MATEMÁTICAS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS LOGARITMOS

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "MATEMÁTICAS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS LOGARITMOS"

Transcripción

1 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS LOGARITMOS Unidd 4

2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS. ÍNDICE. Introducción. Potencis funciones eponenciles. Función rítmic ritmos 4. Ecuciones eponenciles rítmics. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO En est unidd, nuestro objetivo básico es el estudio de los ritmos, unque pr ello comenzremos recordndo ls propieddes básics de ls potencis de ls funciones eponenciles. Seguidmente introduciremos l función rítmic como l función invers de l función eponencil. A continución introducimos ls propieddes básics de los ritmos el cmbio de bse. Finlmente, veremos lgunos ejemplos de cómo se resuelven ecuciones rítmics eponenciles.. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conocer l definición de l función rítmic Estudir sus propieddes crcterístics 4. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS. Introducción L espernz de vid, ún en los píses poco desrrolldos, creció después de l Segund Guerr Mundil unque distinto ritmo. Este crecimiento, si bien l principio trjo mor ctividd progreso, l lrg h producido grves problems: flt de viviends, escuels, puestos de trbjo... El umento de l poblción por l prolongción de l vid se h visto compensdo en prte por el descenso de l ntlidd en los píses industrilizdos. De todos modos, h precido el problem del envejecimiento de l poblción (es decir el umento de l edd promedio). Unidd 4

3 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Anlizremos hor lgún modelo mtemático que trt de describir l evolución de un poblción. En Europ occidentl, durnte los siglos XVII XVIII, comenzó descender el índice de mortlidd, el incremento poblcionl en muchos píses se situó entre 0.5 % nul. Pr evitr complicciones con los cálculos considerremos que el crecimiento poblcionl fue del % nul durnte los primeros 0 ños de este siglo. Supongmos que l cntidd de poblción europe l comienzo del siglo XVII (ño.600 ) se 0 (en cientos de millones). L función P(t) medirá l cntidd de poblción en el tiempo t. Como comenzremos nuestro estudio prtir del ño.600 este será el tiempo inicil, es decir, t = 0. Podemos hllr un fórmul que nos permit clculr l poblción pr culquier Vlor de t?.pr ello nlizremos lo que hemos hecho hst el momento en cd pso: en t = 0, P (0) = 0 en t =, P () = 0 + 0,0.0 = 0 ( + 0,0) = 0.,0 = P (0).,0 en t =, P () = P () + 0,0. P () = 0.,0 + 0,0. 0.,0 = 0.,0 ( + 0,0) = 0.,0.,0 = 0 (.0) Podrás relizr el cso t =? (Ten en cuent los psos hechos en los csos t = t =) En generl, l poblción después de t períodos será: P (t ) = 0 (.0) t donde 0 es l poblción inicil P (0). Verifiquemos que l fórmul obtenid nos d, por ejemplo pr t =, P () = 0.,0 = 0,0 que coincide con el vlor de l tbl. Si queremos estimr l poblción en el ño 60, será P (0) = 0.,00 = 046. Observemos que en l fórmul P (t ) = 0 (,0) t, el fctor 0 es l poblción inicil l vrible t figur en el eponente. A este tipo de funciones se ls llm eponenciles. Por otr prte, supongmos que un determindo bien mteril que ho cuest 50 euros se devlú con el uso, cd ño, un 4% de su vlor durnte el ño nterior. Por ejemplo: En t = 0 (inicio) el vlor en 0 V(0) = 50 En t = ( ño después ) V() = 50 4% de 50 = 44 En t = ( ños después) V() = 44 4% de 44 = 8,4 En t =... En generl, un fórmul que represent est situción, puede obtenerse como en el ejemplo nterior V(t) = 50. (096) t Unidd 4

4 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Supongmos hor, que queremos sber después de cuántos ños de uso el vlor del bien se redujo proimdmente 9 euros. Pr esto necesitmos resolver l siguiente ecución 9 = 50 (0,96) t Cómo despejr t de est fórmul?.observemos que el vlor de t que estmos buscndo 9 es tl que elevndo el número 0,96 ese vlor d por resultdo. 50 Es decir, nuestr pregunt es: cómo podemos resolver ecuciones del tipo 0 = k?, ó en generl = k?. Podemos hcerlo si conocemos l función invers de = 0, es decir, l función rítmic.. Potencis funciones eponenciles.. Potencis potencis de eponente nturl potencis de eponente nulo potenci de eponente negtivo potenci de eponente frccionrio.. Propieddes básics de ls potencis Ejemplos:.. Función eponencil Unidd 4 4

