Límites. Regla de L'Hôpital
|
|
- Ricardo Fidalgo Paz
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha Límites. Regla de L'Hôpital. Calcular tg 8 sec + (Septiembre 999) tg 8 sec + da lugar a una indeterminación del tipo. Llamemos f () = tg 8 y g() = sec + = +. Entonces f y g son derivables en su domino de definición (en particular en y en un entorno suyo): f '() sen = sec = y g '() = ( sen ) = De este modo, f '() g '() = sen = sen = sen = Al ser f y g son derivables en un entorno de podemos aplicar la regla de L'Hôpital y se tiene que f () f '() g() = g '() tg 8 = sec + sen. Calcular tg sen (Septiembre ) sen tg sen es una indeterminación del tipo. Llamemos f () sen = y g() = tg sen. Entonces f y g son derivables en su domino de definición (en particular en y en un entorno suyo): f '() = y g '() = sec = = Límites. Regla de L'Hôpital
2 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha f '() ( ) = = g '() (), que vuelve a ser una indeterminación del tipo. Llamemos = z. Entonces = z. Pero, aplicando la regla de Ruffini, z = z + = (z )( z z ) = ( z)(z + z + ). se tiene que = ( )( + + ). Luego la epresión () es igual a ( ) = =. ( )( + + ) + + Como f y g son derivables en un entorno de podemos aplicar la regla de L'Hôpital y se f () f '() sen tiene que = = g() g '() tg sen Se puede aplicar otra vez la regla de L'Hôpital pues la derivada de f(), f '() = ( ) =, y la derivada de g(), vuelven a ser derivables en un entorno de : f ''() = ( sen ) ( sen ) = sen ( ) g ''() = ( sen ) = sen g '() =, Entonces f ''() sen ( ) = = = = g ''() sen f () f '() f ''() sen = = = g() g '() g ''() tg sen. Calcula ( e ) (Junio ) = ( e ) [Indeterminación del tipo ]. Procediendo como en los dos ejercicios anteriores, aplicamos la regla de L'Hôpital, pues tanto f () = como ( ) g() = e son funciones derivable en todo : Límites. Regla de L'Hôpital
3 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha f '() ( sen ) sen = =, que vuelve a ser una indeterminación del g '() (e )e (e e ) tipo. Aplicamos pues la regla de L'Hôpital a f '() y a g'(), que son también derivables f ''() en todo : = = = g ''() (e e ) ( ) 6 f () f '() f ''() = = g() g '() g ''() = 6 ( e ) 4( ln( + )) 4. Enuncia la regla de L'Hôpital y calcula el siguiente límite: ln( + ) (Septiembre ) Regla de L'Hôpital Si f y g son funciones continuas y derivables en un intervalo abierto que contiene a un punto o verificando: a) f () = g() = o o b) g '() en cualquier o del intervalo c) Eiste f '() g '() o Entonces eiste f () g() o y f () f '() = g() g '() o o 4( ln( + )) [Indeterminación del tipo ln( + ) ]. Tanto f () 4( ln( )) = + como g() = ln( + ) son funciones derivables en sus respectivos dominios de definición (que en ambos casos es (, + ), pues el logaritmo está definido para todo > ), en particular son derivables en un entorno de cero. Aplicando la regla de L'Hôpital tendremos que f () f '() =. g() g '() 4 f '() = 4 = 4 = ( + ) ln( + ) + g '() = ln( + ) + = + + Límites. Regla de L'Hôpital
4 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha 4 f '() 4 = + =, que vuelve a ser g '() ( + ) ln( + ) + ( + )ln( + ) + + una indeterminación del tipo. Aplicamos ahora la regla de L'Hôpital a las funciones f '() y g'(), pues estas vuelven a ser derivables en un entorno de cero, con lo que f () f '() f ''() = =. g() g '() g ''() f ''() = 4 g ''() = ln( + ) + ( + ) + = ln( + ) + + f ''() 4 4 = = = g ''() ln( + ) + + Así: 4( ln( + )) = ln( + ) 5. Enuncia la regla de L'Hôpital. Calcula el siguiente límite: (L = logaritmo neperiano) L( + ) (Junio ) El enunciado de la regla de L'Hôpital se encuentra en el ejercicio anterior. L( + ) es una indeterminación del tipo. Operando tenemos L( + ) =, que es una indeterminación del tipo L( + ) L( + ). Llamemos f () = L( + ) y g() = L( + ), que son funciones derivables en sus respectivos dominios de definición (en ambos casos es (, + ), pues el logaritmo está definido para todo > ), y en particular son derivables en un entorno de cero. Aplicando la regla de f () f '() L'Hôpital tendremos que =. g() g '() f '() = = + +, ( + ) L( + ) + g '() = L( + ) + = + + Límites. Regla de L'Hôpital 4
