Definición 1 Un semigrupo es un conjunto E provisto de una operación binaria asociativa sobre E, se denota por (E, ).

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Definición 1 Un semigrupo es un conjunto E provisto de una operación binaria asociativa sobre E, se denota por (E, )."

Transcripción

1 ALGEBRA La primera parte del presente libro está dedicada a las estructuras algebraicas. En esta parte vamos a iniciar agregándole a los conjuntos operaciones. Cuando las operaciones tienen determinadas propiedades, estos conjuntos con operaciones definidas en el conjunto reciben diferentes nombres. La estructura más simple, un conjunto más una operación asociativa se llama un semigrupo. Requiriendo propiedades más específicas a la operación, se llega a la estructura llamada grupo. De esta forma, los conjuntos se van enriqueciendo con operaciones formando estructuras cada vez más ricas e interesantes. Luego agregaremos dos y más operaciones, aunque aquí sólo nos limitaremos a las estructuras más básicas y más usadas en las matemáticas. 1 Semigrupos y grupos Los grupos han adquirido suma importancia en muchos campos de aplicación de las matemáticas. En física y química la estructura de grupo es fundamental tanto para entender las simetrías en teorías de campo, en teorías de partículas elementales, como para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Los grupos son estructuras básicas de las matemáticas. Un grupo es un conjunto provisto de una operación con ciertas propiedades, las cuales generalizan de forma abstracta operaciones que nos son familiares desde niños para calcular con números. Antes de definir un grupo, consideramos entonces un concepto todavía más simple, el de semigrupo: Definición 1 Un semigrupo es un conjunto E provisto de una operación binaria asociativa sobre E, se denota por (E, ). El hecho que es una operación binaria sobre E significa que, siempre cuando a, b A, entonces a b A. Veamos unos ejemplos: Ejemplo 2 Sea A = {f : A A} el conjunto de todos los mapeos del conjunto A en sí mismo, y consideramos la operación de composición (concatenación) entre mapeos, entonces (A, ) es un semigrupo. Observamos que (A, ) además tiene un elemento especial: un elemento neutro, el mapeo identidad I A definido por I A (x) = x para todo x A, pues, definitivamente I A f = f I A para cualquier f A. Notación 3 Si un semigrupo E tiene un elemento identidad, es decir, un elemento e E tal que e a = a para todo a E, el semigrupo se llama monoide. Ejemplo 4 Sea A un conjunto arbitrario (por ejemplo, de letras y cifras ). Una secuencia finita de elementos de A la llamamos una palabra sobre A, es decir, una palabra tiene la forma (a 1, a 2, a 3,..., a n ), con n 1, n natural, a i A para todo i. El número n es llamado longitud de la palabra. Adicionalmente 1

2 se considera la palabra vacía, denotada por y definida como la secuencia de longitud cero (la cual no contiene ningún elemento). Entonces el conjunto de palabras sobre A está dado por E = {(a i ) n i=1, n N, a i A para toda i = 1,..., n} { }. Definimos ahora la adición de palabras como: (a 1, a 2, a 3,..., a k ) + (b 1, b 2, b 3,..., b l ) = (a 1, a 2, a 3,..., a k, b 1, b 2, b 3,..., b l ) Es evidente que (E, +) es un semigrupo, llamado el semigrupo de las palabras, el cual tiene importancia básica en las ciencias de la computación. La adición + aquí definidida es claramente no conmutativa y tiene un elemento neutro: la palabra vacía. Con esto ya estamos listos para la definición de grupo. Definición 5 Un grupo (E, ) es un semigrupo con elemento neutro y elementos inversos, es decir: 1) (E, ) es semigrupo. 2) Existe e E tal que e a = a. 3) Para todo a E, existe x E tal que x a = e. Al elemento x se le denota por a 1. Notación 6 En caso de que la operación sea además conmutativa, (E, ) se llama grupo abeliano o grupo conmutativo. Antes de considerar unos ejemplos de grupos, observamos los siguientes detalles y propiedades elementales: Comentario 7 Sea E grupo y a E. Según la definición, existe x E tal que x a = e, es decir, x es un inverso por la izquierda de a. Pero x a x = e x = x. Por otro lado, existe y E tal que y x = e. Eso significa (y x)a x = y x, en consecuencia e a x = e, entonces a x = e, es decir, x es a la vez inverso por la derecha de a. El elemento x se llama inverso de a y se denota por a 1. Comentario 8 En un grupo vale lo siguiente: Para cada a E existe a 1 E tal que a 1 a = a a 1 = e, lo cual significa que las ecuaciones x a = e y a x = e, con a E, x incógnita, siempre se pueden resolver. Para cada a E, su inverso a 1 es determinado de manera única. El elemento neutro también es determinado de manera única. Además, según la definición, el neutro primero es un neutro por la izquierda. Sin embargo, con e a = a tenemos también a e = a (a 1 a) = (a a 1 ) a = e a = a, así que, e es a la vez un neutro por la derecha. En consecuencia: Para toda a E, se tiene que e a = a e = a. 2

3 Para a, b, c E, a c = b c implica que a = b, lo cual es fácil de deducir. Para a, b E, (a b) 1 = b 1 a 1, puesto que (b 1 a 1 ) (a b) = b 1 (a 1 a) b = e. Ahora analizamos unos ejemplos : Ejemplo 9 (Z, +) el conjunto de los números enteros con la suma ordinaria, es un grupo abeliano. Su neutro es el número 0; para cada entero a, su inverso es el número a. Asimismo, los números racionales Q, los reales R, y los complejos C, cada uno con la suma ordinaria, son grupos abelianos. Ejemplo 10 (Z, ), el conjunto de los enteros con el producto ordinario, es un semigrupo conmutativo, cuyo neutro es el número 1. Sin embargo, no es un grupo, puesto que para cualquier entero a diferente de 1 y distinto de 0 (!), su inverso multiplicativo sería el número a 1 = 1 a, el cual en general no es entero. Ejemplo 11 El conjunto Q de los racionales, igualmente como el de los reales R y el de los complejos C, con el producto ordinario, son semigrupos conmutativos con el neutro 1, pero no son grupos. Eso se debe a que el número 0, el cual es el neutro aditivo, no tiene inverso multiplicativo, puesto que 1 0 no es un número. Por otro lado, es evidentemente que (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ) y (C \ {0}, ) son grupos abelianos. Ejemplo 12 Sea A un conjunto y A 1 1 = {f : A A, f biyectiva } el conjunto de los mapeos biyectivos de A en sí mismo. Entonces (A 1 1, ) con la operación de la composición (concatenación), es un grupo, en general este grupo no es abeliano. El neutro de este grupo (su unidad) es el mapeo idéntico I A : A A definido por I A (x) = x para todo x A. El elemento inverso para cada f A 1 1 es el mapeo inverso f 1, cuya existencia está asegurada para cualquier biyección. (A 1 1, ) se llama el grupo de permutaciones del conjunto A, cada f A 1 1 es llamado una permutación de A. Ejercicio 13. 1) Demuestre que Z 2 = ({1, 1}, ) es un grupo. 2) Sea el conjunto A = {a, b, c}. Defina un producto + en A de tal forma que (A, +) sea un grupo. Se puede definir + de tal forma que (A, +) sea abeliano? Ejercicio 14 Sea O(n) = {O : O es matriz n n con O T = O 1 }. Demuestre que este conjunto es un grupo con la multiplicación de matrices. Ejercicio ( ) 15 Sea el conjunto SU(2) = {U : U es matriz 2 2 compleja U = a b, con d = a c d y c = b }, donde * significa complejo conjugado. Demuestre que SU(2) es un grupo con el producto entre matrices. Observe que det U = 1. 3

