) Por lo cul, se cumple l propiedd. Conmutción: (x 2, y 2, z 2 ) (x 3, y 3, z 3 ) = (x 3, y 3, z 3 ) (x 2, y 2, z 2 ) (x 2 x 3, y 2 y 3, z 2 z 3 ) = (x 3 x 2, y 3 y 2, z 3 z 2 ) Por l conmutción en l multiplicción de los números reles, se stisfce l propiedd. Elemento neutro: Entonces, se plnten ls ecuciones (x, y, z) (e 1, e 2, e 3 ) = (x, y, z) (xe 1, ye 2, ze 3 ) = xe 1 = x ye 2 = y ze 3 = z 11 Ing. Aldo Jiménez Arteg

12 Por l multiplicción en los reles se otiene que el elemento neutro del cmpo pr l segund operción es e = (1, 1, 1); y se stisfce l propiedd. Elementos inversos: Ls ecuciones resultntes son (x, y, z) ( 1, 2, 3 ) = (x, y, z) (x 1, y 2, z 3 ) = x 1 = 1 y 2 = 1 z 3 = 1 Nuevmente, con l multiplicción en los reles se otiene que el elemento inverso generl del cmpo en l segund operción es = 1 x, 1 y, 1 z ; y est propiedd se stisfce, y que el único elemento que no tiene inverso es 0 = (0, 0, 0). Distriución: (x 1, y 1, z 1 ) [(x 2, y 2, z 2 ) + (x 3, y 3, z 3 )] = [(x 1, y 1, z 1 ) (x 2, y 2, z 2 )] + [(x 1, y 1, z 1 ) (x 3, y 3, z 3 )] (x 1, y 1, z 1 ) (x 2 + x 3, y 2 + y 3, z 2 + z 3 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2 ) + (x 1 x 3, y 1 y 3, z 1 z 3 ) x 1 (x 2 + x 3 ), y 1 (y 2 + y 3 ), z 1 (z 2 + z 3 ) = (x 1 x 2 + x 1 x 3, y 1 y 2 + y 1 y 3, z 1 z 2 + z 1 z 3 ) Por lo que l distriución está stisfech. Entonces, se concluye que l distriución en mos sentidos se cumple stisfctorimente. El sistem (V, +, ) tiene estructur de cmpo. Isomorfismos y homomorfismos Dentro de l Álger Modern pueden estlecerse relciones entre ls estructurs lgerics y sus operciones. Dichs relciones permiten intercmir los símolos u operciones de un estructur sin lterr sus propieddes lgerics o sus resultdos. Homomorfismos Sen (G, +) y (G, ) dos grupos. Un homomorfismo de A en B es un función f: A B tl que f( + ) = f() f(), G El término viene de los voclos griegos ομός (homos, mismo) y μορφή (morphe, form). EJEMPLO Sen el grupo M 2 = c d c 0;,, c, d R d donde se define l multiplicción mtricil trdicionl, y el grupo (R {0}, ), donde ( ) es l multiplicción usul en R. Si se define l función 12 Ing. Aldo Jiménez Arteg

13 Determínese si f: A R {0} es un homomorfismo. Al plicr l definición de isomorfismo se estlece que f(a) = det A f(a B) = f(a) f(b) A B = A B Por propieddes de los determinntes se se que l iguldd es verdder; por lo tnto, f: A R {0} es un homomorfismo. EJEMPLO Sen el nillo (D 3, +, ), donde D 3 = R y el nillo (C, +, ). Determin si l función f = 3(2 + i) es un homomorfismo. En este cso se tienen dos operciones inris; por lo tnto, l propiedd del homomorfismo se deerá pror dos veces: Pr tod A, B D 3. En l primer operción se tiene f(a + B) = f(a) + f(b) f(a B) = f(a) f(b) f + + f + = f + f = 3(2 + i) + 3(2 + i) + 3( + )(2 + i) = (3 + 3)(2 + i) 3( + )(2 + i) = 3( + )(2 + i) Pr l segund operción: f = f f 13 Ing. Aldo Jiménez Arteg

14 f = [3(2 + i)] [3(2 + i)] 3()(2 + i) = 9(2 + i) 2 Al relizr ls operciones, se oserv que no existe iguldd. Se concluye que l función dd no es un homomorfismo entre los cmpos. Isomorfismos Se consider que un función f: A A entre dos estructurs lgerics es un isomorfismo, si demás de ser homomorfismo es un función uno--uno y sore; es decir, A cd elemento de A le corresponde un socido en A. Todos los elementos de A se socin con todos los elementos de A. L función f tiene invers. El elemento neutro de A se trnsform en el neutro de A. EJEMPLO Sen los grupos (R +, ) y (R, +). Se define l función Por propieddes de los logritmos se se que f(x) = log x f(x y) = f(x) + f(y) log (x y) = log x + log y Por lo tnto, l función es un homomorfismo. Pr verificr si es un isomorfismo se prue el elemento neutro del primer grupo, que es 1. que es el elemento neutro pr el segundo grupo. f(1 1) = log 1 + log 1 = 0 Pr verificr l función invers se tom mos ldos l función exponencil en l se. log (x y) = log x+log y = log x log y = x y Lo cul indic que si existe l función invers, entonces l función es uno--uno. Con respecto l propiedd sore, todo número rel positivo tiene su correspondiente logritmo dentro de los números reles. En consecuenci, l función logritmo entre los grupos (R +, ) y (R, +) es un isomorfismo. EJEMPLO Sen los grupos (A, ) y (B, ), donde A = {0, 1} y B = {, } y ls operciones en cd conjunto están definids por ls tls 1.5 y 1.6, respectivmente. 14 Ing. Aldo Jiménez Arteg

15 Tl 1.5. Operción en A. Tl 1.6. Operción en B. Determínese si f: A B, donde f(0) = y f(1) = es un isomorfismo. Comprondo cd operción se tiene f(0 0) = f(0) f(0) f(0) = = f(1 1) = f(1) f(1) f(1) = = f(0 1) = f(0) f(1) f(1) = = Como l últim expresión no es ciert, entonces l función dd no es un isomorfismo. 15 Ing. Aldo Jiménez Arteg

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