Tema 1: Números naturales. Sistemas de numeración

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1 Tema 1: Números naturales. Sistemas de numeración SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS 1. Utiliza nuestro sistema de numeración oral para expresar el número, Utiliza nuestro sistema posicional de numeración escrita para representar el número siete trillones, setenta mil siete billones, siete millones, setenta y siete. -Setecientos cincuenta y cuatro trillones, ciento veinte mil cuatro billones, dos mil millones; Expresa mediante nuestro sistema oral ordinal los números 11, 14, 27, 53, 99, 135, 366, 584 y Undécimo; décimo cuarto; vigésimo séptimo; quincuagésimo tercero; nonagésimo noveno; centésimo trigésimo quinto; tricentésimo sexagésimo sexto; quingentésimo octogésimo cuarto; milésimo tricentésimo trigésimo sexto. 3. Expresa los números 457 y mediante: a) un ábaco japonés b) el sistema de numeración romano c) sistema de numeración egipcio d) sistema de numeración chino a) 457= 17089= b) Numeración romana: 457 = CDLVII; =XVII LXXXIX c) Numeración egipcia: 457= 1

2 17089 d) Numeración china 457 = = 4. El uso de la base 10 en el sistema de numeración indoarábigo se puede suponer que se debe a que tenemos 10 dedos entre ambas manos. Supongamos que entre los marcianos ocurrió lo mismo, esto es, usaron un sistema de numeración basado en el número de dedos de sus manos. Cuántos dedos tenían los marcianos en sus manos si sabemos que en dicho planeta el número diecisiete se escribía 21?. 2b + 1 = 17; base 8, (cuatro dedos en cada mano) 5. Construye un sistema aditivo de base 12 y utilízalo para expresar los números , y 100. Necesitamos inventar símbolos para la unidad y las sucesivas potencias de la base. Estos pueden servir: 1 = /; 12 = a; 12 2 = b; 12 3 = c; 12 4 = d; 12 5 = e; etc. a) Escritura del número en el nuevo sistema aditivo: Expresamos el número en base 12 por el procedimiento habitual de ir dividiendo sucesivamente por 12.Obtenemos: = Como el sistema es aditivo cada símbolo se repite el número de veces que expresa el coeficiente de las potencias de 12, o sea, = eeeee bbbbbbbbbb aaaaaa // b) Con igual método el número quedaría así: = = d c bbbbbbb////// c) 100 = = aaaaaaaa //// 6. Construye un sistema aditivo de base 20 y utilízalo para representar los números del ejercicio anterior 2

3 (Se aplica el mismo procedimiento que en el problema 5) 7. Construye un sistema multiplicativo de base 8 y utilízalo para expresar los números 32768, 5400 y 89. Haz las transformaciones necesarias para convertirlo en un sistema posicional de base 8. Vuelve a escribir los números anteriores en el nuevo sistema. Se deben elegir símbolos para la unidad, la base, las sucesivas potencias de la base y los números menores que la base. Por ejemplo, 1 = /; 2 = ; 3 = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 = 8 = α; 8 2 = 64 = β; 8 3 = 512= γ; 8 4 = = δ; 8 5 = = ε;...; El número = ε El número expresado en base 8 es: 5400 = Por tanto, en el sistema multiplicativo inventado: 5400 = / δ γ β α; Para convertirlo en un sistema posicional hay que convenir el uso de un símbolo para cero que permita expresar la carencia de unidades de un cierto orden. Por ejemplo, 0 =. El número 5400, en este sistema posicional inventado quedaría: 5400 = / El número 89, expresado en base 8 quedaría 89 = En el sistema multiplicativo inventado se expresa: 89 = / β α / 8. Construye un sistema multiplicativo de base 5 y utilízalo para expresar los números del ejercicio anterior. Haz las transformaciones necesarias para convertirlo en un sistema posicional de base 5. Vuelve a escribir los números anteriores en el nuevo sistema. (Se aplica el mismo procedimiento que en el problema 7) En los siguientes ejercicios suponemos que todos los sistemas de numeración son posicionales. Lo único que puede variar es la base del sistema. 9. Efectúa los cambios de base siguientes: a) 3415 (de base 10 a base 3); b) 999 (de base 10 a base 7); c) (de base 10 a base 12); d) (de base 2 a base 10); e) ABC6 (de base 13 a base 10); f) (de base 5 a base 3); g) (de base 6 a base 4) h) (debase 3 a base 7). a) 3415 (10 = (3 (Se aplica el algoritmo de las divisiones por 3 de los cocientes que se van obteniendo sucesivamente. Los restos y el último cociente menor que 3 son las cifras del 3