4 2 Homomorfismos Las estructuras algebraicas suelen tener semejanzas entre ellas. Estas semejanzas se representan utilizando el concepto de mapeos muy especiales llamados morfismo. Los morfismos nos sirven para relacionar conjuntos con estructuras entre sí, de tal forma que con estos morfismo, uno puede estudiar propiedades de algún conjunto usando otro, en donde estas propiedades sean más simples de entender. En esta sección daremos sólo la definición de estos morfismos para grupos. Definición 16 Sean (E, ) y (F, ) grupos y f : E F. f se llama homomorfismo si f(a b) = f(a) f(b) para toda a, b E. Un homomorfismo se llama monomorfismo si f es mapeo 1 1; epimorfismo si f es mapeo sobre; isomorfismo si f es biyectiva; automorfismo de E si f es isomofismo y f : E E. Ejemplo 17 Sea el conjunto Z 2 = {k 0, k 1 } con el producto + definido por k 0 + k 0 = k 0, k 0 + k 1 = k 1, k 1 + k 0 = k 1 y k 1 + k 1 = k 0. Es fácil ver que (Z 2, +) es un grupo. Ahora tomemos la función f : Z 2 Z 2, tal que f(k 0 ) = 1 y f(k 1 ) = 1. Entonces se tiene que f(k 0 + k 0 ) = f(k 0 ) = 1 = 1 1 = f(k 0 ) f(k 0 ) f(k 0 + k 1 ) = f(k 1 ) = 1 = 1 ( 1) = f(k 0 ) f(k 1 ) f(k 1 + k 0 ) = f(k 1 ) = 1 = ( 1) 1 = f(k 1 ) f(k 0 ) f(k 1 + k 1 ) = f(k 0 ) = 1 = ( 1) ( 1) = f(k 1 ) f(k 1 ) Por lo que f es un homomorfismo entre los grupos (Z 2, +) y (Z 2, ). Además es un homomorfismo 1-1, por lo que es un monomorfismo, y es sobre, entonces también es un epimorfismo, por lo que f es un isomorfismo entre estos dos grupos. 3 Subgrupo y grupo cociente Los subconjuntos de un conjunto A con estructura de grupo, no necesariamente son grupos. Eso es fácil verlo, ya que si, por ejemplo, un subconjunto de A no contiene el neutro o no tiene los inversos de todos los elementos del subconjunto, éste no será grupo. Sin embargo, si en este subconjunto se tiene también la estructura de grupo con la misma operación binaria que el original, entonces se sigue la siguiente definición. Definición 18 Sean A B y (B, ) un grupo. Se dice que A es un subgrupo de (B, ) si (A, ) también es grupo. 4

5 Observemos que en A se considera la misma operación de (B, ), solo restringuida al conjunto A. Es fácil ver que, teniendo al grupo (B, ) y al subconjunto A B, A forma un subgrupo si y sólo si para todo a, b A se sigue que a b A, y que el elemento neutro del grupo (A, ) es entonces el mismo elemento neutro de (B, ). Notación 19 Si el conjunto A es subgrupo del conjunto B, lo vamos a denotar también como A gr B. Ahora vamos a introducir un concepto muy importante en los grupos que después extenderemos para los anillos, es el concepto de grupo cociente. Primero vamos a introducir una relación de equivalencia en el grupo, con ella, el conjunto se separa en clases de equivalencia formando al conjunto de las clases. Luego podemos definir en ciertas ocasiones una operación en el conjunto de las clases y con este formar de nuevo un grupo. A este grupo lo llamaremos grupo cociente. Definición 20 Sean (E, ) un grupo y H un subgrupo de E, es decir H gr E, y sean a, b E. Definimos una relación H por a H b a b 1 H Lema 21 H es una relación de equivalencia. Dem. 22 Chequemos que se cumple la definición de relación de equivalencia. 1) H contiene al elemento neutro e de E puesto que H es subgrupo de E. Además, a H implica que a 1 H por lo mismo y la definición de H. Se sigue que e H sii a a 1 H. Esto implica que a H a o sea H es reflexiva. 2) Sean a H b, por definición esto es equivalente a a b 1 H. Por ser subgrupo se sigue que (a b 1 ) 1 H y esto es equivalente a b a 1 H. Eso implica que b H a, es decir H es simétrica. 3) Sean a H b y b H c. Entonces a b 1 H y b c 1 H. Pero H es cerrado bajo, por lo cual (a b 1 ) (b c 1 ) = a e c 1 = a c 1 H, es decir a H c, lo que implica que H es transitiva. Corolario 23 H genera una descomposición de E en clases de equivalencia: E/ H = {[a] a E}. Notación 24 Vamos a denotar a estas clases de equivalencia [a] como k a, y al conjunto E/ H de clases de equivalencia como K = {k a a E}. Ejemplo 25 Unos ejemplos interesantes de tales clases son los siguientes: k e = {b E e H b e b 1 = b 1 H} = H k a = {b E a H b b a 1 = h H} = {b E b = ha} = {h a E h H} = H a donde la última identidad es la notación que usaremos para este conjunto. Para poder definir una estructura de grupo en el conjunto de las clases, es necesario que el grupo original tenga una propiedad más. Esta propiedad es la siguiente. 5