5 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS El comportmiento de l función eponencil es mu distinto según se >, <, =. Ejemplo: Anlicemos l gráfic de l función eponencil de cuerdo l vlor de. ) Si >, por ejemplo =, l función = es creciente. Observemos que culquier se el vlor de > 0, l gráfic de l función eponencil debe psr por el punto (0,), que es el vlor de l ordend l origen; es decir el vlor que tom l función pr = 0. Por otro ldo, es clro que medid que el vlor de ument, el vlor de tmbién, si el vlor de decrece (con vlores negtivos) entonces el vlor de tiende 0. b) Si 0 < <, por ejemplo l función es decreciente. L siguiente tbl de vlores nos permite hcer un estudio comprtivo de ls funciones = e Unidd 4 5

6 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Como hemos comentdo en l introducción, l función eponencil prece con frecuenci en modelos mtemáticos de diferentes procesos evolutivos. Por ejemplo, ls mebs son seres unicelulres que se reproducen dividiéndose en dos. Supongmos que ls condiciones de un cultivo son tles que ls mebs se duplicn proimdmente cd hor, que inicilmente solo h un meb. Proponemos clculr el número de mebs que hbrá según psn ls hors: Observemos que si en el momento inicil h k mebs, en l primer hor se duplicn, entonces hor h k. En l segund hor se vuelven duplicr, es decir, (k) = k, en l tercer hor se repite l situción tenemos ( k) = k, etc. Luego en generl se tiene k. Es decir, si l comienzo del proceso hbí k mebs, el número totl l cbo de hors será = k.4. Ecuciones eponenciles Ejemplos: Unidd 4 6

7 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS 4. Función rítmic ritmos 4.. Función rítmic Nuestr pregunt es: cómo podemos resolver ecuciones del tipo 0 = k?, l respuest es conociendo l función invers de =0. Ahor, podemos decir que, si 0 = k entonces = k es decir, el ritmo de un número en bse 0 es el eponente l que h que elevr l bse 0 pr obtener dicho número. Ejemplo: Si 0 = 00 entonces = 0 00 = pues 0 = 00 Si = entonces 0 = = /00 entonces = = - pues 0 - = Generlizndo: Se > 0, e > 0, llmremos ritmo en bse de l único número que verific =. Es decir, = = Ejemplos: Unidd 4 7

8 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Interpretción de l definición de ritmo: ) 7 = 8 por tnto 8 = 7 b) 8 / = por tnto 8 = / Clculmos ) 6 6= = 6 = 4 = 4 b) = = = = 5 Resolvemos un ecución 4.. Propieddes de los ritmos 0 - = = 0 - = 0 0,477 luego - 0,477 0 El ritmo de un producto es igul l sum de los ritmos de los fctores Log (. ) = + Ejemplo (4.8) = = = + = 5 El ritmo de un potenci es igul l eponente por el ritmo de l bse Log ( ) =. Ejemplo 4 = 64 = 6 pues 6 = 64 4=. = 6 A prtir de ls dos propieddes nteriores podemos deducir ls dos propieddes siguientes: El ritmo de un cociente es igul l ritmo del numerdor menos el ritmo del denomindor. Observr que Unidd 4 8

9 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Ejemplo 8/9 = 9 = por otro ldo 8-9 = 4 =. El ritmo de un ríz es igul l ritmo del rdicndo dividido por el índice de l ríz. Observr que Ejemplo 4 por otro ldo ( 4) Cmbio de bse Ls clculdors científics permiten solmente obtener ritmos decimles neperinos. Los ritmos decimles son los ritmos de bse 0, se costumbr denotr 0 = omitiendo l bse. El ritmo neperino o nturl es el ritmo cu bse es el número e,78 se denot e = ln. Si queremos clculr ritmos en otr bse, es conveniente relizr cmbios de bse. Si, por ejemplo, tuviérmos que clculr : Lo primero que hcemos es llmr por tnto, tomndo ritmos en mbos ldos de l últim iguldd tenemos de donde tenemos que. En generl tenemos que: b de donde tenemos que b b b Unidd 4 9

10 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS 5. Ecuciones eponenciles rítmics Unidd 4 0

11 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Unidd 4

12 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS 5. RESUMEN Potencis Definición de ritmo Se > 0, e > 0, llmremos ritmo en bse de l único número que verific =. Es decir, = = Propieddes de los ritmos o 0 o (. ) = + o ( ) =. Unidd 4

