Tema 2: Magnitudes aleatorias
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- Ángela Padilla Blanco
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1 Facultad de Economía y Empresa 1 Prácticas Tema.- Magnitudes aleatorias Tema : Magnitudes aleatorias DEMANDA La demanda de cierto artículo es una variable aleatoria con la siguiente distribución: Número de unidades demandadas Probabilidad,5,45,15,15 a) Es realmente una función de probabilidad? Obtener la función de distribución. Cuál es la probabilidad de que la demanda sea inferior a 4 unidades? Calcular e interpretar el valor esperado y la varianza de la variable. [Adaptado de PERALTA, M.J. y otros (): Estadística. Problemas resueltos. Ed. Pirámide. Ejercicio 5, pág. 3] a) Sí F(x) si x < 1 F(x),5 si 1 x < F(x),7 si x < 3 F(x),85 si 3 x < 4 F(x) 1 si 4 x P(X<4),85 E(X),; Var(X),96 FÚTBOL La variable X recoge el número de goles que cierto equipo de fútbol marca en cada partido, obteniendo la siguiente información sobre el número de goles marcados en los últimos 1 partidos. Número de goles Número de partidos a) Obtener la distribución de probabilidad de la variable X número de goles marcados por partido. Cuál es el número esperado de goles por partido? Cuantificar su dispersión. Ante la escasez goleadora la directiva decide incentivar a sus jugadores ofreciendo al equipo una prima de 6 euros por cada gol marcado. Obtener la distribución de la variable ingresos de la plantilla por goles marcados en un partido. d) Cuál es la probabilidad de que la plantilla de jugadores obtenga más de 1. euros en un partido? Obtener el ingreso esperado en concepto de primas por goles marcados en un partido.
2 Facultad de Economía y Empresa Prácticas Tema.- Magnitudes aleatorias a) P(X),4 P(X1),3 P(X),15 P(X3),1 P(X4),5 E(X)1,1 ; Var(X)1,39 P(Y),4 P(Y6),3 P(Y1.),15 P(Y1.8),1 P(Y.4),5 P(Y>1.),15 E(Y) 66 ALMACENES El gasto diario (en euros) efectuado por un cliente en unos grandes almacenes se distribuye según la siguiente función de densidad: f(x)x /9 si < x < 3 f (x) en el resto a) Obtener la probabilidad de que el cliente tenga un gasto diario comprendido entre 15 y euros. Cuál es el gasto diario esperado?; y la varianza del gasto? Los grandes almacenes concederán durante el próximo invierno los siguientes bonos descuento según el volumen de gasto:1 euro si el gasto oscila entre 1 y euros; 1,5 euros si el gasto oscila entre y 5 euros;3 euros si el gasto supera los 5 euros d) Obtener la distribución y el valor esperado del descuento diario obtenido por este cliente de los grandes almacenes. e) Durante cierto día, un cliente ha utilizado su tarjeta de crédito para efectuar los pagos en los grandes almacenes, por lo que el importe de su compra ha sido recargado en un 4%. Cuál es la probabilidad de que ese cliente haya pagado entre 1 y 15 euros? a) P(15<X<),1713 E(X),5 ; Var(X)33,75 P(Y),37 P(Y1),59 P(Y1,5),85 P(Y3),413 E(Y)1,947 PYMES La variable aleatoria X que recoge los costes mensuales (en miles de euros) de implementación y desarrollo de nuevas tecnologías en las PYMES de cierta región se distribuye según la función de densidad:
