PROPIEDADES DINÁMICAS Y TERMODINÁMICAS DE LÍQUIDOS COMPUESTOS POR MOLÉCULAS LINEALES Y COMPLEJAS A PARTIR DE MÉTODOS MECANOESTADÍSTICOS

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1 7 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE III UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS DEPARTAMENTO DE QUÍMICA FÍSICA 1 PROPIEDADES DINÁMICAS Y TERMODINÁMICAS DE LÍQUIDOS COMPUESTOS POR MOLÉCULAS LINEALES Y COMPLEJAS A PARTIR DE MÉTODOS MECANOESTADÍSTICOS MEMORIA qu para optar al grado d Doctor n Cincias Químicas prsnta SOFIA CALERO DIAZ DIRECTORES: Dr. SANTIAGO LAGO ARANDA Dr. BENITO GARZÓN SANCHEZ MADRID, JULIO 2000

2 A mis padrs A Maria y Gustavo, mis hrmanos

3 Los mjors sndros tinn dos caractrísticas: conducn a un punta.. dond uno pud mirar hacia lsndro por l qu ha caminado, o pud mirar hacia adlant, al dstino. Juli Mmi Mssrvy. Jardins Contmplativos

4 En primr lugar quiro xprsar mi agradciminto a Santiago Lago y a Bnito Garzón, mis dirctors d st trabajo y dos grands amigos. A Santiago, qu ha stado a mi lado durant todos stos años y m ha ayudado a crcr n l ámbito cintífico y n l prsonal. Con stas línas quiro agradcrl n la mdida d lo posibl su ayuda, sus nsñanzas y sobr todo su incondicional amistad y apoyo n los momntos bunos y n los mnos bunos. A Bnito, con l qu h compartido muchas horas d trabajo, y qu con su pculiar forma d nsñar hac qu aprndr rsult muy divrtido, Gracias por tu amistad, tu pacincia y tu instimabl ayuda. A mis padrs, a mis hrmanos, Maria y Gus, y al rsto d mi familia porqu simpr pudo contar con llos. A todos mis amigos qu como afortunadamnt son muchos, spro qu ntindan qu no ponga todos sus nombrs. En panicular quiro dar las gracias a Francisco Javir Pérz Tjdor y Pablo Quintana, por hacr qu unos cintos d kilómtros no san un impdimnto para consrvar una buna amistad. A Clara Santivri, a quién conoci ralmnt hac sólo un año y con la qu h compartido dsd ntoncs muchos bunos momntos. A Ignacio Baca por sr como s, y a Manul Mll, Lucía Martínz, Marisa Ramírz, Victoria García, Bgoña Martínz, Migul Pérz, Juan José Guillín, Danil Rodríguz y Angl Caballro por todos sos ma/ls qu han hcho qu nunca m sintira sola y por todo l cariño qu h rcibido d llos. También quiro rcordar a todas las prsonas institucions qu d alguna manra han contribuido al dsarrollo d st trabajo y qu dbido al caráctr viajro d mi Tsis han sido muchas. Empzaré d forma cronológica por la Facultad d Cincias Químicas d la Univrsidad Complutns d Madrid, dond mpcé y h trminado st trabajo. Dso agradcr al dpartamnto d Química Física 1 y a Javir Núñz y Francisco Ortga, como Dirctor y Scrtario dl mismo, l rspaldo y las facilidads d las qu h dispusto n todo momnto. Asimismo quiro darl las gracias a José Luis Frnándz Abascal, tutor d st trabajo, por su ayuda n todo momnto y a Ignacio Solá Rija por star ahí cuando l h ncsitado. A la Comunidad Autónoma d Madrid, por la bca d formación d prsonal invstigador qu ha hcho posibl la ralización d st trabajo. A la Univrsidad d Shffild, y n spcial a Gorg Jackson, Aljandro Gil Villgas, Amparo Galindo, Lowri Davis y Clar McCab. A la Univrsitát flir Bodnkultur d Vina, y n panicular a Johan Fishr, Martin Wndland y Eva dllr. D mi stancia n Vina quiro hacr una mnción muy spcial; Wrnr Eggr, una prsona a quin val la pna conocr y al qu nunca podré agradcr todo lo qu hizo por mi durant aqullos mss. A la Facultad d Cincias d la Univrsidad d A Coruña y a toda la gnt maravillosa qu conocí allí y qu m acogiron como una más dsd l primr momnto. Todos llos hiciron d mi año n A Coruña uno d los más bonitos d mi vida.

5 . A la Univrsidad d Pnnsylvania n Filadlfia y concrtamnt al Eduardo Glandt y su grupo, a flor Rbca Siprstin, Christoph Borst y Chandryi Basu. Al ETHZ, n Zurich y sobr todo a Wilfrd Van Gunstrn y Xavir Daura sin los qu l último capítulo d st trabajo no hubira sido posibl. También quiro dar las gracias a todo l grupo d Wilfrd, dl qu formé part durant unos mss, y n spcial a Roland Búrgui, Christin Ptr, Dirk Bakowis, Frd Hámprcht, Urs Stockr, Lukas Shulr y Tomas Hansson. A la Univrsidad d Svilla por su soport bibliográfico y n spcial a Luis Rulí y su grupo por las intrsants charlas qu hmos compartido. Quiro mncionar spcialmnt a José Manul Romro Enriq mi primr amigo svillano, dl cual stoy continuamnt aprndindo. José Manul s una prsona stupnda y dsd aquí l dso qu no cambi nunca. A la Univrsidad Pablo d Olavid, qu m ha acogido durant los dos últimos años y a Bruno Martínz Haya, Juan Antonio Anta, Aljandro Cutos, Silvia Rodríguz, Antonio Trán, José Manul d la Torr, Said Hamad y Juan Carlos Rodríguz Aguilra por ponr su granito d arna n st trabajo. Y por último a José Antonio Mjías Romro qu ha compartido st último año conmigo y con quin m gustaría compartir muchos más. Su xprincia y su indiscutibl capacidad cintífica l han convrtido n mi crítico más svro y con su pacincia, su bun humor y su inagotabl vitalidad ha hcho qu mi vida sa mucho más intrsant. Gracias por todo. Madrid, Julio 2000

6 INDICE Introducción 1 Rfrncias 6 1. Fundamntos para la simulación d fluidos molculars Mcánica Estadística Trmodinámica Estructura Dinámica Métodos d simulación molcular Simulación por l método d Mont Carlo Método d Mont Carlo n l colctivo d Gibbs Método d Dinámica Molcular 31 Rfrncias Influncia d la distribución d carga sobr las propidads trmofisicas d modlos linals polars Intraccions molculars Contribución lctrostática 40 2.] Propidads d coxistncia Jiquidovapor Propidads trmodinámicas Propidads structurals Funcions d corrlación Propidads diléctricas Propidads dinámicas Funcions d autocorrlación Timpos d corrlación Coficints d transport 77 Rfrncias 81

7 O 3. Aplicacions mnos frcunts d la Dinámica Molcular a moléculas y modlos linals multipolars Aplicación a modlos d fluidos dipolars. Transfrncia d nrgía rsonant y factor kappa cuadrado Transfrncia d nrgía rsonant 89 r Factor kappa cuadrado 92 r 3.2 Aplicación a moléculas poliatómicas rals con multipolo. Espctroscopia molcular Parámtros intrmolculars para sistmas rals Dinámica Molcular para sistmas rals Aplicacions spctroscópicas Aplicación a moléculas y modlos d fluidos multipolars. Rlacions d. Hubbard Dinámica dl stado liquido Rlacions d Hubbard 121. Rfrncias Simulación d moléculas angulars rígidas Simulación por l método d Mont Carlo. Potncial intrmolcular y corrccions d largo alcanc Propidads trmodinámicas, structurals y criticas 139. a. 4.3 Aplicación dl modlo a la molécula d propano Rfrncias Simulación d protínas y péptidos 153 a. 5.1 Modlos molculars para l dominio NSH3 y para l péptido msos2a Comparación ntr la simulación y los rsultados xprimntals para l dominio NSH3 y l péptido msos2a 159 Rfrncias 173 a.