13 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS o ( ) =. o o Cmbio de bse b b 6. ACTIVIDADES. Clculr:. Mostrr con un ejemplo que en generl. Resolver plicndo l definición de ritmo 4. Sbiendo que 5. clculr, plicndo ls propieddes de los ritmos 5. Clculr relizndo cmbio de bse 7. EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN. Sbiendo que =0.000 = 0.477, clculr: Unidd 4

14 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS 6. 8 b. c d. e. 0.0 f. 4. Clculr, utilizndo l clculdor, con ritmos decimles:. 5 b. 0 c Clculr, utilizndo l clculdor, con ritmos neperinos. 7 b. 6 c SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN b c..477 d e f b c b.,7546 c..599 () Hllr el ritmo en bse de 8 (sol: 4) MAS EJERCICIOS Que vlor debe tener pr que se igul 8? = 8 Si te fijs, 8 = 4 ; 4 = luego = 4 M Otr form de hcerlo es por medio del cmbio de bse: M, que los ritmos decimles si que slen en l clculdor 8, ,47 ().- Hllr el ritmo en bse 8 de 6 = 8 6 (sol:4/) L bse, que es 8, elevd debe de dr 6. En vez de 8 podemos poner en vez de 6 podemos poner 4 8 = 6; = 4 ; pr que se cumpl est iguldd = 4 luego = 4 =, Cmbindo de bse, pr poder hcerlo en l clculdor , 0,9. 4 Unidd 4 4

15 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS ().- Hllr el ritmo en bse 8 de = 8 (sol: 5/) L bse, que es 8, elevd debe de dr. En vez de 8 podemos poner en vez de podemos poner 5 8 = ; = 5 ; pr que se cumpl est iguldd = 5 luego = 5 =,66 Por cmbio de bse 8 8,5 0,9,66 5 (4).- Hllr el vlor de en l epresión = (0 4 0 ) es el ritmo de un producto según el primer párrfo de l págin, es igul l sum de los ritmos de los fctores = (0 4 0 ) = (0 4 )+ (0 ) el primer ritmo es 4 que = (0 4 ); 0 = 0 4 ; = 4 Por l mism rzón, el segundo ritmo es igul = (0 4 0 ) = (0 4 )+ (0 ) = 4 + = 6 (5).- Hllr el ritmo en bse 4 de 8 = 4 8 (sol: /) L bse, que es 4, elevd debe de dr 8. En vez de 4 podemos poner en vez de 8 podemos poner 4 = 8; = ; pr que se cumpl est iguldd = luego = Por cmbio de bse ,9 0,6,5 (6).- Hllr el ritmo en bse de 4 = 4 (sol: ) L bse, que es, elevd debe de dr 4. En vez de podemos poner en vez de 4 podemos poner = 4; = ; pr que se cumpl est iguldd = luego = Por cmbio de bse 4 4 0,6 0, (7).- Hllr el ritmo en bse 0 de 0 4 = 0 4 (sol: 4) Unidd 4 5

16 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS L bse, que es 0, elevd debe de dr = 0 4 ; 0 = 0 4 ; pr que se cumpl est iguldd = 4 luego = 4 (8).- Hllr el ritmo en bse 7 de 8 = 7 8 (sol:4/) L bse, que es 7, elevd debe de dr 8. En vez de 7 podemos poner en vez de 8 podemos poner 4 7 = 8; = 4 ; pr que se cumpl est iguldd = 4 luego = 4/=, Por cmbio de bse ,90,4, (9).- Hllr el ritmo en bse del producto de por 8 = ( 8) (sol:8) el ritmo de un producto es igul l sum de los ritmos de los fctores = ( 8) = + 8 = ; = ; = 5 = ; luego = 5 8 = ; 8 = ; 8 = = ; luego = = ( 8) = + 8 = 5 + = 8 Por cmbio de bse ( 8) ( 8) 8,5 0,9 8 0, (0).- A quién es igul el ritmo (m n)? (sol: m + n) Es el ritmo de un producto, luego por l definición es igul l sum de los ritmos de los fctores (m n) = m + n ().- Epres en función de un solo ritmo: c + d (sol: (c d)) Sbemos que el ritmo de un producto es un sum de ritmos de los fctores. En este cso es el contrrio, lo que nos dn es l sum de dos ritmos, luego el resultdo será el ritmo de un multiplicción c + d = (c d) Unidd 4 6

