Definición 1 Un semigrupo es un conjunto E provisto de una operación binaria asociativa sobre E, se denota por (E, ).

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1 ALGEBRA La primera parte del presente libro está dedicada a las estructuras algebraicas. En esta parte vamos a iniciar agregándole a los conjuntos operaciones. Cuando las operaciones tienen determinadas propiedades, estos conjuntos con operaciones definidas en el conjunto reciben diferentes nombres. La estructura más simple, un conjunto más una operación asociativa se llama un semigrupo. Requiriendo propiedades más específicas a la operación, se llega a la estructura llamada grupo. De esta forma, los conjuntos se van enriqueciendo con operaciones formando estructuras cada vez más ricas e interesantes. Luego agregaremos dos y más operaciones, aunque aquí sólo nos limitaremos a las estructuras más básicas y más usadas en las matemáticas. 1 Semigrupos y grupos Los grupos han adquirido suma importancia en muchos campos de aplicación de las matemáticas. En física y química la estructura de grupo es fundamental tanto para entender las simetrías en teorías de campo, en teorías de partículas elementales, como para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Los grupos son estructuras básicas de las matemáticas. Un grupo es un conjunto provisto de una operación con ciertas propiedades, las cuales generalizan de forma abstracta operaciones que nos son familiares desde niños para calcular con números. Antes de definir un grupo, consideramos entonces un concepto todavía más simple, el de semigrupo: Definición 1 Un semigrupo es un conjunto E provisto de una operación binaria asociativa sobre E, se denota por (E, ). El hecho que es una operación binaria sobre E significa que, siempre cuando a, b A, entonces a b A. Veamos unos ejemplos: Ejemplo 2 Sea A = {f : A A} el conjunto de todos los mapeos del conjunto A en sí mismo, y consideramos la operación de composición (concatenación) entre mapeos, entonces (A, ) es un semigrupo. Observamos que (A, ) además tiene un elemento especial: un elemento neutro, el mapeo identidad I A definido por I A (x) = x para todo x A, pues, definitivamente I A f = f I A para cualquier f A. Notación 3 Si un semigrupo E tiene un elemento identidad, es decir, un elemento e E tal que e a = a para todo a E, el semigrupo se llama monoide. Ejemplo 4 Sea A un conjunto arbitrario (por ejemplo, de letras y cifras ). Una secuencia finita de elementos de A la llamamos una palabra sobre A, es decir, una palabra tiene la forma (a 1, a 2, a 3,..., a n ), con n 1, n natural, a i A para todo i. El número n es llamado longitud de la palabra. Adicionalmente 1

2 se considera la palabra vacía, denotada por y definida como la secuencia de longitud cero (la cual no contiene ningún elemento). Entonces el conjunto de palabras sobre A está dado por E = {(a i ) n i=1, n N, a i A para toda i = 1,..., n} { }. Definimos ahora la adición de palabras como: (a 1, a 2, a 3,..., a k ) + (b 1, b 2, b 3,..., b l ) = (a 1, a 2, a 3,..., a k, b 1, b 2, b 3,..., b l ) Es evidente que (E, +) es un semigrupo, llamado el semigrupo de las palabras, el cual tiene importancia básica en las ciencias de la computación. La adición + aquí definidida es claramente no conmutativa y tiene un elemento neutro: la palabra vacía. Con esto ya estamos listos para la definición de grupo. Definición 5 Un grupo (E, ) es un semigrupo con elemento neutro y elementos inversos, es decir: 1) (E, ) es semigrupo. 2) Existe e E tal que e a = a. 3) Para todo a E, existe x E tal que x a = e. Al elemento x se le denota por a 1. Notación 6 En caso de que la operación sea además conmutativa, (E, ) se llama grupo abeliano o grupo conmutativo. Antes de considerar unos ejemplos de grupos, observamos los siguientes detalles y propiedades elementales: Comentario 7 Sea E grupo y a E. Según la definición, existe x E tal que x a = e, es decir, x es un inverso por la izquierda de a. Pero x a x = e x = x. Por otro lado, existe y E tal que y x = e. Eso significa (y x)a x = y x, en consecuencia e a x = e, entonces a x = e, es decir, x es a la vez inverso por la derecha de a. El elemento x se llama inverso de a y se denota por a 1. Comentario 8 En un grupo vale lo siguiente: Para cada a E existe a 1 E tal que a 1 a = a a 1 = e, lo cual significa que las ecuaciones x a = e y a x = e, con a E, x incógnita, siempre se pueden resolver. Para cada a E, su inverso a 1 es determinado de manera única. El elemento neutro también es determinado de manera única. Además, según la definición, el neutro primero es un neutro por la izquierda. Sin embargo, con e a = a tenemos también a e = a (a 1 a) = (a a 1 ) a = e a = a, así que, e es a la vez un neutro por la derecha. En consecuencia: Para toda a E, se tiene que e a = a e = a. 2