8 Rsumn y conclusions 177 Apéndic Aminoácidos: fórmulas y nomnclatura 183

9 Introducción Introducción La Física Estadística stá íntimamnt ligada a las intraccions ntr panículas, lo qu hac complicada la rsolución d sus cuacions. Para tratar d rsolvr st problma n la última mitad dl siglo XX s ha rcurrido a las simulacions por ordnador, una podrosa hrraminta qu proporciona información dtallada dl fcto d dichas intraccions. La simulación admás, nos prmit obtnr prdiccions rals dond xprimntalmnt no s posibl, s muy dificil o simplmnt rsulta caro. En los últimos trinta años los ordnadors han ocupado una posición fundamntal n la cincia dbido al aumnto dl podr d computación, tan rápido qu cada cinco o sis años la rlación prstación/prcio s incrmnta n un factor d diz. Est dsarrollo ha facilitado l camino para simular n l ámbito atómico y molcular ~ cantidad d procsos fisicos hasta l punto n qu n la actualidad podmos dcir qu la computación s constituy como un trcr modo para hacr fisica, comparabl con la toría y l xprimnto. Est campo aún s ncuntra n continuo crciminto proporcionando cada dia una mjor infrastructura, nuvos y mjors algoritmos y una mayor capacidad d cálculo. Admás d la Física y la Química, podmos considrar la Biología y la Cincia d los Matrials como disciplinas basadas fundamntalmnt n los principios d Maxwll, Boltzmann y n Ja mcánica cuántica2~ A mdida qu la capacidad d los ordnadors crc, la rsolución d cuacions n sistmas con muchas partículas s raliza rcurrindo a métodos más compljos y con mayors nivls d prcisión qu nos acrcan cada vz más al xprimnto hasta l punto d q a partir d coficints sncillos, s pudn obtnr propidads cada vz más compljas a las qu ants sólo s podía llgar xprimntalmnt. La simulación por ordnado? nos prmit también prdcir propidads dinámicas qu son inaccsibls d forma xprimntal. Sin

10 Introducción mbargo, prviamnt s ncsario ncontrar modlos molculars, potncials o campos d furza y procdimintos d cálculo qu s ajustn a los sistmas rals. Todo sto nos llva a podr disñar sustancias o moléculas qu posan propidads spcíficas d utilidad n las aplicacions prácticas como por jmplo, disño d drogas y fármacos, vacunas, ingniría d protínas o cincia d matrials. La Mcánica Estadística s pud considrar bin como una rama d la cincia indpndint d la Trmodinámica clásica o bin como una disciplina complmntaria d la Trmodinámica qu arroja luz sobr l orign d sus lys y n algunos casos proporciona información qu d ningún modo s pud obtnr por aproximacions 4 trmodinamícas. Las lys d la Trmodinámica s obtuviron xprimntalmnt y son aplicabls únicamnt a sistmas rals macroscópicos. Sin mbargo, n l sno d un sistma macroscópico hay un númro norm d átomos o moléculas qu stán n constant moviminto por lo qu las posicions y vlocidads d stas partículas stán variando continuamnt. Para obtnr propidads macroscópicas tals como la prsión o l calor spcífico s ncsario promdiar stadísticamnt sobr stos movimintos rcurrindo gnralmnt a la Mcánica Estadística. Trs d los métodos mcanostadisticos más utilizados son las cuacions intgrals5, la toría d 6 prturbacions y la simulación por ordnador. Dntro d los métodos d simulación por ordnador los dos más clásicos son l d Mont Carlo7 (MC) y l d Dinámica Molcular8 (MD). El problma matmático consist n calcular las propidads d quilibrio y/o las propidads dinámicas con rspcto a la distribución d Boltzmann. Part dl atractivo d stas técnicas s ncuntra n qu ambos métodos son muy sncillos d dscribir. La Dinámica Molcular s, n rsumn, la rsolución numérica d las cuacions d Nwton dond l quilibrio térmico s stablc por rgodicidad. El método d Mont Carlo (Mtrópolis o cadna d Markov) s un camino alatorio a través dl spacio fásico utilizando acptacions y rchazos para obtnr un quilibrio y ralizando un mustro d la distribución d Boltzmann. La Dinámica molcular s pud utilizar para obtnr dinámica clásica mintras qu l método d Mont Carlo sólo prmit obtnr propidads státicas, a. La técnica d simulación por Dinámica Molcular prmit rproducir la part dl spacio configuracional qu s accsibl al sistma a una dtrminada tmpratura lo qu hac d la MD una hrraminta muy útil n l campo d la química molcular y biomolcular y también n l campo d la fisica. Al aplicar Dinámica Molcular a un sistma concrto, s ncsario hacr una sri d aproximacions sobr l modlo molcular qu van a dtrminar l nivl d prcisión d los rsultados. En primr lugar, dsd qu s postularon las cuacions d moviminto d Nwton n simulación MD, la dscripción clásica s considra apropiada para rproducir st tipo d sistmas. Gnralmnt, si l sistma molcular s ncuntra a tmpratura ambint, los fctos cuánticos no son significativos simpr y cuando no s rompan los nlacs covalnts. Por otra part, con l dsarrollo d los ordnadors, la duración d una simulación MD pud xtndrs a procsos qu duran dsd unas dcnas d picosgundos hasta dcnas d nanosgundos, dpndindo dl tarnai o dl sistma. No sólo la scala d timpos n la qu s pud simular un procso s limitada sino qu también hay limitación n l númro d partículas (normalmnt hasta i0~). Por último, pro no por llo mnos important, la función d intracción o l campo d furza qu s utiliza 2