17 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS ().- Desrroll el ritmo 6 = ( 6) = ().- Desrroll el ritmo (sol: 4+ - ) Es el ritmo de un cociente que es igul l diferenci de los ritmos del numerdor denomindor 4 = (4) El primer término es el ritmo de un producto que podemos desrrollr 4 = (4) = 4 + (4).- Hllr el vlor del ritmo de 0 4 (sol: 4) = = 4 = 4 (5).- Hllr el vlor del ritmo de 0, (sol: -) , = 0 0 sbemos que 0 0 he puesto 0 0 porque culquier número elevdo cero es igul l unidd l unidd es igul culquier número elevdo cero. Lo que nos d es un cociente de potencis, que es igul l bse elevd l diferenci de eponentes 0, = 0 - = - 0 = - (6).- Hllr el vlor del ritmo de 0,0 (sol: -)lo mismo que en el problem nterior, 0 0,0 = ,0 = = = - = - (7).- Hllr el vlor del ritmo de (sol: z) 4 z Unidd 4 7

18 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS el ritmo que nos hn ddo podemos colocrlo como z 4 = z z z Esto es el ritmo de un producto que es igul l sum de los ritmos de los fctores 4 z = z - = 4 + z (8).- Desrroll el siguiente ritmo m n p (sol: m + n p) es el ritmo de un cociente de un producto (m n) p = m + n p c d (9).- Desrroll el siguiente ritmo m n (sol: c + d m n) Igul que en el cso nterior, es el ritmo de un cociente de un multiplicción, demás de ser uns potencis c d m n = (c d ) (m n) = c + d m n = c + d m n (0).- Desrroll el siguiente ritmo (sol: - - ) es el ritmo de un cociente un potenci. H que tener en cuent que el ritmo de es cero, que l bse del ritmo elevd cero es igul : 0 0 = = ( ) = 0 = - ().- Desrroll el siguiente ritmo 4 ( ) (sol: ( ) ) 4 sbemos que un ríz l podemos poner como l invers de un potenci 4 ( ) = ( 4 4 ) ( ) = ( ) 4 el ritmo de un sum no lo podemos relizr por lo que l solución qued como está en l prte superior ().- Desrroll el siguiente ritmo (sol:/ b+ c ) b c Unidd 4 8

19 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Lo primero que hremos es hcer el cociente de los ritmos como diferenci b c = b c Colocmos ls potencis como productos b c = b c = b c (b c ) = b c = = b c = b c ().- Desrroll el ritmo de (sol: ( b c) ) b c lo primero que nos encontrmos es ritmo de un cociente b c = b c A continución podemos colocr l ríz como l invers de un potenci b c = b c = ( b c) = ( b c) l primer prte es el ritmo de un producto que es l sum de los ritmos de los fctores ( b c) = ( b c) = ( b c) Unidd 4 9

20 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS 9. BIBLIOGRAFÍA Emilio Bujlnce otros. Mtemátics especiles. Editoril Snz Torres (998). ª Edición Mrí E. Bllvé otros. Problems de mtemátics especiles. Editoril Snz Torres (996). ª Edición. José T. Pérez Romero José A. Jrmillo Sánchez. Mtemátics. Pruebs de cceso l universidd pr mores de 5 ños. Editoril MAD. (00). Unidd 4 0

UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS

UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS Tem 4 UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS 1. ÍNDICE 1. Introducción 2. Potencis funciones eponenciles 3. Función rítmic ritmos 4. Ecuciones eponenciles rítmics 2. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES

Más detalles

accés a la universitat dels majors de 25 anys MATEMÀTIQUES UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS

accés a la universitat dels majors de 25 anys MATEMÀTIQUES UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS ÍNDICE 1. Introducción 2. Potencis funciones eponenciles 3. Función

Más detalles

7. EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

7. EXPONENCIALES Y LOGARITMOS Eponenciles y Logrítmos 7. EXPONENCIALES Y LOGARITMOS En est Unidd estudiremos y nlizremos ls funciones y ecuciones eponenciles y logrítmics. Comenzremos con ls funciones eponenciles pr luego continur

Más detalles

( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3.

( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3. Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús MATEMÁTICAS I / º Bchillerto C y T LOGARTIMOS Logritmos El ritmo de un número, m, positivo, en bse, positiv y distint de uno, es el eponente l que hy que elevr l

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. Log P X Se llm ritmo en bse de P, y se escribe P, l eponente l que hy que elevr l bse pr obtener P. Log P P Ejemplo: 8 8 L l it b d 8 Leemos, ritmo en bse de 8 es porque elevdo es 8. Anámente podemos decir:

Más detalles

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Definición.- Se denomin ritmo en bse de un número, l eponente que es preciso elevr pr que resulte. debe ser un número positivo y distinto de l unidd. Pr epresr que y es el ritmo

Más detalles

TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS

TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicio: º) Resuelve ls siguientes ecuciones plicndo ls propieddes de ls potencis:. = 8 + 6 9. 5. = = 0. + = 6 8

Más detalles

Es una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece:

Es una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece: Funciones eponenciles y ritmics Doc. Luis Hernndo Crmon R Funciones Eponenciles Ejemplos: f ( ) Es un función eponencil con bse. Vemos con l rpidez que crece: f () 8 f (0) 0 04 f (0) 0,07,74,84 Funciones

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

3. Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: 625 d) 0, 25 e) c) ( ) 4 8

3. Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: 625 d) 0, 25 e) c) ( ) 4 8 POTENCIAS. Hll sin clculdor +.. Simplific utilizndo ls propieddes de ls potencis: b c ) 0 b c. Epres los siguientes rdicles medinte potencis de eponente frccionrio y simplific: ). Resuelve sin utilizr

Más detalles

Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero. TEMA 2: actividades

Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero. TEMA 2: actividades º E.S.O. TEMA : ctividdes. Sc del rdicndo l myor cntidd posible de fctores: 0 0 0 800.. Epres como rdicl:. Simplific los siguientes rdicles: 8. Ps estos números de notción científic form ordinri:, 0 =,

Más detalles

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO) TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución

Más detalles

TEMA 7: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS

TEMA 7: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS TEMA 7: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. POTENCIAS L epresión n se llm potenci de bse y eponente n: Si n es un número nturl: n =, n veces. 0 =, = n m n n m = y = n Ejercicios: º)

Más detalles

LOGARITMOS. John Neper ( ) Henry Briggs ( )

LOGARITMOS. John Neper ( ) Henry Briggs ( ) LOGARITMOS John Neper (550-67) Henry Briggs (56-630) MATEMÁTICAS CCSS I º Bchillerto Alfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics I) FUNCIÓN EXPONENCIAL de BASE f()= «Es quell función en l que

Más detalles

LOGARITMOS. John Neper ( ) Henry Briggs ( ) MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto.

LOGARITMOS. John Neper ( ) Henry Briggs ( ) MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. LOGARITMOS John Neper (550-67) Henry Briggs (56-60) MATEMÁTICAS I º Bchillerto Alfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics I) FUNCIÓN EXPONENCIAL de BASE f()= «Es quell función en l que l vrible

Más detalles

Unidad 1: Números reales.

Unidad 1: Números reales. Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y

Más detalles

FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Llmmos correspondenci entre dos conjuntos A B culquier form de signr lgunos o todos los elementos de A otros elementos de

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Septiembre de 2015 Conjuntos Numéricos ) Los Números

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Myo de 2015 Operciones Básics con Frcciones Número

Más detalles

TEMA 1 EL NÚMERO REAL

TEMA 1 EL NÚMERO REAL Tem El número rel Ejercicios resueltos Mtemátics B º ESO TEMA EL NÚMERO REAL CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EJERCICIO : Clsific los siguientes números como 0 ; ;,...; 7; ; ; ; 7, = 0,8

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN:

TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: TEMA LOS NÚMEROS REALES. LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los números rcionles: Se crcterizn porque pueden epresrse: En form de frcción, es decir, como cociente de dos números enteros: Q,

Más detalles

1.- Obtener, sin calculadora, el valor de x en las siguientes expresiones: (5 ) = = = 5, por tanto 2x=-3/2 y x=-3/4 = ;

1.- Obtener, sin calculadora, el valor de x en las siguientes expresiones: (5 ) = = = 5, por tanto 2x=-3/2 y x=-3/4 = ; RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS BÁSICOS DEFINICIÓN DE LOGARITMO.- Obtener, sin clculdor, el vlor de en ls siguientes epresiones: ) (/) = 7/; 7/= / =(/) =(/) -, por tnto =- b) = ; ( ) = = =, por tnto =-/ y

Más detalles

Hasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma

Hasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma Función eponencil: Hst el momento solo hemos trbjdo con funciones reles de l form f( ) = P( ) donde P ( ) es un polinomio f ( ) = donde y es un vrible, entre otros pero hor vmos trbjr con funciones donde

Más detalles

Ecuaciones de 1 er y 2º grado

Ecuaciones de 1 er y 2º grado Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones

Más detalles

IES Fernando de Herrera 13 de enero de 2014 Primer trimestre Examen de autoevaluación 1º Bach CCSS NOMBRE:

IES Fernando de Herrera 13 de enero de 2014 Primer trimestre Examen de autoevaluación 1º Bach CCSS NOMBRE: IES Fernndo de Herrer de enero de 04 Primer trimestre Exmen de utoevlución º Bch CCSS NOMBRE: 7 ) ) Representr en l rect rel: b) Qué número es el indicdo en el gráfico? 0 ) Clculr el resultdo simplificdo

Más detalles

Respuesta: Con este resultado Anahí decide contratar a estos pintores.

