Tema 5. Límites y continuidad de funciones

Transcripción

1 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 97 Tema 5 Límites y continuidad de funciones Límite de una función en un punto Idea inicial Si una función f está definida para todos los valores de próimos a a, aunque no necesariamente en el mismo a, entonces, se dice que el ite de f () vale l, cuando tiende a a, si el valor de f () se aproima a l cuando se aproima a a Se escribe así: f ( ) l (También f () l, cuando a) a Si una función f () no tiende a ningún número concreto, cuando tiende a a, se dice que no tiene ite cuando tiende a a Usando la calculadora puede estudiarse el ite, cuando tiende a, de las funciones a) f ( ) b) g ( ) ENT[ ] c) h ( ) d) i ( ) 4 Para ello, en todos los casos, se darán a valores próimos a y se calcularán los valores que toma la respectiva función a) Para f ( ) : :,9,99,999,,, f (),6,96,996,4,4,4 Tanto para valores menores que como para mayores que (en ambos casos próimos a ), la función toma valores muy próimos a En este caso se escribe, ( ) Observa que la función está definida en y que el ite coincide con f() b) Para g ( ) ENT[ ] (La parte entera de se define como el número entero inmediatamente menor o igual a ) :,9,99,999,,, g ()? Para valores cercanos y menores que, la función toma siempre el valor ; para valores cercanos y mayores que, siempre vale En este caso, ENT[ ] no eiste Observa que la función está definida en y sin embargo no tiene ite en ese punto c) Para h ( ) : :,9,99,999,,, h ()? wwwmatematicasjmmmcom

2 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 98 Para valores cercanos y menores que, la función toma valores grandes y negativos; para valores cercanos y mayores que, la función toma valores cada vez más grandes En este caso, no eiste Observa que la función no está definida en y que tampoco tiene ite en ese punto d) Para i ( ) : 4 :,9,99,999,,, i (),564,56,56,5,4994,494,49 Para valores próimos y menores que, la función se acerca cada vez más a,5; y lo mismo hace para valores próimos y mayores que En este caso,, 5 4 Observa que la función no está definida en y sin embargo tiene ite en ese punto Definición de ite de una función en un punto (Optativo) A la vista de los ejemplos anteriores, se concluye: ) Para la eistencia del ite de una función en un punto a no importa que la función esté o no definida en ese punto ) Lo que importa son los valores que toma la función en un entorno de ese punto a ) Eistirá el ite, y su valor será l, cuando todos los puntos próimos a a se transformen, mediante la función, en puntos próimos a l Esto es, si está cerca de a, entonces f ( ) está cerca de l (Véase la figura adjunta) Con más precisión: 4) Eistirá el ite de f (), cuando a, y su valor será l, si para cualquier entorno de l, E ε (l), puede encontrarse otro entorno de a, E δ (a), de manera que todos los valores de Eδ (a) se transformen, mediante f (), en puntos de E ε (l) O con símbolos: f ( ) l ε >, δ >, < a < δ f ( ) l a < ε Esta epresión se lee así: ite de f () cuando tiende a a es igual a l, equivale a decir que para todo número épsilon mayor que cero, eiste un número delta, también mayor que, tal que para todo que cumpla que su diferencia con a, en valor absoluto, sea mayor que y menor que delta, se cumple que la diferencia entre f () y l, también en valor absoluto, es menor que el número épsilon elegido La condición, < a, indica que no toma el valor a, pues en tal caso a La condición, a < δ, indica que Eδ (a) La conclusión, f ( ) l < ε, significa que f ( ) E ( l) ε wwwmatematicasjmmmcom

3 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 99 Límites laterales En la definición de ite no se distingue entre las posibilidades < a o > a, pues al escribir < a < δ resulta indiferente: lo único que se pide es que este próimo a a No obstante, algunas veces conviene distinguir si a por la izquierda (siendo < a), que se escribe a ; o si a por la derecha (siendo > a), denotado por a Esta distinción da lugar al estudio de los ites laterales A f () se le llama ite lateral por la izquierda a A f () se le llama ite lateral por la derecha a Para que eista el ite de una función en un punto es necesario que eistan los limites laterales y que sean iguales Esto es, para que eista f ( ) l debe cumplirse que f ( ) f ( ) l a a a Observación: Este estudio tiene interés cuando la función: ) Está definida a trozos y se quiere calcular el ite en alguno de los puntos de unión de los diferentes trozos ) Tene asíntotas verticales y se quiere determinar la posición de la curva respecto a ellas Ejemplo: Si la función f( ) es la dada por la gráfica siguiente, para los puntos que se indicarán, se cumple: a) En : Por la izquierda: lim f( ) no eiste No obstante, puede escribirse: lim f( ) Por la derecha: lim f( ) Puede observarse que la recta es asíntota vertical de la curva b) En : lim f( ) Tanto por la izquierda como por la derecha la función se acerca a ; aunque f () (Recuerda que en el ite lo que importa es lo sucede en el entorno del punto, no lo que sucede en el punto) c) En : lim f( ) Aunque f () no está definida, los ites laterales tiende a d) En 6: lim f( ) no eiste Por la izquierda tiende de a ; por la derecha, a 4 6 En cualquier otro punto el ite coincide con su valor de definición También pude apuntarse que: lim f( ) La recta y es asíntota horizontal hacia wwwmatematicasjmmmcom

