Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas. c) Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial.

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1 Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas Distribución Continuas: a) Distribución Uniforme b) Distribución de Exponencial c) Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial. d) Distribución Normal

2 Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas Distribuciones Discretas: (REPASO) a) Distribución de Bernoulli b) Distribución de Binomial c) Distribución de Poisson d) Aproximación de la Distribución Binomial por la Distribución de Poisson

3 Distribución Binomial X es una variable aleatoria con distribución binomial si su distribución de probabilidades esta dada por: n k nk P X k p 1 p k 0,1,, n k donde 0<p<1 (p constante) y n es un número entero positivo. Características: Mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Esperanza: E X np Varianza: 1 Var X np p

4 Forma de la Distribución Binomial Simétrica Si p=0.5 la distribución binomial será simétrica independientemente del tamaño de la muestra.

5 Forma de la Distribución Binomial Sesgada a derecha Si p0 la distribución binomial tendrá un sesgo hacia la derecha.

6 Forma de la Distribución Binomial Sesgada a izquierda Si p1 la distribución binomial tendrá un sesgo hacia la izquierda.

7 Distribución de Hipergeométrica Definición: Se dice que X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros N, n y k, si su distribución de probabilidades está dada por: P( X k) E( X) np N n V( x) np1p N 1 AN - A k n - k N n Donde: n: Tamaño de la muestra. N: Tamaño de la población A: número de éxitos en la población. N-A: número de fracasos en la población. K: número de éxitos en la muestra.

8 Distribución de Poisson X es una variable aleatoria con distribución de Poisson si su distribución de probabilidades está dada por: donde k e 0,1,2,,, P X k k n 0 k! representa el número promedio de eventos por unidad. Principales características numéricas: Esperanza Varianza E X Var X

9 Forma de la Distribución de Poisson El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

10 Distribución de Poisson Consideremos : El número de pacientes que ingresan en un día por urgencias en un hospital. El número de denuncias que se presentan diariamente en un juzgado. El número de coches que circulan por una rotonda en el lapso de una hora. Las v.a. definidas en los ejemplos anteriores comparten las siguientes características: Todas ellas se refieren a contar el número de veces que un determinado suceso ocurre en un periodo de tiempo determinado. La probabilidad de que dicho suceso ocurra es la misma a lo largo del tiempo. (si la unidad de tiempo es un día, la probabilidad de que el suceso en cuestión ocurra es la misma para hoy, para mañana, etc.) El número de sucesos que ocurren en una unidad de tiempo es independiente del número de sucesos que ocurren durante cualquier otra unidad.

11 Distribución de Poisson Sea X una variable aleatoria que cuenta el número de veces que un determinado suceso ocurre en una unidad (normalmente de tiempo o de espacio). Si verifica que : 1) La probabilidad de que el suceso estudiado se produzca en la unidad es constante a lo largo del tiempo. 2) El número de veces que ocurre un suceso durante la unidad considerada es independiente del número de veces que ocurre dicho suceso en otra unidad. 3) Si se considera una unidad inferior (superior), la probabilidad de que ocurra un determinado número de sucesos se reduce (aumenta) proporcionalmente. Entonces X es una v.a. que sigue una distribución de POISSON.

12 Distribución de Poisson El sistema de estacionamiento medido impulsado por la municipalidad de Gral. Pueyrredon está 100% informatizado. Esto permitió modelar el número de infracciones mediante un modelo de Poisson con una tasa de cinco infracciones por hora. a) Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro infracciones se expidan durante una hora en particular? Solución: X: número de infracciones en 1 hora. X P, 5

13 Distribución de Poisson El sistema de estacionamiento medido impulsado por la municipalidad de Gral. Pueyrredon está 100% informatizado. Esto permitió modelar el número de infracciones mediante un modelo de Poisson con una tasa de cinco infracciones por hora. a) Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro infracciones se expidan durante una hora en particular? Solución: X: número de infracciones en 1 hora. X P, e.5 P X !

14 Distribución de Poisson El sistema de estacionamiento medido impulsado por la municipalidad de Gral. Pueyrredon está 100% informatizado. Esto permitió modelar el número de infracciones mediante un modelo de Poisson con una tasa de cinco infracciones por hora. a) Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro infracciones se expidan durante una hora en particular? Solución: X: número de infracciones en 1 hora. X P, e.5 P X ! b) Cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro se expidan durante una hora en particular? Solución: X : número de infracciones en 1 hora. X P, 5

15 Distribución de Poisson El sistema de estacionamiento medido impulsado por la municipalidad de Gral. Pueyrredon está 100% informatizado. Esto permitió modelar el número de infracciones mediante un modelo de Poisson con una tasa de cinco infracciones por hora. a) Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro infracciones se expidan durante una hora en particular? Solución: X: número de infracciones en 1 hora. X P, e.5 P X ! b) Cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro se expidan durante una hora en particular? Solución: X : número de infracciones en 1 hora. X P, P X P X P X P X P X e.5 e.5 e.5 e.5 P X ! 1! 2! 3!

