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1 Modelos de probabilidad Modelos de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Objetivos del tema: Al final del tema el alumno será capaz de: Comprender las hipótesis de las distintas distribuciones presentadas Seleccionar la distribución discreta o continua correcta en aplicaciones específicas Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Calcular probabilidades, determinar medias y varianzas para las distribuciones más comunes Modelos de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A) Defectuoso (D) La proporción de A y D es constante en la población y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Pr( D) = p Pr( A) = q = p Las observaciones son independientes 3 4

2 Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A) Defectuoso (D) La proporción de A y D es constante en la población y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada Pr( D) = p Pr( A) = q = p s Observar el resultado al lanzar una moneda Si una pieza es defectuosa o no en un proceso de fabricación Observar el sexo de un recién nacido Si se transmite correctamente un bit a través de un canal digital Las observaciones son independientes 5 6 Distribución de Bernoulli Distribución Binomial si el suceso no ocurre A q = p = Pr( = ) = si el suceso ocurre A p = Pr( = ) Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución Binomial de parámetros (n,p). La función de probabilidad es: [ ] p x p p x x ( ) = ( ) x =, µ = E = ( p) + p = p = Número de veces que ocurre un suceso en las n pruebas toma valores,,,,n ~ Bn (, p) [ ] σ = Var = ( p) ( p) + ( p) p = p( p) 7 8

3 n=5 La función de probabilidad es: n r n r P( = r) = p ( p), r =,, K, n r [ ] E = np n=5 p=.75 p=.5 p=. [ ] = ( ) Var np p 9 Un aparato electrónico contiene 4 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es. y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso. Un aparato electrónico contiene 4 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es. y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso. Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? = Número de circuitos defectuosos en los 4 de un aparato = Número de circuitos defectuosos en los 4 de un aparato Pr( = ) Experimento: Observar si un circuito es defectuoso o no. Se repite 4 veces Son independientes La probabilidad de ser defectuoso es constante,.

4 Un aparato electrónico contiene 4 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es. y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso. Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles La probabilidad de éxito se mantiene constante = Número de circuitos defectuosos en los 4 de un aparato Las observaciones son independientes ~ B(4,.) 4 = = = 4 Pr( ). (.).669 Se repite el experimento hasta que ocurre el primer éxito = Número de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer éxito ~ Ge( p) 3 4 i i =,... n son Bernoulli i i =,... n son Bernoulli 3 4 L = = = 3 = 4 Pr Pr( = ) = p ( = ) = qp ( = 3) = qqp ( = 4) = qqqp Pr Pr 3 4 L = = = 3 = 4 Pr Pr( = ) = p ( = ) = qp ( = 3) = qqp ( = 4) = qqqp Pr Pr La función de probabilidad es: ( ) ( ) r P = r = p p, r =,, K [ ] = / p [ ] = ( p) / p E Var 5 6

5 ( ) Pr ( ) ( ) x = = = p x x p p La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal de transmisión digital sea recibido como un error es.. Si las transmisiones son independientes, Cuál es el número medio de transmisiones que hemos de observar hasta que ocurre el primer error? = Número de transmisiones que hay que observar hasta encontrar el primer error [ ] = / p = /. = E 7 8 Modelos de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Cuando un experimento tiene las siguientes características: Se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo Distribución de Poisson Distribución Exponencial La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo Es la misma para los intervalos del mismo tamaño Es proporcional a la longitud del intervalo Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Los sucesos ocurren de forma independiente. El número de sucesos que ocurren en un intervalo es independiente del número de sucesos que ocurren en otro intervalo 9

6 Distribución de Poisson Distribución de Poisson = Número de sucesos en un intervalo de longitud fija La función de probabilidad es: La distribución de Poisson se puede obtener como límite de una Binomial cuando n y p r e P( = r) =, r =,, K r! λ λ λ = np Número medio de sucesos en ese intervalo λ r r e λ λ λ E [ ] = λ E [ ] = r = λe = λ r! ( r )! [ ] Var = λ ~ P( λ ) Y ~ P( λ ) independientes + Y ~ P( λ + λ ) Distribución de Poisson s Número de defectos en un milímetro de cable. Número de llamadas de teléfono que se reciben en una centralita en una hora. Número de erratas por página en un documento 3 4