3 Facultad de Economía y Empresa 3 Prácticas Tema.- Magnitudes aleatorias ax si < x 4 f( x) a) Determinar el valor de a. Obtener y representar gráficamente la función de distribución. Cuál es la probabilidad de que dichos costes mensuales sean superiores a los. euros? a) a1/8 si x < x t F( x) dt 8 1 si 4 P(X>),75 x 16 x si x < 4 CASINO La publicidad de un casino anuncia que el premio esperado por sus jugadores es de 6 euros con un riesgo σ36. a) Obtener la probabilidad de que un jugador cualquiera obtenga un resultado entre 15 y 15 euros. Cómo se vería afectada esta probabilidad si tuviésemos un riesgo σ4? Cuál será la probabilidad de que el premio obtenido por un jugador se desvíe al menos 54 euros del premio esperado? [Extraído de Análisis de Datos Económicos II. Métodos inferenciales, problema.3 pág ] a) P( X E(X) < 45), 36 P( X E(X) < 45), 189 P( X E(X) 54), 51 TRANSFORMACIÓN a) Sea X una variable aleatoria continua, demostrar que para una constante cualquiera a se verifica: E(aX+ ae(x) + c. Sea X una variable aleatoria, demostrar que para dos constantes cualesquiera a y c se verifica: Var(aX + a Var(X) PROYECTO Un economista quiere estimar el coste total de un proyecto para hacer una oferta adecuada del mismo. Valora su trabajo en una parte fija de 1. euros y otra variable de 3 euros por día trabajado. El proyecto lo puede realizar entre 7 y 11 días, por lo que construye una distribución de probabilidades subjetivas para la variable aleatoria X: Número de días que tardará en realizar el proyecto :
4 Facultad de Economía y Empresa 4 Prácticas Tema.- Magnitudes aleatorias X P(Xx),1,?,3,1 a) Qué probabilidad le habrá asignado, necesariamente, a que el proyecto sea realizado en 9 días? Justificar la respuesta. Determinar el coste esperado del proyecto y la varianza del mismo. Un 7% del coste total se dedica al pago de tasas e impuestos. Calcular el pago esperado en impuestos. [Adaptado de ESTEBAN, J. et. al. (4): Estadística Descriptiva y nociones de Probabilidad. Estadística I. Probabilidad. Ed. Thomson. Ejercicio 7.7 pág. 67] a) P(X9),3 E(C)1473; Var(C)1161; E(I)131,1 PRODUCCIÓN El volumen de producción de una empresa es una variable aleatoria cuya función de densidad es: f ( x) ax si < x 5 a) Determinar el valor de a. Obtener la función de distribución de este modelo. Sabiendo que los costes totales de esa empresa (en miles de euros) vienen definidos por C3+,18X, analizar la distribución probabilística de los costes. a) a,8 F ( x) ( si x < x x,8tdt,8,4x 1 si 5 x ( c 3),8,18 f c para 3<c<3,9 ( f c si x < 5 INGRESOS Los ingresos anuales (en miles de euros) de cierto individuo se distribuyen según la siguiente función de densidad: f (x) 1 x 4 4 < x < 8 resto
5 Facultad de Economía y Empresa 5 Prácticas Tema.- Magnitudes aleatorias a) Cuál es la probabilidad de que los ingresos superen los 6. euros? Y de qué oscilen entre 5. y 7. euros? Calcular el ingreso anual esperado y la varianza del ingreso. Este individuo participa en una ONG a la que contribuye anualmente con cierta cantidad en función de sus ingresos: Si son inferiores a 5. euros, dona 1.5 euros Si oscilan entre 5. y 65. euros,.5 euros Si superan los 65. euros, el donativo es de 5. euros Determinar la distribución de probabilidad del donativo. Cuál es su valor esperado? a) P(X>6),417; P(5 X 7),5 E(X)57.8; Var(X)15,9 P(Y15).315 P(Y5),396 P(Y5),969 E(Y)99,75 COCHES Una familia está estudiando el consumo de combustible (en litros) de su vehículo, que presenta un consumo esperado µ de 16 litros al mes con una desviación típica σ de 8. a) Calcular la probabilidad de que en un mes cualquiera el consumo de combustible de este vehículo difiera en menos de 1 litros del consumo esperado. Debido a un mal uso el vehículo ha aumentado su consumo mensual en 1 litros. Justificar como afectaría esta situación a la esperanza y a la varianza del consumo de combustible. a) P( X µ < 1), 36 E(Y)17; Var(Y)64
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