4 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad Cálculo práctico de ites Casos inmediatos Si f () es una función usual (polinómicas, racionales, logarítmicas, etc) y está definida en el punto a, suele cumplirse que: f ( ) f ( a) Esto es, el ite se resuelve sustituyendo a Observaciones: ) Que la función pueda evaluarse en a no es determinante para que eista el ite (no es ni necesario ni suficiente), como se vio con la función g ( ) ENT[ ], pero este es un caso de función definida a trozos, que debe ser estudiado mediante ites laterales ) No obstante, lo primero que debe hacerse para calcular un ite es sustituir por a: hallar f (a) Si eiste f (a) y la función no está definida a trozos, se aceptará que f ( ) f ( a) ) Como el lector sabrá, las funciones que cumplen que f ( ) f ( a), se llaman continuas Se estudiarán más adelante a Lo dicho puede comprobarse en los siguientes casos: a) ( ) b) c) d) 5 e) (ln( )) ln( ) ln 7 f) g) Esto no es así en el caso, pues f ( ) no está definida en Algunas propiedades de las operaciones con ites En relación con las operaciones algebraicas pueden aplicarse las siguientes propiedades a Si f ( ) A y g( ) B, con A y B finitos, entonces: a a ) ( f ) ± g( ) ) f ( ) ± g( ) A ± B a ( ; a a ) ( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) A B ) a a f ( ) f ( ) a A, (B ) a g( ) g( ) B a 4) Si ( ) > a f ( ) g ( ) B f, ( ) ( ) a 5) Si ( ) > a f ( ) a ; g ( ) f, ( log f ( ) ) log ( f ( ) ) log A a b b a A b ) El ite de una suma es igual a la suma de los ites ) El ite de un producto es igual al producto de los ites ) El ite de un cociente es igual al cociente de los ites 4) El ite de una potencia es igual a la potencia de los ites 5) El ite de un logaritmo es igual al logaritmo del ite Estas propiedades se aplican en ambos sentidos (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda), según convenga wwwmatematicasjmmmcom

5 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad Indeterminaciones Hay siete casos en los que al sustituir el valor a en la función dada se llega a situaciones etrañas, no definidas, que reciben el nombre de indeterminaciones: formas indeterminadas Escritas esquemáticamente, estas 7 indeterminaciones son: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Observaciones: ) Cuando en estas epresiones se escribe se quiere significar que se está ante un valor tan pequeño como se quiera (infinitesimal) El concepto matemático que lo define es el de infinitésimo Así, se dice que f () es un infinitésimo en el punto a si f ( ) Por tanto, la indeterminación es el cociente de dos infinitésimos Surge si se plantea un f ( ) f ( ) a ite como el siguiente: g( ) g( ) ; esto es, cuando f () y g () son a a infinitésimos en el punto a Igualmente, en las demás indeterminaciones, cada vez que se escribe se está diciendo que la función es un infinitésimo en el punto en cuestión ) Análogamente, cuando se escribe se quiere indicar una epresión que tiende a, que toma los valores,999 o,, sin que necesariamente tome nunca el valor ) Por último, cuando se escribe se quiere significar que la epresión toma valores tan grandes como se quiera: mayores (en valor absoluto) que cualquier número dado En los ites siguientes, al sustituir, aparecen las formas que se indican 5 a) b) c) e [ ] 5 a d) 9 [ ] e) [ ] f) [ ] Algunas veces estas formas indeterminadas pueden resolverse Los métodos de resolución que emplearemos aquí son básicamente algebraicos, que consisten en aplicar las propiedades de las operaciones con ites y, cuando estas sean insuficientes, recurrir a transformaciones algebraicas en la función dada: simplificar, etraer factor común, sumar o restar, operar con potencias y raíces, con logaritmos Por ejemplo, restando las fracciones en ite d) anterior se obtiene: 9 ( )( ) La indeterminación inicial, que era del tipo, ha pasado a la forma, que no es indeterminada wwwmatematicasjmmmcom