7 El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto. El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto. Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos? = Número de clientes por minuto Y = Número de clientes en 3 minutos ~ P( λ = ) Y ~ P( λ = 3) 3 e 3 Pr( Y = ) = = e! 3 Mantener el citado puesto de servicio abierto 8 horas al día cuesta 6 euros diarios. Cuál debe ser el precio mínimo que se cobre a cada cliente para que sea rentable? Y = Número de clientes en 8 horas Y ~ P( λ = 6 8 = 48) Beneficio = Tarifa x Y -6 [ ] Beneficio Esperado = Tarifa E Y 6 > = Tarifa 48 6 > Tarifa > Distribución de exponencial Distribución de exponencial La distribución exponencial se puede utilizar para modelizar = Numero de sucesos en la unidad de tiempo ~ P( λ) Tiempo entre llamadas telefónicas Tiempo entre llegadas a un puesto de servicio Tiempo de vida de un componente eléctrico M Cuando el número de sucesos sigue una distribución de Poisson, el tiempo entre sucesos sigue una distribución exponencial 7 T = Tiempo hasta que ocurre el primer suceso Podemos calcular su función de distribución: PT ( > t ) = P(cero sucesos en (,t )) = Número de sucesos en una unidad de tiempo ~ P( λ) Y = Número de sucesos en (,t ) Y ~ P( λt) PT ( > t) = Pr( Y = ) = e λt F( t ) = PT ( t ) = e λt Estadística, Prof. Bernardo D'Auria 8

8 Distribución de exponencial x f ( x) = λe λ = Numero de sucesos en la unidad de tiempo ~ P( λ) T = Tiempo entre dos sucesos consecutivos f ( x) = e x df( t) t f ( t) = = λe λ, t dt f ( x) =.5.5x e f ( x) =..x e [ ] E = / λ Si hay λ sucesos por término medio en un intervalo de tiempo Var [ ] = / λ El tiempo medio entre dos sucesos es /λ 9 3 El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto. Cuál es la probabilidad de que pasen más de 3 minutos entre la llegada de dos clientes? = Número de clientes por minuto ~ P( λ = ) T = Tiempo entre dos clientes T ~ Exp( λ = ) ( ) Pr( T > 3) = Pr( T 3) = F(3) = e = e = Pr(No haya clientes en 3 minutos) 3 3 Propiedad Pr(T > t +t T > t ) = Pr( T > t ) λ (t +t ) Pr(T > t +t I T > t ) Pr( T > t +t ) e = = = e λt Pr( T > t ) Pr( T > t ) e Si no ha habido clientes en 4 minutos, cuál es la probabilidad de que no haya clientes en los próximos 3 minutos? Pr( Y > 7 Y > 4) = Pr( Y > 3) = F(3) = e 3 λt 3 3

9 Modelos de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher La distribución Normal describe gran cantidad de procesos aleatorios Errores de medida Ruido en una señal digital Corriente eléctrica en un trozo de cable En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Normal Es la base para la inferencia estadística Está caracterizada por dos parámetros: La media, µ, y la desviación típica, σ. N ( µ, σ ) Toma valores en toda la recta real Su función de densidad es: Tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media f ( x) La media, mediana y moda coinciden ( x µ ) σ f ( x) = e < x < πσ E[ ] = µ Var[ ] = σ µ

10 El efecto de µ y σ Cómo afecta la deviación típica la forma de f(x)? σ= σ =3 σ =4 Cómo afecta el valor esperado a la posición de f(x)? µ = µ = µ = Es un factor de escala f(x) Pr(c d) La probabilidad es el área bajo la curva No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la integral de la función de densidad Es un factor de traslación c d x Todas las distribuciones normales se pueden transformar en N(,) Z = µ σ Densidad de (-µ)/σ Densidad de -µ ~ N(3, ) Densidad de 3 6 Pr( 6) Z ~ N(,) Mismoº área σ µ Pr Z = Pr( Z.5) Estadística, Prof. Bernardo D'Auria 4

11 La función de distribución de la Normal estándar tiene una notación propia: F( x) = Pr( x) = φ( x) Q( x) = Pr( > x) = φ( x) El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6 horas? Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.5% de los semiconductores? Q( x) = Q( x) Existen ciertas cotas para la función Q que se utilizan para calcular cotas en error de probabilidad de varios sistemas de comunicaciones x Q( x) e x x Q( x) < e x πx 4 Pr( < 6) Pr( > a) = El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6 horas? Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6 horas? 6 7 Pr( < 6) = Pr Z < = Pr( Z <.66) Pr( < 6) = Pr Z < = Pr( Z <.66)

12 El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6 horas? 6 7 Pr( < 6) = Pr Z < = Pr( Z <.66) 6 = Pr( Z.66) Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6 horas? = Pr( Z <.66) =.955 = Estadística, Prof. Bernardo D'Auria 46 El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.5% de los semiconductores? a 7 Pr( > a) =.955 Pr Z > = El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.5% de los semiconductores? a 7 Pr( > a) =.955 Pr Z > = b Valor negativo a -b 47 48

13 El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.5% de los semiconductores? ( a 7) Pr( > a) =.955 Pr Z < = b Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.5% de los semiconductores? ( a 7) Pr( > a) = Pr Z < = ( a 7) =.65 6 a = 6 b El 95.5% de los semiconductores duran más de 6 horas 49 Estadística, Prof. Bernardo D'Auria 5 Más ejemplos de cálculo de probabilidades Pr( -.6 < Z <.83 )= Pr( Z <.83 ) - Pr( Z -.6 ) Pr ( Z <-.6) = Pr ( Z >.6 ) = - Pr (Z <.6 ) =.757 =.743 La Normal es importante, no sólo porque muchas variables comunes sigan esa distribución, sino porque aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre muestras elegidas al azar sí poseen una distribución Normal. = =.69 Pr( Z <.83 ) =