5 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha f '() = + =, que vuelve a g '() ( + ) L( + ) + ( + ) L(+ ) + + ser una indeterminación del tipo. Aplicamos ahora la regla de L'Hôpital a las funciones f '() y g'(), pues estas vuelven a ser derivables en un entorno de cero, con lo que f () f '() f ''() = =. g() g '() g ''() f ''() = g ''() = L( + ) + ( + ) + = L( + ) + + f ''() = = = g ''() L( + ) + + Así: 4( ln( + )) = ln( + ) sen 6. Enuncia la regla de L'Hôpital. Resuelve el límite siguiente: tg sen (Junio 5) El enunciado de la regla de L'Hôpital se encuentra en el ejercicio 4. sen [Indeterminación del tipo tg sen ]. Tanto f () sen = como g() = tg sen son funciones derivables en sus respectivos dominios de definición (f es derivable en todo y g es derivable en {/+k, k }), en particular son derivables en un entorno de cero. Aplicando la regla de L'Hôpital tendremos que f () f '() =. g() g '() f '() =, g '() = sec = = f '() = = g '(), que vuelve a ser una indeterminación del tipo. Aplicamos ahora la regla de L'Hôpital a las funciones f '() y g'(), pues estas son también derivables en un entorno de cero, con lo que f () f '() f ''() = =. g() g '() g ''() Límites. Regla de L'Hôpital 5
6 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha f ''() = ( sen ) ( sen ) = sen sen g ''() = ( sen ) = sen Así: f ''() sen sen = = + = + = g ''() sen sen = tg sen 7. Calcula los siguientes límites: a) ; b) + (Junio 8) a) [Indeterminación del tipo ]. Tanto f () = como g() = son funciones derivables en todo, en particular son derivables en un f () f '() entorno de cero. Aplicando la regla de L'Hôpital tendremos que =. g() g '() f '() = 6 + 7, g '() = f '() = = 7 g '() = 7 b) + da lugar a una indeterminación del tipo. Supongamos que + = L, entonces ln ln L + = (el logaritmo neperiano es una función continua, por tanto el logaritmo del límite coincide con el límite del logaritmo). Entonces ln + = ln + = ln + =, que es una indeterminación del tipo. Las funciones f () ln = + y g() = son derivables en todo Límites. Regla de L'Hôpital 6
7 Matemáticas II Ejercicios resueltos de los eámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha, en particular lo son en un entorno de y podemos aplicar la regla de L'Hôpital: sen sen f '() = sen = = + + Entonces: ; g '() = sen. sen f '() sen = = = = =. g '() sen sen( ) f () f '() = g() g '() ln + =. De este modo, ln L L e = = y entonces e + = Límites. Regla de L'Hôpital 7
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesUNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento
Más detalleslím lím Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en 1: x 1 (3x2 )-lím 8 x 1 =2 x 1 x)2 -lím x 1 8 =
LÍMITES LECCIÓN 7 Índice: Cálculo de ites en un punto. Epresión indeterminada L/0. Epresión indeterminada 0/0. Algunos ites de funciones irracionales. Otras técnicas básicas para el cálculo de ites. Problemas..-
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesDERIVADAS. TVM (a, b) = = h. La tasa de variación media se puede interpretar como la pendiente de la recta AB de la figura siguiente:
Tasa de variación media DERIVADAS La tasa de variación media TVM de una unción ( en un intervalo (x, x se deine como: TVM (a, b ( x ( x x x Si consideramos x x + h, podemos expresar la TVM como: Interpretación
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesCOL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS
DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesFUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales:
FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes
Más detallesDerivadas 6 ACTIVIDADES. 1. Página 140. Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página Página Página
Derivadas 6 ACTIVIDADES 1. Página 140 Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página 140 3. Página 141 4. Página 141 5. Página 142 211 Derivadas 6. Página 142 Las derivadas laterales no existen, por
Más detallesPRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad
PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?
