Modelos de probabilidad. Modelos de probabilidad. Modelos de probabilidad. Proceso de Bernoulli. Objetivos del tema:

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Modelos de probabilidad. Modelos de probabilidad. Modelos de probabilidad. Proceso de Bernoulli. Objetivos del tema:"

Transcripción

1 Modelos de probabilidad Modelos de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Objetivos del tema: Al final del tema el alumno será capaz de: Comprender las hipótesis de las distintas distribuciones presentadas Seleccionar la distribución discreta o continua correcta en aplicaciones específicas Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Calcular probabilidades, determinar medias y varianzas para las distribuciones más comunes Modelos de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A) Defectuoso (D) La proporción de A y D es constante en la población y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Pr( D) = p Pr( A) = q = p Las observaciones son independientes 3 4

2 Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A) Defectuoso (D) La proporción de A y D es constante en la población y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada Pr( D) = p Pr( A) = q = p s Observar el resultado al lanzar una moneda Si una pieza es defectuosa o no en un proceso de fabricación Observar el sexo de un recién nacido Si se transmite correctamente un bit a través de un canal digital Las observaciones son independientes 5 6 Distribución de Bernoulli Distribución Binomial si el suceso no ocurre A q = p = Pr( = ) = si el suceso ocurre A p = Pr( = ) Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución Binomial de parámetros (n,p). La función de probabilidad es: [ ] p x p p x x ( ) = ( ) x =, µ = E = ( p) + p = p = Número de veces que ocurre un suceso en las n pruebas toma valores,,,,n ~ Bn (, p) [ ] σ = Var = ( p) ( p) + ( p) p = p( p) 7 8

3 n=5 La función de probabilidad es: n r n r P( = r) = p ( p), r =,, K, n r [ ] E = np n=5 p=.75 p=.5 p=. [ ] = ( ) Var np p 9 Un aparato electrónico contiene 4 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es. y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso. Un aparato electrónico contiene 4 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es. y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso. Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? = Número de circuitos defectuosos en los 4 de un aparato = Número de circuitos defectuosos en los 4 de un aparato Pr( = ) Experimento: Observar si un circuito es defectuoso o no. Se repite 4 veces Son independientes La probabilidad de ser defectuoso es constante,.

4 Un aparato electrónico contiene 4 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es. y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso. Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles La probabilidad de éxito se mantiene constante = Número de circuitos defectuosos en los 4 de un aparato Las observaciones son independientes ~ B(4,.) 4 = = = 4 Pr( ). (.).669 Se repite el experimento hasta que ocurre el primer éxito = Número de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer éxito ~ Ge( p) 3 4 i i =,... n son Bernoulli i i =,... n son Bernoulli 3 4 L = = = 3 = 4 Pr Pr( = ) = p ( = ) = qp ( = 3) = qqp ( = 4) = qqqp Pr Pr 3 4 L = = = 3 = 4 Pr Pr( = ) = p ( = ) = qp ( = 3) = qqp ( = 4) = qqqp Pr Pr La función de probabilidad es: ( ) ( ) r P = r = p p, r =,, K [ ] = / p [ ] = ( p) / p E Var 5 6

5 ( ) Pr ( ) ( ) x = = = p x x p p La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal de transmisión digital sea recibido como un error es.. Si las transmisiones son independientes, Cuál es el número medio de transmisiones que hemos de observar hasta que ocurre el primer error? = Número de transmisiones que hay que observar hasta encontrar el primer error [ ] = / p = /. = E 7 8 Modelos de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Cuando un experimento tiene las siguientes características: Se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo Distribución de Poisson Distribución Exponencial La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo Es la misma para los intervalos del mismo tamaño Es proporcional a la longitud del intervalo Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Los sucesos ocurren de forma independiente. El número de sucesos que ocurren en un intervalo es independiente del número de sucesos que ocurren en otro intervalo 9

6 Distribución de Poisson Distribución de Poisson = Número de sucesos en un intervalo de longitud fija La función de probabilidad es: La distribución de Poisson se puede obtener como límite de una Binomial cuando n y p r e P( = r) =, r =,, K r! λ λ λ = np Número medio de sucesos en ese intervalo λ r r e λ λ λ E [ ] = λ E [ ] = r = λe = λ r! ( r )! [ ] Var = λ ~ P( λ ) Y ~ P( λ ) independientes + Y ~ P( λ + λ ) Distribución de Poisson s Número de defectos en un milímetro de cable. Número de llamadas de teléfono que se reciben en una centralita en una hora. Número de erratas por página en un documento 3 4

7 El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto. El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto. Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos? = Número de clientes por minuto Y = Número de clientes en 3 minutos ~ P( λ = ) Y ~ P( λ = 3) 3 e 3 Pr( Y = ) = = e! 3 Mantener el citado puesto de servicio abierto 8 horas al día cuesta 6 euros diarios. Cuál debe ser el precio mínimo que se cobre a cada cliente para que sea rentable? Y = Número de clientes en 8 horas Y ~ P( λ = 6 8 = 48) Beneficio = Tarifa x Y -6 [ ] Beneficio Esperado = Tarifa E Y 6 > = Tarifa 48 6 > Tarifa > Distribución de exponencial Distribución de exponencial La distribución exponencial se puede utilizar para modelizar = Numero de sucesos en la unidad de tiempo ~ P( λ) Tiempo entre llamadas telefónicas Tiempo entre llegadas a un puesto de servicio Tiempo de vida de un componente eléctrico M Cuando el número de sucesos sigue una distribución de Poisson, el tiempo entre sucesos sigue una distribución exponencial 7 T = Tiempo hasta que ocurre el primer suceso Podemos calcular su función de distribución: PT ( > t ) = P(cero sucesos en (,t )) = Número de sucesos en una unidad de tiempo ~ P( λ) Y = Número de sucesos en (,t ) Y ~ P( λt) PT ( > t) = Pr( Y = ) = e λt F( t ) = PT ( t ) = e λt Estadística, Prof. Bernardo D'Auria 8

