Matrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1

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1 Matrices José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/2010 José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 1

2 Introducción Por qué estudiar las matrices? Son muchas las situaciones de la vida real en las que es necesario tratar números en masa Las matrices constituyen un medio ordenado y económico de manipular enormes cantidades de números Una de las principales aplicaciones del álgebra es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 2

3 Introducción 1 a ley de Kirchoff B I 1 = I 2 + I 4 C I 2 = I 3 + I 5 D I 3 = I 5 + I 6 F I 6 + I 4 = I 1 2 a ley de Kirchoff 2I 1 + 5I 4 + 3I 1 = V 3I 2 + I 5 + 4I 6 5I 4 = 0 (2 + 1)I 3 2I 5 = 0 7 ecuaciones y 6 incógnitas José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 3

4 matriz Se llama matriz de orden, o tamaño, m n a un conjunto de m n elementos de K dispuestos en forma de tabla con m filas y n columnas Usualmente representaremos dichos elementos por a ij,1 i m, 1 j n, con m,n N, a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a i2 a ij a in ó A = (a ij ) m n a m1 a m2 a mj a mn El conjunto de todas estas matrices se denota por M m n (K) = { A = (a ij ) m n : a ij K, i = 1,2,,m, j = 1,2,,n } José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 4

5 Tipos de matrices Diremos que dos matrices A = (a ij ), B = (b ij ) son iguales si son del mismo tamaño m n, y los elementos correspondientes son idénticos, a ij = b ij, 1 i m,1 j n Si m = n se dice que la matriz es cuadrada, esto es a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a i2 a ij a in a n1 a n2 a nj a nn, y matriz rectangular en otro caso José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 5

6 Tipos de matrices Se llama diagonal principal, al conjunto de elementos de la forma a ii, i = 1,2,,n La matriz identidad,i n, es una matriz cuadrada cuyos elmentos son a ii = 1,i = 1,2,,n, y a ij = 0 para i j, I n = Una matriz cuadrada A = (a ij ) n n cuyos elementos por debajo de la diagonal son todos nulos, esto es a ij = 0 para i > j recibe el nombre de matriz triangular superior a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n A = 0 0 a nn José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 6

7 Tipos de matrices Si todos los elementos de la diagonal son iguales se tiene una matriz escalar José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 7 Una matriz cuadrada A = (a ij ) n n cuyos elementos por encima de la diagonal son todos nulos, esto es a ij = 0 para i < j recibe el nombre de matriz triangular inferior a a 21 a 22 0 A = a n1 a n2 a nn Una matriz diagonal es aquella que tiene nulos todos los elementos situados fuera de la diagonal a a 22 0 A = 0 0 a nn

8 Tipos de matrices Si m = 1 y n > 1 se dice que es una matriz (o vector) fila, A = ( a 11 a 12 a 1j a 1n ) Si n = 1 y m > 1 se dice que es una matriz (o vector) columna, A = a 11 a i1 a n1 José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 8

9 Operaciones con matrices suma Dadas las matrices A = (a ij ), B = (b ij ) del mismo tamaño m n, se define la suma de A y B como la matriz de tamaño m n que se obtiene al sumar los elementos que ocupan el mismo lugar La denotamos por A + B, siendo pues A + B = (a ij + b ij ), es decir a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1j + b 1j a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2j + b 2j a 2n + b 2n A + B = a i1 + b i1 a i2 + b i2 a ij + b ij a in + b in a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mj + b mj a mn + b mn José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 9

10 Operaciones con matrices Dadas A, B y C matrices m n con coeficientes en K y λ,µ K se cumplen las siguientes propiedades: Conmutativa A + B = B + A Asociativa (A + B) + C = A + (B + C) Existencia de elemento neutro A + 0 = 0 + A Existencia de elemento opuesto A m n, ( A)/ A + ( A) = ( A) + A = 0 Distributiva del producto por escalar respecto de la suma de matrices λ(a + B) = λa + λb Distributiva del producto de matriz respecto de la suma de escalares (λ + µ)a = λa + µa Asociativa del producto José Vicente por Romero un escalar Bauset (λ Tema µ)a 1- = Matrices λ(µa) 10 Dada una matriz A = (a ij ) de orden m n y un elemento λ K, se define el producto del escalar λ por la matriz A, y se denota por λa, a la matriz λa = (λa ij ) λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n λa = λa m1 λa m2 λa mn

11 Operaciones con matrices La matriz con todos sus elementos nulos 0 = (0) m n se llama matriz nula La matriz opuesta de A, -A, es la matriz con los elementos de A cambiados de signo Ejercicio Sean A y B matrices de tamaño m n y λ un elemento de K Pruebe: 1 λa = 0 = λ = 0 ó A = 0 2 Si λ 0, λa = λb A = B José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 11