3 Para a, b, c E, a c = b c implica que a = b, lo cual es fácil de deducir. Para a, b E, (a b) 1 = b 1 a 1, puesto que (b 1 a 1 ) (a b) = b 1 (a 1 a) b = e. Ahora analizamos unos ejemplos : Ejemplo 9 (Z, +) el conjunto de los números enteros con la suma ordinaria, es un grupo abeliano. Su neutro es el número 0; para cada entero a, su inverso es el número a. Asimismo, los números racionales Q, los reales R, y los complejos C, cada uno con la suma ordinaria, son grupos abelianos. Ejemplo 10 (Z, ), el conjunto de los enteros con el producto ordinario, es un semigrupo conmutativo, cuyo neutro es el número 1. Sin embargo, no es un grupo, puesto que para cualquier entero a diferente de 1 y distinto de 0 (!), su inverso multiplicativo sería el número a 1 = 1 a, el cual en general no es entero. Ejemplo 11 El conjunto Q de los racionales, igualmente como el de los reales R y el de los complejos C, con el producto ordinario, son semigrupos conmutativos con el neutro 1, pero no son grupos. Eso se debe a que el número 0, el cual es el neutro aditivo, no tiene inverso multiplicativo, puesto que 1 0 no es un número. Por otro lado, es evidentemente que (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ) y (C \ {0}, ) son grupos abelianos. Ejemplo 12 Sea A un conjunto y A 1 1 = {f : A A, f biyectiva } el conjunto de los mapeos biyectivos de A en sí mismo. Entonces (A 1 1, ) con la operación de la composición (concatenación), es un grupo, en general este grupo no es abeliano. El neutro de este grupo (su unidad) es el mapeo idéntico I A : A A definido por I A (x) = x para todo x A. El elemento inverso para cada f A 1 1 es el mapeo inverso f 1, cuya existencia está asegurada para cualquier biyección. (A 1 1, ) se llama el grupo de permutaciones del conjunto A, cada f A 1 1 es llamado una permutación de A. Ejercicio 13. 1) Demuestre que Z 2 = ({1, 1}, ) es un grupo. 2) Sea el conjunto A = {a, b, c}. Defina un producto + en A de tal forma que (A, +) sea un grupo. Se puede definir + de tal forma que (A, +) sea abeliano? Ejercicio 14 Sea O(n) = {O : O es matriz n n con O T = O 1 }. Demuestre que este conjunto es un grupo con la multiplicación de matrices. Ejercicio ( ) 15 Sea el conjunto SU(2) = {U : U es matriz 2 2 compleja U = a b, con d = a c d y c = b }, donde * significa complejo conjugado. Demuestre que SU(2) es un grupo con el producto entre matrices. Observe que det U = 1. 3