8 Distribución de exponencial x f ( x) = λe λ = Numero de sucesos en la unidad de tiempo ~ P( λ) T = Tiempo entre dos sucesos consecutivos f ( x) = e x df( t) t f ( t) = = λe λ, t dt f ( x) =.5.5x e f ( x) =..x e [ ] E = / λ Si hay λ sucesos por término medio en un intervalo de tiempo Var [ ] = / λ El tiempo medio entre dos sucesos es /λ 9 3 El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto. Cuál es la probabilidad de que pasen más de 3 minutos entre la llegada de dos clientes? = Número de clientes por minuto ~ P( λ = ) T = Tiempo entre dos clientes T ~ Exp( λ = ) ( ) Pr( T > 3) = Pr( T 3) = F(3) = e = e = Pr(No haya clientes en 3 minutos) 3 3 Propiedad Pr(T > t +t T > t ) = Pr( T > t ) λ (t +t ) Pr(T > t +t I T > t ) Pr( T > t +t ) e = = = e λt Pr( T > t ) Pr( T > t ) e Si no ha habido clientes en 4 minutos, cuál es la probabilidad de que no haya clientes en los próximos 3 minutos? Pr( Y > 7 Y > 4) = Pr( Y > 3) = F(3) = e 3 λt 3 3

9 Modelos de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher La distribución Normal describe gran cantidad de procesos aleatorios Errores de medida Ruido en una señal digital Corriente eléctrica en un trozo de cable En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Normal Es la base para la inferencia estadística Está caracterizada por dos parámetros: La media, µ, y la desviación típica, σ. N ( µ, σ ) Toma valores en toda la recta real Su función de densidad es: Tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media f ( x) La media, mediana y moda coinciden ( x µ ) σ f ( x) = e < x < πσ E[ ] = µ Var[ ] = σ µ

10 El efecto de µ y σ Cómo afecta la deviación típica la forma de f(x)? σ= σ =3 σ =4 Cómo afecta el valor esperado a la posición de f(x)? µ = µ = µ = Es un factor de escala f(x) Pr(c d) La probabilidad es el área bajo la curva No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la integral de la función de densidad Es un factor de traslación c d x Todas las distribuciones normales se pueden transformar en N(,) Z = µ σ Densidad de (-µ)/σ Densidad de -µ ~ N(3, ) Densidad de 3 6 Pr( 6) Z ~ N(,) Mismoº área σ µ Pr Z = Pr( Z.5) Estadística, Prof. Bernardo D'Auria 4

11 La función de distribución de la Normal estándar tiene una notación propia: F( x) = Pr( x) = φ( x) Q( x) = Pr( > x) = φ( x) El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6 horas? Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.5% de los semiconductores? Q( x) = Q( x) Existen ciertas cotas para la función Q que se utilizan para calcular cotas en error de probabilidad de varios sistemas de comunicaciones x Q( x) e x x Q( x) < e x πx 4 Pr( < 6) Pr( > a) = El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6 horas? Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6 horas? 6 7 Pr( < 6) = Pr Z < = Pr( Z <.66) Pr( < 6) = Pr Z < = Pr( Z <.66)

12 El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6 horas? 6 7 Pr( < 6) = Pr Z < = Pr( Z <.66) 6 = Pr( Z.66) Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6 horas? = Pr( Z <.66) =.955 = Estadística, Prof. Bernardo D'Auria 46 El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.5% de los semiconductores? a 7 Pr( > a) =.955 Pr Z > = El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.5% de los semiconductores? a 7 Pr( > a) =.955 Pr Z > = b Valor negativo a -b 47 48

13 El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7 horas y desviación típica 6 horas Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.5% de los semiconductores? ( a 7) Pr( > a) =.955 Pr Z < = b Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.5% de los semiconductores? ( a 7) Pr( > a) = Pr Z < = ( a 7) =.65 6 a = 6 b El 95.5% de los semiconductores duran más de 6 horas 49 Estadística, Prof. Bernardo D'Auria 5 Más ejemplos de cálculo de probabilidades Pr( -.6 < Z <.83 )= Pr( Z <.83 ) - Pr( Z -.6 ) Pr ( Z <-.6) = Pr ( Z >.6 ) = - Pr (Z <.6 ) =.757 =.743 La Normal es importante, no sólo porque muchas variables comunes sigan esa distribución, sino porque aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre muestras elegidas al azar sí poseen una distribución Normal. = =.69 Pr( Z <.83 ) =

14 Sea una variable Uniforme en el intervalo [5,7]. Tenemos una muestra de tamaño. La muestra tiene media 59.9 y desviación típica 4.57 El histograma no se parece a una distribución normal con la misma media y desviación típica Ilustración xx x Elegimos aleatoriamente grupos de observaciones. Para cada grupo de obtenemos entonces una nueva medida: la media muestral. Las medias de cada muestra están más o menos cerca de la media de la variable original. Muestra ª ª 3ª La distribución de las medias muestrales tiene distribución aproximadamente normal. La media de esta nueva variable es muy parecida a la de la variable original. a 4 3 Supongamos que tenemos n variables aleatorias i independientes con medias (µ ι ) y desviaciones típicas (σ i ) y distribución cualquiera Teorema Central del Límite Las observaciones de la nueva variable están menos dispersas. La desviación típica es menor, en este caso xxx aa$x 55 Cuando n crece, Y = + + K + la distribución de Y µ i N(,) σ i n ( i σi ) Y ~ N µ, 56