6 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad Resolución de algunas indeterminaciones A continuación se aplicarán métodos algebraicos para resolver, en algunos casos, las siguientes formas indeterminadas:,, [ ], [ ] y [ ] Antes de continuar conviene aclarar (recordar) algunas operaciones con el número y con el infinito (En lo que sigue: k es un número fijo; k o k indica que es positivo; k, negativo; y cuando se escribe sin signo, se supone positivo) Con el (recuerda que, aquí, significa infinitesimal): ( ± k ) ; ±k ± k ; ± ; es indeterminado ( ± k ) ; k k ; ; k es indeterminado Con : ± ± k ± ; ; ; [ ] es indeterminado ± k ± k ( ± ) ± ; ( ± ) ± ; ± ; ; ± k ± ( ± ) k k ± ; ( ± ) ; k ± ± es indeterminado ( ) Límites de funciones racionales cuando a Indeterminación P( ) Las funciones racionales son de la forma f ( ), siendo P() y Q() polinomios El Q( ) único caso de ite no inmediato es cuando da lugar a la indeterminación Esto es, P( ) cuando P(a) y Q(a), pues Q( ) a Este caso puede resolverse simplificando la epresión inicial, ya que si P(a) y Q(a), se verifica que P ( ) ( a ) P ( ) y Q( ) ( a) Q ( ), de donde el cociente P( ) ( a) P ( ) P ( ) Q( ) ( a) Q ( ) Q ( ) P( ) ( a) P ( ) P ( ) Luego: a Q( ) a ( a) Q ( ) a Q ( ) Si el último ite no resulta inmediato se aplica nuevamente la regla anterior Observación: El teorema del factor dice: Para un polinomio P(), si P ( a) a es un factor de P() P ( ) ( a ) P ( ) El polinomio P ( ) se obtiene dividiendo Ejemplo: El, que no resulta inmediato, puede resolverse así: 4 4 ( )( ) 4 wwwmatematicasjmmmcom

7 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad El caso k Cuando al hacer cualquier ite aparezca la epresión k, se pondrá que el valor de ese k ite es infinito: f ( ) Esto significa que, aunque el ite no eiste, el valor de a la función se hace tan grande como se quiera, infinitamente grande En estos casos es conveniente estudiar los ites laterales en el punto, pues con frecuencia se obtienen signos distintos para el infinito Observación: k Es frecuente confundir los casos y El primero vale : entre algo k k 5 a) 4 También puede ponerse ± El estudio de los ites laterales puede hacerse como sigue 5 Por la izquierda: 4 Observa que si es un poco menor que : < 4 4< 5 Por la derecha: 4 Observa que si es un poco mayor que : < 4 4> b), pues cuando el numerador es negativo y el denominador positivo, tanto a la izquierda como a la derecha del Asíntotas verticales Cuando f ( ) ±, la recta a una asíntota vertical (en a) de la función f () a a) Como la recta es asíntota vertical de f( ) b) Para g ( ) 5, que no está definida en 5, se tiene que 5 5 Por tanto, la recta 5 es asíntota vertical Si en este caso se estudian los ites laterales se cumple: por la izquierda: 5 5 por la derecha: 5 5 wwwmatematicasjmmmcom

8 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 4 La indeterminación en funciones con raíces En las funciones con radicales, la indeterminación puede resolverse de dos formas: Descomponiendo en factores y simplificando, como para las funciones racionales Multiplicando y dividiendo la función dada por la epresión conjugada de alguno de sus términos A continuación se opera y simplifica Observaciones: ) Como las funciones con radicales de índice par no están definidas para valores negativos del radicando habrá que tenerlo en cuenta al plantear y resolver los ites Así, por ejemplo el sólo puede plantearse por la derecha de, pues f ( ) no está definida cuando Por tanto, este ite habría que plantearlo así: y su valor sería ) Si no se advierte nada, en todos los casos se tomará el signo positivo de la raíz a) ( )( ) 4 En este caso pueden discutirse los ites laterales; y lo mismo cuando, que solo puede calcularse por la derecha, cuando, pues la función no está definida para valores de (Su valor es ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) b) lim lim lim ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4( ) 4 ( )( ) d) Los siguientes ites no son indeterminados: ; ; ; 5 9 ; no eiste: la función no está definida en un entorno de wwwmatematicasjmmmcom

9 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 5 Límite finito de una función cuando La función f ( ) tiende a cuando 8 Efectivamente, si, f(),98; si, f(),9995; Se escribe, 8 La definición precisa es la siguiente: f ( ) l ε >, k (grande) > k f ( ) l < ε (Para valores de > k la función no se sale de la franja marcada) Esta definición se lee así: ite de f () cuando tiende a es igual a l, equivale a decir que para todo número épsilon mayor que cero, eiste un k grande, tal que para todo mayor que k, se cumple que la diferencia entre f () y l, es menor que el número épsilon elegido Si la definición es análoga: f ( ) l ε >, k (grande y negativo) > k f ( ) l < ε Observación: Si f ( ) l se concluye que la recta y l es una asíntota horizontal de la curva y f () Ejemplo: Como se ha visto más arriba, 8 horizontal de f ( ) 8 Por tanto, la recta y es una asíntota 4 Límite infinito de una función cuando La función f ( ) toma valores cada vez más grandes cuando Efectivamente, si, f(),; si, f(),; Se escribe: La definición precisa es la siguiente: f () p (grande), q (grande) > q f ( ) > Esta definición se lee así: ite de f () cuando tiende a es igual a, equivale a decir que para todo número p (grande), eiste otro número q (también grande), tal que para todo mayor que q, se cumple que la diferencia entre f () es mayor que p elegido El valor de estos ites muchas veces resulta inmediato, pues para calcularlos basta con sustituir y aplicar las operaciones con el infinito p wwwmatematicasjmmmcom

