INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN. Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Calcular los valores de a para los cuales la inversa de la matriz

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1 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN INSTRUCCIONES: El eame preseta dos opcioes: A y B. El alumo deberá elegir ua de ellas y cotestar razoadamete a los cuatro ejercicios de que costa dicha opció. Para la realizació de esta prueba puede utilizarse calculadora cietífica, siempre que o dispoga de la capacidad gráfica o de cálculo simbólico. TIEMPO: Ua hora y treita miutos. CALIFICACIÓN: Cada ejercicio lleva idicada su putuació máima.. OPCIÓN A Ejercicio 1. (Putuació máima: 3 putos) Calcular los valores de a para los cuales la iversa de la matriz 1 a 4 A = 5 4 a coicide co sus traspuesta. Ejercicio. (Putuació máima: 3 putos) Sea cosidera la fució f ( ) = e. (a) Hallar la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f() e el puto de abscisa = 1. (b) Calcular el área del recito plao acotado limitado por la gráfica de f() para, el eje OX y la recta =. Ejercicio 3. (Putuació máima: putos) U test para detectar ua sustacia cotamiate e agua, preseta los siguietes resultados: si el agua o está cotamiada, suceso que ocurre co ua probabilidad igual a,99, el resultado del test es que el agua está cotamiada co ua probabilidad igual a,5. Cuado el agua está cotamiada, el test lo detecta co ua probabilidad igual a,99. Se ha realizado ua prueba y el test idica que hay cotamiació. Calcular la probabilidad de que el agua o esté realmete cotamiada. Iterpretar el valor umérico obteido. Ejercicio 4. (Putuació máima: putos) El tiempo de coeió a Iteret de los alumos de cierta uiversidad, sigue ua distribució ormal co desviació típica 15 miutos. Para estimar la media del tiempo de coeió, se quiere calcular u itervalo de cofiaza que tega ua amplitud meor o igual que 6 miutos, co u ivel de cofiaza del 95 %. Determiar cuál es el tamaño míimo de la muestra que es ecesario observar.

2 OPCIÓN B Ejercicio 1. (Putuació máima: 3 putos) Determiar los valores máimos y míimos de la fució z = 5 + 3y sujeta a las restriccioes 3 + y 4 + y 6 y 5 5 Ejercicio. (Putuació máima: 3 putos) + 1 Sea la fució f ( ) = + 1 Se pide: (a) Especificar su domiio de defiició. (b) Estudiar su cotiuidad. (c) Calcular sus asítotas si las hubiera. Ejercicio 3. (putuació máima: putos) Se elige u úmero atural etre el 1 y el de maera que todos tega la misma probabilidad de ser escogidos. Cuál es la probabilidad de que el úmero escogido sea divisible por o por 3? Cuál es la probabilidad de que sea divisible por 3 y o por 6? Ejercicio 4. (putuació máima: putos) Se ha etraído ua muestra de 15 familias de residetes e u barrio obteiédose que la reta familiar media de la misma asciede a euros. Se supoe que la reta familiar de los residetes e el barrio sigue ua distribució ormal de desviació típica 15 euros. (a) A partir de estos datos, calcular u itervalo de cofiaza para la reta familiar media co u ivel de cofiaza del 95%. (b) Qué tamaño muestral míimo es ecesario para coseguir, co u ivel de cofiaza del 9%, u error e la estimació de la reta familiar media o superior a 14 euros?

3 SOLUCIÓN DE LA OPCIÓN A Ejercicio 1 La traspuesta de A es A t = a Como A t = A 1 se cumplirá que A A t = A A 1 = I 1 a = 5 4 a 5 4 a a 1 = 1 a + 16 = 1 5 a = ±3 Ejercicio (a) La ecuació de la recta tagete a f() e el puto (a, f(a)) es: y f ( a) = f ( a)( a) Si f ( ) = e f ( ) = e + e luego f ( 1) = e ; f ( 1) = 3e De dode la tagete será y e = 3e( 1) y = 3e e (b) Como la fució es positiva e el itervalo cosiderado, el área pedida viee dada por el valor d la itegral e d = e = ( e 1) NOTAS: 1. Esta itegral es imediata, o obstate podría hacerse el cambio = t.. Auque o se pide, i es ecesario hacerlo, el recito pedido es el sombreado el la siguiete figura:

4 Ejercicio 3 La situació puede describirse e el siguiete diagrama: La probabilidad de que el test dé positivo es: P(+) = P(No cotamiada) P(+/No cotamiada) + + P(Cotamiada) P(+/Cotamiada) Luego, P(+) =,99,5 +,1,99 =,594 Mietras que P(No cotamiada/+) = P(No cotamiad a) P( + /No cotamiad a),99,5 = = =, 833 P( + ),594 Esto sigifica que el 83,3 veces que el test detecta que el agua está cotamiada, realmete o lo está. (Obviamete habría que tirar ese test.)

5 Ejercicio 4 El error admitido, E, viee dado por poblacioal. σ E = Zα /, siedo σ la desviació típica E uestro caso, para ua cofiaza del 95%, Z α / = 1,96, σ = 5 y E < 3, pues la amplitud σ del itervalo Zα /. σ σ (Recuérdese que el itervalo de cofiaza es Zα /, + Zα / ) Co esto: 15 1,96 < 3 > 9, 8 > 96,4 El tamaño muestral míimo debe ser 97.