Más detallesProf. J. Contreras S. Prof. C. del Pino O. U de Talca
Sesión 7 Regla de L Hopital Temas Regla de L Hopital. Aplicaciones de la Regla de L Hopital a otras formas indeterminadas. 7. Introducción Johann Bernoulli Suizo. (667-748) Capacidades Conocer y comprender
Más detallesI. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS
Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesTabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x)
Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas Tabla de Derivadas Función Derivada Función Derivada y k y 0 y y y y y f ) y f ) f ) y n y n n y f ) n y n f ) n f ) y y n y y f ) y n n+ y f ) n y f ) f )
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto
Más detalles1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución:
RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD DE ANÁLISIS. I Departamento de Matemáticas 1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función
Más detallesAplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o
DERIVADAS Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3) - f(-1) =
Más detallesInfinito más un número Infinito más infinito. Infinito por infinito. OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito. Productos con infinito
OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito Infinito más un número Infinito más infinito Infinito menos infinito Productos con infinito Infinito por un número Infinito por infinito Infinito por cero Cocientes
Más detallesPAIEP. Regla de L Hôpital
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Regla de L Hôpital Los límites de la forma a f( g( cuando f(a = g(a = 0, pueden evaluarse utilizando el teorema
Más detallesFUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =
Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () 5 5 9 4 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros
Más detallesCálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES
EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES 1. Resolver las inecuaciones: a) 3-8 - 7 b) 6-5 > 1-10 a) Para resolver la inecuación, se pasan los términos con al primer miembro y los independientes al segundo quedando
Más detallesCálculo de Derivadas
Cálculo de Derivadas Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones. Derivada de una constante Derivada de x Derivada de la función lineal Derivada de una potencia Derivada
Más detalles= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x
Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 01 ['5 puntos] Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos.
Más detallesMatemática II Clase Nº 14-15
LA DERIVADA La derivación es una de las operaciones que el Análisis Matemático efectúa con las funciones, permite resolver numerosos problemas de Geometría, Economía, Física otras disciplinas. En matemáticas,
Más detallesx = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)
CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 55 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f ( 5 5 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(, f'( y f'(. f'( 0; f'( ; f'( Di otros tres puntos
Más detallesDOMINIOS DE DEFINICIÓN
DOMINIOS DE DEFINICIÓN DOMINIOS DE DEFINICIÓN [3.1] Obtener el dominio de la función ln( ) Para la eistencia del logaritmo se debe cumplir: 0. Por tanto: Por consiguiente: 0 10 1 0 ( 1) 0 0 1 0 0 D (,0)
Más detallesTEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE
TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]
Más detallesIES DIONISIO AGUADO LA FUNCION LOGARITMO
LA FUNCION LOGARITMO En tu calculadora hay dos teclas que todavía no has usado, son las designadas por y Ln. Si haces 00 el resultado es, si haces 000 el resultado es, si haces el resultado es 0, si haces
Más detallesUnidad II. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en unaconstante.