15 Supongamos que tenemos n variables aleatorias i independientes con medias (µ ι ) y desviaciones típicas (σ i ) y distribución cualquiera Teorema Central del Límite Modelos de probabilidad 4.5 Distribución de Bernoulli Distribución Binomial 4.6 Distribución de Poisson Distribución Exponencial Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande, nos va a aparecer de manera natural la distribución Normal 4. Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Binomial-Normal Binomial-Normal La variable Binomial es suma de variables de Bernoulli, que toman el valor ó.. Y = + +K E [ ] n i = p Var[ i ] = p( p) T.C.L..8 n = 5 p =.3 npq =.5 (, ( ) ) Y N np np p n > 3 npq > x N ( 5,.5) 59 6

16 Factor de corrección La distribución Normal es continua pero la Binomial es discreta. Para mejorar la aproximación introducimos un factor de corrección que consiste en añadir o substraer.5 al valor al que le queremos calcular la probabilidad. x +.5 np Pr( x) = Pr( x +.5) Pr Z np( p) x.5 np Pr( x ) = Pr( x.5 ) Pr Z np( p) 6 Un fabricante de semiconductores admite que produce un % de chips defectuosos. Los chips se empaquetan en lotes de chips para su venta. Un comprador rechazará un lote si contiene 5 o más chips defectuosos Cuál es la probabilidad de rechazar un lote? ~ B(,.) n > 3 np = 4 np( p) = 39. N(4,6.6) Pr ( 5) Pr Z 6.6 = Pr = Pr ( Z.47) ( Z.47) = Poisson-Normal Poisson-Normal La distribución de Poisson surge como límite de la Binomial cuando el número de experimentos tiende a infinito. Aproximamos a una Normal cuando λ grande (λ > 5) ~ P( λ) N ( λ, λ ) 63 64

17 El número de defectos en la superficie de un material por metro cuadrado sigue una distribución de Poisson con media. Si se analiza un metro cuadrado de dicho material, Cuál es la probabilidad de encontrar 95 defectos o más? Pr ( 95) 95.5 Pr Z = Pr ( Z.55) = Pr( Z.55) =. 788 Modelos de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Distribuciones relacionadas con la Normal Distribuciones relacionadas con la Normal χ g χ g Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos. La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo toma valores positivos. La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número de grados de libertad. ~ N ( µ, σ ) i independientes i µ i µ ~ N(,) ~ χ σ σ Y g i µ = ~ χ [ ] [ ] i= g = = σ E Y g Var Y g La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número de grados de libertad. f(x) grados de libertad 3 grados de libertad 4 grados de libertad 5 grados de libertad x 68

18 Distribuciones relacionadas con la Normal t de Student Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es simétrica respecto al. Toma valores en toda la recta real. La función de densidad se aproxima a una N(,) cuando aumenta el número de grados de libertad. Se obtiene como el cociente entre dos variables: Z tg = Z ~ N(,) Y ~ χ Y / g g Distribuciones relacionadas con la Normal t de Student Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es simétrica positiva respecto al. Toma valores en toda la recta real. La función de densidad se aproxima a una N(,) cuando aumenta el número de grados de libertad. f(x) grados de libertad grados de libertad grados de libertad x 7 Distribuciones relacionadas con la Normal F de Fisher Tiene un dos parámetros denominados grados de libertad. La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos. Se obtiene como el cociente entre dos variables: F / g = ~ χ Y ~ χ g, g g g Y / g 7

Tema 6: Modelos de probabilidad.

Tema 6: Modelos de probabilidad. Estadística 60 Tema 6: Modelos de probabilidad. 6.1 Modelos discretos. (a) Distribución uniforme discreta: La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta de parámetro n,que denoteramos

Más detalles

JUEGO DE BASKETBALL. Repaso de Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas

JUEGO DE BASKETBALL. Repaso de Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas JUEGO DE BASKETBALL Repaso de Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas PREGUNTA #1 Qué es una variable aleatoria uniforme discreta? Cómo es su distribución? Qué es una variable aleatoria uniforme

Más detalles

Modelos de distribuciones discretas y continuas

Modelos de distribuciones discretas y continuas Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Modelos de distribuciones discretas y continuas Estadística I curso 2008 2009 1. Distribuciones discretas Aquellas

Más detalles

Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras

Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Estadística. 4 o Curso. Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso 2008-2009

Más detalles

Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides Introducción El comportamiento de una variable aleatoria queda

Más detalles

Definición de probabilidad

Definición de probabilidad Tema 5: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD: Definición de probabilidad Repaso de propiedades de conjuntos (Leyes de Morgan) Probabilidad condicionada Teorema de la probabilidad total

Más detalles

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS ORIENTACIONES (TEMA Nº 7)

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS ORIENTACIONES (TEMA Nº 7) TEMA Nº 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: Conocer las características de la distribución normal como distribución de probabilidad de una variable y la aproximación de

Más detalles

MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD

MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus Instituto Politécnico Nacional 2004 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus Modelo Uniforme Discreto Modelo Uniforme Discreto Sea

Más detalles

Curso de Probabilidad y Estadística

Curso de Probabilidad y Estadística Curso de Probabilidad y Estadística Distribuciones de Probabilidad Dr. José Antonio Camarena Ibarrola camarena@umich.mx Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Facultad de Ingeniería Eléctrica

Más detalles

Bioestadística. El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica.