10 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 6 a) ( 5 ) b) ( 5) ( ( 5) ) c) ( ln( 8) ) d) Para cualquier polinomio se cumple que P( ) ± El signo depende del grado y del coeficiente principal k k Por consiguiente: ± P ( ) ± a) ( 5) ± b) ( ) c) ( 4 ) [ ] ( ( 4 ) ( ) d) 5 ( ) 5 ( ) 5 ± 57 e) ± 4 ; ± 5 Límites de funciones racionales cuando Indeterminación P( ) Si P() y Q() son dos polinomios, al calcular se obtendría la epresión ± Q( ) indeterminada ; no obstante se resuelve muy fácilmente, pues su valor depende de los grados de P() y Q(): P( ) Si grado de P() > grado de Q(), ± ± Q( ) P( ) an Si grado de P() grado de Q(),, siendo a n y b n los coeficientes ± Q( ) bn principales de P() y Q(), respectivamente P( ) Si grado de P() < grado de Q(), ± Q( ) Un procedimiento para justificar estos resultados consiste en dividir el numerador y el denominador de la función dada por la mayor potencia de presente en la epresión, como se hace en el ejemplo b) siguiente Además, en todos los casos se tendrán en cuenta los signos a) b) 7 4 c) d) e) wwwmatematicasjmmmcom

11 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 7 También puede optarse por escribir directamente: n n n a n an a a n aquí se aplica el criterio de arriba ± m m m b b b ± b m m m 5 a) b) ± 4 ± ± La indeterminación [ ] El número e El número e (definido por Leonhard Euler) es la base de los logaritmos neperianos Es un número irracional (con infinitas cifras decimales no periódicas) que aparece en multitud de fenómenos naturales En tu calculadora puedes obtener una aproimación: si tecleas SHIFT ln se obtiene,78888 El número e puede definirse a partir de un ite, diciendo que e Utilizando la calculadora puedes puede apreciar cómo se comporta la función f ( ), pues, por ejemplo: f () ; f (),,5974 ; f (), 5, 6597 ; f (),, 748 ; f (),, 79 Su gráfica es la adjunta Aplicando esta definición y las propiedades algebraicas de los ites, pueden darse otros resultados relaciones con el número e Por ejemplo: ) p p p e ) e ) p p e Otra forma de resolver estos ites es aplicar la transformación: a) c) d) g ( ) ( f ( ) ) [ ] e ( f ( ) ) g ( ) e ( ) b) ) /( /( ) ( ) ( ) e e e e 4 p ( ) 6 e e wwwmatematicasjmmmcom

12 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad wwwmatematicasjmmmcom 8 7 La indeterminación de la forma [ ] Cuando se plantea la indeterminación [ ], tanto cuando a como cuando, el procedimiento general consiste en operar la epresión inicial hasta transformarla en otra epresión no indeterminada o en otra forma indeterminada del tipo o Estas otras formas se resolverían por cualquiera de los métodos vistos anteriormente a) 9 es una forma indeterminada del tipo [ ] Para transformarla se opera la epresión dada: se hace la resta Así: ) )( ( ) )( ( 8 9 b) 5 [ ] Para transformarla se opera como en el ejemplo anterior Así: 5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) c) ( ) [ ] ( )( ) (dividiendo por ) 8 La indeterminación de la forma [ ] Para terminar este apartado de ites se plantea la indeterminación [ ] Para resolverla suele dar resultado operar la epresión inicial hasta transformarla en otra epresión no indeterminada o en otra forma indeterminada del tipo o Ejemplo: 5 [ ] Para transformarla basta con operar Así: [ ] 5 5 4

