Lección 5: Ecuaciones con números naturales

Transcripción

1 GUÍA DE MATEMÁTICAS I Lección 5: Ecuaciones con números naturales Observe la siguiente tabla y diga cuáles son los números que faltan Es sencillo encontrar la regla de construcción que se usó para obtener los números del segundo renglón a partir de los números del primer renglón: se multiplica por tres el número de arriba para obtener el de abajo. En matemáticas se acostumbra expresar una regla como la que acabamos de encontrar usando letras. Si llamamos r a los números del renglón de arriba de la tabla y t a los del renglón de abajo, podemos expresar la regla como r 3 = t. En la tabla siguiente se usó una regla distinta para construir los números del segundo renglón a partir de los del primero. Cómo encontramos la regla y cómo la expresamos en matemáticas? g h Para encontrar la regla debemos preguntarnos qué operaciones hicimos con los números de arriba para obtener los de abajo. Hay varias maneras de obtener 4 partiendo de 1, por ejemplo sumándole 3: = 4, pero si hacemos lo mismo con 3 no

2 LECCIÓN 5 obtenemos 10, porque = 6. Entonces hay que buscar otra manera. Si multiplicamos el uno por 3 y le sumamos uno también obtenemos 4: = 4. Probemos si funciona con el siguiente número: = 10: sí funciona. Probemos con los siguientes números: = = = 28 Como sí funciona con todos, la regla que sirve es se multiplica el número de arriba por 3 y se suma uno y la podemos expresar como g = h. Veamos otro ejemplo. Para construir la regla que se usó en la tabla siguiente, primero vamos a tratar de encontrar el proceso que se siguió para obtener los números del segundo renglón a partir de los del primero. q c Hay muchas maneras de obtener 20 a partir de 2 pero la que escojamos tiene que servir para obtener 24 a partir de 3. Probemos empezando con lo más simple: una multiplicación o una suma. Multiplicar por 10 no sirve porque ; sumar 18 tampoco sirve porque Tenemos entonces que buscar una combinación de sumas y multiplicaciones. Si nos fijamos en que 20, 24 y 32 son múltiplos de 4, podemos sospechar que al final se multiplicó por 4 y en el paso anterior tendríamos los números 5, 6 y 8. Como estos últimos salen de sumar 3 a los números del primer renglón, 2, 3 y 5, ya encontramos el proceso. Vamos a escribir la regla en palabras y en símbolos. La regla es: para obtener un número del segundo renglón, c, tomamos un número del primer renglón, q, le sumamos 3 y multiplicamos el resultado por 4. Podemos expresar esta regla con la fórmula c = ( q + 3 ) 4. Recuerde que los paréntesis indican que 65

3 GUÍA DE MATEMÁTICAS I p r i m e r o debemos calcular q + 3 y después multiplicar el resultado de esa suma por 4. Podemos ahora llenar la tabla aplicando nuestra fórmula a los números del primer renglón. Es decir, substituimos q por cada uno de los números del primer renglón y encontramos c: c = (7 + 3) 4 = 40 c = (9 + 3) 4 = 48 c = (11 + 3) 4 = 56 c = (13 + 3) 4 = 64 c = (15 + 3) 4 = 72 q c Aquí nos detenemos porque ya no tenemos los números del primer renglón sino los del segundo. Ahora conocemos c y no conocemos q pero sabemos que estos números se construyeron con la misma regla. Veamos cómo usar la misma fórmula para encontrar los números del primer renglón. Substituimos c por cada uno de los números del segundo renglón y vamos deshaciendo las operaciones en orden: 80 = (q + 3) 4, entonces antes de multiplicar por 4 teníamos (q + 3) = 20 y entonces q = 17; 88 = ( q + 3 ) 4, entonces (q + 3 ) = 22 y entonces q = 1 9 ; 9 6 = ( q + 3 ) 4, entonces (q + 3 ) = 24 y entonces q = 2 1 ; = ( q + 3 ) 4, entonces (q + 3 ) = 26 y entonces q = 2 3. Encuentre usted los números que faltan; debe obtener 25, 27, 29 y 31. Observe que con la tabla anterior también se puede construir la fórmula c = q Es decir, se puede tomar un número del primer renglón, multiplicarlo por 4 y sumarle 12 al resultado para obtener los números del segundo renglón.

4 LECCIÓN 5 Tenemos de esta manera dos fórmulas equivalentes, es decir que nos dan los mismos resultados. En realidad no es asombroso encontrar esta otra fórmula, la podemos obtener de la primera fórmula que construimos, c = ( q + 3 ) 4, si distribuimos el producto en la suma. Para que sea más fácil verlo vamos a reacomodar la fórmula original, utilizando el hecho de que c = ( q + 3 ) 4 = 4 ( q + 3). Ahora distribuyamos el producto en la suma: c = 4 (q + 3) = 4 q El segundo sumando son números, podemos multiplicarlos y en el primer sumando cambiamos de orden la multiplicación. Obtenemos: c = q que es la nueva fórmula. Veamos otro ejemplo. Como antes, empezamos por buscar el proceso que se siguió en la siguiente tabla para obtener los d x números del segundo renglón a partir de los del primero. Intentamos primero con operaciones simples. Como 0 es menor que 2, no probamos con una suma sino con una resta: 2 2 = 0, pero 4 2 1, entonces no sirve. Multiplicar tampoco sirve porque sólo 2 0 = 0 y si la regla es multiplicar por cero, todo el renglón de abajo sería de ceros. Dividir no sirve porque ninguna división da cero. Tenemos entonces que probar con combinaciones de operaciones. Como en la tabla los números de abajo son más chicos que los de arriba podemos probar sumarles algo, por ejemplo 1. Al sumar 1 a 0, 1 y 2 obtenemos 1, 2, y 3, que son la mitad de 2, 4 y 6. Entonces al final se restó 1 y antes se dividió entre 2. Ya tenemos el proceso, vamos a escribir la regla y la fórmula: para obtener un número del segundo renglón, tomamos un número del primer renglón, lo dividimos entre 2 67