4 número en dicha base. Tener en cuenta que el primer resto es la cifra de las unidades, y por tanto se coloca en la posición más extrema a la derecha. b) 999 (7 = 2625 (7 c) (10 = 12B56 (12 d) (2 = = 78 (10 e) ABC6 (13 = = (10 f) (5 = (3 (primero se pasa a base 10 y el número obtenido se pasa a base 3. g) (6 = (4 h) (3 = 620 (7 10. a) Escribe las cifras del número siguiente en base 3: b) Expresa el número anterior en base 9 c) Escribe en base 5 las cifras del siguiente número 5 x (5 x (5 x (5 + 4) + 3 ) + 2) + 1 ; x significa el signo de multiplicar. Solución. a) = = (3. Basta ordenar las sumas de potencias de 3 en forma decreciente. La serie de coeficientes de dichas potencias es la expresión del número en base 3 en virtud de los convenios del sistema posicional de numeración (las cifras que se escriben son sólo los coeficientes de las potencias de la base). b) Basta transformar las potencias de base 3 a base 9: = = 1114 (9 c) Aplicando la propiedad distributiva en los paréntesis, pero dejando las potencias de 5 indicadas obtenemos: 5 x (5 x (5 x (5 + 4) + 3 ) + 2) + 1 = = (5 11. En base 16 (hexadecimal) los dígitos usados son 0 hasta 9 y las letras A, B, C, D, E, F para los números del diez hasta el quince. a) Convierte B6 (16 a base 10; b) Convierte B6 (16 a base 2; c) Explica cómo se puede pasar B6 (16 a base 2 directamente, esto es, sin pasarlo primero a base 10. Solución; a) B6 (16 = = 182 b) B6 (16 = ( ) = = (2. También se puede usar el número 182, que está en base 10, a base 2 por el algoritmo de las divisiones sucesivas por 2. c) En b) hemos pasado a base 2 escribiendo la expresión polinómica en forma de potencias de la base 2. Una vez puestas en orden decreciente, los coeficientes de las potencias forman la expresión del número dado en base 2. 4

5 12. En qué base debe escribirse el número 17 para que se convierta en el 21? 2b+1 = 17; b = En qué base debe escribirse el número 326 para que se convierta en el 2301? 2b 3 + 3b 2 +1 = 326; 2b 3 + 3b = 0; ecuación cúbica que tiene como solución b=5 (un divisor de 325) 14. En qué sistema de numeración se verifica que = 131? (5b+5) + (4b + 3) = b 2 +3b+1; b 2-6b - 7 = 0; b = En qué sistema de numeración se verifica que 54 x 3 = 250? (5b+4).3 = 2b 2 +5b; b 2-5b-6 = 0; solución b = Sabiendo que en un cierto sistema de numeración se tiene que = 103, calcula el producto 36 x 45 en dicho sistema. Escribiendo las expresione polinómicas de los números y operando, 6x+3 +4x+5 =x 2 +3, x 2-7x-8 = 0; x = 8. El producto podemos hacerlo pasando los números a base 10, multiplicarlos en base 10 y finalmente pasar el resultado a base 8. El resultado final es 36 x 45 = 2126 (base 8). También se podría hacer el producto en base 8, usando la tabla de multiplicar en base Halla la base del sistema de numeración en el que el número 554 representa el cuadrado de 24. Solución. (2x+4) 2 = 5x 2 + 5x + 4; simplificando, x 2-11x -12 = 0; x = En los sistemas de numeración de bases x y x+1, un número está representado por 435 y 326 respectivamente. Halla x y la expresión de dicho número en el sistema decimal. Operando con las expresiones polinómicas de ambos números se obtiene: 4x 2 +3x + 5 = 3(x+1) 2 + 2(x+1) + 6 ; simplificando, x 2-5x-6 = 0, luego x = (6 = 167 (10 5

6 19. Halla la base del sistema de numeración en el que los números 479, 698 y 907 están en progresión aritmética. Como los tres números forman una progresión aritmética, la diferencia entre dos consecutivos es la misma (la razón de la progresión). O sea, 907 (b (b = 698 (b (b. Expresando los números dados en forma polinómica y haciendo operaciones se obtiene la ecuación de segundo grado: b 2-11x = 0; por tanto, la base debe ser Un número de tres cifras en el sistema de base 7 tiene sus cifras invertidas en el sistema de base 9. Cuál es ese número? Exprésalo en base decimal. Sean a, b, c, las cifras del número; deben ser menores que 6 puesto que corresponden a cifras de un número expresado en base 7. Se tiene que abc (7 = cba (9, O sea, 7 2 a + 7b +c = 9 2 c + 9b +a; 48a = 80c + 2b; 24a = 40c +b. Como a, b, y c son menores que 6, el resultado debe ser a =5, b=0, c=3 6