6 Definición 26 Un subgrupo H E se llama subgrupo normal de E si cumple que a H = H a para toda a E. Observemos primero que si el grupo original es abeliano, entonces todos sus subgrupos son normales. Pero si el grupo no es abeliano, hay que entender con cuidado la definición anterior. El hecho de que a H = H a implica que, para cualquier h H, a h pertenece también al conjunto H a, es decir, existe algún elemento h 1 H tal que a h = h 1 a, donde h 1 no necesariamente coincide con h. Y viceversa, para a h (con h H), existe h 2 H tal que a h = h 2 a. Si para todo h H, existen estos elementos h 1 y h 2, el grupo es normal. Entonces podemos dar la estructura de grupo al conjunto K de las clases usando la siguiente definición: Definición 27 Sean k a, k b K clases de E generadas por H. Se define el producto k a k b = {[x y] x k a K, y k b K} = k a b como el producto entre clases de equivalencia. Con este producto, el conjunto de las clases de equivalencia resulta tener una estructura de grupo. Proposición 28 Sea E grupo y H un subgrupo normal de E. Sean k a K las clases generadas por H con a E. Con el producto k a k b = k a b se sigue que (E/ H, ) es un grupo, es decir, (K, ) es un grupo. Dem. 29 Chequemos que se cumple la definición de grupo. a) k a k b K ya que (H a) (H b) = H (a H) b = H H a b = H a b (ya que H H = H), lo cual implica que k a k b = k a b K. b) (k a k b ) k c = (H a H b) H c = H a (H b H c). c) k e K y es el neutro del grupo, ya que k a k e = k a e = k a. d) k a k a 1 = k a a 1 = k e Notación 30 Al grupo K se le denota como K = E/H y se le llama el grupo cociente de E por H. El siguiente ejemplo nos dará mayor claridad sobre las definiciones anteriores. Ejemplo 31 Sea (Z, +) y H = {2n n Z}, el grupo de los enteros pares. Entonces (H, +) es subgrupo normal de (Z, +). Veamos esto con detalle. Observemos que la relación H para los elementos a, b Z es tal que si a H b, se tiene que a + ( b) H, lo cual implica que a b debe estar en H, es decir, debe ser par. Pero esto solo pasa si ambos a y b son pares o ambos son impares. Vamos a definir las clases de equivalencia de los pares y las clases de equivalencia de los impares en los enteros como: k 0 = {b Z b H 0} = H, k 1 = {b Z b H 1} = {2n + 1, n Z}, k 2 = H, 6

7 es decir, K = {k 0, k 1 }. Observemos que con la suma (el producto de grupo) dada por k i k i = k i+j, el conjunto K de clases forma un grupo, puesto que k 0 k 0 = k 0, k 0 k 1 = k 1 k 0 = k 1, k 1 k 1 = k 2 = k 0. Pero ya habíamos visto en el ejemplo 17 que este grupo es isomorfo a Z 2, por lo que Z/H = Z 2 = Z/{2n n Z}. Ejercicio 32 Construir a los grupos cocientes Z 3 = Z/{3n n Z} (multiplos de 3) y Z 4 = Z/{4n n Z} (multiplos de 4). 4 Anillos y campos Otras estructuras algebraicas de mucha importancia son los anillos y los campos. En esta sección veremos la definición de estos. Definición 33 Sea A conjunto y, + operaciones binarias sobre A, es decir, mapeos de A A en A. A la triada (A, +, ) se le llama anillo si 1) (A, +) es grupo abeliano; 2) (A, ) es semigrupo; 3) las operaciones + y son distributivos. Comentario 34 Explícitamente, un conjunto con las operaciones + y es un anillo, si se cumple lo siguiente 1) Para toda a, b A, a + b A. 2) + es asociativo: para todos a, b, c A, a + (b + c) = (a + b) + c. 3) Existe e A tal que e + a = a + e = a para toda a A. A e también se le llama el cero de A y se le denota por e = 0. 4) Para toda a A, existe a A tal que a + ( a) = 0. 5) a + b = b + a para todos a, b A. 6) a, b A implica que a b A. 7) es asociativo: para todos a, b, c A, a (b c) = (a b) c. 8) Leyes de distributividad: Para toda a, b, c A se tiene que el producto es distributivo por la izquierda con la suma, es decir c (a + b) = c a + c b,y por la derecha, esto es (a + b) c = a c + b c. Ejemplo 35 ({0}, +, ) es un anillo trivial; (Z, +, ) es el anillo de los enteros ; (R, +, ) es el anillo de los reales. Ejercicio 36 Demuestre que (Z, +, ) y (R, +, ) son anillos. Entre más ricas sean las estructuras algebraicas, más propiedades tienen. Ahora las propiedades más importantes de los anillos. 7

8 Lema 37 En cualquier anillo (A, +, ), donde 0 es el elemento neutro de la operación binaria + (suma), vale lo siguiente: 1) Para todo a A, a 0 = 0 a = 0. 2) Para todo a, b A, ( a) b = (a b) y a ( b) = (a b). 3) Para todo a, b A, ( a) ( b) = a b. Dem ) Como a 0 = a (0+0) = a 0+a 0, y 0 = (a 0)+a 0 = (a 0)+a 0+a 0, entonces 0 = a 0. 2) (a b) + ( a) b = (a + ( a)) b = 0 b = 0. 3) Análogo a 2). Las propiedades anteriores son bien conocidas en los números reales, pero se cumplen en cualquier anillo. Algunos de los tipos especiales de anillos más usados en la literatura son los siguientes. Definición 39 Un anillo (A, +, ) se llama: Anillo conmutativo, si la operación es conmutativa. Anillo con unidad, si A tiene al menos dos elementos y la operación tiene un elemento neutro (llamado 1, la unidad). Anillo sin divisores de cero, si A tiene al menos dos elementos y a 0 y b 0 implica que a b 0 para todos a, b A. Dominio integral, si A es un anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero. Campo si A es un anillo sin divisores de cero cuyo semigrupo multiplicativo (A \ {0}, ) es un grupo abeliano. Semicampo si A es un anillo sin divisores de cero cuyo semigrupo multiplicativo (A \ {0}, ) es un grupo no abeliano. Ejercicio 40. 1) Expresar explícitamente todas la propiedades de un campo. 2) Demostrar que (Z, +, ), (Q, +, ) y (R, +, ) son anillos conmutativos con unidad sin divisores de cero. 3) Demostrar que (Q, +, ) y R, +, ) son campos. 4) Demostrar que ({2n : n Z}, +, ) es anillo conmutativo sin unidad sin divisores de cero. De forma análoga a como definimos un subgrupo, se puede definir un subanillo: Definición 41 Sea (A, +, ) un anillo y E A. (E, +, ) se llama subanillo de A si E forma un anillo por sí mismo, con las restricciones de las dos operaciones de A sobre E. Es fácil ver que E es un subanillo de A si y sólo si para todo a, b E se sigue que a + b, a b E. Además, los neutros multiplicativo y aditivo de E resultan coincidir con neutros multiplicativo y aditivo de A. 8

