Límites. Regla de L'Hôpital

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1 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha Límites. Regla de L'Hôpital. Calcular tg 8 sec + (Septiembre 999) tg 8 sec + da lugar a una indeterminación del tipo. Llamemos f () = tg 8 y g() = sec + = +. Entonces f y g son derivables en su domino de definición (en particular en y en un entorno suyo): f '() sen = sec = y g '() = ( sen ) = De este modo, f '() g '() = sen = sen = sen = Al ser f y g son derivables en un entorno de podemos aplicar la regla de L'Hôpital y se tiene que f () f '() g() = g '() tg 8 = sec + sen. Calcular tg sen (Septiembre ) sen tg sen es una indeterminación del tipo. Llamemos f () sen = y g() = tg sen. Entonces f y g son derivables en su domino de definición (en particular en y en un entorno suyo): f '() = y g '() = sec = = Límites. Regla de L'Hôpital

2 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha f '() ( ) = = g '() (), que vuelve a ser una indeterminación del tipo. Llamemos = z. Entonces = z. Pero, aplicando la regla de Ruffini, z = z + = (z )( z z ) = ( z)(z + z + ). se tiene que = ( )( + + ). Luego la epresión () es igual a ( ) = =. ( )( + + ) + + Como f y g son derivables en un entorno de podemos aplicar la regla de L'Hôpital y se f () f '() sen tiene que = = g() g '() tg sen Se puede aplicar otra vez la regla de L'Hôpital pues la derivada de f(), f '() = ( ) =, y la derivada de g(), vuelven a ser derivables en un entorno de : f ''() = ( sen ) ( sen ) = sen ( ) g ''() = ( sen ) = sen g '() =, Entonces f ''() sen ( ) = = = = g ''() sen f () f '() f ''() sen = = = g() g '() g ''() tg sen. Calcula ( e ) (Junio ) = ( e ) [Indeterminación del tipo ]. Procediendo como en los dos ejercicios anteriores, aplicamos la regla de L'Hôpital, pues tanto f () = como ( ) g() = e son funciones derivable en todo : Límites. Regla de L'Hôpital

3 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha f '() ( sen ) sen = =, que vuelve a ser una indeterminación del g '() (e )e (e e ) tipo. Aplicamos pues la regla de L'Hôpital a f '() y a g'(), que son también derivables f ''() en todo : = = = g ''() (e e ) ( ) 6 f () f '() f ''() = = g() g '() g ''() = 6 ( e ) 4( ln( + )) 4. Enuncia la regla de L'Hôpital y calcula el siguiente límite: ln( + ) (Septiembre ) Regla de L'Hôpital Si f y g son funciones continuas y derivables en un intervalo abierto que contiene a un punto o verificando: a) f () = g() = o o b) g '() en cualquier o del intervalo c) Eiste f '() g '() o Entonces eiste f () g() o y f () f '() = g() g '() o o 4( ln( + )) [Indeterminación del tipo ln( + ) ]. Tanto f () 4( ln( )) = + como g() = ln( + ) son funciones derivables en sus respectivos dominios de definición (que en ambos casos es (, + ), pues el logaritmo está definido para todo > ), en particular son derivables en un entorno de cero. Aplicando la regla de L'Hôpital tendremos que f () f '() =. g() g '() 4 f '() = 4 = 4 = ( + ) ln( + ) + g '() = ln( + ) + = + + Límites. Regla de L'Hôpital

4 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha 4 f '() 4 = + =, que vuelve a ser g '() ( + ) ln( + ) + ( + )ln( + ) + + una indeterminación del tipo. Aplicamos ahora la regla de L'Hôpital a las funciones f '() y g'(), pues estas vuelven a ser derivables en un entorno de cero, con lo que f () f '() f ''() = =. g() g '() g ''() f ''() = 4 g ''() = ln( + ) + ( + ) + = ln( + ) + + f ''() 4 4 = = = g ''() ln( + ) + + Así: 4( ln( + )) = ln( + ) 5. Enuncia la regla de L'Hôpital. Calcula el siguiente límite: (L = logaritmo neperiano) L( + ) (Junio ) El enunciado de la regla de L'Hôpital se encuentra en el ejercicio anterior. L( + ) es una indeterminación del tipo. Operando tenemos L( + ) =, que es una indeterminación del tipo L( + ) L( + ). Llamemos f () = L( + ) y g() = L( + ), que son funciones derivables en sus respectivos dominios de definición (en ambos casos es (, + ), pues el logaritmo está definido para todo > ), y en particular son derivables en un entorno de cero. Aplicando la regla de f () f '() L'Hôpital tendremos que =. g() g '() f '() = = + +, ( + ) L( + ) + g '() = L( + ) + = + + Límites. Regla de L'Hôpital 4

5 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha f '() = + =, que vuelve a g '() ( + ) L( + ) + ( + ) L(+ ) + + ser una indeterminación del tipo. Aplicamos ahora la regla de L'Hôpital a las funciones f '() y g'(), pues estas vuelven a ser derivables en un entorno de cero, con lo que f () f '() f ''() = =. g() g '() g ''() f ''() = g ''() = L( + ) + ( + ) + = L( + ) + + f ''() = = = g ''() L( + ) + + Así: 4( ln( + )) = ln( + ) sen 6. Enuncia la regla de L'Hôpital. Resuelve el límite siguiente: tg sen (Junio 5) El enunciado de la regla de L'Hôpital se encuentra en el ejercicio 4. sen [Indeterminación del tipo tg sen ]. Tanto f () sen = como g() = tg sen son funciones derivables en sus respectivos dominios de definición (f es derivable en todo y g es derivable en {/+k, k }), en particular son derivables en un entorno de cero. Aplicando la regla de L'Hôpital tendremos que f () f '() =. g() g '() f '() =, g '() = sec = = f '() = = g '(), que vuelve a ser una indeterminación del tipo. Aplicamos ahora la regla de L'Hôpital a las funciones f '() y g'(), pues estas son también derivables en un entorno de cero, con lo que f () f '() f ''() = =. g() g '() g ''() Límites. Regla de L'Hôpital 5

6 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha f ''() = ( sen ) ( sen ) = sen sen g ''() = ( sen ) = sen Así: f ''() sen sen = = + = + = g ''() sen sen = tg sen 7. Calcula los siguientes límites: a) ; b) + (Junio 8) a) [Indeterminación del tipo ]. Tanto f () = como g() = son funciones derivables en todo, en particular son derivables en un f () f '() entorno de cero. Aplicando la regla de L'Hôpital tendremos que =. g() g '() f '() = 6 + 7, g '() = f '() = = 7 g '() = 7 b) + da lugar a una indeterminación del tipo. Supongamos que + = L, entonces ln ln L + = (el logaritmo neperiano es una función continua, por tanto el logaritmo del límite coincide con el límite del logaritmo). Entonces ln + = ln + = ln + =, que es una indeterminación del tipo. Las funciones f () ln = + y g() = son derivables en todo Límites. Regla de L'Hôpital 6

7 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha, en particular lo son en un entorno de y podemos aplicar la regla de L'Hôpital: sen sen f '() = sen = = + + Entonces: ; g '() = sen. sen f '() sen = = = = =. g '() sen sen( ) f () f '() = g() g '() ln + =. De este modo, ln L L e = = y entonces e + = Límites. Regla de L'Hôpital 7

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