Respuesta: Con este resultado Anahí decide contratar a estos pintores. Universidd de Concepción Fcultd de Ciencis Veterinris Nivelción de Mtemátics(0) Unidd-I: Conjunto de los Números Rcionles Introducción: Al plnter l necesidd de dividir números enteros, surge un problem:

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL

FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) -FUNCION LOGARITMO NATURAL Definición propieddes L funcion logritmo nturl de un numero positivo se not ln su dominio es el conjunto de los números reles positivos

Más detalles

ECUACIONES (4º ESO Op B)

ECUACIONES (4º ESO Op B) ECUACIONES ( ESO Op B) IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones lgebrics (un de ells puede ser un número), seprds por el signo. Ejemplos.- + + 1 ( +

Más detalles

( ) ( ) ( ) ( ) 4. Aplique las propiedades de la potenciación y la radicación para simplificar las siguientes expresiones.

( ) ( ) ( ) ( ) 4. Aplique las propiedades de la potenciación y la radicación para simplificar las siguientes expresiones. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ÁREA DE MATEMÁTICAS TEMA: PERÍODO: ORIENTADOR: ESTUDIANTE: E-MAIL: FECHA: TEORÍA DE LOS EXPONENTES, LOS RADICALES Y LOS LOGARITMOS PRIMERO UNIDAD TEORÍA DE LOS EXPONENTES, LOS

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1 el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006 Resolución del emen de Mtemátics II de Selectividd Andlucí Junio de 6 Antonio Frncisco Roldán López de Hierro * de junio de 6 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] Determin un punto de l curv de ecución y e pendiente

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

(lo podemos visualizar como el área de un cuadrado de lado 4) Pues bien, diremos que la base de dicha potencia, 4, es su raíz cuadrada exacta: 16 = 4.

(lo podemos visualizar como el área de un cuadrado de lado 4) Pues bien, diremos que la base de dicha potencia, 4, es su raíz cuadrada exacta: 16 = 4. Deprtmento de Mtemátics http://www.colegiovirgendegrci.org/eso/dmte.htm ARITMÉTICA: Rdicles. RADICALES... Ríz cudrd. Anlicemos los siguientes ejemplos: == es un potenci de se y exponente. El resultdo,,

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión

Más detalles

OPERACIONES CON RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES OPERACIONES CON RADICALES RAÍCES Y RADICALES L ríz n-ésim de un número, representd por n, es un operción sore que d como resultdo un número tl que n. Si n es pr, h dos resultdos posiles: positivo negtivo:,

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 147

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 147 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 17 págin 18 EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS EXPONENTES L ide de los eponentes nce con l necesidd de revir cierts multiplicciones. Como es sido, cundo se multiplic

Más detalles

EXPONENTES Y RADICALES

EXPONENTES Y RADICALES . UNIDAD EXPONENTES Y RADICALES Objetivo generl. Al terinr est Unidd resolverás ejercicios probles en los que pliques ls lees de los eponentes de los rdicles. Objetivos específicos:. Recordrás l notción

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

Unidad 2. Fracciones y decimales

Unidad 2. Fracciones y decimales Mtemátics Múltiplo.º ESO / Resumen Unidd Unidd. Frcciones y decimles FRACCIONES NÚMEROS DECIMALES EXPRESIÓN, 8, 9 SIGNIFICADO FRACCIONES EQUIVALENTES 0 30 0 0 Prte de un unidd Prte de un cntidd ORDENACIÓN

Más detalles

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Mtemátic Unidd - UNIDAD N : EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebrics Enters...... Polinomios..... Actividdes... 4 Vlor Numérico del polinomio........ 4 Concepto

Más detalles

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones Definición de Polinomio Epresiones Algerics Epresión lgeric es tod cominción de números letrs ligdos por los signos de ls operciones ritmétics: dición, sustrcción, multiplicción, división potencición.

