DINÁMICA 1. FUERZA Y MOVIMIENTO

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1 DINÁMICA 1. UERZA Y MOVIMIENTO Los sisteas físicos inteaccionan ente sí. Po ejeplo, al pasa con los dedos de la ano la página que estaos leyendo, estableceos una elación ente los dedos y la página que se denoina inteacción. Las inteacciones puedes se fuetes o débiles. En el ejeplo anteio, podeos pasa las páginas con suavidad o con fueza, lo cual quiee deci intensaente. La fueza ide la intensidad de la inteacción que se poduce ente dos cuepos o ente las patículas que los foan. Cuando las fuezas sugen po contacto diecto ente los cuepos, incluyendo el ozaiento ente ellos, decios que la inteacción es po contacto. Existen otas inteacciones, coo la gavitatoia, la eléctica o la agnética que ocuen sin que los objetos que inteaccionan estén en contacto. Son las inteacciones a distancia. Uno de los efectos que puede poduci una fueza al aplicala sobe un cuepo es el de odifica la situación de eposo o de oviiento en que se encuenta ese cuepo. Al aplica sobe un objeto que se encuenta en eposo una fueza cuya intensidad sea suficiente paa desplazalo, el objeto se ueve en la diección en que se aplica la fueza. Ello peite conclui que la fueza es una agnitud vectoial, que puede epesentase ediante vectoes. ódulo punto de aplicación sentido diección Paa edi fuezas, se apovecha la defoación que poducen sobe un uelle al tia de él. Al tia de un uelle con una fueza,, el alagaiento o acotaiento, l, que se poduce sobe él es diectaente popocional a la fueza aplicada. Esa elación se denoina ley de Hooke: = k l En esta expesión, k es la constante elástica del uelle, y su valo es caacteístico de cada esote en paticula. La unidad S.I. de fueza es el newton (N). Paa deteina el efecto que poducen vaias fuezas cuando actúan siultáneaente sobe un cuepo, debeos calcula la fueza esultante, que es la sua vectoial de todas ellas. Paa ello, debeos tene en cuenta que las fuezas pueden taslada su punto de aplicación a lo lago de su diección: Si las fuezas que actúan sobe un cuepo se aplican en la isa diección y sentido, la esultante tiene la isa diección y sentido, y su ódulo es: = a +. Dináica 1

2 Si se aplican en la isa diección y sentidos opuestos, la esultante es la difeencia de abas, siendo su sentido el de la ayo: = a. Si las fuezas se aplican en diecciones que foan un ángulo ente sí, la esultante es: 2 2 = cos a a En las siguientes figuas se uestan las esultantes de fuezas actuando en distintas diecciones y sentidos: a a a β 2. EQUILIBRIO, REPOSO Y MOVIMIENTO Un cuepo en oviiento puede tasladase, puede gia sobe sí iso o puede ealiza abas cosas a la vez. El efecto de gio que poduce una fueza lo caacteizaos po el oento de la fueza. El oento de la fueza es la agnitud física que hace que gie un cuepo alededo de un eje al aplica una fueza sobe él, en la diección adecuada. Paa poduci un gio, no sive cualquie fueza; es necesaio que la diección de una, al enos, de las coponentes de la fueza no pase po el eje de gio ni sea paalela a él, lo que es fácil de copoba; basta con intenta abi una pueta. El oento, M, de una fueza,, especto a un punto O es una agnitud vectoial cuya diección es pependicula al plano que foan y, siendo el vecto posición del oigen del vecto especto al punto en que el plano que contiene a cota pependiculaente el eje de gio. Su sentido es el de avance de un tonillo que gia en el sentido del oviiento: M = M = sen Coo se deduce de la expesión anteio, la coponente de la fueza que cuple los dos equisitos necesaios paa poduci un gio es sen ; no es paalela al eje, ni su diección pasa po él: M O.sen.cos Dináica 2