Unidad II Integral indefinida y métodos de integración. 2.1 Definición de integral indefinida. Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones
Más detallesLA INTEGRAL DEFINIDA Y EL CÁLCULO DE ÁREAS
LA INTEGRAL DEFINIDA 001. Calcula la integral de f() =, en el intervalo [1, ] 00. Calcula 0 ( + ) d LA INTEGRAL DEFINIDA Y EL CÁLCULO DE ÁREAS 01 ACTIVIDAD PROPUESTA Calcula el área limitada por la función
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesDERIVADAS (1) LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Sol: Sol: Sol: Sol: Derivada de una función potencial: Forma simple
DERIVADAS ( Derivada de una constante K K R F ( 0 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. nº nº nº nº 4 nº 5 nº 6 Derivada de una función potencial: Forma simple r r R r. r LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL
Más detallesTEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 1 TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite
Más detalles2.1. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable x)
Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función.. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable ) La forma de comportarse una función para valores muy grandes
Más detalles3.3 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada
SECCIÓN. Funciones crecientes decrecientes el criterio de la primera derivada 79. Funciones crecientes decrecientes el criterio de la primera derivada Determinar los intervalos sobre los cuales una función
Más detallesTEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial
TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variable real y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funciones
Más detallesDerivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva
Nivelación de Matemática MTHA UNLP Derivada Pendiente de la recta tangente a una curva Definiciones básicas Dada una curva que es la gráfica de una función y = f() y sea P un punto sobre la curva La pendiente
Más detallesBloque 4. Cálculo Tema 1 Valor absoluto Ejercicios resueltos
Bloque 4. Cálculo Tema 1 Valor absoluto Ejercicios resueltos 4.1-1 Resolver las siguientes desigualdades: a) 57; b) 41; c) 10; d) 431; e) 5; 3 f) 434 a) 5 7 1 S / 1 1, b) 1 1 1 4 1 S /, 1 1 1 c) 10 S /,
Más detallesDERIVADAS (1) Derivada de una constante. LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Derivada de una función potencial: Forma simple.
DERIVADAS (1) Derivada de una constante f ( ) K K F ( ) 0 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. nº 1) nº ) nº 3) nº 4) nº 5) nº 6) Derivada de una función potencial: Forma simple r f ( ) r f ( ) r. r 1
Más detallesECUACIONES FRACCIONARIAS
ECUACIONES FRACCIONARIAS Ejemplos. Resolver la ecuación Solución. equivalente a la original, de miembros sea. cada epresión fraccionaria. El dominio de las epresiones es IR. y S . Resuelva la ecuación
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes
Más detallesUniversidad de San Carlos de Guatemala
Clave: 03-2-M-2-00-203 Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Departamento de matemática Curso: Matemática Básica 2 Código del curso: 03 Semestre: Segundo semestre 203 Tipo de eamen:
Más detallesProfesor: Rafa González Jiménez. Instituto Santa Eulalia ÍNDICE
TEMA 5: DERIVADAS. APLICACIONES. ÍNDICE 5..- Derivada de una función en un punto. 5...- Tasa de variación media. Interpretación geométrica. 5..2.- Tasa de variación instantánea. Derivada de una función
Más detallesAutor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(
Más detallesDERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD
DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3)
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice la cadena Tabla de Dada una función f : D R R,
Más detalles2 x. log = logaritmo, por definición, debe ser positiva, es decir, x > 0. Luego x=2. 8 no es exacto, pues
EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS PROFESOR: ANTONIO PIZARRO http://ficuspnticmeces/apis000 ) Hallar el eponente al que ha que elevar 7 para obtener 0 Piden hallar para que 7 0 7 7 7 7 ) Calcular el aritmo en
Más detallesEXAMEN DE MATEMATICAS II 2ª ENSAYO (1) Apellidos: Nombre:
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO () Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: CURSO 05 Instrucciones: a) Duración: HORA y 0 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de
Más detallesMarzo 2012
Marzo 2012 http:///wpmu/gispud/ Para determinar la carga transferida a través del tiempo a un elemento, es posible hacerlo de varias formas: 1. Utilizando la ecuación de carga, evaluando en los tiempos
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO. Análisis Matemático
Análisis Matemático Unidad 4 - Límite de una función en un punto Límite de una función en un punto El límite de una función para un valor de x es el valor al que la función tiende en los alrededores de
Más detallesExamen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A
Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos http://qui-mi.com/ Eamen de Selectividad Matemáticas JUNIO 5 - ndalucía OPCIÓN.- [,5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada
Más detalles, pero lím. 1 x3 1. (x 1) x(x + 1) = x = x 1 1 x 3 = que es una forma indeterminada. (x + 2) (1 + x + x 2 ) = 3
Ana María Albornoz R. Ejercicios resueltos. Calcular los siguientes ites algebraicos + + 5 + + + 0 0 + pero + 0 0 0, pero 0 + + + 4 que es una forma indeterminada. Pero + + + + + + + + + + + + + + + +
Más detallesCalcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: Calcula la derivada de las siguientes funciones: e) f (x) = x x.