12 Operaciones con matrices Dadas A = (a ij ) m n y B = (b ij ) n p, se define el producto de matrices A B como otra matriz C = (c ij ) m p cuyos elementos c ij se obtienen como: c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = n k=1 a ik b kj El producto de matrices satisface las siguientes propiedades: 1 Asociativa: A(BC) = (AB)C A Mm n, B Mn p, C Mp q 2 Distributativa respecto a la suma: A(B + C) = AB + AC A Mm n, B,C Mn p, (A + B)C = AC + BC A,B Mm n, C Mn p 3 Asociativa del producto escalar y el producto de matrices 4 Si A M (m n) AO n p = O m p, O p m A = O p n t(ab) = (ta)b = A(tB) A Mm n, B Mn p, t K 5 Si A Mm m I m A = A AI m = A José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 12

13 Operaciones con matrices Nota AB = 0 no implica que alguna de las matrices sea nula AB no es siempre igual a BA AB = AC no implica que B = C Lema de las columnas Si A es una matriz con columnas A 1,A n y x es un vector columna Ax = x 1 A 1 + x 2 A x n A n José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 13

14 Potencias de matrices Potencia de una matriz cuadrada Propiedades A 0 = I Sea A una matriz de orden n n, entonces: 1 A 1 =A 2 A p A q = A p+q, p,q N 3 (A p ) q = A pq, p,q N Ejemplo A k+1 = A k A k = 0,1,2, Un zorro puede cazar en tres regiones diferentes R 1, R 2 y R 3, siendo sus hábitos de caza los siguientes: a) Si caza en R 1 la probalidad de cazar en la misma región al día siguiente es 1/2, en caso contrario caza en una de las otras dos regiones con igual probabilidad b) Si caza en R 2 nunca caza en dicha región al día siguiente, y elige R 1 o R 3 con probalidades 3/4 o 1/4 respectivamente c) Si caza en R 3 al día siguiente caza en dicha región o en R 2 con la misma probabilidad José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 14

15 Potencias de matrices Cadenas de Markov El anterior ejemplo es uno de los llamados Procesos de Markov La matriz A = ( a ij ) que representa un proceso de Markov recibe el nombre de Matriz de transición Sus principales características son a) a ij 0, i,j = 1,2,,n, b) a ij 1, i,j = 1,2,,n, n c) a ij = 1, i=1 Ejercicio j = 1,2,n Sean A y B matrices de orden n n y r un número natural Demuestre o dé un contraejemplo de cada una de las siguientes igualdades: a) (AB) r = A r B r b) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 c) A 2 B 2 = (A B)(A + B) d) A 3 B 3 = (A B) ( A 2 + AB + B 2) Enuncie una condición suficiente para que las igualdades anteriores sean ciertas José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 15

16 Grafos dirigidos Un grafo dirigido es un conjunto finito de elementos p 1,p 2,,p n, asociado a una colección finita de pares ordenados, ( p i,p j ), formados por dos elementos distintos del conjunto A los elementos del conjunto se les llama vértices y a los pares ordenados, arcos La notación p i p j indica que el arco ( p i,p j ) pertenece al grafo Ejercicio La siguiente figura muestra un grafo dirigido que podría representar el mapa de rutas de una pequeña ĺınea aérea que da servicio a cuatro ciudades José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 16

17 Grafos dirigidos A un grafo dirigido de n vértices se le puede asociar una matriz A = (a ij ) de orden n n, llamada matriz de adyacencia Sus elementos se definen: a ij = 1, a ij = 0, si p i p j en los demás casos La matriz asociada al grafo anterior es A = Si A = (a ij ) es la matriz de adyacencia de un grafo dirigido y a (k) ij es el elemento de orden (i,j) de A k, entonces a (k) ij es el número de caminos de longitud k que hay entre p i y p j José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 17

18 Trasposición de matrices Dada una matriz A M(m n), definimos la traspuesta de A como la matriz resultante de cambiar filas por columnas La denotaremos por A t Por tanto, si A = (a ij ) M(m n), A t = (a ji ) M(n m) Propiedades ( 1 A T ) T = A 2 (A + B) T = A T + B T 3 (ka) T = ka T 4 (AC) T = C T A T Una matriz es simétrica si A T =A, es decir si a ij = a ji Una matriz es antisimétrica si A T =-A, es decir si a ij = a ji Una matriz A = (a ij ) se dice que es hermítica si A T = A Una matriz A = (a ij ) se dice que es antihermítica si A T = A José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 18

19 Traza de una matriz Sea A = (a ij ) una matriz de orden n n Se llama traza de A, tr(a) a la suma de los elementos de la diagonal principal Propiedades a) tr(a + B) = tr(a) + tr(b) b) tr(λa) = λ tr(a) c) tr(a) = tr(a T ) tr(a) = n a ii i=1 José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 19