4 2 Homomorfismos Las estructuras algebraicas suelen tener semejanzas entre ellas. Estas semejanzas se representan utilizando el concepto de mapeos muy especiales llamados morfismo. Los morfismos nos sirven para relacionar conjuntos con estructuras entre sí, de tal forma que con estos morfismo, uno puede estudiar propiedades de algún conjunto usando otro, en donde estas propiedades sean más simples de entender. En esta sección daremos sólo la definición de estos morfismos para grupos. Definición 16 Sean (E, ) y (F, ) grupos y f : E F. f se llama homomorfismo si f(a b) = f(a) f(b) para toda a, b E. Un homomorfismo se llama monomorfismo si f es mapeo 1 1; epimorfismo si f es mapeo sobre; isomorfismo si f es biyectiva; automorfismo de E si f es isomofismo y f : E E. Ejemplo 17 Sea el conjunto Z 2 = {k 0, k 1 } con el producto + definido por k 0 + k 0 = k 0, k 0 + k 1 = k 1, k 1 + k 0 = k 1 y k 1 + k 1 = k 0. Es fácil ver que (Z 2, +) es un grupo. Ahora tomemos la función f : Z 2 Z 2, tal que f(k 0 ) = 1 y f(k 1 ) = 1. Entonces se tiene que f(k 0 + k 0 ) = f(k 0 ) = 1 = 1 1 = f(k 0 ) f(k 0 ) f(k 0 + k 1 ) = f(k 1 ) = 1 = 1 ( 1) = f(k 0 ) f(k 1 ) f(k 1 + k 0 ) = f(k 1 ) = 1 = ( 1) 1 = f(k 1 ) f(k 0 ) f(k 1 + k 1 ) = f(k 0 ) = 1 = ( 1) ( 1) = f(k 1 ) f(k 1 ) Por lo que f es un homomorfismo entre los grupos (Z 2, +) y (Z 2, ). Además es un homomorfismo 1-1, por lo que es un monomorfismo, y es sobre, entonces también es un epimorfismo, por lo que f es un isomorfismo entre estos dos grupos. 3 Subgrupo y grupo cociente Los subconjuntos de un conjunto A con estructura de grupo, no necesariamente son grupos. Eso es fácil verlo, ya que si, por ejemplo, un subconjunto de A no contiene el neutro o no tiene los inversos de todos los elementos del subconjunto, éste no será grupo. Sin embargo, si en este subconjunto se tiene también la estructura de grupo con la misma operación binaria que el original, entonces se sigue la siguiente definición. Definición 18 Sean A B y (B, ) un grupo. Se dice que A es un subgrupo de (B, ) si (A, ) también es grupo. 4

5 Observemos que en A se considera la misma operación de (B, ), solo restringuida al conjunto A. Es fácil ver que, teniendo al grupo (B, ) y al subconjunto A B, A forma un subgrupo si y sólo si para todo a, b A se sigue que a b A, y que el elemento neutro del grupo (A, ) es entonces el mismo elemento neutro de (B, ). Notación 19 Si el conjunto A es subgrupo del conjunto B, lo vamos a denotar también como A gr B. Ahora vamos a introducir un concepto muy importante en los grupos que después extenderemos para los anillos, es el concepto de grupo cociente. Primero vamos a introducir una relación de equivalencia en el grupo, con ella, el conjunto se separa en clases de equivalencia formando al conjunto de las clases. Luego podemos definir en ciertas ocasiones una operación en el conjunto de las clases y con este formar de nuevo un grupo. A este grupo lo llamaremos grupo cociente. Definición 20 Sean (E, ) un grupo y H un subgrupo de E, es decir H gr E, y sean a, b E. Definimos una relación H por a H b a b 1 H Lema 21 H es una relación de equivalencia. Dem. 22 Chequemos que se cumple la definición de relación de equivalencia. 1) H contiene al elemento neutro e de E puesto que H es subgrupo de E. Además, a H implica que a 1 H por lo mismo y la definición de H. Se sigue que e H sii a a 1 H. Esto implica que a H a o sea H es reflexiva. 2) Sean a H b, por definición esto es equivalente a a b 1 H. Por ser subgrupo se sigue que (a b 1 ) 1 H y esto es equivalente a b a 1 H. Eso implica que b H a, es decir H es simétrica. 3) Sean a H b y b H c. Entonces a b 1 H y b c 1 H. Pero H es cerrado bajo, por lo cual (a b 1 ) (b c 1 ) = a e c 1 = a c 1 H, es decir a H c, lo que implica que H es transitiva. Corolario 23 H genera una descomposición de E en clases de equivalencia: E/ H = {[a] a E}. Notación 24 Vamos a denotar a estas clases de equivalencia [a] como k a, y al conjunto E/ H de clases de equivalencia como K = {k a a E}. Ejemplo 25 Unos ejemplos interesantes de tales clases son los siguientes: k e = {b E e H b e b 1 = b 1 H} = H k a = {b E a H b b a 1 = h H} = {b E b = ha} = {h a E h H} = H a donde la última identidad es la notación que usaremos para este conjunto. Para poder definir una estructura de grupo en el conjunto de las clases, es necesario que el grupo original tenga una propiedad más. Esta propiedad es la siguiente. 5