Bioestadística. El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica. Bioestadística Tema 5: Modelos probabilísticos Variable aleatoria El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica. En estos casos aparece la noción de

Más detalles

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS El zoo binomial: las probabilidades en la distribución binomial. Tutorial 5, sección 2 X = número de éxitos al repetir n veces un experimento con probabilidaf de éxito p

Más detalles

TEMA 3: Probabilidad. Modelos. Probabilidad

TEMA 3: Probabilidad. Modelos. Probabilidad TEM 3: Probabilidad. Modelos Probabilidad Fenómeno aleatorio: es aquel cuyos resultados son impredecibles. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda: Resultados posibles: cara, cruz. Selección al azar de un

Más detalles

Tema 7. Variables Aleatorias Continuas

Tema 7. Variables Aleatorias Continuas Presentación y Objetivos. Tema 7. Variables Aleatorias Continuas En este tema se propone el estudio de las variables aleatorias continuas más importantes, desde la más simple incrementando el grado de

Más detalles

9 APROXIMACIONES DE LA BINOMIAL

9 APROXIMACIONES DE LA BINOMIAL 9 APROXIMACIONES DE LA BINOMIAL 1 Una variable aleatoria sigue una distribución binomial B(n = 1000; p = 0,003). Mediante la aproximación por una distribución de POISSON, calcular P(X = 2), P(X 3) y P(X

Más detalles

Variable Aleatoria Continua. Principales Distribuciones

Variable Aleatoria Continua. Principales Distribuciones Variable Aleatoria Continua. Definición de v. a. continua Función de Densidad Función de Distribución Características de las v.a. continuas continuas Ejercicios Definición de v. a. continua Las variables

Más detalles

MODELOS DE SIMULACIÓN ESTADÍSTICOS CLASE 4: DISTRIBUCIÓN t, CHI-CUADRADA y EXPONENCIAL PROFESOR: OSCAR SAAVEDRA ANDRÉS DURANGO.

MODELOS DE SIMULACIÓN ESTADÍSTICOS CLASE 4: DISTRIBUCIÓN t, CHI-CUADRADA y EXPONENCIAL PROFESOR: OSCAR SAAVEDRA ANDRÉS DURANGO. DISTRIBUCIÓN t Con frecuencia intentamos estimar la media de una población cuando se desconoce la varianza, en estos casos utilizamos la distribución de t de Student. Si el tamaño de la muestra es suficientemente

Más detalles

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA FACULTAD DE INGENIERÍA U N A M PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Irene Patricia Valdez y Alfaro irenev@unam.mx T E M A S DEL CURSO 1. Análisis Estadístico de datos muestrales. 2. Fundamentos de la Teoría de la

Más detalles

Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre.

Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre. Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre. EstadísTICa Curso Primero Graduado en Geomática y Topografía Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía. Universidad Politécnica

Más detalles

Distribuciones de probabilidad más usuales

Distribuciones de probabilidad más usuales Tema 5 Distribuciones de probabilidad más usuales En este tema se estudiarán algunas de las distribuciones discretas y continuas más comunes, que se pueden aplicar a una gran diversidad de problemas y

Más detalles

Variables aleatorias

Variables aleatorias Variables aleatorias DEFINICIÓN En temas anteriores, se han estudiado las variables estadísticas, que representaban el conjunto de resultados observados al realizar un experimento aleatorio, presentando

Más detalles

Cálculo de probabilidad. Tema 3: Variables aleatorias continuas

Cálculo de probabilidad. Tema 3: Variables aleatorias continuas Cálculo de probabilidad Tema 3: Variables aleatorias continuas Guión Guión 3.1. La función de densidad de probabilidad Definición 3.1 Sea P una medida de probabilidad en un espacio muestral Ω. Se dice

Más detalles

Tema 4: Ejercicios de Modelos de Probabilidad

Tema 4: Ejercicios de Modelos de Probabilidad Tema 4: s de Modelos de Probabilidad Bernardo D Auria Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid GRUPO 12 - I.T.I.G. Otros Se considera una v.a. Bernoulli que toma el valor 1 con probabilidad

Más detalles

Modelos de distribuciones discretas y continuas

Modelos de distribuciones discretas y continuas Tema 6 Modelos de distribuciones discretas y continuas 6.1. Modelos de distribuciones discretas 6.1.1. Distribución uniforme sobre n puntos Definición 6.1.2 Se dice que una v.a. X sigue una distribución

Más detalles

1. La Distribución Normal

1. La Distribución Normal 1. La Distribución Normal Los espacios muestrales continuos y las variables aleatorias continuas se presentan siempre que se manejan cantidades que se miden en una escala continua; por ejemplo, cuando

Más detalles

Bioestadística. El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica.

Bioestadística. El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica. Bioestadística Tema 5: Modelos probabilísticos Tema 5: Modelos probabilísticos 1 Variable aleatoria El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica.

Más detalles

Cuáles son las características aleatorias de la nueva variable?

Cuáles son las características aleatorias de la nueva variable? Apuntes de Estadística II. Ingeniería Industrial. UCAB. Marzo 203 CLASES DE ESTADÍSTICA II CLASE 5) UNA TRANSFORMACIÓN DE DOS VARIABLES. Sea Z = g(, ) una función de las variables aleatorias e, tales que

Más detalles

INDICE Capítulo I: Conceptos Básicos Capitulo II: Estadística Descriptiva del Proceso

INDICE Capítulo I: Conceptos Básicos Capitulo II: Estadística Descriptiva del Proceso INDICE Capítulo I: Conceptos Básicos 1.- Introducción 3 2.- Definición de calidad 7 3.- Política de calidad 10 4.- Gestión de la calidad 12 5.- Sistema de calidad 12 6.- Calidad total 13 7.- Aseguramiento

Más detalles

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus Instituto Politécnico Nacional Primavera 2004 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus Definición de una V.A.C. Definición de una V.A.C.

