Péndulo de torsión y momentos de inercia

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1 Prácticas de Física Péndulo de torsión y momentos de inercia 1 Objetivos Curso 2009/10 Determinar la constante de un muelle espiral Determinar el momento de inercia de varios sólidos rígidos Comprobar la utilidad del teorema de Steiner 2 Material Tripode son soporte Muelle espiral Barrera fotoeléctrica Disco metálico con orificios Barra con pesas Disco de plástico Cilindro Macizo Esfera Cilindro hueco 3 Fundamento teórico 3.1 Péndulo de torsión En la figura se muestra un péndulo de torsión, que está formado por un objeto suspendido de un hilo que por el otro extremo está unido a un punto fijo. Un muelle espiral colocado de forma horizontal también se puede considerar como un péndulo de torsión. Cuando el hilo o el muelle se giran un ángulo θ, ejercen un momento que tiende a devolver el objeto a su posición inicial. Ese momento suele ser de la forma: τ z = kθ (1) donde el eje de giro se representa por z, τ z es la componente del momento sobre el eje de giro y k se denomina constante de torsión y depende de las propiedades elásticas del hilo o del muelle. 1

2 k I θ La segunda ley de Newton para la rotación, aplicada a un cuerpo rígido con simetría de revolución y de momento de inercia I, se puede expresar así: τ z = I d2 θ dt 2 (2) con lo que sustituyendo τ z resulta la siguiente ecuación diferencial: I d2 θ + kθ = 0 (3) dt2 Es sencillo comprobar que la solución de esta ecuación es de la forma: θ(t) = θ 0 cos(ωt + δ) (4) que representa un movimiento armónico simple de frecuencia y periodo: ω = ( ) 1/2 k ; T = 2π ( ) I 1/2 I ω = 2π (5) k A diferencia del péndulo simple, en este caso no se ha necesitado en ningún momento suponer que el ángulo θ sea suficientemente pequeño para que la ecuación diferencial sea lineal. Es decir, en el caso del péndulo de torsión, siempre que el momento sea proporcional al ángulo girado, el sistema describe un movimiento armónico simple. 2

3 3.2 Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos) El momento de inercia de un sólido rígido no es una propiedad intrínseca del cuerpo sino que depende del eje de giro respecto al que se calcule. Por esta razón en muchas ocasiones es útil conocer las ecuaciones que relacionan el momento de inercia respecto a un eje con el momento respecto a otro diferente. Uno de los teoremas más utilizados en estas situaciones es el denominado teorema de los ejes paralelos o de Steiner, que relaciona el momento de inercia respecto a un eje cualquiera con el momento relativo a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas del objeto. y y' y dm y cm z O r d x r' c.m. x cm x x' Consideremos un sólido rígido arbitrario de masa M, que tiene un momento de inercia I respecto a un eje que pasa por el punto O y, como se muestra en la figura, es perpendicular al plano del papel. Por definición de momento de inercia: I = (x r 2 dm = 2 + y 2) dm (6) Si consideramos ahora el momento de inercia del objeto en relación a un eje de giro paralelo al anterior y que pasa por su centro de masas, I cm, su definición se expresaría así: I cm = (x r 2 dm = 2 + y 2 ) dm (7) 3

4 donde ahora las coordenadas están referidas a un sistema de referencia con origen en el centro de masas y cuyos ejes son paralelos a los ejes x e y. La relación entre los vectores de posición de un elemento infinitesimal de masa cualquiera, dm, vendrá dada por: r = r d, donde d es el vector que une los orígenes de los dos sistemas de referencia. En coordenadas: x 2 = x 2 + d 2 x + 2x d x ; y 2 = y 2 + d 2 y + 2y d y (8) Sustituyendo en la ecuación de I y agrupando términos: (x I = 2 + y 2 ) dm + (d ) 2 x + d 2 y dm + 2 (x d x + y d y ) dm (9) De esta suma, el primer sumando representa I cm, en el segundo d x y d y son constantes y resulta ser d 2 M y el tercero representa las coordenadas del centro de masas en el sistema de referencia x, y, que es precisamente el sistema de centro de masas, o sea, que es nulo. Por lo tanto: I = I cm + M d 2 (10) Este resultado se conoce con el nombre de teorema de Steiner y relaciona los momentos de inercia relativos a dos ejes paralelos siempre que uno de ellos pase por el centro de masas del objeto. d simplemente es la distancia entre los dos ejes. 4 Realización práctica y resultados a obtener 4.1 Medida de la constante del muelle La constante del muelle espiral se puede determinar utilizando las ecuaciones (5) y (10). Sustituyendo una en otra: T 2 = 4π2 k ( Icm + M d 2) (11) A partir de esta ecuación se pueden obtener k e I cm sin más que medir la dependencia del periodo con la distancia del centro de masas al eje de giro. 1. Colóquese sobre el muelle el disco metálico con orificios y determínese el periodo de la oscilación para varias distancias del eje de giro al centro de masas (al menos 5). 4

5 2. Construye una tabla con la función T = T (d). 3. A partir de la tabla represéntese gráficamente T 2 frente a d 2 y por medio de un ajuste por mínimos cuadrados determínese la constante del muelle, k (utiliza las masas que aparecen en la tabla adjunta) en unidades del Sistema Internacional e I cm. Advertencia: siempre se midan periodos con la barrera fotoeléctrica, repite 6 veces la medida, 3 girando el muelle hacia la derecha y otras 3 hacia la izquierda. Toma luego como periodo la media aritmética de las 6 medidas! 4.2 Cálculo de momentos de inercia El momento de inercia se puede determinar a partir del periodo haciendo uso de la ecuación (5). 1. Determínese el periodo para todos los objetos mencionados en el apartado Material, midiendo para cada uno de ellos el periodo 6 veces (3 hacia cada lado) y tomando como valor más probable el valor medio. Téngase en cuenta que para la barra con pesas, I = I barra + 2Md 2, donde M es la masa de cada pesa y d la distancia entre ellas y el eje. 2. Una vez calculado T para cada uno de los objetos proporcionados, obténgase el momento de inercia y compárese con los momentos teóricos de dichos cuerpos, considerando los datos de la tabla adjunta. Calcúlense los errores absolutos y relativos de los momentos de inercia. 5 Cuestiones 1. Demuestra que la ecuación (4) junto con los valores de ω y T de la ecuación (5) representa, efectivamente, una solución de la ecuación diferencial (3). 5

6 masa (kg) dimensiones (m) Esfera r=0.07 Cilindro hueco r i = 0.046, r e = Cilindro macizo r= Disco de plástico r=0.11 Disco metálico (con orificios) r=0.15 Barra metálica l=0.6 Pesas (cada una) Explica detalladamente cada uno de los términos de la ecuación (9). A través de qué punto de un cuerpo debe pasar el eje de rotación para que su momento de inercia sea mínimo? 3. Calcula el momento de inercia de un sistema formado por cuatro masas puntuales iguales distribuidas en los vértices de un rectángulo de lados a y b respecto a un eje que coincide con la diagonal del rectángulo. 6

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