La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos de una moneda es. 2) (2) (2) "it^g) = 64

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Natividad de la Fuente Saavedra
hace 7 años
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1 Las distribuciones binomial, normal y de Poisson CAPITULO 7 Wmmr LA DISTRIBUCION B I N O M I A L Si p es la probabilidad de que cualquier evento ocurra en un solo ensayo (denominada probabilidad de éxito) y q = 1 - p es la probabilidad de que no ocurra en un solo ensayo (denominada probabilidad de fracaso), entonces la probabilidad de que el evento ocurra exactamente X veces en /V ensayos (es decir, X éxitos y N - X fracasos) está dada por l)(/v-2) 1, y 0! = 1 por definición (véase el pro donde X= 0, 1, 2,..., N; N\ = N(Nblema 6.34). EJEMPLO 1 La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos de una moneda es 2) (2) (2) "it^g) = 64 utilizando la fórmula (7) con N =6, X=2y p = q=\. EJEMPLO 2 La probabilidad de obtener al menos 4 caras en 6 lanzamientos de una moneda es '6Yiyn 4,^6-4 ^^ifriy"%^6yiy^ 6 " 6 = i5 + _6_ + _i H V 4 / [2 [ La distribución de probabilidad discreta (7) se denomina distribución binomial yaque parax = 0, 1, 2,..., /V corresponde a términos sucesivos de la fórmula binomial o < binomial, donde 1, (*), (?),... se denominan coeficientes binomiales.

2 1- Z ~-.Z ~ LOS distribuciones binomial, normal y de Poisson 4 EJEMPLO 3 ( q + P f = g + Q ^ + Q q y + Q q P ' + / = q 4 + 4q 3 p + 6q 2 p 2 + 4qp 3 + p 4 La distribución (1) también se denomina distribución de Bernoulli, debido a que James Bernoulli la descubrió a finales del siglo xvn. En la tabla 7-1 se incluyen algunas de la propiedades de la distribución binomial. Tabla 7-1 Distribución binomial fi = Np Varianza a 2 Npq Desviación estándar a = v'npq Coeficiente momento de asimetría Q 3 = q-p VNpq Coeficiente momento de curtosis «4 = 3 + Npq EJEMPLO 4 En 100 lanzamientos de una moneda la media de caras es /x = Np = (100)(i) = 50, que es el numere esperado de caras, en 100 lanzamientos. La desviación estándar es a= VÑp~q = V(100)(i)(i) = 5. LA DISTRIBUCION N O R M A L Uno de los ejemplos más importantes de una distribución de probabilidad continua es la distribución normal, curva normal o distribución gaussiana. Se define por medio de la ecuación Y = _J_ e-l/2(*- )V (Jj ovlir donde p. = media, a = desviación estándar, TT= y e El área total limitada por la curva (3) y el eje X es 1; por consiguiente, el área bajo la curva entre dos ordenadas X = a y X - b, donde a < b, representa la probabilidad de que X esté entre a y b. Esta probabilidad se denota por Pr{a < X < b). Cuando la variable X está expresada en unidades estándar [z = (X - ps)/a], la ecuación (3) se reemplaza por la denominada/orma estándar Y = 4=e~ W2z2 (4) V2n En tal caso, se dice que z está normalmente distribuida, con media 0 y varianza 1. La figura 7-1 es una gráfica de esta curva normal estandarizada. Muestra que las áreas incluidas entre z - -1 y +1, z = -2 y +2 y z - -3 y +3 son iguales, respectivamente, a 68.27%, 95.45% y 99.73% del área total, que es 1. La tabla del apéndice II indica las áreas bajo esta curva, limitadas por las ordenadas en z = 0 y cualquier valor positivo de z. A partir de esta tabla se puede encontrar el área entre cualesquiera 2 ordenadas, usando la simetría de la curva respecto de z = 0. Algunas propiedades de la distribución normal dadas por la ecuación (3) se incluyen en la tabla 7-2.