3 Equilibio y eposo Paa que un cuepo esté en equilibio, la esultante de las fuezas aplicadas sobe él debe se nula, al igual que la sua de los oentos que las fuezas ejecen sobe él. No debe confundise equilibio con eposo. Si un cuepo está en eposo y la esultante es nula, no puede se tasladado; las fuezas aplicadas se anulan ente sí. Si, po el contaio, se anula la sua de oentos, el cuepo no gia. De acuedo con ello, si el cuepo está en oviiento y en equilibio, antendá el oviiento que ya posee. Po tanto, la condición de equilibio no iplica necesaiaente la de eposo. El peso es una fueza El peso de los cuepos es consecuencia de una acción a distancia, que es el esultado de la inteacción que existe ente ellos debida a su asa. Po ello, dos cuepos se ataeán ente sí con una fueza que dependeá de su asa y de la distancia que los sepaa. La caída libe de un cuepo se debe, po tanto, a la acción a distancia que la Tiea ejece sobe él. Si hay cuepos que no caen, es poque su oviiento está liitado po otos cuepos. Cuando un cuepo liita el oviiento de oto cuepo, decios que foa una ligadua. Po ejeplo, si se cuelga una esfea de un uelle con un hilo, este actúa coo ligadua y evita la caída de la esfea; sin ebago, el uelle se defoa debido al peso de la esfea. Al cota el hilo que une la esfea con el uelle, desapaece la inteacción ente abos: el uelle ecupea su foa inicial y la esfea cae libeente. El peso de un cuepo de asa es la fueza con que la Tiea lo atae. 3. MOMENTO LINEAL E IMPULSO MECÁNICO La asa y la velocidad popocionan una buena infoación aceca del oviiento de un cuepo. Po Z ello, Newton definió el oento lineal o cantidad de oviiento, p, de un óvil coo el poducto de su asa po su velocidad: p = v El oento lineal es una agnitud vectoial de ódulo: p = v O siendo su diección y sentido los de la velocidad. Y En el Sistea Intenacional de unidades, la unidad de oento lineal es el kg s 1 X. En un sistea de efeencia catesiano, las coponentes del oento lineal se obtienen ultiplicando la asa del óvil po las espectivas coponentes de la velocidad: p = p x i + p y j + p z k p = v x i + v y j + v z k v p =.v Dináica 3

4 Coo veos copaando la expesiones anteioes: p x = v x ; p y = v y ; p z = v z Paa que un vehículo se ponga en oviiento, debe tansitise a las uedas la fueza que ejece el oto. Es evidente, po tanto, que, despeciando ozaientos, cuanto ás tiepo se antenga aplicada la fueza del oto a las uedas, ayo velocidad alcanzaá el vehículo. Paa expesa físicaente estos fenóenos, intoducios una agnitud que expese la acción dináica de la fueza y que tenga en cuenta el intevalo de tiepo en que esta actúa. Esa agnitud es el ipulso ecánico, I, que se define coo el poducto de la fueza edia aplicada sobe un cuepo,, po el intevalo de tiepo, t, duante el cual dicha fueza actúa: I = t El ipulso ecánico es una agnitud vectoial; su diección y sentido son los de la esultante de las fuezas aplicadas, y su ódulo es el poducto del ódulo de la fueza esultante po el tiepo que actúa: I = t La unidad S.I. del ipulso ecánico es el newton po segundo (N s). Es fácil copoba que la ecuación de diensiones del oento lineal es igual a la del ipulso ecánico. Abas agnitudes tienen la isa elación de dependencia con las agnitudes fundaentales; po tanto, debe existi alguna elación ente ellas. Dicha elación, que deostaeos ás adelante, fue definida po Newton, y constituye hoy día el teoea de consevación de la cantidad de oviiento. De acuedo con dicho teoea, en ausencia de fuezas exteioes, la cantidad de oviiento de un cuepo peanece constante. Un cuepo libe de cualquie inteacción antiene constante su oento lineal y, po tanto, su velocidad. 4. LAS LEYES DE LA DINÁMICA Segunda ley de Newton Paa siplifica el estudio del copotaiento dináico de los cuepos, utilizaeos el concepto de punto ateial: un punto ateial es un ente ideal sin diensiones (un punto) que posee asa. La paadoja de una asa que no ocupa espacio se esuelve al atibui al punto ateial la asa, d, que contiene un eleento de voluen dv cuando dicho voluen tiende a ceo: d =ρ dv. Al igual que ocue con un objeto extenso, al aplica a la vez vaias fuezas sobe un punto ateial, la acción que estas poducen sobe dicho cuepo coincide con la de su esultante: = k n = En cuanto a la cantidad de oviiento, esulta: dp = v d, aunque, si tabajaos con cuepos ígidos de asa, podeos escibi la expesión anteio en la foa: p = v. n k k =1 P 3 2 T = Dináica 4

