EJERCICIO 1. Trazar diagramas de momento flector y corte, y calcular las máximas tensiones que ocurren en la viga simplemente apoyada m. 0.
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- Daniel Felipe Miranda Belmonte
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1 EJERCICIOS DE APLICACION EJERCICIO 1. razar diagramas de momento flector y corte, y calcular las máximas tensiones que ocurren en la viga simplemente apoyada. θ.8 m y x 15. m p.1 m θ.1 m La carga axial del cable es =165tn. Las dimensiones de la viga son L =15m Longitud h =.8 m Altura d =.3 m Ancho A =.24 Area seccional W = dh2 =.32 m 3 Momento resistente 6 PROCEDIMIENO ANALIICO Este procedimiento puede aplicarse cuando la posición del cable se describe analíticamente. En este caso se cuenta con una función parabólica a =.1 m e (x) =a + bx+ cx 2 b =.1667 c = m En los extremos el cable presenta una excentricidad respecto al eje baricéntrico de la sección de la viga e = e (x) x= = a =.1 m El ángulo que forma el cable con el eje de la viga en los extremos es relativamente pequeño (considerar que la escala vertical de los gráficos está distorsionada para mayor claridad) y puede calcularse como su pendiente θ = tan θ =sin θ = e (x) x= = b =.1667 La curvatura del cable tiene en este caso valor constante a lo largo de la viga y se calcula como χ (x) = e (x) =2c = m 6
2 Las cargas que produce el cable sobre el hormigón resultan H o = 165 tn M o e =16.5 tnm V o θ =17.6 tn p (x) χ (x) =2.347 tn m M V H p V M H El Momento Isostático de Pretensado puede calcularse aplicando sobre la viga este sistema de cargas autoequilibradas M I (x) = M o V o x px2 aunque también se verifica = x x 2 M I (x) = e(x) = x x 2 El Corte Isostático de Pretensado se expresa como Q I (x) = V o + px = x o simplemente Q I (x) = e (x) = x Momento Isostático de Pretensado 16.5 tnm 16.5 tnm 49.5 tnm Corte Isostático de Pretensado 17.6 tn 17.6 tn 7
3 Las tensiones que se calculan a continuación corresponden sólo a las cargas de postensado en el estado de servicio. Las máximas tensiones de compresión ocurren en la sección central σ C max = M max W Ho A = 1547 tn tn 687 m2 = 2234 tn al igual que las máximas tensiones de tracción σ max = M max W Ho A = 1547 tn tn 687 m2 = 86 tn Las máximas tensiones cortantes se encuentran en las secciones de los extremos τ max = 3 Q max 2 dh = = 11 tn PROCEDIMIENO NUMERICO Comunmente la posición del cable se describe en forma discreta para coordenadas equidistantes de la viga (primeras 2 columnas de abla 1). La geometría del cable puede entonces asumirse como una poligonal con cargas concentradas (P i ) actuando sobre el hormigón en nudos con una separación x. n P P i-1 x P i x P i+1 8
4 La pendiente del cable (3ra columna) se calcula para nudos intermedios como θ i+ 1 2 = e i+1 e i x Lascargassobreelhormigón a través de la vaina (4ta columna) se obtienen como la diferencia entre las proyecciones verticales de la fuerza del cable a ambos lados del nudo considerado P i = θ i+ 1 2 θ i 1 2 El Corte Isostático de Pretensado (5ta columna) se calcula para nudos intermedios como el producto entre la carga y la pendiente del cable Q i+ 1 2 I = θ i+ 1 2 mientras que el Momento Isostático de Pretensado (6ta columna) resulta de multiplicar la carga y la excentricidad del cable M i I = e i Los diagramas de esfuerzos resultan aproximadamente idénticos a los obtenidos con el procedimiento analítico. Las tensiones máximas se calculan en forma análoga una vez identificadas las secciones críticas. Notar que realizando el cociente entre P i y x se obtiene la carga uniformemente distribuida antes utilizada. 9
5 x i e i θ i+ 1 2 P i Q i+ 1 2 I MI i abla 1. Cálculo de Esfuerzos de Pretensado en la viga simplemente apoyada. 1