Más detalles

Tema 3. DETERMINANTES

Tema 3. DETERMINANTES Tem. DETERMINNTES Definición de determinnte El determinnte de un mtriz cudrd es un número. Pr l mtriz, su determinnte se denot por det() o por. Pr un mtriz de orden,, se define: Ejemplo: Pr un mtriz de

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO Dominio I: Conocimientos de Mtemátics Tem: Funciones reles de un vrible rel. L función eponencil. L función logrítmic. Asignturs involucrds en l formción universitri: Análisis

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. LA ELIPSE DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6., los focos están representdos por los puntos y f.

Más detalles

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 + + + + 4 4 n n + es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() = m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

Tema9. Sucesiones. Tema 9. Sucesiones.

Tema9. Sucesiones. Tema 9. Sucesiones. Tem 9. Sucesiones.. Definición. Forms de definir un sucesión.. Progresión ritmétic... Definición.. Sum progresión ritmétic. Progresión geométric... Definición.. Sum finit de progresión geométric... Sum

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos conjuntos numéricos: - Los n nturles: (, 8,.978), representdos por l letr N - Los n enteros: ( -, -, 8, 68), representdos por l letr Z - Los n rcionles

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

OPERACIONES CON RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES OPERACIONES CON RADICALES Como consecuenci de ls fórmuls fundmentles de rdicles, se pueden relizr ls siguientes operciones. Se requiere que en los rdicles sólo h productos o cocientes. Si huier sumndos

Más detalles

Ejemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8}

Ejemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8} NÚMEROS REALES. BREVE REPASO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS En est unidd utilizremos ls notciones l terminologí de conjuntos. L ide de conjunto se emple mucho en mtemátic se trt de un concepto básico del que

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Introducción Siempre que hy un proceso que evolucione de modo que el umento (o disminución) en un pequeño intervlo de tiempo, se proporcionl

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este teto, siguiendo l nomencltur hitul

Más detalles

Números Naturales. Los números enteros

Números Naturales. Los números enteros Números Nturles Con los números nturles contmos los elementos de un conjunto (número crdinl). O bien expresmos l posición u orden que ocup un elemento en un conjunto (ordinl). El conjunto de los números

Más detalles

TEMA 14 Números complejos *

TEMA 14 Números complejos * TEMA 4 Números complejos * Definiciones Supongmos que quiero resolver l ecución de segundo grdo x + 0. Quedrá: x, luego x ±, que evidentemente no pertenecen l conjunto de los números reles. Por tnto tenemos

Más detalles

1. ESTIMACIÓN DE RADICALES Llamaremos estimar una raíz a dar una aproximación de ella. Por ejemplo, Raíz de 178 aproximadamente es 13 4.

1. ESTIMACIÓN DE RADICALES Llamaremos estimar una raíz a dar una aproximación de ella. Por ejemplo, Raíz de 178 aproximadamente es 13 4. Amplició potecis y rdicles º ESO Curso 06_07. ESTIMACIÓN DE RADICALES Llmremos estimr u ríz dr u proimció de ell. or ejemplo, 78. Ríz de 78 proimdmete es.. RADICALES EN FORMA DE OTENCIA El vlor de u ríz

Más detalles

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:

Más detalles

1 Agrupa aquellos monomios de los que siguen que sean semejantes, y halla su suma: , cuando:

1 Agrupa aquellos monomios de los que siguen que sean semejantes, y halla su suma: , cuando: Agrup quellos monomios de los que siguen que sen semejntes, y hll su sum: m, bn y, m, bm, b my, m, n by, mb Son semejntes el º, el º y el º, su sum es: Tmbién lo son el º y el º: bn y 0 Lo mismo ocurre

Más detalles

LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES

LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES LOGARITMO º AÑO DEF. Y PROPIEDADES En l epresión n c, puede clculrse un de ests tres cntiddes si se conocen dos de ells resultndo de este odo, tres operciones diferentes: º Potenci º Rdicción º Logrito

Más detalles

Algebra de Logaritmos. 2do. Medio. (f) log 27 ( 1 81 ) (g) log a. (i) log (j) log 9. (i) (j) log x. (k) log 4 x = 1, 5.

Algebra de Logaritmos. 2do. Medio. (f) log 27 ( 1 81 ) (g) log a. (i) log (j) log 9. (i) (j) log x. (k) log 4 x = 1, 5. do. Medio. 0. 0. 0. Expresr en form rítmic : = 0, 9, = 7 Expresr en form exponencil : 64 = 6 = 9 Clculr los siguientes ritmos : 6 7 ( 8 ) 8 = 4 = 4 8 9 0, (h) 4 0 04. 0. 8 0, 06 7 4 Determinr el vlor de

Más detalles

Estudio de funciones exponenciales y logarítmicas

Estudio de funciones exponenciales y logarítmicas FUNCIÓN EXPONENCIAL Recomendciones l Docente: L ctividd proponer debe puntr que los lumnos puedn nlizr los siguientes spectos: 1. Cómo vrí el gráfico de l función eponencil y de qué depende su monotoní.