13 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 9 4 Comportamiento de otras funciones en el infinito El ite cuando de las funciones eponenciales, logarítmicas y trigonométricas se calcula como sigue Funciones eponenciales Además de de las propiedades usuales (de la potenciación) se emplea las dos siguientes: Si g ( ) f ( ) a, con a >, entonces: Si ( ) > a g ( ) g ( ) g ( ) f, ( f ( ) ) ( f ( ) ) a a a g ( ) a En este conteto viene bien recordar la representación gráfica de las funciones eponenciales elementales a) e e c) e e 4 4 e) b) d) e e ± f) Funciones logarítmicas La propiedad particular que puede aplicarse aquí es: ( log a f ( ) ) log a ( f ( ) ) a) log log log b) 5 5 ln ln ln Funciones trigonométricas En ningún caso eisten los ites en el infinito Esto es: sin, cos y ± ± no eisten, ya que dichas funciones son periódicas (repiten indefinidamente su comportamiento) Para funciones compuestas hay que determinarlo en cada caso sin a), pues sin, mientras que el denominador tiende a ± tan ± b) cos ± no eiste Como cos, f ( ) cos tomará valores entre y c) sin tan cos Como recordarás, la función f ( ) tan tiene asíntotas π π verticales en los puntos π kπ, k Z wwwmatematicasjmmmcom

14 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 5 Aplicación de los ites para hallar las asíntotas de una función Las asíntotas de una curva son rectas hacia las cuales tiende a pegarse la gráfica de la función Pueden ser verticales, horizontales u oblicuas f() f() b f() f() a a Asíntotas verticales Asíntota horizontal Asíntota oblicua Los criterios para determinar las asíntotas de una curva son: La recta a es una asíntota vertical de la curva y f () si f () La recta y b es una asíntota horizontal de la curva y f () si f ( ) b a La recta y m n es una asíntota oblicua de la curva y f () si: f ( ) m, (m y m ); ( f ( ) m) n, (n ) 5 Asíntotas en funciones racionales P( ) Un caso particularmente frecuente se da con las funciones racionales: f ( ) Q( ) Estas funciones: pueden tener asíntotas verticales en las raíces del denominador: en las soluciones de Q ( ) ; y siempre que el ite en ese punto se haga infinito tienen asíntotas horizontales si el grado de P () es menor o igual que el grado de Q () tienen una asíntota oblicua siempre que el grado de P () grado Q () a) La función f( ), tiene una asíntota vertical en, ya que También tiene una asíntota horizontal, la recta y, pues b) La función f ( ), que no está definida en los puntos y, tiene una asíntota vertical en, pero no en En efecto: es AV ( ) ( )( ) 4 La recta y es asíntota horizontal, pues: wwwmatematicasjmmmcom

15 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad c) La función f ( ) tiene dos asíntotas, una vertical (la recta ) y otra oblicua, la recta y m n, siendo: f ( ) m ; n ( f ( ) m) La asíntota es la recta y 5 Asíntotas en funciones eponenciales y logarítmicas Las funciones eponenciales suelen tener asíntotas horizontales En concreto, f ( ) e tiene una asíntota horizontal hacia, pues e e La asíntota es el eje OX Igualmente, f ( ) e tiene una asíntota horizontal hacia, pues e e Sus gráficas son las adjuntas Otros casos no son tan inmediatos, pero para determinar sus asíntotas suele dar resultado estudiar el comportamiento del eponente Ejemplo: La función ( ) f e, que no está definida en tiene una asíntota vertical en ese punto, pues e e e También tiene una asíntota horizontal hacia ambos lados del, pues e e e ± La asíntota es la recta y Las funciones logarítmicas suelen tener asíntotas verticales En concreto, f ( ) ln, que sólo está definida para valores de >, tiene a la recta, como asíntota vertical, pues ln (Su gráfica se hizo anteriormente) Los casos ln ( g( ) ) no son tan inmediatos, pero para determinar sus asíntotas suele dar a resultado estudiar los puntos en los que la función g ( ) se anula Ejemplo: La función f ( ) ln( ), que está definida solo para valores de >, tiene a la recta como asíntota vertical, pues ln ( ) wwwmatematicasjmmmcom

16 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 6 Continuidad de una función en un punto Una función es continua en un punto cuando el ite de la función en dicho punto es igual al valor de la función en él La definición es la siguiente: f () es continua en el punto a f ( ) f ( a) Esto implica que: ) La función f () está definida en el punto a Esto es, se sabe cuánto vale f (a) ) Eiste el ite en a: eiste f ( ) l a ) El valor del ite coincide con f (a) Esto es, f ( ) l f ( a) a a De las cuatro funciones siguientes, sólo la primera es continua en el punto a 6 Discontinuidad evitable Cuando una función no es continua de dice que es discontinua La causa más común de la discontinuidad está en que la función no esté definida en un punto Así, por ejemplo, la función f ( ) es discontinua en y en ( )( ) Hay casos en los que la discontinuidad es evitable Así sucede para las funciones dadas en las gráficas () y () de más arriba Una función f() tiene una discontinuidad evitable en el punto a cuando tiene ite en ese punto En el caso () la discontinuidad se evita definiendo f ( a) l En el caso () la discontinuidad de evita (imponiendo) redefiniendo f ( a) f ( ) En el caso (4) la discontinuidad no puede evitarse, pues la gráfica da un salto en el punto a (Se llama discontinuidad de salto finito) Ejemplo: La función f ( ) es discontinua en y en, pues en esos dos puntos no está definida Si se hace el ite en esos puntos, se tiene: ; ( )( ) En el primer caso, en, no eiste ite; por tanto, la discontinuidad no puede evitarse (Esta discontinuidad se llama de salto infinito) En cambio, en sí puede evitarse Se evita definiendo aparte f ( ) a wwwmatematicasjmmmcom