5 GUÍA DE MATEMÁTICAS I y al resultado le restamos 1. Esta regla la expresamos con la fórmula x = (d 2) 1. Ya que tenemos la fórmula podemos completar la tabla substituyendo en ella los números del primer renglón en vez de d, o los del segundo renglón en vez de x. Completemos primero el renglón de arriba: x = (8 2) 1 = 3; x = (10 2) 1 = 4, etc. Llenemos ahora el renglón de abajo: 8 = (d 2) 1, entonces (d 2) = 9 y entonces d = 18 9 = (d 2) 1, entonces (d 2) = 10 y entonces d = 20, etc. d x Termine usted de llenar la tabla. Debe quedarle como sigue: Observe que en la tabla anterior también podríamos utilizar la fórmula x + 1 = (d 2), que reproduce literalmente l a manera en que la encontramos: si a un número del segundo renglón le sumo uno obtengo la mitad del de arriba. Las dos fórmulas son equivalentes. Al llenar la tabla, en cada columna conocíamos uno de los valores y encontrábamos el otro usando la fórmula. En estos casos la fórmula nos quedaba con una sola letra, por ejemplo: cuando d = 8, queda x = (8 2) 1 cuando x =10, queda d = (10 + 1) 2 Cuando tenemos una fórmula como las anteriores, con una sola letra, sólo hay un número que se puede poner en vez de esa letra, y así llenamos las tablas. En este caso decimos que tenemos una ecuación con una incógnita. La palabra ecuación viene de igualdad y la palabra incógnita quiere

6 LECCIÓN 5 decir que no conocemos el número que va en vez de la letra. Ya vimos cómo se encuentra el número que va en vez de la letra, que se llama valor de la incógnita: simplemente se van deshaciendo las operaciones que se le aplicaron. Este proceso de deshacer las operaciones que se aplicaron a una incógnita se conoce como despejar la incógnita y encontrar el valor de la incógnita es resolver la ecuación. Practiquemos un poco. Resolvamos la ecuación 3 g + 5 = 2 6. Recuerde que la multiplicación tiene prioridad, así que aquí lo último que se hizo fue sumar 5 y antes se multiplicó por 3. Vamos a escribirlo como arriba: 3 g + 5 = 26, entonces 3 g = 21, entonces g = 7. Ya resolvimos la ecuación! Resolvamos ahora la ecuación 7 d + 2 d + 6 = 42. Hay tres sumandos pero en dos de ellos aparece la incógnita, entonces lo último que se hizo fue sumar 6. 7 d + 2 d + 6 = 42, entonces 7 d + 2 d = 36. Ahora bien, esos dos sumandos tienen d como factor c o m ú n ; entonces podemos expresarlos de la manera siguiente: 2 d + 7 d = (2 + 7) d = 9 d. Entonces tenemos: 9 d = 36, entonces d = 4. Ya resolvimos la ecuación! Complete las siguientes tablas con las reglas que se dan. a) k 7 = d 69

7 GUÍA DE MATEMÁTICAS I k d b) m 4 3 = b m b c) 2 p + 5 = f p f d) (a 3) + 2 = z a z 5 7 e) (s 2) 3 = v s v f) (q 5) 1 = c q c Complete las siguientes tablas y para cada una encuentre una regla y escríbala como una operación con números y con las letras que se dan. 70

8 LECCIÓN 5 a) b) e r w t c) u x d) y a e) n j f) z c Complete las tablas con las reglas que se dan y diga cuáles fórmulas son equivalentes. 71

9 GUÍA DE MATEMÁTICAS I a) (m + 7) 3 = n m n b) (j + j + j) 4 = k j k c) 3 (h 5) = i h i d) f = g f g e) 3 c 4 = d c d f) 3 a 15 = b a b Resuelva las siguientes ecuaciones: 72 a) 5 y + 12 = 42 b) 8 c 4 = 12

10 LECCIÓN 6 c) 6 (g 2) = 0 d) (9 t) 7 = 42 e) 8 u + 5 u 3 = 62 f) 5 m m = 25 Lección 6: Cuadrados y raíces cuadradas Usted aprendió en la primaria a calcular el área de un cuadrado siguiendo la regla "el área de un cuadrado es lado por lado". Esto equivale a la fórmula A = l l, en donde l l A = l l es la medida del lado del cuadrado. En la siguiente tabla los números del primer renglón son medidas de lados de cuadrados y los números del segundo renglón son áreas de cuadrados. Llénela usando la fórmula. Para llenar la tabla anterior usted siguió dos procesos distintos: multiplicar un número por sí mismo para encontrar el área del cuadrado; por ejemplo A = 3 3 = 9; buscar un número que al multiplicarse por sí mismo diera el área que conocíamos; por ejemplo buscar el número que multiplicado por sí mismo dé 16 = l l, entonces l = 4. 73