9 5 Ideales y anillos cociente En una sección anterior definimos los grupos cociente. Análogamente vamos a definir ahora los anillos cociente y algúnas de sus propiedades más interesantes. Sean (A, +, ) anillo y (H, +, ) un subanillo de A. Claramente se tiene que (H, +) tiene que ser subgrupo abeliano de (A, +). Pero si (H, +) es abeliano, esto implica que (H, +) es un subgrupo normal de (A, +). Entonces podemos construir (A, +)/ H = A/H = K. Si k a, k b K, se tiene que k a k b = {m + n m k a, n k b } = k a+b Analogamente definimos en el semigrupo (H, ) lo siguiente: k a k b = {m n : m k a, n k b } = {m n : m H + a, n H + b} = {(k 1 + a) (k 2 + b) = k 1 k 2 + k 1 b + a k 2 + a b, k 1, k 2 H}. Proposición 42 Sea (A, +, ) anillo y H A subanillo de A y sean a A y h H. Entonces la triada (A/ H,, ) es un anillo si a h H y h a H, con k a k b = k a+b, k a k b = k a b = {h + a b, h H} = H + ab. Ejercicio 43 Probar la proposición formalmente. Notación 44 Al anillo (A/H, +, ) se le llama anillo cociente y a H se le llama un ideal en A. Ejemplo 45 Sea el anillo (Z, +, ). El conjunto H = ({3n : n Z}, +, ) es un ideal de Z. Para ver esto, primero veamos que H es un subanillo de Z: 1) H es cerrado bajo la suma, ya que 3n + 3m = 3(n + m) H. 2) H tiene inversos, ya que (3n) = 3( n) H. 3) H es cerrado bajo el producto, ya que 3n 3m = 3(3nm) H. Entonces H es subanillo de Z. Además: + y son asociativos. El neutro de la suma es 0 = 3 0. Comentario 46 En el ejemplo anterior, (H, +, ) es un anillo conmutativo sin divisores de cero, pero no tiene unidad, ya que no existe n Z tal que 1 3n. Ejemplo 47 Referente al ejemplo anterior, ahora chequemos que H es ideal. Para ver esto, falta ver que el producto de un elemento de H con cualquier elemento de Z pertenece a H. Pero esto se sigue de (3n) m = 3(nm) H. Entonces Z 3 = (Z/H, +, ) es un anillo cociente. Ahora veamos como se ve este anillo cociente. Los elementos k a se pueden escribir como a, b Z, a H b si y sólo si a b H. Entonces a b es multiplo de 3, es decir, a y b dejan el mismo resto en sus divisiones entre 3, implicando lo siguiente: k 0 = H, k 1 = {3n + 1 : n Z}, k 2 = {3n + 2 : n Z}, 9

10 k 3n = k 0, k 3n+1 = k 1, k 3n+2 = k 2. Si las operaciones entre las clases de equivalencia están dadas por k a k b = k a+b, k a k b = k a b, entonces la suma y el producto están dados respectivamente por las siguientes tablas: k 0 k 1 k 2 k 0 k 0 k 1 k 2 y k 1 k 1 k 2 k 0 k 2 k 2 k 0 k 1 k 0 k 1 k 2 k 0 k 0 k 0 k 0 k 1 k 0 k 1 k 2 k 2 k 0 k 2 k 1 Por lo tanto, H es un ideal. Ejercicio 48 Respondan (sin pruebas explícitas) a las siguientes preguntas. 1) Cuáles de los anillos Z 2, Z 3, Z 4 no tienen divisores de cero? 2) Cuáles de estos anillos tienen divisores de cero? 3) Cuáles de estos anillos son campos? Ejercicio 49 Construya explicitamente los ideales de Z 4. 10

LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS

LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS Sea una estructura formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley interna, comúnmente denotada por " * ", que

Más detalles

Estructuras algebraicas. Departamento de Álgebra. Apuntes de teoría

Estructuras algebraicas. Departamento de Álgebra.  Apuntes de teoría ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 2015/2016 Apuntes de teoría Tema 1: Grupos y subgrupos. 1.1. Introducción Definición 1.1. Un grupo es un par (G, ), donde G es un conjunto no vacío,

Más detalles

Estructuras Algebraicas

Estructuras Algebraicas Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos

Más detalles

UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS UNIVERSIDAD DON BOSCO - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ÁLGEBRA LINEAL - GUIÓN DE CLASE - SEMANA 10 - CICLO 01-2015 Estudiante: Grupo: 1. Aplicaciones 1.1. Aplicaciones.

Más detalles

Con esta definición de grupo, es directo que el neutro es único, al igual que el inverso de. , donde es conmutativo, se denomina Abeliano.

Con esta definición de grupo, es directo que el neutro es único, al igual que el inverso de. , donde es conmutativo, se denomina Abeliano. Teoría de Grupos Definiciones Básicas Definición 5 (Grupo) Sea una estructura algebraica con una ley de composición interna. Decimos que es un grupo si: 1. es asociativa. 2. tiene neutro. 3. toda tiene

Más detalles

Estructuras Algebraicas

Estructuras Algebraicas Estructuras Algebraicas Luis Manuel Hernández Ramos 12 24 de mayo de 2007 1 Centro de Calculo Científico y Tecnológico, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela, Caracas. 2 e-mail: luish@kuaimare.ciens.ucv.ve

Más detalles

UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS UNIVERSIDAD DON BOSCO - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ÁLGEBRA LINEAL - GUIÓN DE CLASE - SEMANA 10 - CICLO 01-2015 Estudiante: Grupo: 1. Aplicaciones 1.1. Aplicaciones.

Más detalles

Definición 1.1 Sea G un conjunto. Una operación binaria en G es una aplicación m: G G G.

Definición 1.1 Sea G un conjunto. Una operación binaria en G es una aplicación m: G G G. 1 Definición y propiedades Definición 1.1 Sea G un conjunto. Una operación binaria en G es una aplicación m: G G G. Definición 1.2 Sea G un conjunto i) Si G tiene una operación binaria definida en G, se

Más detalles

Dado un conjunto A, llamamos operación binaria interna o ley de composición interna a cualquier función de A A en A. [1] [1] [0]

Dado un conjunto A, llamamos operación binaria interna o ley de composición interna a cualquier función de A A en A. [1] [1] [0] Contents 2 Operaciones y estructuras algebraicas. 2 2.1 Propiedades...................................................... 4 2.2 Elementos Particulares.............................................. 7 2.3

Más detalles

Grupos libres. Presentaciones.

Grupos libres. Presentaciones. S _ Tema 12.- Grupos libres. Presentaciones. 12.1 Grupos libres. En el grupo Z de los enteros vimos una propiedad (cf. ejemplos.5), que lo caracteriza como grupo libre. Lo enunciamos al modo de una Propiedad

Más detalles

b) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A

b) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica:

Más detalles

Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo.

Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo. 1 Tema 5.-. Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo. 5.1. Anillos y cuerpos Definición 5.1.1. Un anillo es una terna (A, +, ) formada por un conjunto A

Más detalles

Tema 1.- Nociones preliminares: grupos, anillos, cuerpos. Divisibilidad

Tema 1.- Nociones preliminares: grupos, anillos, cuerpos. Divisibilidad Tema 1.- Nociones preliminares: grupos, anillos, cuerpos. Divisibilidad 1.1 Grupos Al haber alterado el orden de los temas, este apartado ya se ha visto en el tema 9 1.2 Anillos y cuerpos Definición 1.2.1.

Más detalles

Tema 2. Grupos. 3. El conjunto de matrices de orden 2 con coeficientes enteros (o reales) con la suma es un grupo conmutativo.

Tema 2. Grupos. 3. El conjunto de matrices de orden 2 con coeficientes enteros (o reales) con la suma es un grupo conmutativo. Tema 2. Grupos. 1 Grupos Definición 1 Un grupo es una estructura algebraica (G, ) tal que la operación binaria verifica: 1. * es asociativa 2. * tiene elemento neutro 3. todo elemento de G tiene simétrico.

Más detalles

Teorema de Lagrange. En esta sección demostramos algunos hechos básicos sobre grupos, que se pueden deducir de la definición

Teorema de Lagrange. En esta sección demostramos algunos hechos básicos sobre grupos, que se pueden deducir de la definición Teorema de Lagrange Capítulo 3 3.1 Introducción En este capítulo estudiaremos uno de los teoremas más importantes de toda la teoría de grupos como lo es el Teorema de Lagrange. Daremos en primer lugar

Más detalles

Ampliación Matemática Discreta. Justo Peralta López

Ampliación Matemática Discreta. Justo Peralta López Justo Peralta López UNIVERSIDAD DE ALMERíA DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 Anillos 2 Cuerpos e ideales 3 El anillo cociente 3 Más sobre anillos e ideales Anillos Sea R un conjunto de elementos

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS GRUPOS: DEFINICIÓN Y EJEMPLOS. La Teoría de Grupos tiene muchas aplicaciones desde Cristalografía hasta Criptografía, pasando por la resolución de ecuaciones. Nosotros vamos a

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Semana 10[1/14] 26 de abril de 2007 Semana 10[2/14] Grupos Un grupo es un caso particular de una estructura algebraica. Veremos que esta noción rescata ampliamente las propiedades de estructuras tales

Más detalles

Definición 1. Dado un conjunto C una aplicación definida por : C C C

Definición 1. Dado un conjunto C una aplicación definida por : C C C ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. En matemáticas aparecen distintos conjuntos cuyos elementos podemos operar de alguna manera. Los conjuntos de números usuales: N, Z, Q, y R son unos ejemplos claros. Otros ejemplos

Más detalles

1 Introducción al Álgebra conmutativa

1 Introducción al Álgebra conmutativa 1 Introducción al Álgebra conmutativa Escrito por: Patrizio Guagliardo y Miguel Monsalve. A continuación, daremos algunas definiciones básicas de estructuras algebraicas para empezar a trabajar rápidamente

Más detalles

Funciones y Cardinalidad

Funciones y Cardinalidad Funciones y Cardinalidad Definición 1 Llamaremos función f entre dos conjuntos A y B a una relación que verifica las siguientes propiedades: i) Dom(f) = A ii) Si (a, b), (a, c) f entonces b = c Dicho de

Más detalles

Álgebra y Trigonometría

Álgebra y Trigonometría Álgebra y Trigonometría Conceptos fundamentales del Álgebra Universidad de Antioquia Departamento de Matemáticas 1. Números Reales El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases

Más detalles

(n, a)(m, b) = (nm, ma + nb) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y (a, b)(c, d) = (ac, bd)

(n, a)(m, b) = (nm, ma + nb) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y (a, b)(c, d) = (ac, bd) TEMA 3 Anillos. Dominios euclídeos. Ejercicio 3.1. Sea X un conjunto no vacío y R = P(X), el conjunto de partes de X. Si se consideran en R las operaciones: A + B = (A B) (A B) A B = A B demostrar que

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Semana 11[1/22] 4 de mayo de 2007 Anillos y cuerpos Semana 11[2/22] Anillos Comenzamos ahora el estudio de estructuras algebraicas que tengan definidas dos operaciones, y las clasificaremos en anillos

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS GRUPOS PRODUCTO Y COCIENTE. El producto cartesiano de dos grupos y el conjunto cociente de un grupo respecto de ciertas relaciones, son dos formas de construir nuevos grupos.

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS.

CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. TEMA 11 ÍNDICE CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. 1. INTRODUCCIÓN 2. CONJUNTOS 3. SUBCONJUNTOS 4. OPERACIONES 4.1 UNIÓN 4.2 INTERSECCIÓN 4.3 COMPLEMENTO 4.4 DIFERENCIA

Más detalles

Descomposición de dos Anillos de Funciones Continuas

Descomposición de dos Anillos de Funciones Continuas Miscelánea Matemática 38 (2003) 65 75 SMM Descomposición de dos Anillos de Funciones Continuas Rogelio Fernández-Alonso Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana-I 09340 México, D.F.

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS. a = qm + r

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS. a = qm + r AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS CONGRUENCIAS DE ENTEROS. Dado un número natural m N\{0} sabemos (por el Teorema del Resto) que para cualquier entero a Z existe un único resto r de modo que con a = qm + r r {0,

Más detalles

Anillos. a + (b + c) = (a + b) + c. 3) Existe un elemento 0 en R, el cual llamaremos cero, tal que. a + 0 = 0 + a = a para todo a en R.

Anillos. a + (b + c) = (a + b) + c. 3) Existe un elemento 0 en R, el cual llamaremos cero, tal que. a + 0 = 0 + a = a para todo a en R. Capítulo 7 Anillos 7.1 Definiciones Básicas El concepto de Anillo se obtiene como una generalización de los números enteros, en donde están definidas un par de operaciones, la suma y el producto, relacionadas

Más detalles

Ejercicios de Álgebra Básica. Curso 2015/16

Ejercicios de Álgebra Básica. Curso 2015/16 Ejercicios de Álgebra Básica Curso 2015/16 Tema 2: Introducción a la teoría de grupos Propiedades El grupo de las permutaciones Ejercicio 1 Probar que Z con la operación a b = a+b+1 es un grupo Ejercicio

Más detalles

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ). 1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden

Más detalles

Anillos de Galois. XXVII Escuela Venezolana de Matemáticas EMALCA. Edgar Martínez-Moro Sept. 2014

Anillos de Galois. XXVII Escuela Venezolana de Matemáticas EMALCA. Edgar Martínez-Moro Sept. 2014 Anillos de Galois XXVII Escuela Venezolana de Matemáticas EMALCA Edgar Martínez-Moro Sept. 2014 Definición y primeras propiedades Un anillo asociativo A se llama anillo de Galois (denotado GR por sus siglas