5 Estudiaeos ahoa el oviiento del punto ateial, y los esultados que obtengaos los ieos aplicando al oviiento de cuepos de asa finita. Paa ello, evisaeos los conceptos asociados a la ecuación fundaental de la dináica, a la que Newton denoinó segunda ley de la dináica. Esta ley afia que existe una elación de popocionalidad diecta ente la fueza que se aplica a un cuepo y la aceleación que dicha fueza le poduce. = a Sin ebago, esa no fue la foa en que Newton enunció la segunda ley. Él afiaba que, a edida que tanscue el tiepo, las fuezas aplicadas a un punto ateial odifican su cantidad de oviiento, lo que, ateáticaente, se taduce en la siguiente expesión: Si la asa del sistea físico peanece constante, las dos expesiones anteioes son equivalentes, ya que: dp d v dv d = = ( ) = + v = dv = a dt dt dt dt dt ya que la asa del cuepo no vaía si despeciaos los efectos elativistas; d = 0. dp La expesión = la podeos escibi en la foa: dt dp = dt Po tanto, el ipulso ecánico es igual a la vaiación de la cantidad de oviiento que se poduce en el sistea. Piea ley de Newton = lí p = t 0 t La piea ley de Newton afia lo siguiente: un cuepo antiene el estado de eposo o de oviiento en que se encuenta si la esultante de las fuezas que actúan sobe él es nula. Esta ley es, en ealidad, una consecuencia de la segunda. Si la esultante,, de las fuezas aplicadas sobe un cuepo es nula, la expesión: dp = dt se conviete en: dp = 0 Esto significa que el oento lineal peanece constante. Si suponeos que la asa del cuepo no vaía (suele se lo coiente), tabién seá constante la velocidad con que se ueve el cuepo: dp = 0 p = cte v = cte v = cte Po tanto, el cuepo se oveá con..u. si estaba en oviiento, o peaneceá en eposo si ese ea su estado inicial. No obstante, si teneos una patícula que se ueve con velocidad cecana a la de la luz, debeos tene en cuenta la dináica elativista, ya que, en ese caso, tanto la asa coo la velocidad son elativistas, coo se explica en la unidad 13 del libo. dp dt Dináica 5

6 Paa el estudio dináico del oviiento de un cuepo de asa que se ueve bajo la acción de una o de vaias fuezas, necesitaos evisa algo que ya sabeos: el caácte elativo del oviiento, lo que nos obliga a eflexiona sobe los sisteas de efeencia. Un sistea de efeencia inecial es aquel especto al cual el oviiento de un punto ateial cuple las leyes de Newton de la dináica. Los sisteas de efeencia ineciales están en eposo o se ueven con..u. Siendo iguosos, un sistea de efeencia fijo en la supeficie de la Tiea no es inecial, ya que, debido a la otación de esta, la velocidad con que se ueve el sistea de efeencia cabia su diección, y, po tanto, hay aceleación. A pesa de ello, en este cuso supondeos que estos sisteas de efeencia son ineciales y se encuentan en eposo. Un sistea de efeencia es no inecial cuando acelea; en él no se cuplen las leyes de Newton. Tecea ley de Newton Al peguntanos po la natualeza de las fuezas, heos convenido que son la edida de la inteacción ente los cuepos. Esa inteacción se anifiesta po los cabios que se poducen en el estado de eposo o de oviiento de un cuepo o po la defoación que expeienta. Es fácil copoba este últio efecto. Basta con epuja con la yea del dedo pulga el tableo de una esa hacia abajo duante unos instantes. Al sepaa el dedo y obseva la yea, veos que queda algo aplastada. Cóo explicalo? Paece lógico supone que la esa ejece una fueza vetical sobe la supeficie de contacto con el dedo, diigida hacia aiba, en el sentido en que este se defoa. Dieos que la esa ejece una fueza de eacción de sentido opuesto a la fueza de acción que aplicaos sobe ella. Si se epite la expeiencia, haciendo ahoa ayo fueza, la defoación que expeienta el dedo, debida a la fueza que ejece la esa sobe él, tabién es ayo. Esta expeiencia peite enuncia la tecea ley de Newton: las fuezas de inteacción que ejecen dos cuepos ente sí tienen la isa intensidad y diección, aunque sus sentidos son opuestos. La fueza que, apaenteente, inicia la inteacción se denoina fueza de acción y la que actúa sobe el cuepo que ejece dicha acción es la fueza de eacción. Po tanto: acción = eacción La tecea ley de Newton se denoina tabién ley de acción y eacción, y puede se explicada a pati de la segunda ley. Paa ello, supongaos que dos cuepos, de asas 1 y 2, que se ueven con velocidades v 1 y v 2, espectivaente, inteaccionan duante un tiepo t. Debido a ello, sus velocidades pasan a se v 1 y v 2. Se poduce, po tanto, una vaiación en el oento lineal de cada cuepo, peo no en el del conjunto foado po abos, ya que la segunda ley establece que, en ausencia de fuezas aplicadas sobe el sistea, el oento lineal se conseva: p = p + p = 0 p = p p p dp dp = = t t dt dt Dináica 6