11 Introducción dtrminará la prcisión d los rsultados obtnidos por simulación. S han studiado una norm cantidad d modlos molculars y campos d furza para los sistmas d moléculas bajo las más divrsas condicions. La lcción d uno n concrto dpndrá d las propidads dl sistma qu nos intrs tratar ya qu algunas aplicacions rquirn un potncial más rfinado qu otras. Por st motivo db stablcrs un quilibrio ntr la prcisión dl modlo d intracción y l sfurzo d cálculo qu rquir. Así, aunqu la simulación rsult una técnica muy podrosa, para studiar las propidads d sistmas molculars n l ámbito microscópico s ncsario rcordar qu stá limitada por una sri d supustos y aproximacions. Con st trabajo prtndmos, mdiant simulación, conocr mjor l comportaminto d una gran divrsidad d fluidos. Por una part nos intrsa dscubrir cual s l fcto causado por la prsncia d cargas puntuals n fluidos constituidos por moléculas linals y psudolinals y las variacions qu ocasionan stas cargas sobr sus propidads dinámicas y trmodinámicas. Continuando con sistmas linals, hmos qurido aplicar la técnica d Dinámica Molcular para studiar la transfrncia d nrgía rsonant, la spctroscopia molcular d stos sistmas y las rlacions d Hubbard qu pudn dducirs a partir d las torías stocástícas d prturbación d primr ordn9. Por otra part, hmos llvado a cabo simulacions por l método d Mont Carlo n l colctivo canónico para obtnr propidads trmodinámicas d sistmas no linals constituidos por moléculas angulars. Hasta aquí s ha utilizado simpr un potncia) intrniolcular sncillo qu nos ha srvido para prdcir con éxito una gran cantidad d propidads n moléculas pquñas linals y no linals. Sin mbargo hmos qurido también simular biomoléculas constituidas por un gran númro d aminoácidos. En st caso nustro potncial intrmolcular ya no rsulta útil dada la compljidad dl sistma. Por st motivo hmos rcurrido al GROMOS9E 0, un paqut d programas d simulación y análisis para sistmas constituidos por péptidos y/o protínas. En conclusión, hmos dividido st trabajo d la siguint forma: En primr lugar, hmos hcho un rsumn d los principals concptos d la Mcánica Clásica y d los trs métodos d simulación utilizados a lo largo d nustro trabajo para pasar d las propidads microscópicas d un sistma a las macroscópicas, contrastabls xprimntalmnt. En l sgundo capítulo, s ha analizado l fcto qu produc n las propidads dl sistma la distribución d carga n las moléculas. Para llo hmos utilizado distintos tipos d contribución lctrostática (dipolos idals y cargas puntuals) n varios modlos d fluidos polars linals hacindo un dsarrollo similar al qu Monson y Stl ralizaron n sistmas cuadrupolars. Para obtnr las propidads trmodinámicas, las funcions d corrlación spacial y las constants diléctricas d cada uno d los sistmas hmos rcurrido al método d Dinámica Molcular. Admás, hmos obtnido por l método d Mont Carlo n l colctivo d Gibbs 2 las propidads d coxistncia d stos sistmas. Sin mbargo, pudimos obsrvar qu n los casos n los qu s utilizaban cargas puntuals no ra posibl alcanzar l quilibrio n las prsions d la fas líquida y la fas d vapor. Para rsolvr l problma tuvimos qu apantallar l potncial coulómbico analizando dtalladamnt l fcto qu st 3

12 Introducción apantallaminto produc sobr las propidads d coxistncia, trmodinámicas y structurals d los sistmas. En l trcr capítulo nos cntrarmos n algunas d las aplicacions mnos xploradas d la Dinámica Molcular. En primr lugar, y continuando con modlos linals dipolars hmos studiado la transfrncia d nrgía rsonant n stos sistmas 3 mdiant la dtrminación d un factor qu dpnd d las orintacions molculars y qu rcib l nombr d factor kappa cuadrado (0). En sgundo lugar hmos obtnido las curvas d coxistncia d trs sustancias rals linals. El cloro, con un pquño cuadrupolo, l disulfúro d carbono, con un cuadrupolo más alto y l óxido nitroso, con dipolo y cuadrupolo. A partir d stas curvas d quilibrio y utilizando la técnica d Dinámica Molcular s han obtnido las funcions d autocorrlación y las propidads d transport d los trs sistmas. La intgración d las funcions d autocorrlación tmporal proporciona a su vz los timpos d rlajación, íntimamnt ligados a la spctroscopia molcular dl sistma. Mdiant la transformada d Fourir d las funcions d autocorrlación rorintacionals hmos obtnido por último las distintas bandas d los spctros molculars. Los timpos.d corrlación rorintacionals también stán rlacionados con l momnto d inrcia dl sistma a través d unas xprsions qu rcibn l nombr d rlacions d Hubbard 4. Para valuar stas rlacions hmos tnida qu rcurrir a la simulación considrando dos nuvos grupos d sistmas con l mismo pso molcular pro distinta distribución d masas y por lo tanto difrnt momnto d inrcia. Admás d studiar las rlacions ntr los timpos d corrlación y los momntos d inrcia hmos tnido n cunta también l fcto qu jrc dicho momnto d inrcia sobr l coficint d difusión, la viscosidad d cizalla y la conductividad térmica dl sistma. El capítulo cuarto s cntra n l studio d moléculas no linals obtnindo las propidads trmodinámicas y structurals d divrsos fluidos formados por moléculas angulars n las qu s han variado las distancias d nlac, En concrto, hmos dsarrollado dos sistmas simétricos y uno no simétrico, todos llos con l mismo tipo d potncial intrmolcular apolar, analizando dtalladamnt l fcto qu la simtría y la longitud d las distancias d nlac producn n sus distintas propidads. Mdiant la técnica d Mont Carlo n l colctivo NVT hmos podido stimar también las propidads críticas d los trs sistmas y por último hmos aplicado uno d llos a un sistma ral d propano obtnindo para distintos stados trmodinámicas las propidads trmodinámicas y structurals d sta sustancía. Aunqu la Física y la Biología han stado simpr rlacionadas, n st último siglo la intracción ntr llas s ha xtndido normmnt hasta l punto d qu no sólo la Biología ha rcurrido a las hrramintas fisicas para su dsarrollo sino qu también s han mpzado a studiar fisicamnt sistmas biológicos obtniéndos intrsants rsultados 5. La contribución más important d la Física a la Biología Molcular ha sido la dtrminación d las structuras molculars por rayos X. El dscubriminto d los rayos X n 1895 por Wilhlm Conrad Róntgn afctó a todos los campos cintíficos 6. Más tard, Max von Lau introdujo la difracción por rayos X y W. L. Bragg dtrminó las primras structuras cristalinas. Lau cría qu las structuras d las biomoléculas nunca s podría obtnr, pro s quivocó y n 1953 Watson y Crick 4 o S

13 5 Introducción ddujron la primra structura d DNA (dobl hélic). Fu a partir d s momnto cuando s mpzaron a stablcr conxions ntr las structuras y las funcions d las protínas~ La técnica d difracción d rayos X prsnta dos limitacions. En primr lugar rquirn cristals bin formados, lo qu a vcs s un problma ya qu no todas las protínas pudn cristalizar con facilidad. En sgundo lugar, las moléculas d agua, imprscindibls para la función d las biomoléculas, son dificils d vr por rayos X. La primra limitación s rsulv con otra técnica, la RMIN, 8 9 n la qu s obtin información gométrica a partir d las distancias ntr protons. La sgunda limitación s rsulv por difracción d nutrons20 pudindo localizar los átomos d hidrógno dirctamnt incluso distinguindo ntr l hidrógno y l dutrio. Estas nuvas técnicas junto con l dsarrollo d los ordnadors y la radiación sincrotrón han prmitido qu n l año 2000 dispongamos d más d structuras dpositadas n l Protin Data Bank. En l último capítulo d st trabajo hmos utilizado una d las structuras contnidas n l Protrin Data Bank obtnida por RMN. Partindo d lla como rfrncia, hmos ralizado distintas simulacions con l conjunto d programas GROMOS9Ó para dtrminar y analizar su dinámica su structura. Las biomoléculas qu hmos studiado son l dominio Ntrminal SH3 1 (NSHJ) qu forma part d la protina Grb2 dl ratón22 (mgirb2) y l pé 2ptido msos2a compusto por 15 rsiduos y qu prtnc a la protina dl ratón Sos2 (msos2). En todos los casos la biomolécula s ncuntra a tmpratura ambint y ph nutro mantniéndos constants la prsión y la tmpratura dl sistma (simulación n l colctivo NPT). Tanto la protína como l péptido s ncontraban inicialmnt plgados n mdio acuoso studiando con dtall su volución a lo largo d 10 nanosgundos d simulación n trs condicions distintas. En un primr caso los 10 nanosgundos s han ralizado para l compljo N SH3/mSos2A n las condicions dscritas antriormnt. En l sgundo y trcr caso s ha liminado l péptido mantnindo l dominio NSH3 n ausncia y prsncia d ions (Na2SO4) rspctivamnt.