3 Distribución de Poisson 159 FIGURA _ y / 0.3 i i" % % %- Tabla 7-2 Distribución normal P Varianza a 2 Desviación estándar a Coeficiente momento de asimetría Q 3 = 0 Coeficiente momento de curtosis 0:4 = 3 Desviación media ay/ïpn = (7 RELACIÓN ENTRE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN N O R M A L Si N es grande y si ni p ni q se acercan a cero, la distribución binomial puede ser muy aproximada a la distribución normal, con una variable estandarizada dada por _ X y/ñpq La aproximación mejora al incrementarse N y en el caso límite es exacta; esto se muestra en las tablas 7-1 y 7-2, donde está claro que conforme N aumenta, la asimetría y la curtosis de la distribución binomial se acercan a las de la distribución normal. En la práctica, la aproximación es muy buena si tanto Np como Nq son mayores que 5. -Np MP DISTRIBUCIÓN DE P O I S S O N La distribución de probabilidad discreta p(x) = ^ - A- = 0,1,2,... donde e = y X es una constante dada, se denomina distribución de Poiatm. debido a que Siméon-Denis Poisson la descubrió a inicios del siglo xxx. El valor de plt puede calcularse con la tabla del apéndice VIII (que proporciona los valores de e" pan diversos valores de X) o por medio de logaritmos. Algunas de las propiedades de la distribución de Poisson se incluyen ea hiaüt"

4 CAPÍTULO 7 Los distribuciones binomial, normal y de Poisson Tabla 7-3 Distribución de Poisson fj = X Varianza <x 2 = A Desviación estándar Coeficiente momento de asimetría a= \/Â Q 3 = l/v/â Coeficiente momento de curtosis Q 4 = 3 + 1/A RELACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y LA DISTRIBUCIÓN DE P O I S S O N En la distribución binomial (7), si N es grande y la probabilidad p de ocurrencia de un evento se acerca a 0, de tal manera que q = 1 - p se acerca a 1, entonces el evento se denomina suceso raro o inusual. En la práctica se debe considerar que un evento es raro si el número de ensayos es de por lo menos 50 (7V> 50), mientras que Np es menor que 5. En tal caso, la distribución binomial (7) se aproxima estrechamente a la distribución de Poisson (5), con \ = Np. Esto se comprueba comparando las tablas 7-1 y 7-3, ya que, al poner X = Np, q ~ 1 y p = 0 en la tabla 7-1, se obtienen los resultados de la tabla 7-3. Como hay una relación entre la distribución binomial y la distribución normal, se deduce que también existe una relación entre la distribución de Poisson y la distribución normal. De hecho, se puede demostrar que la distribución de Poisson se aproxima a una distribución normal con variable estandarizada (X - XyvT conforme se incrementa indefinidamente. DISTRIBUCION MULTINOMIAL Si los eventos E {,E 2,...,E K pueden ocurrir con probabilidades p,p 2,...,p K, respectivamente, entonces la probabilidad de que E 2,E K ocurran X U X 2,..., X K, veces, en ese orden, es TV! x x x x x \x 2 \...x K \* lp * ~'~ Pk ' (6) donde X l + X X K = N. Esta distribución, que es una generalización de la distribución binomial, se denomina distribución multinomial, puesto que la ecuación (6) es el término general en la expansión multinomial (p { + p p K ) N. EJEMPLO 5 Si un dado se lanza 12 veces, la probabilidad de obtener 1, 2, 3,4, 5 y 6 puntos exactamente dos veces cada uno es 12! ( 1VV1 Vf 1YY1 f ( 1YY1V !2!2!2!2!2!l 6 I {6 ( 6 6) \6) l 6 I = E K ocurrirán ennensayos es Np t, Np 2,...,Np K, respectiva El número esperado de veces queis,,^ mente. AJUSTE DE DISTRIBUCIONES TEÓRICAS A DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA MUESTRALES Cuando se tiene cierta indicación de la distribución de una población por medio de razonamiento probabilístico o de otro tipo, suele ser posible ajustar dichas distribuciones teóricas (también llamadas distribuciones modelo o esperadas) a distribuciones de frecuencia obte-

5 Problemas resueltos 161 nidas a partir de una muestra de la población. El método consiste, en general, en usar la media y la desviación estándar de la muestra para calcular la media y la desviación estándar de la población (véanse los problemas 7.31, 7.33 y 7.34). Para comprobar la bondad de ajuste de las distribuciones teóricas, se utiliza la prueba chi-cuadrada (explicada en el capítulo 12). En un intento por determinar si una distribución normal representa un buen ajuste para ciertos datos, es conveniente usar papel milimétrico. como se le suele llamar (véase el problema 7.32).

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