GAIA.- Números Enteros

Transcripción

1 GAIA.- Números Enteros 1.- EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.- El conjunto de los números enteros está formado por todos los números naturales (N) precedidos del signo más (+), los números naturales precedidos del signo menos (-) y el 0. Los números naturales precedidos del signo + (= positivo) son los números enteros positivos. Los números naturales precedidos del signo (= negativo) son los números enteros negativos. Al conjunto de todos los números enteros lo representamos con la letra Z. Z = { , -1002,..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,..., +1002, } Representación sobre una recta. Para representar los números enteros sobre una recta seguiremos los siguientes pasos: Dibujamos una recta y señalamos en ella un punto que tomaremos como 0. Dividimos la recta en segmentos de igual longitud hacia la derecha y hacia la izquierda del 0. A partir del 0 y hacia derecha, situamos los sucesivos números enteros positivos; hacia la izquierda del 0 situamos los sucesivos números enteros negativos. Ver ilustraciones Pág. 55

2 1.2.- Valor absoluto de un número entero. El valor absoluto de un número entero positivo o negativo es el número natural que se obtiene al suprimir el signo. Lo expresamos así: -16 = 16 Se lee: Valor absoluto de -16 es Ordenación de números enteros. Dados dos números enteros cualesquiera, es mayor el que está representado más a la derecha sobre la recta. Si no tenemos los números sobre una recta se pueden ordenar teniendo en cuanta las siguientes reglas: Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo. El 0 es menor que cualquier número entero positivo y mayor que cualquier número entero negativo. El mayor de dos números enteros positivos es el que tiene mayor valor absoluto. El mayor de dos números enteros negativos el es que tiene menor valor absoluto. 2.- OPERACIONES Suma. Para sumar números enteros hay que distinguir varios casos. Suma de dos números enteros del mismo signo.- Para sumar dos números enteros del mismo signo: - se suman los valores absolutos de los sumandos. - se pone el signo del mayor (se sobreentiende, mayor valor absoluto). (+3) + (+4) = + 7 (-2) + (-3) = - 5 Suma de dos números enteros de distinto signo.- Para sumar dos números enteros de distinto signo: - se restan los valores absolutos de los sumandos. - se pone el signo del mayor (se sobreentiende, mayor valor absoluto). (-3) + (+5) = + 2 (+2) + (-6) = - 4 Suma de varios números enteros.- Para sumar varios números enteros lo podemos hacer siguiendo dos procedimientos: - efectuar las sumas en el orden en que aparecen. - sumar los positivos entre sí, los negativos entre sí, y luego todos juntos. = (+4) + (+4) + (-2) + (-5) = = (+8) + (-2) + (-5) = = (+6) + (-5) = + 1 = (+7) + (+4) + (-3) + (-2) + (-5) = = (+11) + (-10) = + 1

3 Propiedades de la Suma.- Conmutativa: El orden de los sumandos no cambia el resultado. a + b = b + a Asociativa: En una suma de varios sumandos, el resultado no depende de cómo los agrupemos. (a + b) + c = a + (b + c) Elemento Neutro: Es el 0, porque no varía a quien se le suma. a + 0 = a Elemento Opuesto: es aquel número que al sumárselo a un número entero, el resultado es 0. El opuesto es el propio número pero con el signo cambiado. a + op (a) = Resta. Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. (-15) - (-10) = (-15) + (+10) = -5 (+15) - (-10) = (+15) + (+10) = +25 Simplificación en la escritura.- Cuadro resumen.- (+3) + (+1) = (+3) + (-1) = = + 4 (-3) + (+1) = (-3) + (-1) = = + 2 (+3) - (+1) = +3-1 (+3) - (-1) = = - 2 (-3) - (+1) = -3-1 (-3) - (-1) = = - 4 Sumas y Restas combinadas.- Antes de efectuar sumas y restas combinadas simplificaremos la escritura quitando los paréntesis y signos innecesarios. Luego, para efectuarlo, podemos proceder de dos maneras: - en el orden en que aparecen. - Primero positivos, luego negativos, y al final todos juntos. = = = = = = = +6-5 = + 1 = = = = = = + 1

4 Uso del paréntesis y del corchete.- Si en una serie de sumas y restas combinadas aparecen paréntesis, podemos proceder de dos maneras: * Se efectúan primero las operaciones indicadas en su interior. * Se eliminan previamente los paréntesis. En este caso: - si el paréntesis está precedido del signo +, quitamos el paréntesis y dejamos los números con el signo que tienen. - si el paréntesis está precedido del signo -, quitamos el paréntesis y cambiamos el signo a todos los números que están dentro. Cuando en una operación encontramos paréntesis y corchetes, comenzamos a resolver los paréntesis, y luego haremos los corchetes Multiplicación. Para multiplicar dos números enteros: * se multiplican los valores absolutos de los factores. * se pone el signo dado por la regla de los signos. 2 x (-7) = x 4 = x (-2) = 6 REGLA DE LOS SIGNOS: + x + = + Cuando los dos factores tienen igual signo, el resultado es - x - = + un número entero positivo. + x - = - Cuando los dos factores tienen distinto signo, el resultado - x + = - es un número entero negativo División exacta. Para efectuar la división exacta de dos números enteros: * se dividen sus valores absolutos. * se pone el signo dado por la regla de los signos. 14 (-7) = -2-8 (-2) = +4 REGLA DE LOS SIGNOS: + + = + Cuando los dos números tienen igual signo, el resultado es - - = + un número entero positivo. + - = - Cuando los dos números tienen distinto signo, el resultado - + = - es un número entero negativo.

5 2.5.- Operaciones combinadas. Para escribir una operación combinada, en las sumas y restas podremos eliminar los paréntesis (según hemos indicado antes). Eso sí, nunca podemos poner dos signos juntos, sin una separación. (+5) + (-2) x (-4) = = 5-2 x (-4) = +13 (No confundir los paréntesis ortográficos con los paréntesis de prioridad). Para resolver las operaciones combinadas con números enteros, procederemos como con los números naturales, por pasos: * Primero, se resuelven los paréntesis, comenzando por los más interiores (si hay corchetes). * A continuación, se efectúan los productos y divisiones, en el orden en que aparecen. * Finalmente, se efectúan las sumas y las restas, también en el orden en que aparecen Potencias y Raíz cuadrada. Potencias.- Una potencia también puede tener como base un número entero. Al ser la base un número entero, puede ser positiva o negativa. Por eso el valor de la potencia también podrá ser positivo o negativo. * Si la base es un número entero positivo, el valor de la potencia es también positivo. 3 2 = 3 3 = 9 * Si la base es un número entero negativo: - el valor de la potencia es positivo si el exponente es par. (-3) 2 = -3 (-3) = 9 - el valor de la potencia es negativo si el exponente es impar. (-2) 3 = -2 (-2) (-2) = -8 Observa que si la base es negativa, siempre debe ir escrita entre paréntesis, ya que, por ejemplo, no es lo mismo -3 2 que (-3 ) = - (3 3) = - 9 (-3) 2 = -3 (-3) = 9 Para operar con potencias de base entera y exponente natural, procederemos igual que lo hacíamos con las potencias de base natural (ver tema 1. Pág. 19). Raíces cuadradas.- Sabemos que 16 = 4, ya que 4 2 = 16. Además, acabamos de ver que (-4) 2 = 16 Por ello diremos que la raíz cuadrada de 16 puede ser +4 y = ±4 Un cuadrado perfecto tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, que son dos números enteros opuestos. Por lo mismo, descubrimos que los números enteros negativos no tienen raíz cuadrada. -16 =