14 Rfrncias Rfrncias 1. D. M. Cprly. Ry. Mod. Phys. 71, 5438, Cntnario (1999). 2. D. Stauffr. Am. J. Phys. 67, 1207, (1999). 3. D. Frnkl y B. Smit, Undrstanding Molcular Simulation. From Algorithms to Applications, Acadmic Prss. San Digo, A. BnNaim Statístical Thrmodynamics for Chmists and Biochmists, Plnum Prss, Nw York, S.L. 5. Ornstin y F. Zrnik, Proc. Akad. Sci. 17, 79, (1914). 6. E.. W. Zwanzig, J. Chm. Phys. 22, 1420, (1954). 7. N. Mtropolis, A. W. Rosnbluth, M. N. Rosnbluth, A. H. Tllr y E. Tllr, J. Chm. Phys. 21, 1087, (1953). 8. E. J. Aldr y T. E. Wainwright, J. Chm. Phys. 27, 1208, (1957). 9. A. 1. Burshtin y Tmkin, Spctroscopy of Molcular Rotation of Gass and Liquids, Cambridg Univrsity Prss, Cambridg, W. F van Gunstrn, 5. R Billtr, A. A Eising, P. II. Húnnbrg, P. Krtigr, A. E. Mark, W. R. P. Scott y 1. G. Tironi. Biomolcular Simulation: Th GROMOS 96 Manual and Usr Quid, Zúrich; P.A. Monson y W. A. Stl; Mol. Phys. 49, 2, 251, (1983). 12. A. Z. Panagiotopoulos, Mol. Phys. 61, 813, (1987>. 13. B. W. Van dr Mr, O. Cokr III, 5.Y. Simon Chn, Rsonanc Enrgy Transfr. Thory and Data, Vrlag Chmi, Nw York, P. 5. Hubbard, Phys. Ry. A, 6, 2421, (1972>. 15. H. Fraunfldr, P. G. Wolyns y R. U. Austín. Rviws ofmodrm Physics, 71, 5419, Cntnario (1999). 16. A. Haas, O. Landwhr y E. Umbach. Xrays in natural and lif Scincs, Eds. Róntgn Cntnnial, World Scintific, Singapor, C. Brandn y T. Tooz. llntroduction to Protin Structur, Garland, Nw York, K. Wtithrich NRM ofprotins and Nuclic Acids, Wily, Nw York u.. 6

15 Rfrncias 19. G. M. Clor y A. M. Gronnborn. Annu. Ry. Biophys. Biophys. Chm. 20, 29, (1991). 20. B. P. Schonborn y R. B. Knott Nutrons in Biology, Plnum, Nw York, D. BarSagi, D. Rotin, A. Batzr, V. Mandiyan y J. Sch]ssingr. Clí, 74, 83, (1993). 22. P. Chardin, D. Cussac, 5. Maignan y A. Ducruix. FEBS Ltt. 369, 47, (1995). 23. M. Vidal, N. Goudra F. Comill, D. Cussac, E. Gincl y C. Garbay. J. Mol. Biol. 290, 717, (1999). 7

16 y O O o O O o o y a a

17 Fundamntos para la simulación d fluidos molculars 1. Fundamntos para la simulación d fluidos molculars Para dtrminar las propidads trmodinámicas d los fluidos la Mcánica Estadística ha dsarrollado dos tipos d métodos. Las torías dl stado liquido y las técnicas d simulación. A su vz, dntro d las torías dl stado líquido ncontramos las cuacions intgrals y las torías d prturbacions. Los trabajos sobr la opalscncia crítica ralizados por Ornstin y Zrnik a principios dl siglo XX proporcionaron una cuación intgral qu rlaciona la función d corrlación total con la fúnción d corrlación dircta. Sin mbargo, para podr rsolvr sta cuación fli ncsario ncontrar una sgunda rlación ntr ambas fúncions, s dcir, una rlación d cirr. Rlacions d cirr tals como la d PrcusYvick2, la d la cadna hiprrticulada3 (HNC) o la d la cadna hiprrticulada d rfrncia4 (RHNC) han proporcionado las distintas cuacions intgrals. A mdiados d siglo aparciron las torías d prturbacions. Estas torías, qu han xprimntado un rápido dsarrollo n Ja última mitad d sig]o~ 7 t, s basan n l hcho d qu a altas dnsidads las furzas rpulsivas dtrminan la structura d un fluido d manra q una vz conocidas las propidads trmodinámicas y structurals d un fluido puramnt rpulsivo, las furzas atractivas s pudn tratar como una prturbación9. El sgundo grupo d métodos mcanostadísticos qu hmos mncionado s l d las técnicas d simulación. Dntro d llas los dos métodos clásicos son l d Mont Carlo 0 (MC) y l d Dinámica Molcular (MD). Las simulacions por ordnador prmitn studiar las propidads d un gran númro d sistmas formados por muchas partículas. Sin mbargo, no todas las propidads s pudn obtnr d forma dircta por simulación. D hcho, la mayoría d las mdidas obtnidas por simulación no 9

18 1. Fundamntos para la simulación d fluidos molculars corrspondn a propidads qu s pudn mdir dirctamnt con l xprimnto. Por jmplo, si hacmos la simulación molcular dl disulfliro d carbono n stado liquido, podmos obtnr las posicions y las vlocidads d todas las moléculas n l líquido. Sin mbargo, st tipo d información no s pud comparar con datos xprimntals. Una mdida típica xprimntal promdia sobr un gran númro d partículas y muchas vcs también sobr l timpo qu dura la mdida. Por lo tanto, si dsamos utilizar la simulación para comparar con l xprimnto ncsitamos conctar las propidads macroscópicas y microscópicas dl fluido. Es por llo por lo qu s rcurr a la Mcánica Estadística Mcánica Estadística o O Tal y como su nombr indica, la Mcánica Estadística s la aplicación d la stadística y la toría d probabilidads para rsolvr múltipls problmas d la mcánica clásica y cuántica rsultando d gran ayuda para ntndr las lys macroscópicas d la trmodinámica. La Mcánica Estadística actúa como un punt ntr l mundo microscópico d los átomos y l mundo macroscópico obsrvabl a través d la trmodinámica, structura y dinámica d los fluidos Trmodinámica La mayor part d las simulacions s basan n l hcho d qu la mcánica clásica pud utilizars para dscribir l moviminto d los átomos y d las moléculas. Esto prmit simplificar normmnt los cálculos. Las nrgías librs son importants cuando stamos intrsados n la stabilidad rlativa d las distintas fass d un sistma. La sgunda ly d la trmodinámica dic qu para un sistma crrado con nrgía E, volumn V y númro d partículas N, la ntropía S alcanza un máximo cuando l sistma stá n quilibrio. A partir d sta ly, rsulta sncillo obtnr las corrspondints condicions d quilibrio para sistmas n los qu s produc un intrcambio d calor, panículas o volumn. En particular, si l sistma s ncuntra n un bafio térmico, s dcir, mantin T, V y N constants la nrgía libr d Hlmholtz, F E TS, alcanza un mínimo n l quilibrio 5. D forma análoga, para un sistma con N partículas a prsión p y tmpratura T constants, la nrgía libr d Gibbs, O = F + pv, alcanza también un mínimo. D sta manra, si tnmos un sistma con dos fass, para sabr cual d llas s stabl bastaría con comparar las nrgías librs para ambas fass. La ntropía, la nrgía libr y todas las propidads trmodinámicas rlacionadas con éstas no s pudn obtnr dirctamnt por simulación ya qu no son simpls promdios d las funcions dbidas a las coordnadas dl sistma. Sin mbargo, stán dirctamnt rlacionadas con l volumn dl spacio fásico al qu si podmos accdr a partir d la simulación. o lo