Más detalles

Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos.

Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos. 1.3. L función Logrítmic Con el uso de los ritmos, los procesos de multiplicción, división, elevción potencis extrcción de ríces entre números reles pueden simplificrse notorimente. El proceso de multiplicción

Más detalles

Efectuando la división (2x 2 = 1x y 6 2=3) se tiene III. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN UTILIZANDO ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA.

Efectuando la división (2x 2 = 1x y 6 2=3) se tiene III. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN UTILIZANDO ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA. TEORIA GENERAL DE LAS ECAUCIONES I. IGUALDADES Y ECUACIONES Ls igulddes son epresiones en donde precen el símolo = Ejemplos:. 5 + = 15-7. + 6 = 5 Alguns propieddes de ls igulddes que utilizremos son: Si

Más detalles

Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas:

Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas: EXAMEN DE MATEMÁTICAS ALGEBRA Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Dí: - XI- 4 CURSO 4-5. Hll el vlor de log log ), 4 log log b) log4 6 -log -log log 7 4 6. Clcul x pr que se cumpl: ) log 6,45,5 b) 5 +,58.

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Es decir, se pueden expresar en forma de fracción.

Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Es decir, se pueden expresar en forma de fracción. MATEMÁTICAS ºACT TEMA. EL NÚMERO REAL. NÚMEROS RACIONALES. Números rcionles son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Es decir, se pueden expresr en form de frcción. Los números

Más detalles

Manual de teoría: Álgebra Matemática Bachillerato

Manual de teoría: Álgebra Matemática Bachillerato Mnul de teorí: Álgebr Mtemátic Bchillerto Relizdo por José Pblo Flores Zúñig Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin Contenido: ) Álgebr. Fctorizción. Simplificción de epresiones lgebrics. Ecuciones Álgebr:

Más detalles

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas: ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un

Más detalles

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd

Más detalles

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1 el log de mte de id: Mtemátics I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores de l incógnit (o

Más detalles

CAPÍTULO. Aplicaciones

CAPÍTULO. Aplicaciones CAPÍTULO 3 Aplicciones 3.5 Trbjo de un fuerz 1 Se dice que un fuerz reliz un trbjo cundo cmbi el estdo de reposo o estdo de movimiento de un cuerpo. En este sentido, el trbjo que reliz un fuerz pr llevr

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el

Más detalles

C u r s o : Matemática. Material N 25 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 20 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES. Sean a, b lr {0} y m, n.

C u r s o : Matemática. Material N 25 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 20 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES. Sean a, b lr {0} y m, n. C u r s o : Mtemátic Mteril N 5 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 0 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES POTENCIAS ECUACIÓN EXPONENCIAL FUNCIÓN EXPONENCIAL PROPIEDADES DE POTENCIAS Sen, b lr {0} y m, n PRODUCTO DE POTENCIAS

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos l gráic de l unción: si < si > Si tom vlores próimos, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, se not

Más detalles

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 4 a 21

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 4 a 21 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. Págin. Actividd personl, por ejemplo:,...,...,...,9...,8.... ) No, pues un deciml puede tener un número limitdo de cifrs o ser periódico. Por ejemplo,,

Más detalles

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIONES

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIONES C u r s o : Mtemátic Mteril N GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 8 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIONES DEFINICIÓN Sen A B conjuntos no vcíos. Un función de A en B es un relción que sign cd elemento del conjunto

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

TEMA 1. NÚMEROS REALES

TEMA 1. NÚMEROS REALES TEMA. NÚMEROS REALES. El número que indic los dís del ño es un número muy curioso. Es el único número que es sum de los cudrdos de tres números nturles consecutivos y que demás es sum de los cudrdos de

Más detalles

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA Rzón entre dos números Siempre que hblemos de Rzón entre dos números nos estremos refiriendo l cociente (el resultdo de dividirlos) entre ellos. Entonces: Rzón entre

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción Universidd Tec Milenio: Preprtori Mtemátics Propedéutico pr Bchillerto Mtemátics Propedéutico pr Bchillerto Actividd. Ley de exponentes (división). Introducción Y prendiste l multiplicción de expresiones

Más detalles