6 CALCULO DE DESPLAZAMIENOS Lossiguientesparámetros complementan los datos de la viga E =3 1 6 tn Módulo de elasticidad longitudinal I = dh3 12 =.128 m4 Momento de inercia EI = 384 tn. Rigidez flexional γ =2.5 tn Peso específico m 3 A =.24 Area seccional q d = γ A =.6 tn Carga distribuida por peso propio m A los efectos del cálculo de desplazamientos al centro de lavigaseconsideransolamentelas deformaciones flexionales. Las reacciones y el diagrama de momento flector para peso propio resultan Reacciones.6 tn/m 4.5 tn 4.5 tn Diagrama de Momento Flector tn.m La expresión analítica del momento flector se obtiene como M d (x) = q p L x q p x 2 =4.5 x.3 x 2 Para calcular el desplazamiento al centro de la viga es necesario plantear el siguiente Estado Auxiliar Reacciones 1 tn.5 tn.5 tn Diagrama de Momento Flector 3.75 tnm 11
7 El momento flector puede expresarse analíticamente como (.5 x para 6 x M (x) = (x 7.5) para x 6 15 La flecha producida por el peso propio resulta entonces δ d = 2 EI = 2 EI = 1 EI = 1 EI Z 7.5 Z 7.5 Z 7.5 M d (x) M (x) dx 4.5 x3 3 =.13 m 4.5 x.3 x 2 (.5 x) dx 4.5 x x 3 dx 7.5 x La expresión analítica del momento flector para el caso del efecto de postensado se reescribe a continuación M p (x) = x x 2 La contraflecha producida por el cable de postensado se obtiene como δ p = 2 EI = 2 EI = 1 EI = 1 EI Z 7.5 Z 7.5 Z 7.5 M p (x) M (x) dx x x 2 (.5 x) dx 16.5 x x x 3 dx 16.5 x2 2 = m x x De esta forma el desplazamiento total al centro de la viga resulta δ = δ d + δ p =.13 m m = m La fuerza necesaria en el cable para compensar el desplazamiento producido por el peso propio en el centro de la viga se calculacomoseindicaacontinuación. La expresión analítica del momento flector producido por una fuerza genérica del cable de postensado es la siguiente M p (x) = e (x) = x x 2 12
8 La contraflecha producida por la fuerza se calcula como δ p = 2 EI = 2 EI = EI = EI Z 7.5 M p (x) M (x) dx Z 7.5 Z x2 2 = x x 2 (.5 x) dx.1 x x x 3 dx x x Si se impone la condición que el desplazamiento total sea nulo δ d + δ p = = se obtiene la fuerza de postensado necesaria para contrarrestar la flecha producida por el peso propio = =6.27 tn 13
9 EJERCICIO 2. razar diagramas de momento flector y corte, y calcular las máximas tensiones que ocurren en la viga con restricción al giro en ambos extremos. omar los mismos datos del Ejercicio 1. y θ x 15. m.8 m.1 m p θ.1 m En este caso los Esfuerzos Hiperestáticos de Pretensado Esf H (x) pueden evaluarse explícitamente recurriendo al Método de las Fuerzas, superponiendo los estados auxiliares escalados con sus respectivas incógnitas hiperestáticas. En casos más complejos donde no resulta práctico aplicar el Método de las Fuerzas por el elevado número de incógnitas hiperestáticas se utiliza el Método de Rigidez para calcular los Esfuerzos otales Esf (x) mientras que los Esfuerzos Isostáticos Esf I (x) pueden evaluarse directamente con la geometría del cable. Los Esfuerzos Hiperestáticos se computan luego como la diferencia entre los esfuerzos totales y los esfuerzos isostáticos Esf H (x) =Esf (x) Esf I (x) MEODO DE LAS FUERZAS Alosfines de ilustrar el procedimiento de cálculo por el Método de las Fuerzas se utiliza un enfoque analítico, aunque sería igualmente válido operar en forma numérica tal como se procede en el Método de Rigidez desarrollado más adelante. Se define al Isostático Fundamental tomando las condiciones de borde del Ejercicio 1. Por lo tanto, el Estado queda definido con los valores ya calculados. Aprovechando la condición de simetría se plantea un único estado auxiliar (Estado 1) donde la incógnita hiperestática (momento de empotramiento) producirá losesfuerzos Hiperestáticos de Prestensado. Estado '1' 1 1 La ecuación de compatibilidad se plantea como θ 1 + M 1 θ 11 = 14