19 Mcánica Estadística En la mcánica stadística clásica la nrgía libr d Hlmholtz s rlaciona con la función d partición canónica Z(N,V,T) d la forma 6 17: F=kBTín Z(N,V,T) (1.1) dond k~ s la constant d Boltzmann. La función d partición Z(N, V, T) s dfin como: qnq Z(N,V,T) Nl (1.2) sindo q la función d partición molcular qu s pud calcular d forma sncilla a partir d datos spctroscópicos 8 y Q la intgral d configuración: dond TJ(1,...,N) s la nrgia potncial dl sistma y di = dr,dfi~, sindo rj l vctor qu dscrib la posición d la panícula i y Q~ l conjunto d ángulos qu dtrminan su orintación. La drivada d la nrgía libr d Hlniholtz con rspcto al volumn y a la tmpratura proporciona la prsión y la nrgía dl sistma: C~)N,T = p (1.4) C) C 8(F/T) =kbtz (1.5) Esto nos prmit calcular también la ntropía y la nrgía libr d Gibbs: 5EF (1.6) T G=A+pV (1.7) La intgral d configuración Q dpnd únicamnt d la posición y orintacions d las N moléculas y s Ja rsponsabl d qu la ntropía, la nrgía libr d Hlmholtz y la nrgía libr d Gibbs no s pudan obtnr dirctamnt por simulación ya qu Q no s pud promdiar. sobr l spacio fásico. Para calcular la contribución configuracional a las propidads trmodinámicas rcurrimos a las funcions d corrlación. 4 11

20 1. Fundamntos para la s mulación d fluidos molculars Estructura La función d distribución d una partícula n, s dfin d manra qu n~(1)d1 s la probabilidad d qu una d las moléculas s ncuntr n l lmnto d volumn di cntrada n la posición 1. Análogamnt la función d distribución gnérica n 4, rprsntará la probabilidad d ncontrar una partícula cualquira n la posición 1, otra n la posición 2... y otra cualquira n la posición h con indpndncia d dónd s ncuntrn las rstants Nb partículas. dond Nl Jxp[U(1;.~~N)] d(h+1)...dn (1.8) (nh)i Q o O o NI dl...dh= Para un fluido homogéno isótropo, todas las posicions d 1 tinn la misma probabilidad por lo qu n1 ya no dpnd d 1 obtniéndos la dnsidad numérica n: O o u1 = N (1.10) = u Análogamnt, si la distribución d moléculas n l fluido s alatoria ntoncs:. 1 Nl Nl 1 (1.11) Vh(N~h)lrLNh(N~h)Ij Si dsarrollamos n sri l término qu aparc ntr corchts obsrvamos qu val uno cuando N»h y también n l límit, s dcir, cuando N a~ Sin mbargo, una distribución al azar sólo xist cuando la tmpratura tind a infinito o bin n l caso d un gas idal n l qu no xistn furzas intrmolculars. En l rsto d los casos xist una corrlación ntr las probabilidads d ncontrar las moléculas n sus rspctivos intrvalos d volumn. Esto s pud corrgir introducindo unos factors adimnsionals qu dpndn d las distintas posicions (i=1,...,h) y qu rcibn l nombr d funcions d corrlación. o a Las funcions d corrlación spcificas a las q cuando no hay posibilidad d confusión, nos rfrimos simplmnt como funcions d corrlación, g~, s dfinn como : 12

21 Mcánica Estadística n La función d corrlación par (pair corrlationfunct on) g2(1,2) s aqulla qu dfin la structura d un fluido cuando podmos xprsar la nrgía dl sistma como una suma d contribucions pars. g 2(1,2) = gq,2) n 1 fxp ju~jy~n)] d3...dn (1.13) En un sistma finito d partículas, como s l caso d la simulación, la función d corrlación par s pud scribir n función d las posicions y d los ángulos d la forma: n dond 5 s la función dlta d Dirac. Para podr rlacionar la función d corrlación par con l potncial intrmolcular u(1,2) s dfinn trs nuvas funcions d corrlación. La función d corrlación total: h(1,2) = g(~2) 1 (1.15) La función d corrlación indircta: y(l,2) = xpi u5,~)]go,2> (1.16) Y la función d corrlación dircta dfinida a través d la cuación d Ornstin Zrnik : «1,2) = h(1,2) nfc(1,3)h(2,3)d3 (1.17) La función d corrlación par s pud rlacionar dirctamnt con las magnituds trmodinámicas y con propidads macroscópicas dl sistma tals como la constant diléctrica d fluidos polars CD. Admás, tin la vntaja d qu s pud mdir xprimntalmnt por difracción d rayos X o d nutrons. 13

22 a 1. Fundamntos para la simulación d fluidos molculars Dinámica El stado dinámico d un sistma d N partículas sféricas únicamnt con grados d librtad traslacionals s dfin n mcánica clásica a partir d sus posicions, q(t), y momntos, p(t), n un instant dado. La rsolución d las cuacions d moviminto proporciona la volución tmporal d q y p, y spcificando las 6N constants d intgración rsultants s obtin la trayctoria d cada una d las partículas. Considrando stas constants como las posicions y momntos d las panículas n un instant t = 0, la solución formal d las cuacions d moviminto s scrib d la forma: q(t) = «~,(t),...,qn(t)}= q(q(0),p(0);t) (1.18) a p(t) = ~3,(t),...pN(t)} p(q(0),p(0);t) (1.19) Tnindo sto n cunta, una variabl mcánica cualquira A, qu dpnd d q y d p, s podrá scribir d la forma 2: A4qQ),p(t)) = A(q,p;t) = A(t) (1.20) La función d corrlación tmporal d quilibrio d dos variabls mcánicas A(t) y B(t) s dfin como l promdio sobr l colctivo d la proycción d una d las variabls sobr la otra20: C~ (t,t ) ~< A(t9 B(t ) >= ff(q,p)a(t ). B(t )dqdp (1.21) o dond f(q,p) s la función dnsidad d probabilidad. Basándos n la hipótsis rgódica, sgún la cual l promdio d una propidad sobr l colctivo s quivalnt a su promdio tmporal n un solo lmnto d dicho colctivo, la intgral antrior s pud xprsar d la forma: O a. 11 C,~(t,t ) = A(t +t). B(t +t)dt (1.22) t o Hacindo uso d la invarianza d las propidads d quilibrio con, la traslación n l timpo, la función d corrlación CAn(t,t ) no dpndrá dl val r qu tomn t y t, sino d la difrncia t = t t. Tnindo sto n cunta, llgamos a la xprsión: C~(t,t ) = C~ (t) =ca(0).b(t) >=< A~ B(t)> (1.23) En l límit d la pérdida d corrlación, dond s cumpl qu: 14 a