17 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 6 Continuidad lateral La función representada en la grafica (4) puede considerarse continua por la derecha del punto a En cambio, no es continua a su izquierda Una función f () es continua por la derecha en el punto a (en a ) si está definida (se sabe el valor de f (a) ) y el ite coincide con ese valor Esto es, cuando f ( ) f ( a) Una función f () es continua por la izquierda en el punto a (en a ) si está definida (se sabe el valor de f (a) ) y el ite coincide con ese valor Esto es, cuando f ( ) f ( a) a) La función f ( ) no es continua en, pues en ese punto no está definida En consecuencia, tampoco es continua por ninguno de los lados del punto b) La función f ( ) ENT[ ] es discontinua para todo Z, pues la función no tiene ite para ningún valor entero de No obstante, la función es continua por la derecha de todo Por ejemplo, por la derecha de, se cumple que ENT[ ] ENT[] a a En cambio, no es continua por la izquierda de cualquier entero Por ejemplo, para el mismo, por su izquierda se cumple que ENT[ ] ENT[] 6 Propiedades de las funciones continuas Aunque sea de manera escueta conviene indicar algunas propiedades relacionadas con las operaciones de las funciones Estas propiedades son: Si f () y g() con continuas en a, entonces: f ( ) ± g( ) es continua en a f ( ) g( ) es continua en a f ( ) es continua en a si f ( a) f ( ) g( ) es continua en a cuando g ( a) Las propiedades anteriores permiten concluir que la mayoría de las funciones usuales son continuas en todos los puntos de su dominio Así, sin ser ehaustivo puede afirmarse que: ) Las funciones polinómicas, número real f n ( ) a a a n, son continuas siempre, para todo Son funciones continuas: a) f ( ) Las funciones constantes se representan mediante una recta horizontal b) f ( ) La función polinómica de primer grado es una recta c) f ( ) La función polinómica de segundo grado es una parábola d) f ( ) 5 Todos los polinomios, de cualquier grado son funciones continuas wwwmatematicasjmmmcom

18 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 4 n a a an ) Las funciones racionales, f ( ), son continuas en todos los puntos m b b b m de su dominio; esto es, siempre que b b b m a) La función f ( ) es continua siempre, para todo número real, pues su denominador siempre es distinto de b) La función ( )( )( ) m f ( ) es continua para todo número real distinto de,, y Para esos tres valores se anula el denominador Aunque ya se ha advertido, conviene insistir en dos cuestiones: ) Si en un punto de discontinuidad el ite es infinito, entonces la función racional tiene una asíntota vertical ) Si en un punto de discontinuidad eiste el ite, entonces la función tiene una discontinuidad evitable a) La función f( ) ( )( ) no está definida en los punto y Por tanto no es continua en esos puntos Como en, ( )( ) la recta es una AV de la curva ( ) Como en, ( )( ) la ( )( ) discontinuidad es evitable Se evita definiendo la función como sigue:, si,, si f( ) ( )( ) f( ), si, si b) En este conteto suelen plantearse problemas como el que sigue: Para qué valores de k k puede evitarse alguna discontinuidad en la función f( )? La función es discontinua en los puntos y, soluciones de k ( k) 9 k En : ( )( ) Este ite es salvo, quizás, k ( ) si k, en cuyo caso: ( )( ) 4 Por tanto, en la discontinuidad es evitable si k Igualmente, en la discontinuidad puede evitarse cuando k, definiendo f () 4 wwwmatematicasjmmmcom