7 Esta últia expesión supone, de acuedo con la segunda ley de Newton, la existencia de dos fuezas iguales y de sentido opuesto, aplicadas en cada uno de los dos cuepos que inteaccionan: El esultado que se obtiene es lo que heos enunciado coo tecea ley de Newton o ley de acción y eacción. Esta ley explica el equilibio estático de cuepos en eposo, coo ocue con un objeto apoyado sobe una esa: La fueza peso que ejece el objeto sobe su ligadua (la supeficie de la esa) actúa coo fueza de acción. La fueza de eacción la aplica la supeficie de la esa sobe el objeto, y es de igual intensidad y diección, peo sentido opuesto: vetical hacia aiba. Esta últia, junto con la inteacción gavitatoia que la Tiea ejece sobe el objeto, vetical hacia abajo, dan una esultante y un oento esultante nulos, y el objeto se encuenta en equilibio. 5. CHOQUES 2 1 = d p 1 dt 1 2 = d p 2 1 = dt Un choque es un suceso en el que se poduce una inteacción de cota o uy cota duación ente dos o ás cuepos o patículas. El estudio del choque de dos cuepos lo podeos esolve teniendo en cuenta la segunda ley de Newton. En el choque, las fuezas inteioes (de inteacción) se anulan ente sí, pecisaente po se fuezas de acción y eacción. Po tanto, si no actúan fuezas exteioes al sistea o su esultante es nula, un sistea físico foado po dos cuepos que chocan conseva la cantidad de oviiento total del sistea. Estudiaeos, en pie luga, los choques en los que los dos cuepos se ueven unidos tas el choque, con la isa velocidad. Iagina un sistea foado po dos asas distintas, 1 y 2, que se ueven con velocidades v 1 y v 2 cuando chocan y que, accidentalente, quedan unidas. Si consideaos que el sistea está aislado, es deci, que no actúan fuezas exteioes sobe las asas, la cantidad de oviiento del sistea se conseva. Po tanto, igualando la cantidad de oviiento que posee el sistea antes y después del choque, obteneos: 1 v v 2 = ( ) v Y, despejando, la velocidad con que se oveá el conjunto tas el choque esulta: v = 1 v v Peso (acción) Reacción de la esa Dináica 7

8 Esta expesión vectoial peite obtene las expesiones escalaes que coesponden a cada una de las diecciones pincipales del sistea de efeencia elegido, que, en el caso que nos ocupa, son OX y OY, coo se uesta en la ilustación: Y v α O v v 2 X 2 De ese odo, paa obtene la coponente de la velocidad en la diección OX, utilizaos la expesión: 1 v 1,x + 2 v 2,x v x = Del iso odo calculaos la coponente de la velocidad en la diección OY: 1 v 1,y + 2 v 2,y v y = La diección que foa el conjunto tas el ipacto es, de acuedo con la figua, aquella en la que se cuple la siguiente expesión: v y 1 v 1,y + 2 v 2,y tg = = vx 1 v 1,x + 2 v 2,x Un caso paticula de este tipo de choques es aquel en el que la velocidad inicial, v 2, de uno de los objetos que chocan es nula. En este caso, pescindiendo de la notación vectoial, ya que el oviiento del sistea es en una sola diección, la consevación del oento lineal peite escibi: 1 v 1 = ( ) v 1 v 1 v = Si la asa en eposo es ucho ayo que la asa en oviiento ( 2 >> 1 ), la velocidad con que se ueve el conjunto tas el ipacto es pácticaente nula (v ~ 0). Decios entonces que el choque es copletaente inelástico. En los choques en los que, tas el ipacto, los dos cuepos se sepaan y se ueven con velocidades distintas, si la piea asa se ueve tas el choque con velocidad v 1, podeos calcula la velocidad, v 2, con que se ueve la segunda, aplicando a este caso la ley de consevación del oento lineal. De ese odo obteneos la siguiente expesión: 1 v v 2 = 1 v v 2 Dináica 8