6 Definición 26 Un subgrupo H E se llama subgrupo normal de E si cumple que a H = H a para toda a E. Observemos primero que si el grupo original es abeliano, entonces todos sus subgrupos son normales. Pero si el grupo no es abeliano, hay que entender con cuidado la definición anterior. El hecho de que a H = H a implica que, para cualquier h H, a h pertenece también al conjunto H a, es decir, existe algún elemento h 1 H tal que a h = h 1 a, donde h 1 no necesariamente coincide con h. Y viceversa, para a h (con h H), existe h 2 H tal que a h = h 2 a. Si para todo h H, existen estos elementos h 1 y h 2, el grupo es normal. Entonces podemos dar la estructura de grupo al conjunto K de las clases usando la siguiente definición: Definición 27 Sean k a, k b K clases de E generadas por H. Se define el producto k a k b = {[x y] x k a K, y k b K} = k a b como el producto entre clases de equivalencia. Con este producto, el conjunto de las clases de equivalencia resulta tener una estructura de grupo. Proposición 28 Sea E grupo y H un subgrupo normal de E. Sean k a K las clases generadas por H con a E. Con el producto k a k b = k a b se sigue que (E/ H, ) es un grupo, es decir, (K, ) es un grupo. Dem. 29 Chequemos que se cumple la definición de grupo. a) k a k b K ya que (H a) (H b) = H (a H) b = H H a b = H a b (ya que H H = H), lo cual implica que k a k b = k a b K. b) (k a k b ) k c = (H a H b) H c = H a (H b H c). c) k e K y es el neutro del grupo, ya que k a k e = k a e = k a. d) k a k a 1 = k a a 1 = k e Notación 30 Al grupo K se le denota como K = E/H y se le llama el grupo cociente de E por H. El siguiente ejemplo nos dará mayor claridad sobre las definiciones anteriores. Ejemplo 31 Sea (Z, +) y H = {2n n Z}, el grupo de los enteros pares. Entonces (H, +) es subgrupo normal de (Z, +). Veamos esto con detalle. Observemos que la relación H para los elementos a, b Z es tal que si a H b, se tiene que a + ( b) H, lo cual implica que a b debe estar en H, es decir, debe ser par. Pero esto solo pasa si ambos a y b son pares o ambos son impares. Vamos a definir las clases de equivalencia de los pares y las clases de equivalencia de los impares en los enteros como: k 0 = {b Z b H 0} = H, k 1 = {b Z b H 1} = {2n + 1, n Z}, k 2 = H, 6