19 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 5 ) Las funciones con radicales, trigonométricas, logarítmicas y eponenciales son continuas en todos los puntos de su dominio a) La función ( ) f 4 está definida cuando 4 4, lo que eige que o No está definida en el intervalo (, ) Por tanto, es continua para todo ; y para todo En el primer caso por la derecha; en el segundo, por la izquierda (El lector interesado podrá comprobar que esta función determina la hipérbola y 4 ) b) La función f ( ) 4 es continua solo en el intervalo [, ], que es su dominio de definición En efecto, 4 4 Esta función determina la semicircunferencia y 4 c) Las funciones seno y coseno son continua siempre Si aparecen en cocientes habrá que aplicar el criterio general de denominadores no nulos La función f ( ), por ejemplo, no es continua en los puntos en los que no está cos definida, que son kπ : en esos valores se anula el denominador (Recuerda: cos cos º,6º, 6º kπ ) La función f( ) siempre es continua Su denominador no se anula en ningún sin caso: sin > siempre (Recuerda que sin ) sin En cambio, la función f( ) es discontinua en el punto En ese punto la función tiene una asíntota vertical d) Las funciones f( ) log y g ( ) ln son continuas cuando >, que es cuando están definidas Para las funciones f( ) lo g ( A ( )) y g ( ) ln ( A ( )) siempre hay que eigir que A ( ) > Así: f( ) log es continua cuando > ( ) ( ) log( ) f es continua para todo (, ) (, ) No está definida si o si : cuando [, ], g ( ) ln ( ) es continua para R, pues > siempre g ( ) ln es continua si (, ) { e } (Recuerda que ln e; y que el logaritmo está definido para > ) e) La función f ( ) ( ) e es continua en todo R En cambio, f ( ) e no es continua en, ya que no está definida en ese punto e la función f( ) no es continua en, pues no está definida en ese punto wwwmatematicasjmmmcom

20 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 6 4) Las funciones definidas a trozos serán continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de unión de los intervalos; para esto último es necesario que coincidan los ites laterales a) La función b) La función, si f ( ) es continua en todo R si >, si f ( ) es discontinua en si > En este conteto suelen plantearse ejercicios como los que siguen: Ejercicio < Halla el valor que debe tener a para que sea continua la función f ( ) a Justifica tu resultado haciendo una representación gráfica de f( ) Solución: La función está definida mediante dos funciones polinómicas, que son continuas siempre Por tanto, el único punto dudoso es En ese punto la función está definida y vale f() a, que depende del valor de a El valor de a, si eiste, se encuentra imponiendo que los ites laterales en coincidan Por la izquierda: Si, f ( ) Por la derecha: Si, f ( ) a a Deben ser iguales: a a < La función continua será: f( ) Dando algunos valores se puede trazar su gráfica: (, ); (, ); (, ); (, ); (, 5) Ejercicio e, si Qué valor hay que asignar a k para que la función f( ) k, si >? Haz un esbozo gráfico de su curva Solución: Los ites laterales (en ) deben coinciden con f() e Por la izquierda: Por la derecha f e e ( ) f ( ) ( k) k Por tanto, la función es continua cuando k Dando algunos valores se puede trazar su gráfica: (,,5); (,,68); (, ); (, ) sea continua en wwwmatematicasjmmmcom

21 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 7 Problemas Propuestos Cálculo de ites Para la función representada en la figura adjunta, determina: a) Su dominio b) La ecuación de sus asíntotas c) El valor del ite de la función cuando: ; ; ; ; d) En los puntos y, indica el signo de los ites laterales 4 Dada la función f ( ), calcula su ite en los siguientes puntos: 6 a) b) c) d) Halla el valor de los siguientes ites: 4 a) b) 4 c) 4 Halla el valor de los siguientes ites: a) lim b) lim 4 4 c) lim 5 Resuelve los siguientes ites: a) b) 8 c) Halla, en función de los valores de p, los siguientes ites: p 8 a) b) p 7 Calcula los siguientes ites: a) 4 b) 4 4 c) 8 Calcula: a) 4 4 b) 5 c) 9 Calcula el valor de los siguientes ites: a) 4 5 b) c) wwwmatematicasjmmmcom

22 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 8 Calcula el valor de los siguientes ites: a) 5 5 b) 5 4 c) ( ) Calcula: a) log b) log c) log d) ln e Calcula: a) sin π b) cos π c) tan d) ( tan ) π Calcula: a) sin sin b) c) π / 4 tan d) tan 4 Halla el valor de los siguientes ites: a) /( ) b) 5 Dada la función a) lim f( ) 9 /( ) / e f( ), calcula: b) lim f( ) c) lim f( ) d) lim f( ) Podría asegurarse que la función tiene alguna asíntota? Si la respuesta es afirmativa indica su ecuación o ecuaciones 6 Calcula los siguientes ites: a) 5 6 ( ) b) 9 7 Calcula los ites: a) b) ( ) c) c) ( 5 4 ) Asíntotas de una función 8 Dada la función ellas f( ) Halla sus asíntotas y la posición de la curva respecta de 9 Halla las asíntotas de la función f( ) respecto de sus asíntotas f ( ) Indica también la posición de la gráfica de wwwmatematicasjmmmcom