9 de la que, despejando v 2, esulta: v 2 = 1 v v 2 1 v 1 2 Al igual que antes, se puede escibi esta ecuación paa cada una de las coponentes del sistea de efeencia que se uesta en la figua: Y v 1 ' v 2 ' 1 v 1 α X v DINÁMICA DEL M.R.U.A. En cineática, heos estudiado el oviiento ectilíneo unifoeente aceleado, aunque sin tene en cuenta las fuezas que lo poducen. Vaos a estudia ahoa el oviiento de un punto ateial de asa sobe el que actúan vaias fuezas cuya esultante es. De acuedo con la segunda ley de Newton, el punto estaá soetido a una aceleación: a = En geneal, conocida la esultante de las fuezas que actúan sobe un cuepo de asa, podeos calcula la aceleación con que se ueve y establece el tipo de oviiento que descibe. Ten en cuenta que, si la esultante no vaía, el oviiento del punto es ectilíneo unifoeente aceleado. Un ejeplo, paa uchos cotidiano, de oviiento Y aceleado es el que ealiza un ascenso en los Moviiento intevalos de tiepo en que aanca y detiene su oviiento. Al utiliza un ascenso paa subi, paece que apetaos el suelo con los pies en el instante en que se pone en oviiento. Si colocaos una balanza de baño dento del ascenso y nos subios a en ella, copobaos que, al inicia la subida el ascenso, pesas ás. P Paa explica este peso adicional, debeos tene en cuenta que, en esas condiciones, el ascenso no P' es un sistea de efeencia inecial, ya que está aceleando. Báscula X Dináica 9

10 Las fuezas que actúan sobe el sistea son el peso del cuepo, P, y la fueza de eacción, P, que, de acuedo con la tecea ley de Newton, aplica la báscula sobe el cuepo. Esa fueza tiene la isa diección que el peso, aunque su sentido es opuesto al de este. Si fijaos un sistea de efeencia fuea del ascenso, coo se indica en la figua, el sistea de efeencia se encontaá en eposo y, po tanto, seá inecial. Aplicando ahoa la segunda ley de Newton a nuesto cuepo, que se ueve con la isa aceleación que el ascenso, esulta: P +P = a Esta ecuación del oviiento la podeos expesa en foa escala, ya que, paa cada una de las agnitudes que intevienen, solo existen coponentes en la diección OY. Po tanto, teniendo en cuenta el sentido de cada una: P P = a P =P + a = g + a = ( g + a) Coo veos, al acelea con elación al suelo, el ascenso no es un sistea inecial de efeencia: la fueza con que nuesto cuepo apieta la balanza (el peso) no es igual a la fueza con que la Tiea lo atae. En ese caso, al esta diigida la aceleación del ascenso en sentido opuesto a la aceleación de la gavedad, la fueza sobe la balanza, P, es ayo que el peso, P, del cuepo que ide esa isa balanza en un sistea inecial. El peso, P, que ide la balanza cuando el ascenso asciende con aceleación a se denoina peso apaente. 7. DINÁMICA DEL M.C.U. En el oviiento cicula unifoe, la aceleación tangencial es nula; sin ebago, la aceleación noal, que es la que ide los cabios en la diección de la velocidad, es constante, y toa el valo: siendo su diección adial, es deci, pependicula a la tayectoia, y su sentido está diigido hacia la pate cóncava de la cuva, es deci, hacia el cento de la cicunfeencia. Po eso se denoina aceleación centípeta a la aceleación del.c.u. Si una patícula de asa se ueve con.c.u., es poque, de acuedo con la segunda ley de Newton, sobe ella está aplicada una fueza que le poduce una aceleación noal o centípeta. Dicha fueza tiene, po tanto, la diección y el sentido de la aceleación centípeta y ecibe el nobe de fueza centípeta, c. a c Su valo es: 2 v v = a = c La fueza centípeta tabién puede expesase en función de las agnitudes angulaes que intevienen en el.c.u. Recueda que v =ω, siendo ω la velocidad angula del oviiento. Po tanto: c ( ω ) = a = v2 2 2 = ω c Dináica 10