14 Sea una variable Uniforme en el intervalo [5,7]. Tenemos una muestra de tamaño. La muestra tiene media 59.9 y desviación típica 4.57 El histograma no se parece a una distribución normal con la misma media y desviación típica Ilustración xx x Elegimos aleatoriamente grupos de observaciones. Para cada grupo de obtenemos entonces una nueva medida: la media muestral. Las medias de cada muestra están más o menos cerca de la media de la variable original. Muestra ª ª 3ª La distribución de las medias muestrales tiene distribución aproximadamente normal. La media de esta nueva variable es muy parecida a la de la variable original. a 4 3 Supongamos que tenemos n variables aleatorias i independientes con medias (µ ι ) y desviaciones típicas (σ i ) y distribución cualquiera Teorema Central del Límite Las observaciones de la nueva variable están menos dispersas. La desviación típica es menor, en este caso xxx aa$x 55 Cuando n crece, Y = + + K + la distribución de Y µ i N(,) σ i n ( i σi ) Y ~ N µ, 56

15 Supongamos que tenemos n variables aleatorias i independientes con medias (µ ι ) y desviaciones típicas (σ i ) y distribución cualquiera Teorema Central del Límite Modelos de probabilidad 4.5 Distribución de Bernoulli Distribución Binomial 4.6 Distribución de Poisson Distribución Exponencial Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande, nos va a aparecer de manera natural la distribución Normal 4. Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Binomial-Normal Binomial-Normal La variable Binomial es suma de variables de Bernoulli, que toman el valor ó.. Y = + +K E [ ] n i = p Var[ i ] = p( p) T.C.L..8 n = 5 p =.3 npq =.5 (, ( ) ) Y N np np p n > 3 npq > x N ( 5,.5) 59 6

16 Factor de corrección La distribución Normal es continua pero la Binomial es discreta. Para mejorar la aproximación introducimos un factor de corrección que consiste en añadir o substraer.5 al valor al que le queremos calcular la probabilidad. x +.5 np Pr( x) = Pr( x +.5) Pr Z np( p) x.5 np Pr( x ) = Pr( x.5 ) Pr Z np( p) 6 Un fabricante de semiconductores admite que produce un % de chips defectuosos. Los chips se empaquetan en lotes de chips para su venta. Un comprador rechazará un lote si contiene 5 o más chips defectuosos Cuál es la probabilidad de rechazar un lote? ~ B(,.) n > 3 np = 4 np( p) = 39. N(4,6.6) Pr ( 5) Pr Z 6.6 = Pr = Pr ( Z.47) ( Z.47) = Poisson-Normal Poisson-Normal La distribución de Poisson surge como límite de la Binomial cuando el número de experimentos tiende a infinito. Aproximamos a una Normal cuando λ grande (λ > 5) ~ P( λ) N ( λ, λ ) 63 64

17 El número de defectos en la superficie de un material por metro cuadrado sigue una distribución de Poisson con media. Si se analiza un metro cuadrado de dicho material, Cuál es la probabilidad de encontrar 95 defectos o más? Pr ( 95) 95.5 Pr Z = Pr ( Z.55) = Pr( Z.55) =. 788 Modelos de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Distribuciones relacionadas con la Normal Distribuciones relacionadas con la Normal χ g χ g Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos. La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo toma valores positivos. La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número de grados de libertad. ~ N ( µ, σ ) i independientes i µ i µ ~ N(,) ~ χ σ σ Y g i µ = ~ χ [ ] [ ] i= g = = σ E Y g Var Y g La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número de grados de libertad. f(x) grados de libertad 3 grados de libertad 4 grados de libertad 5 grados de libertad x 68

18 Distribuciones relacionadas con la Normal t de Student Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es simétrica respecto al. Toma valores en toda la recta real. La función de densidad se aproxima a una N(,) cuando aumenta el número de grados de libertad. Se obtiene como el cociente entre dos variables: Z tg = Z ~ N(,) Y ~ χ Y / g g Distribuciones relacionadas con la Normal t de Student Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es simétrica positiva respecto al. Toma valores en toda la recta real. La función de densidad se aproxima a una N(,) cuando aumenta el número de grados de libertad. f(x) grados de libertad grados de libertad grados de libertad x 7 Distribuciones relacionadas con la Normal F de Fisher Tiene un dos parámetros denominados grados de libertad. La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos. Se obtiene como el cociente entre dos variables: F / g = ~ χ Y ~ χ g, g g g Y / g 7

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