7 es decir, K = {k 0, k 1 }. Observemos que con la suma (el producto de grupo) dada por k i k i = k i+j, el conjunto K de clases forma un grupo, puesto que k 0 k 0 = k 0, k 0 k 1 = k 1 k 0 = k 1, k 1 k 1 = k 2 = k 0. Pero ya habíamos visto en el ejemplo 17 que este grupo es isomorfo a Z 2, por lo que Z/H = Z 2 = Z/{2n n Z}. Ejercicio 32 Construir a los grupos cocientes Z 3 = Z/{3n n Z} (multiplos de 3) y Z 4 = Z/{4n n Z} (multiplos de 4). 4 Anillos y campos Otras estructuras algebraicas de mucha importancia son los anillos y los campos. En esta sección veremos la definición de estos. Definición 33 Sea A conjunto y, + operaciones binarias sobre A, es decir, mapeos de A A en A. A la triada (A, +, ) se le llama anillo si 1) (A, +) es grupo abeliano; 2) (A, ) es semigrupo; 3) las operaciones + y son distributivos. Comentario 34 Explícitamente, un conjunto con las operaciones + y es un anillo, si se cumple lo siguiente 1) Para toda a, b A, a + b A. 2) + es asociativo: para todos a, b, c A, a + (b + c) = (a + b) + c. 3) Existe e A tal que e + a = a + e = a para toda a A. A e también se le llama el cero de A y se le denota por e = 0. 4) Para toda a A, existe a A tal que a + ( a) = 0. 5) a + b = b + a para todos a, b A. 6) a, b A implica que a b A. 7) es asociativo: para todos a, b, c A, a (b c) = (a b) c. 8) Leyes de distributividad: Para toda a, b, c A se tiene que el producto es distributivo por la izquierda con la suma, es decir c (a + b) = c a + c b,y por la derecha, esto es (a + b) c = a c + b c. Ejemplo 35 ({0}, +, ) es un anillo trivial; (Z, +, ) es el anillo de los enteros ; (R, +, ) es el anillo de los reales. Ejercicio 36 Demuestre que (Z, +, ) y (R, +, ) son anillos. Entre más ricas sean las estructuras algebraicas, más propiedades tienen. Ahora las propiedades más importantes de los anillos. 7

8 Lema 37 En cualquier anillo (A, +, ), donde 0 es el elemento neutro de la operación binaria + (suma), vale lo siguiente: 1) Para todo a A, a 0 = 0 a = 0. 2) Para todo a, b A, ( a) b = (a b) y a ( b) = (a b). 3) Para todo a, b A, ( a) ( b) = a b. Dem ) Como a 0 = a (0+0) = a 0+a 0, y 0 = (a 0)+a 0 = (a 0)+a 0+a 0, entonces 0 = a 0. 2) (a b) + ( a) b = (a + ( a)) b = 0 b = 0. 3) Análogo a 2). Las propiedades anteriores son bien conocidas en los números reales, pero se cumplen en cualquier anillo. Algunos de los tipos especiales de anillos más usados en la literatura son los siguientes. Definición 39 Un anillo (A, +, ) se llama: Anillo conmutativo, si la operación es conmutativa. Anillo con unidad, si A tiene al menos dos elementos y la operación tiene un elemento neutro (llamado 1, la unidad). Anillo sin divisores de cero, si A tiene al menos dos elementos y a 0 y b 0 implica que a b 0 para todos a, b A. Dominio integral, si A es un anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero. Campo si A es un anillo sin divisores de cero cuyo semigrupo multiplicativo (A \ {0}, ) es un grupo abeliano. Semicampo si A es un anillo sin divisores de cero cuyo semigrupo multiplicativo (A \ {0}, ) es un grupo no abeliano. Ejercicio 40. 1) Expresar explícitamente todas la propiedades de un campo. 2) Demostrar que (Z, +, ), (Q, +, ) y (R, +, ) son anillos conmutativos con unidad sin divisores de cero. 3) Demostrar que (Q, +, ) y R, +, ) son campos. 4) Demostrar que ({2n : n Z}, +, ) es anillo conmutativo sin unidad sin divisores de cero. De forma análoga a como definimos un subgrupo, se puede definir un subanillo: Definición 41 Sea (A, +, ) un anillo y E A. (E, +, ) se llama subanillo de A si E forma un anillo por sí mismo, con las restricciones de las dos operaciones de A sobre E. Es fácil ver que E es un subanillo de A si y sólo si para todo a, b E se sigue que a + b, a b E. Además, los neutros multiplicativo y aditivo de E resultan coincidir con neutros multiplicativo y aditivo de A. 8