10 Considerando sólo las deformaciones flexionales a los efectos de evaluar la incógnita hiperestática se encuentra θ 1 = 1 Z x x 2 1 dx EI = 1 EI θ 11 = 1 Z dx EI = 1 EI 15. por lo tanto M 1 = θ 1 θ 11 =27.5 tnm El Momento HiperestáticodePretensadoM H (x) es constante e igual a M 1. En este caso, no hay Corte Hiperestático de Pretensado. Momento Hiperestático de Pretensado 27.5 tnm 27.5 tnm El Momento otal de Pretensado se calcula entonces como M (x) = M I (x)+m H (x) = x x 2 El Corte otal de Pretensado coincide con el del ejercicio anterior. Momento otal de Pretensado 44. tnm 44. tnm 22. tnm Corte otal de Pretensado 17.6 tn 17.6 tn 15
11 Las máximas tensiones de compresión ocurren en las secciones extremas σ C max = M max W Ho A = 1375 tn tn 687 m2 = 262 tn al igual que las máximas tensiones de tracción σ max = M max W Ho A = 1375 tn tn 687 m2 = 688 tn Las máximas tensiones cortantes se producen también en las secciones extremas τ max = 3 Q max 2 dh = =11 tn MEODO DE RIGIDEZ En relación aloseñalado en el Método de las Fuerzas respecto al enfoque analítico utilizado, cabe destacar que con el Método de Rigidez es habitual recurrir a procedimientos numéricos que se adaptan naturalmente al esquema de discretización con fuerzas en los nudos propio de este método. Aplicando las cargas concentradas calculadas en el Ejercicio 1 a la viga con las presentes condiciones de borde se obtienen los Esfuerzos otales de Pretensado (7ma y 8va columna de abla 2). Debido a la fina discretización necesaria se realizan las operaciones utilizando un programa computacional (SAP9). Los Esfuerzos Hiperestáticos (9na y 1ma columna) se obtienen descontando los esfuerzos isostáticos a los totales. Se observa que el Corte Hiperestático resultanuloaligualqueel obtenido con el Método de las Fuerzas, y el Momento Hiperestático es también constante y ligeramente inferior debido a efectos de discretización. Los diagramas presentan iguales características a los obtenidos con el método anterior, mientrasquelastensionesmáximas casi no difieren a las ya calculadas. 16
12 x i e i θ i+ 1 2 P i Q i+ 1 2 I MI i Q i+ 1 2 M i Q i+ 1 2 H MH i abla 2. Cálculo de Esfuerzos de Pretensado en la viga con restricción al giro 17
13 EJERCICIO 3. razar diagramas de momento flector y corte, y calcular las máximas tensiones que ocurren en la viga continua de dos tramos..1 m θ.8 m p.3 m.3 m p y x p θ 15. m 4.75 m 1.25 m La carga axial del cable es =165tn y se toman las dimensiones de sección del Ejercicio 1. De la posición del cable se conocen algunos puntos de su trayectoria: en el extremo arranca a 1cm sobre el eje de la sección, desciende en forma suave hasta 1cm del borde inferior, corta al eje baricéntrico a 4.75m del apoyo central y pasa sobre éste a 1cm del borde superior. El resto de la trayectoria posee simetría respecto al apoyo central, y por lo tanto es conveniente sólo analizar una mitad de la estructura (se escoge la mitad derecha). MEODO DE LAS FUERZAS Una alternativa para analizar el problema es trazar parábolas sobre los puntos conocidos de la posición del cable y realizar un tratamiento analítico. En este caso e 1 (x) = a 1 + b 1 x + c 1 x 2 e 2 (x) = a 2 + b 2 x + c 2 x 2 a 1 =.3 m b 1 = c 1 = m a 2 =.9 m b 2 = c 2 = m El cable posee en el extremo una excentricidad e = e 2 (x) x=15 =.122 m El ángulo del cable en el extremo puede calcularse como su pendiente x [ ; 4.75] x [4.75 ; 15] θ = e 2 (x) x=15 = b 2 +2c 2 x x=15 = La curvatura del cable se calcula como χ 1 (x) = 2 c 1 = m x [ ; 4.75] χ 2 (x) = 2 c 2 = m x [4.75 ; 15] Las cargas actuantes sobre el hormigón resultan H o =165tn M o e =16.85 tnm V o θ = tn p 1 (x) = χ 1 (x) = tn m x [ ; 4.75] p 2 (x) = χ 2 (x) =4.388 tn m x [4.75 ; 15] 18