Más detalles

Unidad IV: Distribuciones muestrales

Unidad IV: Distribuciones muestrales Unidad IV: Distribuciones muestrales 4.1 Función de probabilidad En teoría de la probabilidad, una función de probabilidad (también denominada función de masa de probabilidad) es una función que asocia

Más detalles

Distribuciones Probabilísticas. Curso de Estadística TAE,2005 J.J. Gómez Cadenas

Distribuciones Probabilísticas. Curso de Estadística TAE,2005 J.J. Gómez Cadenas Distribuciones Probabilísticas Curso de Estadística TAE,005 J.J. Gómez Cadenas Distribución Binomial Considerar N observaciones independientes tales que: El resultado de cada experimento es acierto o fallo

Más detalles

El momento k-ésimo para una variable aleatoria discreta respecto del origen, es. n = esperanza matemática de X

El momento k-ésimo para una variable aleatoria discreta respecto del origen, es. n = esperanza matemática de X Momentos El momento k-ésimo para una variable aleatoria discreta respecto del origen, es E(x) n = i = 1 k i ( ) x.p x El primer momento centrado en el origen (k=1) es la esperanza matemática de X También

Más detalles

Tema 13: Distribuciones de probabilidad. Estadística

Tema 13: Distribuciones de probabilidad. Estadística Tema 13: Distribuciones de probabilidad. Estadística 1. Variable aleatoria Una variable aleatoria es una función que asocia a cada elemento del espacio muestral, de un experimento aleatorio, un número

Más detalles

Prof. Eliana Guzmán U. Semestre A-2015

Prof. Eliana Guzmán U. Semestre A-2015 Unidad III. Variables aleatorias Prof. Eliana Guzmán U. Semestre A-2015 Variable Aleatoria Concepto: es una función que asigna un número real, a cada elemento del espacio muestral. Solo los experimentos

Más detalles

Tema 6. Variables aleatorias continuas

Tema 6. Variables aleatorias continuas Tema 6. Variables aleatorias continuas Resumen del tema 6.1. Definición de variable aleatoria continua Identificación de una variable aleatoria continua X: es preciso conocer su función de densidad, f(x),

Más detalles

Algunas Distribuciones Discretas de Probabilidad. UCR ECCI CI-1352 Investigación de Operaciones I Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Algunas Distribuciones Discretas de Probabilidad. UCR ECCI CI-1352 Investigación de Operaciones I Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides Algunas Distribuciones Discretas de Probabilidad UCR ECCI CI-1352 Investigación de Operaciones I Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides Introducción El comportamiento de una variable aleatoria queda

Más detalles

Part I. Variables aleatorias unidimensionales. Estadística I. Mario Francisco. Definición de variable aleatoria. Variables aleatorias discretas

Part I. Variables aleatorias unidimensionales. Estadística I. Mario Francisco. Definición de variable aleatoria. Variables aleatorias discretas Part I unidimensionales de s de s Definición Dado un experimento aleatorio, con espacio muestral asociado Ω, una es cualquier función, X, X : Ω R que asocia a cada suceso elemental un número real, verificando

Más detalles

Definición 4.1 Diremos que una variable aleatoria discreta X tiene una distribución Uniforme de parámetro N, N 1, si. rg(x) = {1, 2,...

Definición 4.1 Diremos que una variable aleatoria discreta X tiene una distribución Uniforme de parámetro N, N 1, si. rg(x) = {1, 2,... Índice 4 MODELOS DE DISTRIBUCIONES 4.1 4.1 Introducción.......................................... 4.1 4.2 Modelos de distribuciones discretas............................. 4.1 4.2.1 Distribución Uniforme

Más detalles

Formulario. Estadística Administrativa. Módulo 1. Introducción al análisis estadístico

Formulario. Estadística Administrativa. Módulo 1. Introducción al análisis estadístico Formulario. Estadística Administrativa Módulo 1. Introducción al análisis estadístico Histogramas El número de intervalos de clase, k, se elige de tal forma que el valor 2 k sea menor (pero el valor más

Más detalles

Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas. c) Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial.

Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas. c) Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial. Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas Distribución Continuas: a) Distribución Uniforme b) Distribución de Exponencial c) Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial. d) Distribución

Más detalles

Tema 5 Algunas distribuciones importantes

Tema 5 Algunas distribuciones importantes Algunas distribuciones importantes 1 Modelo Bernoulli Distribución Bernoulli Se llama experimento de Bernoulli a un experimento con las siguientes características: 1. Se realiza un experimento con dos

Más detalles

Definición Se dice que una variable aleatoria X es continua si su conjunto de posibles valores es todo un intervalo (finito o infinito) de números

Definición Se dice que una variable aleatoria X es continua si su conjunto de posibles valores es todo un intervalo (finito o infinito) de números IV. Variables Aleatorias Continuas y sus Distribuciones de Probabilidad 1 Variable Aleatoria Continua Definición Se dice que una variable aleatoria X es continua si su conjunto de posibles valores es todo

Más detalles

ESTADISTICA GENERAL. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS Profesor: Celso Celso Gonzales

ESTADISTICA GENERAL. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS Profesor: Celso Celso Gonzales ESTADISTICA GENERAL PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS Profesor: Celso Celso Gonzales OBJETIVOS Describir las características de las distribuciones de probabilidad : Normal, Ji-cuadrado, t de student

Más detalles

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Sesión 6 (A partir de tema 5.9)

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Sesión 6 (A partir de tema 5.9) PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Sesión 6 (A partir de tema 5.9) 5.9 Muestreo: 5.9.1 Introducción al muestreo 5.9.2 Tipos de muestreo 5.10 Teorema del límite central 5.11 Distribución muestral de la media 5.12

Más detalles

T1. Distribuciones de probabilidad discretas

T1. Distribuciones de probabilidad discretas Estadística T1. Distribuciones de probabilidad discretas Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada Inferencia estadística: Parte de la estadística que estudia grandes colectivos a partir de

Más detalles

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. Página 1 de 7 DISTRIBUCIÓN NORMAL o campana de Gauss-Laplace Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada

Más detalles

ENUNCIADO y SOLUCIONES. Problema 1

ENUNCIADO y SOLUCIONES. Problema 1 Ingeniería Industrial Métodos estadísticos de la Ingeniería Examen Junio 007. ENUNCIADO y SOLUCIONES Problema La memoria RAM para un ordenador se puede recibir de dos fabricantes A y B con igual probabilidad.