23 Mcánica Estadística s sul dfinir la función d corrlación como: C~ (t) =c (A <A >~B <B>)> (1.25) Dntro d las funcions d corrlación son importants aqullas n las qu A(t)=B(t). En st caso: C~ (t) =c A(O). A(t)> (1.26) Estas funcions rcibn ] nombr d funcions d autocorrlación. Una propidad caractrística d las funcions d autocorrlación s la qu aparc d aplicarls l torma d Schwartz, por l cual tin lugar la siguint dsigualdad: C~(O)=C~(t) (.27) Tnindo n cunta st torma, s pud dfinir la función d autocorrlación normalizada, Zk&(t), d la siguint manra 1: C~ 4~jt Ca(O) (1.28) dond l valor absoluto d Z4t) s ncuntra ntr cro y uno. En l caso gnral d funcions d tipo C~n(t), l factor d normalización s l producto d las varianzas d A y B. Tnindo sto n cunta, a los sucsos altamnt corrlacionados s ls asocia la unidad, mintras qu la ausncia d corrlación llva asociada un valor nulo d la función normalizada, ZAB(t). Dntro d las Uncions d autocorrlación tmporals, s van a stablcr dos grupos difrnciados. Las funcions d corrlación qu studian l moviminto traslacional d las moléculas y aqullas qu studian su moviminto rorintacional. Dfinimos dos funcions d corrlación d vlocidads: La función d corrlación d vlocidads linals, C~(t) =c v(t). y(o)> (1.29) Y la función d corrlación d vlocidads angulars: C~ (t) =c w(t). w(0)> (1.30) 15

24 1. Fundamntos para la simulación d fluidos molculars dond y y co son las vlocidads linal y angular dl sistma. Por otra part, la función d corrlación rorintacional d ordn 1(1 = 1,2,3,4) para moléculas uniaxials s dfin d la forma 20: C,(t) =< P, ((t). (o))> (1.31) dond s van a considrar los casos = II y 2. Las funcions d corrlación rorintacional d ordn s dfinn como l polinomio d ordn d Lgndr, P~, cuando su argumnto s l producto scalar (t> (O). En l caso n l qu sa la unidad sta función s la función d corrlación dl vctor orintacional (t). C, (t) =c 1% ((t). (O)) >=< (t).(o)> (1.32) sindo (t).(o) l cosno dl ángulo qu forman l j d la molécula n t = O y n un timpo t postrior, La función corrspondint a 1= 2, s la qu sul tomars como parámtro d ordn orintacional n la simulación d cristals líquidos, 1 (133) o o a u El moviminto rorintacional d las moléculas s studia a partir d la función d corrlación d la vlocidad angular y d las funcions d corrlación rorintacionals. En l caso d dnsidads bajas, las moléculas pudn girar más d 18O~ ants d chocar y prdr la mmoria d su vlocidad angular inicial. Esto s manifista con la prsncia d un mínimo ngativo n la ñrnción d corrlación d vlocidads angulars. A altas dnsidads, la rotación s y impdida por las moléculas vcinas. Esto hac qu la orintación inicial s mantnga durant timpos rlativamnt grands sindo suav la caída d la función. Las funcions d corrlación prmitn sistmatizar l comportaminto dinámico d un fluido. Así, por jmplo, cuando las partículas dl sistma chocan con sus vcinos cambiando d sntido aparc un mínimo ngativo n la función d autocorrlación d vlocidads. El conociminto d las funcions d corrlación prmit la dtrminación d los coficints d transport así como también l cálculo d los timpos d corrlación y la obtnción d divrsos spctros molculars o Las aplicacions d las funcions d corrlación son muy divrsas. En primr lugar facilitan l studio dinámico d un fluido. Admás, su intgración proporciona los coficints d transport. La intgración d la función d corrlación normalizada da lugar a los timpos d corrlación, t. Estos timpos son una mdida dl dcaiminto d 16

25 Mcánica Estadistica la corrlación y rprsntan también la mitad dl ancho d banda dl spctro obtnido a partir d la transformada d Fourir d funcions d corrlación d variabls mcánicas dfinidas21. El timpo d corrlación rorintacional s utiliza n studios d Raman23, rlajación RMN24 y análisis d anchura d banda 11R25. La mcánica stadística fura dl quilibrio ha sufrido un rápido dsarrollo a partir d los años cincunta con l studio d los procsos d transport. Al igual qu numrosas propidads trmodinámicas stán rlacionadas con l promdio d cirtas fluctuacions, los distintos coficints d transport stán rlacionados con intgrals sobr divrsas funcions d corrlación tmporals d dtrminadas propidads dinámicas26 27 El studio d un fluido fura dl quilibrio s simplifica cuando s considra qu l mdio s continuo. Esto supon implícitamnt qu las prturbacions a las qu stá somtido son pquñas. Así, s posibl dividirlo n pquños lmntos d volumn a los q ps a su tamaño, s ls pudn asignar magnituds macroscópicas. Si, admás, las propidads fisicas dl fluida varian lntamnt n l timpo y l spacio, s pud considrar qu cada lmnto d volumn stá n quilibrio trmodinámica local. Un fluido n tals condicions s dic qu stá n régimn hidrodinámico pudiéndos aplicar las cuacions d la mcánica d fluidos. En un lmnto d volumn dv, situado n un punto dfinido por l vctor d posición r, n un timpo t, habrá una masa p(r, t)dv, un momnto g(r, t)dv y una nrgía c(r, t)dv, dond p, g y son las dnsidads d masa, momnto y nrgía rspctivamnt. A stas dnsidads stán asociadas las cuacions d continuidad28: ñ,(r, t) +V.g(r,t)=O (1.34> a 3gi, t> +V.C(r,t)=O (1.35) a 5c(r, t) (1.36) a +V.j~(r,t)=0 sindo g(r, t), C(r, t) y j 8(r, t) los flujos asociados a las variabls p(r, t), g(r, t) y c(r, t) rspctivamnt. Las cuacions d continuidad no son suficints para dscribir l comportaminto dinámico d un sistma. Hac falta también rlacionar l flujo y l gradint causant dl dsquilibrio. Para una prturbación pquña qu produc un gradint d dnsidad s aplica la ly d Fick, g(r,t) = D Vp(r, t) (1.37) 17