9 5 Ideales y anillos cociente En una sección anterior definimos los grupos cociente. Análogamente vamos a definir ahora los anillos cociente y algúnas de sus propiedades más interesantes. Sean (A, +, ) anillo y (H, +, ) un subanillo de A. Claramente se tiene que (H, +) tiene que ser subgrupo abeliano de (A, +). Pero si (H, +) es abeliano, esto implica que (H, +) es un subgrupo normal de (A, +). Entonces podemos construir (A, +)/ H = A/H = K. Si k a, k b K, se tiene que k a k b = {m + n m k a, n k b } = k a+b Analogamente definimos en el semigrupo (H, ) lo siguiente: k a k b = {m n : m k a, n k b } = {m n : m H + a, n H + b} = {(k 1 + a) (k 2 + b) = k 1 k 2 + k 1 b + a k 2 + a b, k 1, k 2 H}. Proposición 42 Sea (A, +, ) anillo y H A subanillo de A y sean a A y h H. Entonces la triada (A/ H,, ) es un anillo si a h H y h a H, con k a k b = k a+b, k a k b = k a b = {h + a b, h H} = H + ab. Ejercicio 43 Probar la proposición formalmente. Notación 44 Al anillo (A/H, +, ) se le llama anillo cociente y a H se le llama un ideal en A. Ejemplo 45 Sea el anillo (Z, +, ). El conjunto H = ({3n : n Z}, +, ) es un ideal de Z. Para ver esto, primero veamos que H es un subanillo de Z: 1) H es cerrado bajo la suma, ya que 3n + 3m = 3(n + m) H. 2) H tiene inversos, ya que (3n) = 3( n) H. 3) H es cerrado bajo el producto, ya que 3n 3m = 3(3nm) H. Entonces H es subanillo de Z. Además: + y son asociativos. El neutro de la suma es 0 = 3 0. Comentario 46 En el ejemplo anterior, (H, +, ) es un anillo conmutativo sin divisores de cero, pero no tiene unidad, ya que no existe n Z tal que 1 3n. Ejemplo 47 Referente al ejemplo anterior, ahora chequemos que H es ideal. Para ver esto, falta ver que el producto de un elemento de H con cualquier elemento de Z pertenece a H. Pero esto se sigue de (3n) m = 3(nm) H. Entonces Z 3 = (Z/H, +, ) es un anillo cociente. Ahora veamos como se ve este anillo cociente. Los elementos k a se pueden escribir como a, b Z, a H b si y sólo si a b H. Entonces a b es multiplo de 3, es decir, a y b dejan el mismo resto en sus divisiones entre 3, implicando lo siguiente: k 0 = H, k 1 = {3n + 1 : n Z}, k 2 = {3n + 2 : n Z}, 9

10 k 3n = k 0, k 3n+1 = k 1, k 3n+2 = k 2. Si las operaciones entre las clases de equivalencia están dadas por k a k b = k a+b, k a k b = k a b, entonces la suma y el producto están dados respectivamente por las siguientes tablas: k 0 k 1 k 2 k 0 k 0 k 1 k 2 y k 1 k 1 k 2 k 0 k 2 k 2 k 0 k 1 k 0 k 1 k 2 k 0 k 0 k 0 k 0 k 1 k 0 k 1 k 2 k 2 k 0 k 2 k 1 Por lo tanto, H es un ideal. Ejercicio 48 Respondan (sin pruebas explícitas) a las siguientes preguntas. 1) Cuáles de los anillos Z 2, Z 3, Z 4 no tienen divisores de cero? 2) Cuáles de estos anillos tienen divisores de cero? 3) Cuáles de estos anillos son campos? Ejercicio 49 Construya explicitamente los ideales de Z 4. 10

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