Derivadas Definición Reglas de derivación jercicio Calcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: a) y = en el origen + b) y = cos() en ( c) y = + en (3, 0) π, 0) d) y = en (, ) Solución
Más detalles0ºK= -273ºC (inicio de la escala absoluta de temperatura)
LÍMITE: muchos fenómenos de la naturaleza tienen un punto límite, que no es posible traspasar con los conocimientos actuales. uno de estos puntos es el cero absoluto de la temperatura. 0ºK= -273ºC (inicio
Más detallesApuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 2. Límites de funciones
Apuntes Tema 2 Límites de funciones 2.1 Límites de funciones Def.: Dada una función f(), diremos que su límite cuando tiende hacia a es el número L, y lo escribiremos, lim f() L si eisten los límites laterales
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @
Más detalles1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS. Hallar el área de la región limitada por la parábola y = y el eje OX. Los cortes de la gráfica de y = con el eje OX son los valores de tales que =, esto es, = y =. El
Más detalles2º) El límite de la función f(x)=x, tanto en - como en + : Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en + :
LÍMITES LECCIÓN 6 Índice: Cálculo de ites en el infinito. Epresión indeterminada -. Epresión indeterminada /. Epresión indeterminada 0. Epresión indeterminada ±. Límites de sucesiones. Cálculo de ites
Más detallesMatemáticas de 2º de bachillerato página 1 Integral indefinida. Integral indefinida
Matemáticas de º de bachillerato página Integral indefinida Integral indefinida.introducción.- La integración es el proceso recíproco de la derivación, es decir, en la derivación se trata de hallar la
Más detallesI. Determinar los siguientes límites, aplicando las propiedades. lim =
Ejercicios resueltos I. Determinar los siguientes límites, aplicando las propiedades ) 3 + 2 4 3 + 2 4 = (2) 3 + 2 (2) 2 - (2) - 4 Sustituir la por el 2 = 8 + 8-2 - 4 = 0 Aplicar límite a cada término
Más detallesUnidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.
Unidad II Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Función En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)
Más detallesACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS
ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto
Más detallesTeoría Tema 3 Teoremas de derivabilidad
página 1/10 Teoría Tema 3 Teoremas de derivabilidad Índice de contenido Teorema de Rolle...2 Teorema del valor medio de Lagrange (o de los incrementos finitos)...4 Teorema de Cauchy...6 Regla de L'Hôpital...8
Más detallesCálculo de derivadas
0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detallesf (x) (1+[f (x)] 2 ) 3 2 κ(x) =
MATEMÁTICAS II - EXAMEN PRIMER PARCIAL - 4/11/11 Grado: Ing. Electrónica Rob. y Mec. Ing. Energía Ing. Organización Ind. Nombre y Apellidos: Ejercicio 1. La curvatura de una función f en un punto x viene
Más detallesProblemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales
Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=
Más detallesTeoría Tema 9 Interpretación geométrica de derivada. Definición formal
Asignatura: Matemáticas I 1ºBacillerato página 1/5 Teoría Tema 9 Interpretación geométrica de derivada. Definición formal Índice de contenido Incremento medio e incremento instantáneo de una función f(x)...2
Más detallesLímites y continuidad de funciones reales de variable real
Límites y continuidad de funciones reales de variable real Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M. a M. salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es Índice 1. Definiciones 3 2. Herramientas 10 2.1. Funciones
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS LOGARITMOS
LOGARITMOS Introducción El empleo de los logaritmos es de gran utilidad para entender muchos de los desarrollos que se analizan en la Matemática, y para explicar una variedad muy extensa de problemas que
Más detallesf: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio
Más detallesLímites y continuidad
9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 9 Límites y continuidad 9. Límite y continuidad de una función en un punto Definición 9.- Un punto IR se dice punto de acumulación de un conjunto A si,
Más detalles12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo
Más detallesUna función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x
Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN En una función se puede analizar su crecimiento o decrecimiento al mirar la variación que experimentan
Más detallesMODULO DE LOGARITMO. 1 log 2 4 16. log N x b N N se llama antilogaritmo, b > 0 y b 1. Definición de Logaritmo. Liceo n 1 Javiera Carrera 2011
MODULO DE LOGARITMO Nombre:.. Curso : Medio Los aritmos están creados para facilitar los cálculos numéricos. Por aritmo podemos convertir los productos en sumas, los cocientes en restas, las potencias
Más detallesUnidad 5. La derivada. 5.2 La derivada de una función
Unidad 5 La derivada 5. La derivada de una función A continuación trataremos uno de los conceptos fundamentales del Cálculo, que es el de la derivada. Este concepto es un ite que está estrecamente ligado
Más detallesDerivadas de Orden superior
Derivadas de Orden superior Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f y podemos aplicar la derivada a f. La función f se suele escrbir f y recibe el nombre de derivada
Más detallessobre un intervalo si para todo de se tiene que. Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces,
Integral indefinida Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales.
Más detallesEXPRESIONES RACIONALES
EXPRESIONES RACIONALES a El conjunto de las fracciones b, donde a b son enteros (0, ±1, ±, ±, ) b 0, se le conoce como los números racionales. En matemática, la palabra racional se asocia a epresiones
Más detallesInstituto Tecnológico Autónomo de México. Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial e Integral I (MAT14100) Lista de Ejercicios.
Instituto Tecnológico Autónomo de Méico Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial e Integral I (MAT400) Lista de Ejercicios La derivada Cálculo Diferencial e Integral I La derivada La derivada Antes
Más detallesProblemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de 1ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos
página /9 Problemas Tema Solución a problemas de Repaso de ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos Hoja 2. Problema. Sea f x )=a x 3 +b x 2 +c x+d un polinomio que cumple f )=0, f ' 0)=2, y tiene dos
Más detalles26 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU
6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU Unidad. Funciones.Continuidad TEMA FUNCIONES. CONTINUIDAD. 1. Definición de Continuidad. Tipos de discontinuidades 3. Continuidad de las funciones
Más detalles1. Teorema Fundamental del Cálculo
1. Teorema Fundamental del Cálculo Vamos a considerar dos clases de funciones, definidas como es de otras funciones Funciones es. F (t) = t a f(x)dx donde f : R R, y F (t) = f(x, t)dx A donde f : R n R
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo
Más detallesColegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio
A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial COLEGIO SAN PATRICIO - 0 - Prof. Celia R. Sánchez MATEMÁTICA - TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 AÑO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA - ECUACIONES POTENCIACIÓN: Ejercicio
Más detallesREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES a. Dominio de definición: D = Dom f() = { R eiste f()} b. Puntos de corte con los ejes: Con el eje OX (abscisas): f() = 0 : (,0). Ninguno, uno o más puntos. Con el eje
Más detallesduv = udv + vdu udv = uv vdu
I. INTEGRACIÓN POR PARTES. Si la integración de una función no es posible encontrarla por alguna de las fórmulas conocidas, es posible que se pueda integrar utilizando el método conocido como integración
Más detallesFigura 1. Círculo unidad. Definición. 1. Llamamos número π (pi) al valor de la integral
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. La función f(x) = 1 x 2 es continua en el intervalo [ 1, 1]. Su gráfica como vimos es la semicircunferencia de radio uno centro el origen de coordenadas.
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 10: Derivadas
accés a la universitat dels majors de 5 anys acceso a la universidad de los mayores de 5 años UNIDAD DIDÁCTICA 0: Derivadas ÍNDICE DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS Visualización del concepto de derivada de
Más detalles