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Estructuras algebraicas Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza 1 Relaciones binarias 11 Recordatorio Definición Dados dos conjuntos A y B se llama producto cartesiano de A por B

Más detalles

Ejercicios de Estructuras Algebraicas 1

Ejercicios de Estructuras Algebraicas 1 Ejercicios de Estructuras Algebraicas 1 Números enteros y polinomios 1. Para cada una de las siguientes parejas de números enteros, hallar el máximo común divisor, el mínimo común múltiplo y una identidad

Más detalles

Fracciones Algebraicas

Fracciones Algebraicas Fracciones Algebraicas 1 Conceptos básicos Definición 1 Una fracción algebraica en la indeterminada x (o cualquier otra letra) es una expresión de la forma, donde tanto P como Q son polinomios con coeficientes

Más detalles

Algebra II. Relación 2. Curso Grupos: generalidades y ejemplos. Ejercicio 2. Describir explícitamente la tabla de multiplicar de los grupos

Algebra II. Relación 2. Curso Grupos: generalidades y ejemplos. Ejercicio 2. Describir explícitamente la tabla de multiplicar de los grupos Algebra II Relación 2 Curso 2017-2018 Grupos: generalidades y ejemplos Ejercicio 1. Describir explícitamente la tabla de multiplicar de los grupos Z n para n = 4, n = 6 y n = 8, donde por Z n denotamos

Más detalles

Tema 2: El grupo de las permutaciones

Tema 2: El grupo de las permutaciones Tema 2: El grupo de las permutaciones Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Octubre de 2014 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las

Más detalles

Capítulo 4: Conjuntos

Capítulo 4: Conjuntos Capítulo 4: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2014 Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de

Más detalles

SUCESIONES DE CAUCHY DE NÚMEROS RACIONALES.

SUCESIONES DE CAUCHY DE NÚMEROS RACIONALES. SUCESIONES DE CAUCHY DE NÚMEROS RACIONALES La construcción más habitual, es la que se utiliza los límites las sucesiones de Cauchy del cuerpo Donde Una sucesión, se dice que es de CAUCHY si satisface:

Más detalles

Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios

Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios , Valores y Vectores Propios José Juan Rincón Pasaye, División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNH Curso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias opciones: Sistemas de Control y Sistemas

Más detalles

BLOQUE 1. LOS NÚMEROS

BLOQUE 1. LOS NÚMEROS BLOQUE 1. LOS NÚMEROS Números naturales, enteros y racionales. El número real. Intervalos. Valor absoluto. Tanto el Cálculo como el Álgebra que estudiaremos en esta asignatura, descansan en los números

Más detalles

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS B.1 Operaciones (leyes de composición interna).

Más detalles

TEMA 5: NÚMEROS RACIONALES ÍNDICE:

TEMA 5: NÚMEROS RACIONALES ÍNDICE: TEMA 5: NÚMEROS RACIONALES ÍNDICE: 1 INTRODUCCIÓN 2 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES 3 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS RACIONALES 4 SUMA DE NÚMEROS RACIONALES 5 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS

Más detalles

Algebra Abstracta. 28 de diciembre de 2007

Algebra Abstracta. 28 de diciembre de 2007 Álgebra Abstracta. 28 de diciembre de 2007 2 Índice general 1. Grupos. 5 1.1. Semigrupos, monoides y grupos.......................... 5 1.1.1. Ejemplos de grupos............................. 7 1.2. Subgrupos......................................

Más detalles

Tema 3.- Funciones y morfismos racionales sobre variedades. Explosiones.

Tema 3.- Funciones y morfismos racionales sobre variedades. Explosiones. Tema 3.- Funciones y morfismos racionales sobre variedades. Explosiones. En lo que sigue k denotará un cuerpo algebraicamente cerrado. 3.1.- Funciones regulares sobre variedades afines. Sea V un c.a.a.

Más detalles

Álgebra Básica. Eugenio Miranda Palacios Leyes de composición. Estructuras algebraicas.

Álgebra Básica. Eugenio Miranda Palacios Leyes de composición. Estructuras algebraicas. Álgebra Básica Eugenio Miranda Palacios 3. Anillos conmutativos 3.1. Leyes de composición. Estructuras algebraicas. Sean A, M conjuntos. Definición 3.1. Una operación binaria o ley de composición interna

Más detalles

TEMA 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMA DE NUMERACIÓN

TEMA 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMA DE NUMERACIÓN 1 TEMA 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMA DE NUMERACIÓN 1. INTRODUCCIÓN Los números naturales aparecen debido a la necesidad que tiene el hombre para contar. Para poder construir este conjunto N, podemos seguir

Más detalles

Chapter 1. Grupos. 1.1 Introducción

Chapter 1. Grupos. 1.1 Introducción Chapter 1 Grupos 1.1 Introducción La estructura de grupo es una de las más comunes en toda la matemática pues aparece en forma natural en muchas situaciones, donde se puede definir una operación sobre

Más detalles

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 215/216 Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. 1.1. Grupo abeliano libre. Bases. Definición 1.1. El grupo Z n con

Más detalles

Anillos. 3.1 Anillos. a b c d e a a a a a a b a b c d e c a c e b d d a d b e c e a e d c b

Anillos. 3.1 Anillos. a b c d e a a a a a a b a b c d e c a c e b d d a d b e c e a e d c b Capítulo 3 Anillos Hemos utilizado estructuras en las que hay dos operaciones, como la suma y el producto en Z. El objeto más básico de este tipo es un anillo, cuyos axiomas son bastante parecidos a los

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Ximo Beneyto Tema: Pàgina : 49 APLICACIONES LINEALES Definición : Sean (E(K), +, A) y (F(K), +, A), Espacios Vectoriales construídos sobre un mismo cuerpo K, una aplicación f:e 6

Más detalles

Números reales. por. Ramón Espinosa

Números reales. por. Ramón Espinosa Números reales por Ramón Espinosa Existe un conjunto R, cuyos elementos son llamados números reales. Los números reales satisfacen ciertas propiedades algebraicas y de orden que describimos a continuación.

Más detalles

MATE 4032: Álgebra Abstracta. 1. Suponga que I, J son ideales de un anillo R. Demuestre que I J es un ideal

MATE 4032: Álgebra Abstracta. 1. Suponga que I, J son ideales de un anillo R. Demuestre que I J es un ideal Solución Asignación 9. Universidad de Puerto Rico Río Piedras Facultad de Ciencias Naturales Departamento de Matemáticas San Juan Puerto Rico MATE 4032: Álgebra Abstracta 1. Suponga que I J son ideales

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( )

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( ) MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. Ejemplo 1. Algunos ejemplos de matrices ( + ( ) ( + ( ) El tamaño o el orden de una

Más detalles

Álgebra y estructuras finitas/discretas (Grupos A)

Álgebra y estructuras finitas/discretas (Grupos A) Álgebra y estructuras finitas/discretas (Grupos A) Curso 2007-2008 Soluciones a algunos de los ejercicios propuestos en el Tema 2 Antes de ver la solución de un ejercicio, repase la teoría correspondiente

Más detalles

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición

Más detalles

Introducción a los espacios vectoriales

Introducción a los espacios vectoriales 1 / 64 Introducción a los espacios vectoriales Pablo Olaso Redondo Informática Universidad Francisco de Vitoria November 19, 2015 2 / 64 Espacios vectoriales 1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial

Más detalles

Anexo: El anillo de polinomios K[x].