26 1. Fundamntos para la simulación d fluidos molculars dond D s l coficint d autodiflisión caractrístico d cada sustancia. Esta ly rig l transport d masa n ausncia d cualquir otra prturbación. En ] transport d momnto o d nrgía s útil considrar qu la dnsidad no varía ni con la posición ni con l timpo. En sas condicions, l flujo d momnto stá rgido por la xprsión: 1{8vi(r~t) &Vi(r~t)J...Bv.v(rt)(K.Áí) (1.39) = + 3 sindo 5 la dlta d Kronckr y P la prsión local. Los subíndics i, j s rfirn a cualquira d las dirccions i, j, k d un sistma ortogonal, n y ic son l primr y sgundo coficints d viscosidad y C l tnsor d furzas qu dfin los valors d cada uno d los componnts d las turzas qu actúan sobr los trs planos prpndiculars al sistma d rfrncia scogido n un lmnto d suprfici ds: df=4.ds (1.40) El coficint d viscosidad, i~, también llamado viscosidad d cizalla, da una mdida dl sfurzo qu hay qu ralizar para dslizar una suprfici dl fluido n su sno, y l coficint ic, llamado viscosidad d volumn, stá rlacionado con la furza qu hay qu hacr para xpandir l sistma. El flujo d nrgía producido por un gradint pquño d tmpratura stá rgido por la ly d Fourir, j6 =(s+p).v(r,t))..vt(r,t) (1.41) o o dond c s la dnsidad d nrgía, X la conductividad térmica y T(r,t) la tmpratura loca]. Al sustituir Jas cuacions (1.37), 9.39) y (1.4]) n las cuacions d continuidad s obtinn las cuacions d transport 5n(rt I = DV 2p(r,t) a (1.42) ~ a o 5g(r,t) 12 O a.vg~(r,t) M (1.43) a o o. o 18 o

27 ) Mcín ca Estadistica 1 a2 j. ~jin+1c a2 2T( (+P)()) (1.44) p(r,t)+v2p(r,t)=o ~V ) =0 (1.45) sindo M la masa total dl sistma, P(r,t) la prsión local y gt(r,t) la dnsidad d momnto transvrsal dfinida a partir d la cuación d NavirStoks, cuación (1.43), d la forma:.g~(r,t) = (1.46) g(r,t)g~(r,t) dond gi{r,t) s la dnsidad d momnto longitudinal. Las xprsions d los flujos n función d las propidads microscópicas d un conjunto d N partículas rígidas son2: N VG(t) = y < g(r, t) >.., (1.47) = ~ 1=l (1.48) VJp(th~p,.pJ =1 U 3q 1 N ( 2 VJ~(t>=Xj p =1 \ 2m 1 2 rl (pj ) + (1.49) OLi! i 0 32 ~m8q~ sindo ni, q, Pi la masa, posición y momnto. G, Jp y J 0 son los promdios d los flujos puntuals d masa, momnto y nrgía n todo l spacio. Admás, V s l volumn dl sistma uff s l potncial intrmolcular par, o l vctor vlocidad angular, 1 l tnsor d inrcia y T~ l momnto d las turzas. Como s pud obsrvar, los flujos son suma d dos ténninos. El primro s la variación d la dnsidad dbida al moviminto d las partículas a través d una suprfici. El sgundo s la variación d la dnsidad dbida a la intracción d las partículas n lados opustos d una suprfici. En l caso dl flujo d masa sta sgunda part no xist pusto qu Ja dnsidad d masa no varia como conscuncia d las furzas intrmolculars. 19

28 1. Fundamntos_para la simulación d fluidos molculars Los coficints d transport s dfinn n términos d la rspusta d un sistma a una prturbación. Comparando los fctos linals d dicha prturbación con las cuacions macroscópicas d transport, s idntifican los coficints corrspondints. El rsultado s qu los coficints D, i. y ~ s pudn xprsar como intgrals d funcions d corrlación d sus flujos asociados. Si J s l flujo asociado a una magnitud fisica dtrminada y y la frcuncia con la qu s produc la prturbación, l coficint d transport corrspondint ~, 30 sra (1.50) 4. dt K f.c o J (t) ~J (0)>.v = a sindo (1.5 1) La cuación (1.50) s la d Orn Kubo para un coficint d transport t;, dond K s un factor qu dpnd dl stado trmodinámico dl sistma y <YQ)..r> s la fúnción d corrlación d J obtnida d acurdo con la dfinición (1.25). Los coficints d transport también s pudn xprsar mdiant las d Einstin: rlacions 1 (1.52) t t o dond u AA(t) = A(O) A(t) c i>.t = fj O (U). dv (1.53> O o O sindo A una variabl mcánica cualquira qu dpnd d la posición q(t) y dl momnto p(t). Las rlacions d GrnKubo y d Einstin son quivalnts a frcuncia cro, y prmitn calcular las propidads d transport d dos manras difrnts. Las cuacions d GrnKubo (marcadas con la ltra a) y d Eipstin (marcadas con la ltra b) para l coficint d autodiflisión, D, la viscosidad, Tj, y la conductividad térmica, A. son: O. o 20

29 Mcánica Estadística 1 r D =.1< v(0)~ v(t) > ~dt= 3 Jo. (1.54a) IC~(t)dt 3.1 o (1.54b) 6t sindo C~(t) la función d autocorrlación d vlocidads y (r(t)r(0)f l dsplazaminto cuadrático mdio. dt = Y6.1C1(t>.dt o o I.Yi..c(ZXY(tyzx (o)y> 12t (1.5 Sa) (1.55b) kt dond C.4t) s la función d autocorrlación d flujos d momnto y: 14 (1.56) 1=I y 2 3kT 1< J 0(t).J~(O»..dt=fCj(t).dt J o (1.57a) o lv X2t3krr(~(>cO) (1.57b) dond C4t) s la función d autocorrlación d flujos d nrgía y: (1.58) ~ ~14 =1 Todas stas cuacions proporcionan la manra d calcular los coficints d transport d una mustra finita d moléculas. 1.2 Métodos d simulación molcular. La simulación s un método mcanostadístico qu proporciona rsultados xactos para un modlo d fluido31. En una simulación s considran unos cintos d 21

30 u 1. Fundamntos para la simulación d fluidos molculars moléculas n un volumn dtrminado, qu s muvn d acurdo a una sri d rglas. Los dos métodos d simulación clásicos son l d Mont Crío (MC) y l d dinámica molcular (MD). En la simulación por MC s gnran configuracions d moléculas a partir d una configuración inicial, d acurdo con l factor d Boltzmann d las configuracions sucsivas. El promdio d las divrsas propidads sobr todas las configuracions gnradas constituy una stimación d las propidads trmodinámicas y structurals dl fluido. En la simulación por MD s valúan las furzas y los momntos d las furzas qu actúan sobr las moléculas, dbidos a las intraccions ntr llas, y s rsulvn las cuacions dl moviminto, d manra qu al final s conoc la volución tmporal dl sistma. El promdio d las propidads sobr la duración d la simulación nos da las propidads trmodinámicas, structurals y, admás, dinámicas. En los últimos años, s ha dsarrollado la técnica d Mont Carlo n l colctivo d Gibbs (GEMC) con la qu s pud ralizar la simulación simultána por MC d dos fass qu stán n quilibrio, cumplindo las condicions d quilibrio intrno igualdad d tmpratura, prsión y potncial químico ntr ambas fass. La técnica GEMC prmit obtnr por simulación l quilibrio líquidovapor d un fluido. o Los métodos d simulación prsntan una sri d limitacions. La primra d llas vin dada por l tamaño d la mustra, lo qu condiciona l studio a los stados n los qu las corrlacions spacials son mnors qu l tamaño d la caja. El hcho d qu l númro d partículas, N, no sa lo suficintmnt grand como para liminar los fctos d suprfici supon un srio problma cuando s prtnd studiar propidads n l límit tnnodinámico, n l qu la rlación suprfici/volumn tind a cro. Otra limitación, para l método d dinámica molcular, s la duración limitada d la simulación qu impid l studio d fnómnos d alta corrlación tmporal. Los fctos ocasionados por los bords d la caja s liminan normalmnt rcurrindo a las condicions d contorno priódicas. Las N partículas dl sistma qu s va a simular s colocan n una caja d volumn V y s rodan d infinitas réplicas gnradas por translación como mustra la figura Así, las partículas qu stán n la suprfici d una caja stán rodadas a su vz por las réplicas priódicas d la suprfici opusta. Si durant la simulación las partículas pasan a una caja vcina, sus réplicas ntrarán por la cara opusta consrvándos constant l númro d éstas. La liminación d los fctos suprficials provoca a su vz nuvas limitacions ya qu si l alcanc dl potncial s lo suficintmnt gand, una partícula pud intraccionar con la imagn d otra qu s ncuntr más crca y no ncsariamnt con la qu sté n la caja cntral (critrio d imagn mínima33) imponindo por tanto la simtría dl sistma cuando s prtnd simular un fluido isotrópico. a. Si n la figura 1.2 s quirn calcular las furzas n la partícula ngra situada n la caja cntral, habrá qu tnr n cunta todas las intraccions ntr las partículas d la caja cntral o d las imágns incluidas n la sfra d radio d cort (cutoff) r 0. Evidntmnt l radio d cort db d sr n todo momnto infrior a la mnor d las dimnsions d la caja ( normalmnt R> 2r0). a. 22