Más detalles

Estadísticas y distribuciones de muestreo

Estadísticas y distribuciones de muestreo Estadísticas y distribuciones de muestreo D I A N A D E L P I L A R C O B O S D E L A N G E L 7/11/011 Estadísticas Una estadística es cualquier función de las observaciones en una muestra aleatoria que

Más detalles

Estadistica II Tema 0. Repaso de conceptos básicos. Curso 2009/10

Estadistica II Tema 0. Repaso de conceptos básicos. Curso 2009/10 Estadistica II Tema 0. Repaso de conceptos básicos Curso 2009/10 Tema 0. Repaso de conceptos básicos Contenidos Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad La distribución normal Muestras aleatorias,

Más detalles

Tema 3. Probabilidad y variables aleatorias

Tema 3. Probabilidad y variables aleatorias 1 Tema 3. Probabilidad y variables aleatorias En este tema: Probabilidad: Experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos. Interpretaciones de la probabilidad. Propiedades de la probabilidad. Probabilidad

Más detalles

CAPÍTULO 6: VARIABLES ALEATORIAS

CAPÍTULO 6: VARIABLES ALEATORIAS Página 1 de 11 CAPÍTULO 6: VARIABLES ALEATORIAS En el capítulo 4, de estadística descriptiva, se estudiaron las distribuciones de frecuencias de conjuntos de datos y en el capítulo 5 se trataron los fundamentos

Más detalles

8 Resolución de algunos ejemplos y ejercicios del tema 8.

8 Resolución de algunos ejemplos y ejercicios del tema 8. INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 29 8 Resolución de algunos ejemplos y ejercicios del tema 8. 8.1 Ejemplos. Ejemplo 49 Supongamos que el tiempo que tarda en dar respuesta a un enfermo el personal

Más detalles

Introducción al Tema 7. Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones.

Introducción al Tema 7. Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones. Introducción al Tema 7 1 Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones. V.A. de uso frecuente Tema 7. Modelos probabiĺısticos discretos

Más detalles

Cap. 5 : Distribuciones muestrales

Cap. 5 : Distribuciones muestrales Cap. 5 : Distribuciones muestrales Alexandre Blondin Massé Departamento de Informática y Matematica Université du Québec à Chicoutimi 18 de junio del 2015 Modelado de sistemas aleatorios Ingeniería de

Más detalles

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. es una representación gráfica que permite visualizar un experimento de pasos múltiples.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. es una representación gráfica que permite visualizar un experimento de pasos múltiples. es una representación gráfica que permite visualizar un experimento de pasos múltiples. Considere un experimento que consiste en lanzar dos monedas. Defina los resultados experimentales en términos de

Más detalles

Probabilidad, Variable Aleatoria Pag 1 de 26 PROBABILIDAD

Probabilidad, Variable Aleatoria Pag 1 de 26 PROBABILIDAD Probabilidad, Variable Aleatoria Pag 1 de 6 PROBABILIDAD Actualmente la teoría de probabilidades desempeña un papel importante en el campo de los negocios, la investigación, específicamente en la toma

Más detalles

Teorema del límite central

Teorema del límite central TEMA 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES Teorema del límite central Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con media y desviación estándar, entonces, cuando n es grande, la distribución

Más detalles

Distribuciones de probabilidad

Distribuciones de probabilidad Distribuciones de probabilidad Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada Inferencia estadística: Parte de la estadística que estudia grandes colectivos a partir

Más detalles

DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL APROXIMACIÓN LA CURVA NORMAL. Juan José Hernández Ocaña

DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL APROXIMACIÓN LA CURVA NORMAL. Juan José Hernández Ocaña DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL APROXIMACIÓN LA CURVA NORMAL Juan José Hernández Ocaña DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL Variable discreta.- Es aquella que casi siempre asume solamente un conjunto

Más detalles

Objetivo: Comprender la diferencia entre valor esperado, varianza y desviación estándar. Poner en práctica el teorema de Chebyshev

Objetivo: Comprender la diferencia entre valor esperado, varianza y desviación estándar. Poner en práctica el teorema de Chebyshev PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Sesión MODELOS ANALÍTICOS DE FENÓMENOS ALEATORIOS CONTINUOS. Definición de variable aleatoria continua. Función de densidad y acumulatíva. Valor esperado, varianza y desviación

Más detalles

Modelado de la aleatoriedad: Distribuciones

Modelado de la aleatoriedad: Distribuciones Modelado de la aleatoriedad: Distribuciones Begoña Vitoriano Villanueva Bvitoriano@mat.ucm.es Facultad de CC. Matemáticas Universidad Complutense de Madrid I. Distribuciones Discretas Bernoulli (p) Aplicaciones:

Más detalles

TEMA 3. Algunos modelos de probabilidad de tipo discreto. 3.1 Al finalizar el tema el alumno debe conocer...

TEMA 3. Algunos modelos de probabilidad de tipo discreto. 3.1 Al finalizar el tema el alumno debe conocer... TEMA 3. Algunos modelos de probabilidad de tipo discreto En este capítulo se abordan «familias» muy específicas de probabilidad, que con cierta frecuencia se nos presentan en el mundo real. Van a ser distribuciones

Más detalles

Objetivos. 1. Variable Aleatoria y Función de Probabilidad. Tema 4: Variables aleatorias discretas Denición de Variable aleatoria

Objetivos. 1. Variable Aleatoria y Función de Probabilidad. Tema 4: Variables aleatorias discretas Denición de Variable aleatoria Tema 4: Variables aleatorias discretas Objetivos Dominar el uso de las funciones asociadas a una variable aleatoria discreta para calcular probabilidades. Conocer el signicado y saber calcular la esperanza

Más detalles

Introducción al Tema 8. Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones.