Anexo: El anillo de polinomios K[x]. El anillo de polinomios K[x] 1 Anexo: El anillo de polinomios K[x]. 1. Construcción del anillo de polinomios K[x]. Dado un cuerpo K, se define m K[x] = { a i x i a i K, i = 0,..., m, m N {0}}, i=0 donde

Más detalles

Para mensajes:

Para mensajes: INTRODUCCION AL ALGEBRA. 4- ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. Apuntes de la Cátedra. Alberto Serritella. Colaboraron: Silvia Capalbo Cristian Mascetti. Vanesa Bergonzi Edición Previa CECANA CECEJS CET Junín 010.

Más detalles

Subespacios de espacios vectoriales

Subespacios de espacios vectoriales Subespacios de espacios vectoriales Objetivos. Estudiar la definición, el criterio y algunos ejemplos de subespacios vectoriales. Muchos espacios vectoriales importantes (por ejemplo, espacio de soluciones

Más detalles

2. Estructuras Algebraicas

2. Estructuras Algebraicas 2. Estructuras Algebraicas 2.1. Conjuntos Un conjunto es una reunión en un todo de determinados objetos bien definidos y diferentes entre sí. Llamamos elementos a los objetos que lo forman. Requisitos:

Más detalles

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas

Más detalles

Cálculo Diferencial: Enero 2016

Cálculo Diferencial: Enero 2016 Cálculo Diferencial: Enero 2016 Selim Gómez Ávila División de Ciencias e Ingenierías Universidad de Guanajuato 9 de febrero de 2016 / Conjuntos y espacios 1 / 21 Conjuntos, espacios y sistemas numéricos

Más detalles

Tema 1: Conjuntos. Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla. Septiembre de 2017

Tema 1: Conjuntos. Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla. Septiembre de 2017 Tema 1: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2017 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Conjuntos Septiembre de 2017 1

Más detalles

Tema 1: Conjuntos. Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla. Septiembre de 2016

Tema 1: Conjuntos. Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla. Septiembre de 2016 Tema 1: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2016 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Conjuntos Septiembre de 2016 1

Más detalles

Los isomorfismos básicos de la teoría de cuerpos algebraicos.

Los isomorfismos básicos de la teoría de cuerpos algebraicos. 4. AUTOMORFISMOS DE CUERPOS. En este tema probaremos que dos elementos α y β, conjugados sobre un cuerpo F, determinan un isomorfismo entre los cuerpos F (α) y F (β). También cierto recíproco será válido.

Más detalles

Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices

Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices elementales Diciembre 2010 Contenido Definición y tipos de matrices elementales 1 Definición y tipos de matrices 2 3 4 elementales 5 elementales Definición 1.1 (Matriz) Una matriz de m filas y n columnas

Más detalles

Estructuras Algebraicas

Estructuras Algebraicas Estructuras Algebraicas Módulos noetherianos y Artinianos Zarate Sebastian 8 de julio de 2015 Índice 1. Preliminares 1 1.1. Grupos................................... 1 1.2. Anillos...................................

Más detalles

Tema 3.- Funciones y morfismos racionales sobre variedades. Explosiones.

Tema 3.- Funciones y morfismos racionales sobre variedades. Explosiones. Tema 3.- Funciones y morfismos racionales sobre variedades. Explosiones. En lo que sigue k denotará un cuerpo algebraicamente cerrado. 3.1.- Funciones regulares sobre variedades afines. Sea Z un conjunto

Más detalles

Ampliación Matemática Discreta. Justo Peralta López

Ampliación Matemática Discreta. Justo Peralta López Justo Peralta López UNIVERSIDAD DE ALMERíA DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 2 cíclicos 3 Subgrupos 4 Algoritmos 5 ElGamal Definición Un grupo es un conjunto de elementos sobre los cuales

Más detalles

UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS

UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS El conjunto de los números complejos fue creado para poder resolver algunos problemas matemáticos que no tienen solución dentro del conjunto de los números reales. Por ejemplo

Más detalles

El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales.

El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Introducción El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. Números tales como:1,3, 3 5, e,

Más detalles

Teoría de Galois, un primer curso. (Tercera Edición)

Teoría de Galois, un primer curso. (Tercera Edición) Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática Mexicana Teoría de Galois, un primer curso. (Tercera Edición) Flor de María Aceff Emilio Lluis-Puebla www.smm.org.mx Serie: Textos. Vol. 14 (2016) Teoría

Más detalles

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:

Más detalles

En una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen.

En una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen. 1. Conjuntos numéricos Los conjuntos numéricos con los que has trabajado tanto en Enseñanza Básica como en Enseñanza Media, se van ampliando a medida que se necesita resolver ciertas problemáticas de la

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Aplicaciones lineales María Muñoz Guillermo maria.mg@upct.es U.P.C.T. Matemáticas I M. Muñoz (U.P.C.T.) Aplicaciones lineales Matemáticas I 1 / 32 Contenidos 1 Definición y propiedades Definición de aplicación

Más detalles

TEMA 1. Teoría de Conjuntos. Ejercicio 1.1. Decidir si A = B, A B ó A B en los siguientes casos:

TEMA 1. Teoría de Conjuntos. Ejercicio 1.1. Decidir si A = B, A B ó A B en los siguientes casos: TEMA 1 Teoría de Conjuntos Ejercicio 1.1. Decidir si A = B, A B ó A B en los siguientes casos: i) A = { }, B = {{ }} ii) A = {, { }}, B = {, {, { }}} iii) A = {{ }, {, { }}}, B = {{ }} Ejercicio 1.2. Dar

Más detalles

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares

Más detalles

Capítulo 1: Números y funciones

Capítulo 1: Números y funciones (Fundamentos Matemáticos de la Biotecnología) Departamento de Matemáticas Universidad de Murcia Curso 2016/2017 Contenidos Primeras clases de números reales Operaciones con números reales Ecuaciones e

Más detalles

Unidad I Elementos de lógica y de Teoría de Conjuntos

Unidad I Elementos de lógica y de Teoría de Conjuntos INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACION DOCENTE Nº 813 SEDE LAGO PUELO PROFESORADO EN MATEMÁTICA PROGRAMA DE ALGEBRA I AÑO 2008 Prof. Ricardo J. Tamer Unidad I Elementos de lógica y de Teoría de Conjuntos Introducción

Más detalles

Teoría de Geometría Afín y Proyectiva (G.A.P.) L A TEX

Teoría de Geometría Afín y Proyectiva (G.A.P.) L A TEX Teoría de Geometría Afín y Proyectiva (G.A.P.) L A TEX Juan Miguel Ribera Puchades 2 de julio de 2007 1 Índice 1. Introducción 4 2. Tema 1: Espacio Afín 5 2.1. Definición, ejemplos y notación.................