16 c) Cuántas infracciones se espera expedir durante un período de 45 minutos? Solución: Y: número de infracciones en 45 minutos EY 3.75 Y P

17 La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución Binomial Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente con parámetros n y p. Esto es: n k nk P X k p 1 p k 0,1, 2,3, 4,, n k Cuando n y p 0 de manera tal que np tenemos que: n k nk P X k p 1 p k k e k!

18 Haciendo coincidir los valores medios de ambas distribuciones. Tenemos: np

19 Conclusión Gráficamente podemos concluir que a medida que n aumentamos y p disminuye, la distribución de Poisson se aproxima a la distribución Binomial.

20 La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución Binomial n ; 0 y np n P X k n k 1 k n n n k k! n k! n n 1 n k 1 n k! 1 1 n n n k n k k k n n 1 n k 1 k 1 1 k! n n n k k 1 k k! n n n n k k n 1 k 1 k e lim n k! n n n n k! n n

21 La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución Binomial El teorema anterior nos dice que podemos aproximar las probabilidades binomiales con las probabilidades de la distribución de Poisson siempre que n sea grande y p pequeño. En la práctica esto es para n mayor o igual que 50, si np es menor o igual que 5.

22 La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución Binomial X ~ B(n,p) El número esperado de éxitos en n pruebas independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia está dada por: E X np X ~ P ( α ) Está caracterizada por un único valor. El cual representa el número promedio de eventos por unidad: E X Veamos que sucede si ajustamos ambas variables aleatorias haciendo coincidir sus valores esperados. Es decir: np

23 Ejemplo de aplicación Una máquina envasadora daña una pieza de cada que envasa. Las piezas envasadas se comercializan en lotes de Cuál es la probabilidad de que un lote tenga a lo sumo 2 elementos defectuosos? Sea X = cantidad de piezas defectuosas X B40000, P X P X P X P X Aproximación por Poisson. X = cantidad de piezas defectuosas. n p 0 np 4 X P 4 4 e 4 e 4 e P X 2 P X 0 P X 1 P X 2 0! 1! 2!

24 Gráficamente La función solamente está definida en valores enteros de k. La línea continua sólo es una guías para el ojo y no indican continuidad.

25 Distribución de Uniforme Se dice que la variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo [a,b] si su función de densidad de probabilidades (f.d.p) está dada por: 1 f( x) b- a 0 si a x b en otro caso Esperanza Varianza E X V X b a 2 b a 2 12

26 Distribución de Uniforme Si X es una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [a,b] su función de distribución acumulativa (FDA) está dada por: 0 si x < a x a F(x)= si a x b b a 1 si x > b

27 Distribución de Uniforme fdp F(x) FDA f(x) 1 b a 1 a b x a b x

28 Distribución de Uniforme Los trenes de cierta línea de subterráneos corren cada media hora entre la medianoche y las seis de la mañana. Cuál es la probabilidad de que un hombre que entra a la estación a una hora al azar, durante ese período tenga que esperar por lo menos 20 minutos? X: tiempo, en minutos, hasta el siguiente tren. U[0;30] 1 si 0 x 30 f(x)= 30 0 en otro caso La probabilidad sólo depende de la longitud del intervalo y no de la ubicación del mismo.

29 Distribución de Exponencial Se dice que X, que toma todos los valores no negativos, tiene una distribución exponencial, con parámetro 0, si su fdp está dada por: - x e si x 0 f(x) 0 si x < (en la distribución de Poisson)

30 Distribución de Exponencial Esta distribución: suele ser el modelo de aquellos fenómenos aleatorios que miden el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos. Demostrar las características numéricas de la función exponencial: 1 1 Ex ( ) V(x)= 2

31 Distribución de Exponencial Sea X una v.a distribuida exponencialmente, con parámetro función de distribución acumulativa (FDA) está dada por: 0, su La FDA está dada por: F(x) x 1 e si x 0 0 si x<0 F(x) 1 x

32 Distribución de Exponencial El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente, es decir, el tiempo en horas de duración hasta la primera falla, se distribuye de manera exponencial con una vida media de 360 hs. Cuál es la probabilidad de que un dispositivo funcione eficazmente: a) Menos de 180 hs? b) Más de 720 hs? T: El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente Usamos la FDA: ET ( ) Ft () t 1 e si t 0 0 si t < a) P(T<180)= F(180)=1-e

33 Distribución de Exponencial El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente, es decir, el tiempo en horas de duración hasta la primera falla, se distribuye de manera exponencial con una vida media de 360 hs. Cuál es la probabilidad de que un dispositivo funcione eficazmente: a) Menos de 180 hs? b) Más de 720 hs? T: El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente Usamos la FDA: ET ( ) Ft () t 1 e si t 0 0 si t < b) P(T>720)=1-P(T 720)=1-F(720)=1-1 e e 0,1353

34 Propiedad fundamental de la Distribuciones Exponencial La distribución exponencial no tiene memoria : P( x< s + t / x> s ) = P( x< t ) La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando. P( s x s t) F( s t) F( s) P( x s t / x s) P( x s) 1 F( s) ( st) s as t s s t 1 e 1 e e e e e ( e 1) s s s 1 (1 e ) e e t 1 e F( t) P( x t)