14 V M H p y p x p V M H Los Esfuerzos Isostáticos de Pretensado ( Estado ) se obtienen resolviendo la viga con este sistema de cargas y removiendo cualquiera de los apoyos, ya que las fuerzas de postensado son autoequilibradas y no generan reacciones en los apoyos remanentes. El Momento Isostático de Pretensado debe calcularse por tramos. M I (x) = e(x) ½ x 2 x [ ; 4.75] = x x 2 x [4.75 ; 15] Alternativamente, para x [ ; 4.75] M I (x) = M o V o (15 x)+ p ( x) (4.75 x)2 para x [4.75 ; 15] = x 2 M I (x) = M o V o (15 x)+ 1 p (15 x)2 2 = x x 2 El Corte Isostático de Pretensado también se calcula por tramos. Q I (x) = e (x) ½ x x [ ; 4.75] = x x [4.75 ; 15] Alternativamente, para x [ ; 4.75] Q I (x) = V o + p [(4.75 x) 1.25] = x para x [4.75 ; 15] Q I (x) = V o p (15 x) = x 19
15 Momento Isostático de Pretensado 49.5 tnm tnm 49.5 tnm Corte Isostático de Pretensado tn 2.84 tn Eligiendo como incógnita hiperestática la reacción del apoyo central se plantea el Estado 1 que comprende en este caso los Esfuerzos Hiperestáticos de Pretensado. Las expresiones de corte y momento flector para la mitad derecha resultan Q 1 (x) =.5 M 1 (x) = x Estado '1' 7.5 tnm La ecuación de compatibilidad se plantea como δ 1 + R 1 δ 11 = Considerando sólo las deformaciones flexionales a los efectos de evaluar la incógnita hiperestática se encuentra Z 4.75 δ 1 = 1 ( x 2 )( x) dx +... EI Z 15 + ( x x 2 )( x) dx 4.75 = 1 EI δ 11 = 1 Z 15 ( x) 2 dx EI = 1 EI
16 por lo tanto R 1 = δ 1 δ 11 =.625 tn El Corte y el Momento Hiperestático de Pretensado resultan Q H (x) = R 1 Q 1 (x) =.312 M H (x) = R 1 M 1 (x) = x Momento Hiperestático de Pretensado 4.69 tnm Corte Hiperestático de Pretensado.312 tn.312 tn Sumando los esfuerzos isostáticos y los hiperestáticos se obtienen el Corte yelmomento otal de Pretensado. Para x [ ; 4.75] Q (x) = x M (x) = x x 2 Para x [4.75 ; 15] Q (x) = x M (x) = x x 2 21
17 Momento otal de Pretensado tnm tnm 51.2 tnm Corte otal de Pretensado.312 tn tn 2.53 tn Las máximas tensiones normales de compresión resultan σ C max = M max W Ho A = 16 tn tn 687 m2 = 2287 tn Las máximas tensiones normales de tracción resultan σ max = M max W Ho A = 16 tn tn 687 m2 = 913 tn Las máximas tensiones cortantes (extremo) resultan τ max = 3 Q max 2 dh = = 153 tn MEODO DE RIGIDEZ La posición del cable se describe en forma discreta para nudos separados x =.75m. En primer término, se calculan la pendiente entre nudos y las cargas concentradas aplicadas en los nudos. Luego se computan los Esfuerzos Isostáticos en función de la pendiente (Corte) y la excentricidad (Momento) del cable, mientras que los Esfuerzos otales de Pretensado se obtienen utilizando alguna implementación computacional del Método de Rigidez. Los Esfuerzos Hiperestáticos resultan de descontar los esfuerzos isostáticos a los totales. Se observa que el Corte Hiperestático es constante y el Momento Hiperestático varía linealmente. 22
18 Para comparar los resultados con los obtenidos con el Método de las Fuerzas deben valuarse las expresiones analíticas de momento en las coordenadas de los nudos y las fórmulas de corte en coordenadas intermedias. Por tal motivo, no es estrictamente posible conseguir los valores de corte en los extremos para ser comparados con los calculados analíticamente. Sin embargo, para una adecuada discretización esta cuestión no resulta relevante. Los diagramas presentan iguales características a los obtenidos con el método anterior, mientras que las tensiones máximas casi no difieren a las ya calculadas. x i e i θ i+ 1 2 P i Q i+ 1 2 I MI i Q i+ 1 2 M i Q i+ 1 2 H MH i abla 3. Cálculo de Esfuerzos de Pretensado en la viga continua de dos tramos. 23
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