Más detalles

0.1. Homomorfismos de Grupos

0.1. Homomorfismos de Grupos 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 1 0.1. Homomorfismos de Grupos Definición 1 Sean (G, ) y (H, ) dos grupos. Una función f de G a H f : G H se dice ser a) Un homomorfismo si f(x y) = f(x) f(y), x, y (G, ),

Más detalles

Matrices. En este capítulo: matrices, determinantes. matriz inversa

Matrices. En este capítulo: matrices, determinantes. matriz inversa Matrices En este capítulo: matrices, determinantes matriz inversa 1 1.1 Matrices De manera informal una matriz es un rectángulo de números dentro de unos paréntesis. A = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a

Más detalles

14/02/2017. TEMA 3: EL CUERPO DE LOS NUMEROS REALES Esp. Prof. Liliana N. Caputo

14/02/2017. TEMA 3: EL CUERPO DE LOS NUMEROS REALES Esp. Prof. Liliana N. Caputo TEMA 3: EL CUERPO DE LOS NUMEROS REALES Esp. Prof. Liliana N. Caputo Así como al estudiar conjuntos hablamos de la existencia de términos primitivos (que no se definen), para definir algunos conjuntos,

Más detalles

a, b G a b G a (b c) = (a b) c a, b, c G (g4) Todo elemento de G tiene elemento simétrico para la operación : a G a G tal que a a = a a = e

a, b G a b G a (b c) = (a b) c a, b, c G (g4) Todo elemento de G tiene elemento simétrico para la operación : a G a G tal que a a = a a = e Grupos Este segundo cuatrimestre lo dedicaremos al estudio de estructuras algebraicas. Primero, las estructuras de grupo, anillo y cuerpo, y más adelante, la estructura de espacio vectorial y todo lo que

Más detalles

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc. Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Repaso de Estructuras Algebraicas 1. Producto cartesiano de conjuntos. Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, y se denota por A B al conjunto

Más detalles

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc. Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por

Más detalles

MA1001: Introducción al Cálculo

MA1001: Introducción al Cálculo Semestre otoño 2008 Que estudia el cálculo? Estudia funciones reales de variable real. Que estudia el cálculo? Estudia funciones reales de variable real. Que estudia el cálculo? Estudia funciones reales

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS DEFINICIÓN DE ANILLOS. En la Introducción a las Estructuras Algebraicas definimos las estructuras de Grupo, Anillo y Cuerpo. Repasemos la definición de Anillo antes de argumentar

Más detalles

Operaciones extendidas de conjuntos

Operaciones extendidas de conjuntos 234 A. GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS Tema 3. Operaciones extendidas de conjuntos En este tema extenderemos las operaciones de conjuntos anteriormente definidas a familias arbitrarias de conjuntos.

Más detalles

Espacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas

Espacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas se han escrito con el ánimo de facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y no como un libro de texto o manual de Álgebra

Más detalles

Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades

Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades En álgebra es esencial manejar símbolos con objeto de transformar o reducir expresiones algebraicas y resolver ecuaciones algebraicas. Debido a que

Más detalles

Conjuntos relaciones y grupos

Conjuntos relaciones y grupos Matemáticas NS Conjuntos relaciones y grupos Tema opcional 2 Índice 1. Conjuntos y relaciones 5 1.1. Introducción.......................................... 5 1.2. Operaciones con conjuntos..................................

Más detalles

Tema 6.- Nociones preliminares: anillos, cuerpos. Anillos de polinomios

Tema 6.- Nociones preliminares: anillos, cuerpos. Anillos de polinomios Tema 6.- Nociones preliminares: anillos, cuerpos. Anillos de polinomios 6.1 Anillos y cuerpos Definición 6.1.1. Un anillo es una terna (A, +, ) formada por un conjunto A y dos operaciones binarias +, verificando:

Más detalles

Álgebra Básica. Departamento de Álgebra (2n 1) = n 2,

Álgebra Básica. Departamento de Álgebra (2n 1) = n 2, Ejercicios de Álgebra Básica. Curso 2012/13 Ejercicio 1. Probar, usando el método de inducción, la fórmula de la suma de n términos de una progresión geométrica de razón r, S n = ra n a 1 r 1. Ejercicio

Más detalles

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura: 4 Subespacios 29 b) x 5 [25;5], 5 [;24], z 5 [4;4] Use a 5 2, a 5 / a 5 2 / 2 c) Su propia elección de x,, z /o a 2 a) Elija algunos valores para n m genere tres matrices aleatorias de n m, llamadas X,

Más detalles

Empalme-factorización de sucesiones y exactitud de functores

Empalme-factorización de sucesiones y exactitud de functores Empalme-factorización de sucesiones y exactitud de functores Bruno Stonek bruno@stonek.com 23 de febrero de 212 Resumen En este articulín veremos cómo empalmar y cómo factorizar sucesiones exactas. Deduciremos

Más detalles

Álgebra Básica C Grado en Matemáticas Examen 1

Álgebra Básica C Grado en Matemáticas Examen 1 Álgebra Básica C Grado en Matemáticas Examen 1 Lee detenidamente las preguntas antes de contestarlas. Justifica todas tus respuestas. Evita los cálculos innecesarios y las repeticiones. Nombre y apellido(s):

Más detalles

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas. J. C. Rosales y P. A. García Sánchez. Departamento de Álgebra, Universidad de Granada

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas. J. C. Rosales y P. A. García Sánchez. Departamento de Álgebra, Universidad de Granada Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas J. C. Rosales y P. A. García Sánchez Departamento de Álgebra, Universidad de Granada Capítulo 2 Aritmética entera y modular 1. Los números enteros Dado un entero

Más detalles

Criptografía y Seguridad Computacional Clase 7: 13/04/2016. En esta clase introduciremos algunos algoritmos básicos en teoría de números.

Criptografía y Seguridad Computacional Clase 7: 13/04/2016. En esta clase introduciremos algunos algoritmos básicos en teoría de números. 1 ALGORITMOS PARA TEORÍA DE NÚMEROS 1 Criptografía y Seguridad Computacional 2016-01 Clase 7: 13/04/2016 Profesor: Fernando Krell Notas: Tomás Andrighetti 1. Algoritmos para teoría de números En esta clase

Más detalles