Introducción al Tema 8. Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones. Introducción al Tema 8 1 Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones. V.A. de uso frecuente Tema 7. Modelos probabiĺısticos discretos

Más detalles

Probabilidad II Algunas distribuciones notables. Antonio Cuevas Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid

Probabilidad II Algunas distribuciones notables. Antonio Cuevas Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid Probabilidad II Algunas distribuciones notables Antonio Cuevas Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid La distribución normal f (x; µ, σ) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2, x R, µ R, σ > 0 E(X

Más detalles

INTERVALOS DE CONFIANZA. La estadística en cómic (L. Gonick y W. Smith)

INTERVALOS DE CONFIANZA. La estadística en cómic (L. Gonick y W. Smith) INTERVALOS DE CONFIANZA La estadística en cómic (L. Gonick y W. Smith) EJEMPLO: Será elegido el senador Astuto? 2 tamaño muestral Estimador de p variable aleatoria poblacional? proporción de personas que

Más detalles

Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras

Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Estadística. 4 o Curso. Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso 2008-2009

Más detalles

Tema 5. Variables Aleatorias

Tema 5. Variables Aleatorias Tema 5. Variables Aleatorias Presentación y Objetivos. En este tema se estudia el concepto básico de Variable Aleatoria así como diversas funciones fundamentales en su desarrollo. Es un concepto clave,

Más detalles

1. Ejercicios. 2 a parte

1. Ejercicios. 2 a parte 1. Ejercicios. 2 a parte Ejercicio 1 Calcule 1. P (χ 2 9 3 33) 2. P (χ 2 15 7 26). 3. P (15 51 χ 2 8 22). 4. P (χ 2 70 82). Ejercicio 2 Si X χ 2 26, obtenga un intervalo [a, b] que contenga un 95 % de

Más detalles

Familias de distribuciones

Familias de distribuciones Capítulo 2 Familias de distribuciones 2.1. Introducción Las distribuciones estadísticas son usadas para modelar poblaciones a través de un miembro de una familia de distribuciones. Cada familia se encuentra

Más detalles

viii CAPÍTULO 2 Métodos de muestreo CAPÍTULO 3 Análisis exploratorio de datos

viii CAPÍTULO 2 Métodos de muestreo CAPÍTULO 3 Análisis exploratorio de datos Contenido Acerca de los autores.............................. Prefacio.... xvii CAPÍTULO 1 Introducción... 1 Introducción.............................................. 1 1.1 Ideas de la estadística.........................................

Más detalles

( ) DISTRIBUCIÓN UNIFORME (o rectangular) 1 b a. para x > b DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY. x ) DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL. α α 2 DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE

( ) DISTRIBUCIÓN UNIFORME (o rectangular) 1 b a. para x > b DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY. x ) DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL. α α 2 DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE Estudiamos algunos ejemplos de distribuciones de variables aleatorias continuas. De ellas merecen especial mención las derivadas de la distribución normal (χ, t de Student y F de Snedecor), por su importancia

Más detalles

Bioestadística Probabilidad 1. La población es el conjunto de elementos en los que se desea investigar la ocurrencia de una característica

Bioestadística Probabilidad 1. La población es el conjunto de elementos en los que se desea investigar la ocurrencia de una característica Bioestadística Probabilidad 1 Probabilidad Introducción a la probabilidad La población es el conjunto de elementos en los que se desea investigar la ocurrencia de una característica o propiedad. Son experimentos

Más detalles

5 DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y DE POISSON

5 DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y DE POISSON 5 DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y DE POISSON La repetición sucesiva de n pruebas (ensayos) de BERNOUILLI de modo independiente y manteniendo constante la probabilidad de éxito p da lugar a la variable aleatoria

Más detalles

Estadística Aplicada

Estadística Aplicada Estadística Aplicada Distribuciones de Probabilidad Variables aleatorias Toman un valor numérico para cada resultado de un espacio muestral Discretas. Sus valores posibles constituyen un conjunto discreto.

Más detalles

Tema 5. Muestreo y distribuciones muestrales

Tema 5. Muestreo y distribuciones muestrales 1 Tema 5. Muestreo y distribuciones muestrales En este tema: Muestreo y muestras aleatorias simples. Distribución de la media muestral: Esperanza y varianza. Distribución exacta en el caso normal. Distribución

Más detalles

Estadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 5. Estimación. Facultad de Ciencias Sociales, UdelaR

Estadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 5. Estimación. Facultad de Ciencias Sociales, UdelaR Estadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 5. Estimación Facultad de Ciencias Sociales, UdelaR Índice 1. Repaso: estimadores y estimaciones. Propiedades de los estimadores. 2. Estimación puntual.

Más detalles

La distribución normal

La distribución normal La Distribución Normal Es una distribución continua que posee, entre otras, las propiedades siguientes: Su representación gráfica tiene forma de campana ( campana de Gauss ) -6-4 -2 0 2 4 6 2 4 6 8 10

Más detalles

478 Índice alfabético

478 Índice alfabético Índice alfabético Símbolos A, suceso contrario de A, 187 A B, diferencia de los sucesos A y B, 188 A/B, suceso A condicionado por el suceso B, 194 A B, intersección de los sucesos A y B, 188 A B, unión

Más detalles

Distribución Chi (o Ji) cuadrada (χ( 2 )

Distribución Chi (o Ji) cuadrada (χ( 2 ) Distribución Chi (o Ji) cuadrada (χ( 2 ) PEARSON, KARL. On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably

Más detalles

Estadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 2. Modelos de probabilidad

Estadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 2. Modelos de probabilidad Estadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 2. Modelos de probabilidad Facultad de Ciencias Sociales Universidad de la República Curso 2016 Índice 2.1. Variables aleatorias: funciones de distribución,

Más detalles

Estadística. Tema 2. Variables Aleatorias Funciones de distribución y probabilidad Ejemplos distribuciones discretas y continuas

Estadística. Tema 2. Variables Aleatorias Funciones de distribución y probabilidad Ejemplos distribuciones discretas y continuas Estadística Tema 2 Variables Aleatorias 21 Funciones de distribución y probabilidad 22 Ejemplos distribuciones discretas y continuas 23 Distribuciones conjuntas y marginales 24 Ejemplos distribuciones

Más detalles

Probabilidad y Estadística

Probabilidad y Estadística Probabilidad y Estadística Grado en Ingeniería Informática Tema 3 Variables aleatorias Javier Cárcamo Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid javier.carcamo@uam.es Javier Cárcamo PREST.