20 Determinante de una matriz Se define el determinante de una matriz cuadrada, que se denota det(a) o A, de una forma recursiva a) Si A = (a 11 ) es una matriz de orden 1 1, entonces deta = a 11 b) Sea A = (a ij ) una matriz de orden n n con n > 1 Llamamos A ij a la submatriz de orden (n 1) (n 1) que resulta de suprimir de A la fila i y la columna j Llamamos cofactor o adjunto del lugar (i,j) al número C ij = ( 1) i+j det(a ij ) El determinante de A es el número que se obtiene al multiplicar los elementos de una fila (ó columna) por sus adjuntos correspondientes, es decir, det(a) = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in, i = 1,2,,n o bien det(a) = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj, j = 1,2,,n José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 20

21 Determinante de una matriz Sea A = (a ij ) una matriz de orden n n Se llama matriz adjunta de A, Adj(A), a una matriz del mismos orden cuyos elementos son los adjuntos de A, Adj(A) = (C ij ) Una matriz de orden n n se dice que es singular si det(a) = 0 En caso contrario se llama no singular o regular Propiedades El determinante de una matriz coincide con el determinante de su traspuesta Nota Por el resultado anterior los resultados que se den para filas serán válidos para columnas y viceversa José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 21

22 Determinante de una matriz Propiedades El determinante de una matriz que tenga una de sus columnas como suma de dos (n en general) se puede descomponer como suma de dos (n) determinantes a 11 + b 11 a 12 a 1n a 21 + b 21 a 22 a 2n det = a n1 + b n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n b 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = det + det b 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn b n1 a n2 a nn Si B se obtiene de A multiplicando una fila por un escalar λ, entonces det(b) = λdet(a) λa 11 λa 12 λa 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det = λdet a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn En general det(λa) = λ n det(a) siendo n el ordenjosé Vicente la matriz Romero A Bauset Tema 1- Matrices 22

23 Determinante de una matriz Propiedades Si la matriz B se obtiene intercambiando dos filas de la matriz A, entonces det(b) = det(a) Si una matriz A tiene dos filas iguales, entonces det(a) = 0 Si una matriz A tiene una fila de ceros, entonces det(a) = 0 Si B se obtiene de A sumándole o restándole una fila de A un múltiplo de una paralela, entonces det(b) = det(a) a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a i1 + λa j1 a i2 + λa j2 a in + λa jn det = det a j1 a j2 a jn a j1 a j2 a jn a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn Si la matriz A tiene una fila combinación lineal de otras filas, entonces det(a) = 0 Si A = ( ) 1 ij es una matriz triangular superior (inferior), entonces det(a) = a 11 a 22 a nn El determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes det(ab) = det(a)det(b) José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 23

24 Inversa de una matriz cuadrada Si A es una matriz, se dice que A es invertible si existe una matriz B tal que AB = BA = I De B se dice que es una inversa de A Unicidad de la inversa Sea A una matriz de orden n n Si B y C son matrices inversas de A, entonces B = C La inversa de A de denota por A 1 Propiedad Una matriz de orden n n tiene inversa si y sólo si det(a) 0 En este caso A 1 = 1 det(a) Adj(AT ) José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 24

25 Inversa de una matriz cuadrada Propiedades Sean A y B matrices de orden n n invertibles y sea λ K, λ 0 Entonces a) det(a 1 ) = 1/det(A) y (A 1 ) 1 = A b) AB es invertible y (AB) 1 = B 1 A 1 c) λa es invertible y (λa) 1 = (1/λ)A 1 d) A T es invertible y ( A T ) 1 = ( A 1 ) T José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 25

26 Matrices por bloques 1) Todos los bloques de una fila deben tener el mismo números de filas 2) Todos los bloques de una columna deben tener el mismo número de columnas Dadas las matrices por bloques A 11 A 12 A 1n B 11 B 12 B 1n A 21 A 22 A 2n A =, B = B 21 B 22 B 2n A m1 A m2 A mn B m1 B m2 B mn si A ij es del mismo orden que B ij para i = 1,2,,m y j = 1,2,,n, entonces José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 26

27 Matrices por bloques si A ij es del mismo orden que B ij para i = 1,2,,m y j = 1,2,,n, entonces A 11 + B 11 A 12 + B 12 A 1n + B 1n A 21 + B 21 A 22 + B 22 A 2n + B 2n A + B = A m1 + B m1 A m2 + B m2 A mn + B mn λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n λa = λa m1 λa m2 λa mn José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 27

28 Matrices por bloques Dadas las matrices por bloques A 11 A 12 A 1n B 11 B 12 B 1p A 21 A 22 A 2n A =, B = B 21 B 22 B 2p A m1 A m2 A mn B n1 B n2 B np si el producto A ik B kj tiene sentido para i = 1,2,,m; j = 1,2,,p y k = 1,2,,n, se puede definir AB = (C ij ) donde C ij = Teorema n k=1 A ik B kj, i = 1,2,,m;j = 1,2,,p Sea A = (a ij ) es una matriz de orden n n triangular superior (inferior) con elementos no nulos en la diagonal Entonces A tiene inversa y A 1 es tambien triangular superior (inferior) José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 28

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