23 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 9 Dada la función f ( ) de la curva respecto a ellas Determina las asíntotas de la función f( ), halla con detalle sus asíntotas; e indica la posición 5 6 Halla las asíntotas de la función de sus asíntotas Halla las asíntotas de la función f ( ) Indica la posición de la curva respecto ( ) f ( ) 4 Sea 4 f ( ) Halla su dominio y sus asíntotas 5 Halla las asíntotas de las siguientes funciones: a) f( ) e b) f( ) e c) f( ) d) e 6 Halla las asíntotas de las siguientes funciones: a) f ( ) log( ) b) f ( ) log c) f ( ) log( 4) d) f( ) f ( ) e log Continuidad 7 Indica los puntos de discontinuidad de cada una de las siguientes funciones Justifica la respuesta en cada caso a) f ( ) 8 b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) 8 f) f ( ) 4 g) f ( ) h) f ( ) 4 i) f ( ) e j) f ) e m) f ( ) tan n) ( k) ( ) log( 5 6) ( ) sin f o) ( ) f l) f ( ) log sin f ( ) cos p) f ( ) cos 8 Indica los puntos de discontinuidad de cada una de las siguientes funciones Justifica la respuesta en cada caso, si, si cos, si a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ), si >, si >, si >, si e, si, si d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ), si > sin, si > ( ) ln si > wwwmatematicasjmmmcom

24 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad ( )( ) 9 a) Cuántas discontinuidades tiene la función f( )? b) Qué valor hay que dar a f () para que la discontinuidad de pueda evitarse? Dada la función f( ) ( )( )( ), calcula su ite en los puntos,, y En qué puntos es discontinua la función? Tiene alguna discontinuidad evitable? 5 8 Estudia la continuidad de función f ( ) Si tuviese alguna discontinuidad 6 evitable cómo podría evitarse? Determina el tipo de discontinuidades que presenta la función f ( ) 7 8 k 4 La función f ( ) es discontinua en los puntos y Podría 4 evitarse alguna discontinuidad para algún valor de k? 4 Para qué valores de a es continua en la función, si f ( )? a, si > 5 Determina los valores de a para que la función todo R a e f( ) a sin < sea continua en 6 Puede la función algún valor de a? a ln( ), si < f( ) e, si ser continua en toda la recta real para 7 Halla para qué valores de a la función f ( ) a a > a es continua en todo R 8 Determina los valores de a y b que hacen que la función sea continua en todo R 9 Determina la continuidad de las funciones: a) f ( ) b) f ( ) f ( ) sin cos e a b < π π < wwwmatematicasjmmmcom

25 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad Otros problemas 4 Eiste algún valor de p para el que la función asíntota vertical? p f ( ) tenga solamente una 4 Aplicando alguno de los siguientes resultados: p p p e ) e ) resuelve los ites: a) b) ) p c) p e 4 p g ( ) 4 Aplicando la transformación ( f ( ) ) [ ] siguientes ites: a) b) e c) ( f ( ) ) g ( ) 5 4 Comprueba que la función f ( ) sin no tiene asíntotas 44 Halla las asíntotas de las siguientes funciones: a) f ( ) e b) f ( ) e c), halla el valor de los f ( ) e d) f ( ) e 45 Dependiendo de los valores de p, tiene la función f ( ) alguna p discontinuidad? Si la tuviese, podría evitarse en algún caso? a, < 46 Sea f( ) Halla los valores de a y b para que f () sea b, continua en el intervalo [, ], sabiendo que también se cumple que f ( ) f () 47 Determina los valores de a y b para que la función en el punto a b, si < f( ), si es continua wwwmatematicasjmmmcom

26 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad R {, } b) y, y c) ; ±; ; ±; d) ; ;, a) /4 b) 4/5 c) d) a) /7 b) c) 4/ 4 a) 9 b) c) 5 a) /5 b) c) 6 a) Si p el ite será infinito; si p, vale b) Si p 4 el ite valdrá ; si p 4, vale 7 a) / b) 8 c) 8 a) b) /5 c) 9 a) / b) / c) a) b) c) 5 a) b) log c) d) a) b) c) d) ± a) ± b) c) π/4 d) no eiste 4 a) No eiste: ; b) c) / 5 a) b) ±; c) ; y d) 6 a) b) / c) 7 a) b) 5/ c) 5/ 8 ; y 9 ; y ; ; y, ; y ; y ; y 4 ; y 5 a) No b) y c) y d) y 6 a) b) c) ; d) ; y Soluciones 7 b) c) { 8, 8} e) < π π h) [, ] j) k) 6/5 m) k 4 n) 8 a) d) e) f) 9 a) y b),, y En y, f() f() Discontinua en o En, f ( ) Evitable en, f ( ) 9 No evitable en 8 Si k 4, puede evitarse en Si k 4, puede evitarse en 4 a 5 a / 6 a 7 a o a 8 b ; a 9 Continuas siempre 4 p ±; p ± / / 4 4 a) e b) e c) e 4 4 a) e b) e c) e 44 a) y b) ; y c) No tiene d) y ; y 45 Si p > o p <, la función tiene dos discontinuidades; si p ±, tiene una discontinuidad No pueden evitarse 46 b ; a / 47 b, a puede ser cualquiera wwwmatematicasjmmmcom