Más detalles

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE LA CALIDAD

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE LA CALIDAD MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE LA CALIDAD 1 Parte I: Diseño de experimentos Parte II: Control estadístico de procesos Parte III: Control de productos terminados Diseño Producción Producto final

Más detalles

Preparación de los datos de entrada

Preparación de los datos de entrada Preparación de los datos de entrada Clase nro. 6 CURSO 2010 Objetivo Modelado de las características estocásticas de los sistemas. Variables aleatorias con su distribución de probabilidad. Por ejemplo:

Más detalles

Variables Aleatorias Discretas

Variables Aleatorias Discretas Profesor Alberto Alvaradejo Ojeda 9 de septiembre de 2015 Índice 1. Variable aleatoria 3 1.1. Discretas...................................... 3 1.2. Continuas..................................... 3 1.3.

Más detalles

Tema 4: Variables Aleatorias

Tema 4: Variables Aleatorias Tema 4: Variables Aleatorias Estadística. 4 o Curso. Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Variables Aleatorias Curso 2009-2010 1 / 10 Índice 1 Concepto

Más detalles

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

DISTRIBUCIÓN DE POISSON DISTRIBUCIÓN DE POISSON P O I S S O N Siméon Denis Poisson, (1781-1840), astronauta francés, alumno de Laplace y Lagrange, en Recherchés sur la probabilité des jugements..., un trabajo importante en probabilidad

Más detalles

Unidad Temática 3 UT3-1: Variable Aleatoria

Unidad Temática 3 UT3-1: Variable Aleatoria Autoevaluación UT3 Unidad Temática 3 UT3-1: Variable Aleatoria Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.

Más detalles

Fundamentos de Estadística y Simulación Básica

Fundamentos de Estadística y Simulación Básica Fundamentos de Estadística y Simulación Básica TEMA 4 Distribución de Probabilidades Distribución de Probabilidades Distribución de Probabilidades Variables Aleatorias: Discreta y Continua Función Densidad

Más detalles

Curso: 2º Grupo: B Día: 18 - IV CURSO

Curso: 2º Grupo: B Día: 18 - IV CURSO 3ª EVALUACIÓN Curso: º Grupo: B Día: 18 - IV - 008 CURSO 007-08 EJERCICIO 1 (1.75 puntos) Sea la población {1, 5, 7}. Escriba todas las muestras de tamaño, mediante muestreo aleatorio simple, y calcule

Más detalles

EJERCICIOS DE DISTRIBUCION NORMAL, BINOMIAL Y POISSON

EJERCICIOS DE DISTRIBUCION NORMAL, BINOMIAL Y POISSON EJERCICIOS DE DISTRIBUCION NORMAL, BINOMIAL Y POISSON 1. Si 15 de 50 proyectos de viviendas violan el código de construcción, Cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente

Más detalles

Unidad IV. Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una función continua.

Unidad IV. Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una función continua. Unidad IV Distribuciones de Probabilidad Continuas 4.1. Definición de variable aleatoria continúa. Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una función continua. En la práctica,

Más detalles

Tema 4. MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETOS.

Tema 4. MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETOS. Estadística Tema 4 Curso /7 Tema 4. MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETOS. Objetivos Conceptos: Conocer los siguientes modelos discretos de probabilidad: uniforme, binomial, geométrico y Poisson. De cada

Más detalles

Gráficas de funciones de masa de probabilidad y de función de densidad de probabilidad de Distribuciones especiales. x n

Gráficas de funciones de masa de probabilidad y de función de densidad de probabilidad de Distribuciones especiales. x n Gráficas de funciones de masa de probabilidad y de función de densidad de probabilidad de Distribuciones especiales 1. Función de distribución binomial: Si X distribuye bin ( n, p), entonces f n x x n

Más detalles

Distribuciones unidimensionales continuas

Distribuciones unidimensionales continuas Estadística II Universidad de Salamanca Curso 2011/2012 Outline 1 Distribución uniforme continua 2 Estándar 3 Distribución χ 2 de Pearson 4 Distribución uniforme continua Definición Es una variable continua

Más detalles

Variables Aleatorias. Introducción

Variables Aleatorias. Introducción Variables Aleatorias Introducción Concepto de variable aleatoria Es conveniente que los resultados de un experimento aleatorio estén expresados numéricamente. Se prueban tres componentes electrónicos,

Más detalles

3 ANALISIS DESCRIPTIVO DE LOS DATOS

3 ANALISIS DESCRIPTIVO DE LOS DATOS 3 ANALISIS DESCRIPTIVO DE LOS DATOS 3.1 La tabulación de los datos 3.1.1 Tabla de distribución de frecuencias. 3.1.2 El histograma. 3.2 Medidas de tendencia central 3.2.1 La media. 3.2.2 La mediana. 3.2.3

Más detalles

Tema 1: Distribuciones en el muestreo

Tema 1: Distribuciones en el muestreo Tema 1: Distribuciones en el muestreo 1 (transparencias de A. Jach http://www.est.uc3m.es/ajach/) Muestras aleatorias Estadísticos Concepto de distribución muestral Media muestral Distribución muestral

Más detalles

Condiciones para una distribución binomial

Condiciones para una distribución binomial ESTADÍSTICA INFERENCIAL FUNCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS: BINOMIAL y POISSON EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL USANDO TABLAS y EXCEL Prof.: MSc. Julio R. Vargas A. Fórmulas de

Más detalles