31 Métodos d simulación molcular + A 4 o o o <00 00 L± Figura 1.1 Condicions d contorno priódicas. Cuando una molécula sal por un lado una réplica ntra por l lado opusto. R o o o o o Figura 1.2 Critrio d la imagn minima n dos dimnsions. Tanto la caja cntral como la qu s ha construido alrddor d la molécula pmtada n color ngro continn cuatro moléculas. La circunfrncia d trazos indica l truncaminto dl potncial. 23

32 1. Fundamntos para la simulación d fluidos molculars Las condicions d contorno priódicas pudn ralizars n una caja cúbica, rctangular o monoclínica dpndindo dl tipo d moléculas considradas n la simulación. Cuando s stá simulando un soluto con forma más o mnos sférica, utilizar una caja sférica n lugar d una rctangular rduc considrablmnt l númro d moléculas d disolvnt qu rllnan l spacio vacío d la caja y por tanto l timpo d simulación. En stos casos s rcurr al octadro truncado como caja priódica (figura 1.3). En la caja con forma d octadro truncado la distancia ntr cldillas s a, y ntr los planos dfinidos por las caras hxagonals srá: a(l/2)ji. El volumn d st octadro s: (1/2>a3. Para una caja n forma d octadro truncado, s impon como rquisito qu l radio d cort sa mnor qu la mitad d la distancia ntr los planos opustos qu stán dfinindo l octadro truncado. Es dcir: r 0.ca(1/40i. a a a. u 4 4 It 4 NI Figura 1.3 Octadro tn ncado. a, O. O. O O. Al simular disolucions atomísticas con moléculas d gran tamaño como pudn sr péptidos o protínas, las condicions 34. Endscontorno caso, l priódicas númro d pudn átomos hacr n la qu l cost d computación sa muy grand simulación s pud limitar considrando únicamnt una part dl sistma molcular. Sí obsrvamos la figura 1.4, dado un átomo o punto dl sistma s ralizará la o o O. 24 u a u

33 Métodos d simulación molcular simulación con los átomos qu stén situados dntro d la zona sférica cntrada n él y con radio r2. Los fctos dbidos a la prsncia dl vacio más allá d r2 s minimizarán rstringindo l movimnto d los átomos comprndidos dntro d la corona circula? qu s forma ntr las sfras d radio r1 y r2. Los átomos comprndidos n sta corona s mantndrán fijos oqu prácticamnt fijos utilizando técnica d d rstricción 35 mintras los qu s ncuntrn n la una sfra intrna radio r d posicions 1 no sufrirán rstricción alguna. Para vitar los posibls fctos d distorsión dbidos al vacío más allá d r2 n l moviminto d las partículas dntro d la sfra d radio r, ambos radios dbn d cumplir qu r~ < ra. r1. vacio Figura 1.4 Rgions dond s raliza la simulación. Los dos métodos más xtndidos para l modlado d fluidos son l método d Mont Crío (MC) y l d Dinámica molcular (MD). Ambos procdimintos tinn unas bass comuns como son la rprsntación d las moléculas n función d un sistma d coordnadas, la utilización d un potncial intrmolcular y la introducción d las condicions priódicas d contorno. La principal difrncia stá n la forma d gnrar las nuvas configuracions d las moléculas. En MC las nuvas configuracions s gnran a partir d una panícula alatoria, trasladándola y rotándola. 33;La la acptación aplicación d dicha configuración s dcid a partir dl algoritmo d Mtropolis sobr un númro suficint d configuracions proporciona los promdios sobr structura y las propidads trmodinámicas dl sistma. En l caso d la dinámica molcular (MD), las nuvas configuracions y vlocidads s gnran aplicando las cuacions d Nwton dl moviminto a todas las moléculas simultánamnt para un pquño intrvalo d timpo (tim stp). 25

34 1. Fundamntos para la simulación d fluidos molculars a Simulación por l método d Mont Carlo Las técnicas d Mont Carlo prmitn stimar intgrals multidimnsionals mdiant l mustro dl spacio d intgración gnrando númros alatorios36 En un sistma d N partículas a un volumn V y una tmpratura T l promdio trmodinámico d una propidad A s pud xprsar n función d las posicions y orintacions d las moléculas d la forma37: o <A> = JA(rN)f(rN)drN (1.59) 0 a rs dond rprsnta las coordnadas d las N paniculas y «r5) s la función d dnsidad d probabilidad d ncontrar l sistma alrddor d una configuración rn: f(rn)~ xp[~pu(rn)] O (1.60) Q ~ sindo 1~= 1/(k 8T) y Q la intgral d configuración dfinida n la cuación (1.3). O Para rsolvr la cuación (1.59) mdiant l método d Mont Carlo habría qu ralizar un mustro mdiant númros alatorios d una lvada cantidad d configuracions dl spacio fásico. Sin mbargo, st cálculo no s posibl ya qu la mayor part d las configuracions qu s gnran al azar dan lugar a solapamintos ntr panículas por lo qu l factor d Boltzmann sria nulo y no contribuirían a la intgral. a. o o Por otra part, tal y como vimos n la scción 1.1 d forma gnral no s posibl valuar la intgral d configuración Q dirctamnt por simulación. Sin mbargo, n la mayoría d los casos no stamos intrsados n la part configuracional d la función d partición sino n promdios dl tipo: _ <A> Jxp[. 13U(rN)jA(rN)drN O (1.61) PU(rN)PrN Jxp[ u a O por lo qu sría suficint conocr la rlación ntr ambasdicha intgrals. 0 dsarrollaron un método qu prmit obtnr rlacián.mtrópolis y colaboradors En la cuación (1.59) la dnsidad d probabilidad, f(rs), s simpr positiva. Si gnramos puntos n l spacio d configuración d forma alatoria d acurdo con sta distribución d probabilidad, n promdio, l númro d puntos N 1 gnrados por unidad d volumn alrddor d s igual a L fv) dond L s l númro total d puntos qu hmos gnrado. Tnindo sto n cunta, la cuación (1.61) s transforma n un promdio aritmético: 26 o o u u u