35 Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial La v.a X que es igual a la distancia entre conteos sucesivos de un proceso de Poisson con media 0 tiene una distribución exponencial con parámetro : 0

36 Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial Sea X el número de partículas emitidas por una fuente radioactiva. Si se sabe que el número esperado de demisiones en una hora es de 30 partículas: Cuál es la probabilidad de que sean emitidas al menos 2 partículas en un lapso de 1 minuto? Solución/ X : nº de partìculas en 1min k. e P( X k) k! P ( X 2)01 P ( X 2) 1 P ( X 0) P ( X ,91 0,09

37 Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial Sea X el número de partículas emitidas por una fuente radioactiva. Si se sabe que el número esperado de demisiones en una hora es de 30 partículas: Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre emisiones sucesivas sea mayor a 3 minutos? Solución/ T : tiempo (min) hasta que ocurre la prox emision, 30.3 Y : partìculas emitidas en 3min, (1.5). e P( T 3) P( Y 0) !

38 Distribución de Normal Pierre Simon de Laplace ( ) Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de Laplace - Gauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relación con la teoría de los errores de observación astronómica y física. Karl F. Gauss ( )

39 Distribución Normal 1) Numerosos fenómenos pueden aproximarse mediante esta distribución: a) Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...). b) Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen,... c) Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco. d) Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. e) En general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores 2) Se usa para aproximar distribuciones de variables discretas. 3) Proporciona la base de la inferencia estadística por su relación con el teorema del límite central.

40 Distribución Normal Se dice que X que toma todos los valores reales, tiene una distribución normal, si su fdp está dada por: 1x 2 1 f(x) e con - < x < 2 2 La función depende de únicamente de dos parámetros, μ y σ, su media y desviación estándar, respectivamente. Una vez que se especifican μ y σ, la curva normal queda determinada por completo. E( x) y V( x) 2

41 Distribución Normal: Principales Características: 1.La función tiene un máximo en x =. 2.La curva es simétrica alrededor del eje vertical x=μ, donde coinciden la mediana (Me) y la moda (Mo ). 3.Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores en x=μ ± σ, es cóncava hacia abajo si μ-σ<x< μ+σ, y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto. 4.La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección, es decir Para x tendiendo a, el límite f(x) =0. 5.El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1. 6.Los parámetros μ y σ son realmente la media y la desviación estándar de la distribución normal.

42 Distribución Normal: Principales Características: Puntos de inflexión - =Mo=Me + +

43 Distribución normal con =0 para varios valores p(x)

44 Distribución normal con distintas medias y dispersión

45 N(μ, σ): Interpretación geométrica La media se puede interpretar como un factor de traslación. Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión,

46 Estandarización de la Distribución Normal Dada la dificultad que se encuentra al resolver las integrales de una funciones densidades de probabilidades asociada a una v.a. normal, es necesario contar con una tabulación de las áreas de la curva normal para una referencia rápida. Sin embargo, sería una tarea difícil intentar establecer tablas separadas para cada valor de μ y σ. Afortunadamente, podemos transformar todas las observaciones de cualquier v.a. normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una variable normal Z con media 0 y desviación estándar 1. x Si X N, Z=, Z N 0,1 2

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48 Estandarización de la Distribución Normal Sea X una v.a está dada por: X N 0,1 su función de distribución acumulativa (FDA) t 1 z 2 P Z z z e dt 2 2 P(Z<z)

49 Estandarización de la Distribución Normal x Si X N, y Z= N 0,1 2 Z Pa x b P a x b P a Z b b a

50 Cálculo de la probabilidad de desviación prefijada. P x Si X N, 2 x x x P P P

51 Regla de las tres sigmas Es un caso particular de desviación prefijada. x x x Si = 3 P 3 P 3 3 P ,9974 Esto significa que el suceso x 3 Es prácticamente un suceso cierto, o que el suceso contrario es poco probable y puede considerarse prácticamente imposible.

52 Regla de las tres sigmas: Su esencia. Si una variable aleatoria está distribuida normalmente, entonces la desviación respecto de la esperanza matemática, en valor absoluto, no es mayor que el triple de la dispersión. En la práctica se aplica así: si la distribución de una variable no se conoce, pero se cumple la condición x 3 Se puede suponer que dicha variable está distribuida normalmente.

53 P x 0,6827 P x 2 0,9545 P x 3 0,9974

54 Para ilustrar el uso de las Tablas, calculemos la probabilidad de que Z sea menor que Primero localizamos un valor de z igual a 1.6 en la primera columna (izquierda), después nos movemos a lo largo de la fila hasta encontrar la columna correspondiente a 0.04, donde leemos Por lo tanto P(Z<1.64)=

55 Para encontrar un valor de z que corresponda a una probabilidad dada, el proceso se invierte. Po ejemplo, el valor de z que deja un área de 0.9 bajo la curva a la izquierda de z es de 1.28.

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