11 Cuando la esultante de las fuezas aplicadas a un cuepo es una fueza centípeta, este descibe un oviiento cicula unifoe. Sobe un cuepo sujeto al exteo de un cable que se ueve sobe un plano con.c.u. actúa una fueza centípeta que tansite el cable que lo antiene sujeto. De acuedo con la tecea ley de Newton, el cuepo ejece sobe el punto al que está unido el oto exteo del cable una fueza de eacción, lo que explica la tensión que sopota el cable. En este caso, la fueza centípeta y la tensión del cable son iguales: T = T = a = v = ω 2 c Las cuvas que descibe una vía de ten o una caetea suelen esta pealtadas. En ausencia de ozaiento, un coche solo puede toa una cuva (adio ) sin deapa si está pealtada. En la ilustación se han dibujado las dos fuezas que actúan sobe el coche: su peso y la eacción del suelo: N 2 c P La esultante de abas fuezas debe se la fueza centípeta que le peite toa la cuva. Po tanto: tg = c P = v2 g v = g tg 8. LA UERZA DE ROZAMIENTO Cuando un cuepo se ueve sobe la supeficie de oto cuepo, existe una fueza de inteacción en la supeficie de contacto ente abos que se opone siepe al oviiento. A esa fueza la denoinaos fueza de ozaiento,. El ozaiento ente dos cuepos se puede poduci po deslizaiento o po odadua. A continuación estudiaeos el ozaiento po deslizaiento; el ozaiento po odadua seá objeto de estudio en la enseñanza supeio. Si epujaos un cuepo aplicando sobe él una fueza hoizontal,, y no se ueve, debeos acepta ozaiento que existe una fueza que se opone a la que aplicaos y que antiene el equilibio y, en este caso, el eposo. Es la fueza de ozaiento estático,,e, que es igual a la fueza que aplicaos, peo de sentido opuesto. Si epujaos con ayo fueza y el cuepo sigue sin ovese, ello quiee deci que la fueza de ozaiento Reposo Moviiento estático tabién ha auentado. aplicada Dináica 11

12 Po tanto, si continuaos epujando, en el instante en que se inicie el oviiento, la fueza que aplicaos es igual y de sentido opuesto a la áxia fueza de ozaiento estático que se ejece ente las dos supeficies en contacto. Una vez iniciado el oviiento, la fueza que hay que hace paa antenelo unifoe es igual y de sentido opuesto a la fueza de ozaiento dináico,. Po tanto, exceptuando el instante en que lo poneos en oviiento (fíjate en la últia ilustación de la página anteio):,e La expeiencia nos indica que la fueza de ozaiento dináico: Depende del estado en que se encuentan las supeficies de contacto de abos cuepos. Es independiente de la extensión de la supeficie de contacto. Depende de la fueza, N, noal a la supeficie de contacto, esultado de la inteacción ente los cuepos. El coeficiente de ozaiento estático, µ e, es la elación que existe ente la fueza de ozaiento estático áxia y la fueza noal, N, siendo el coeficiente de ozaiento dináico, µ, la elación ente la fueza de ozaiento dináico y la fueza noal: e, µ = ; µ = e N N Coo,e, esulta µ e µ. El coeficiente de ozaiento estático es eno o, coo ucho, igual que el coeficiente de ozaiento dináico. Cuando en un ejecicio se cite el coeficiente o la fueza de ozaiento y el cuepo esté en oviiento, nos estaos efiiendo siepe al dináico. 9. CUERPOS APOYADOS SOBRE UNA SUPERICIE HORIZONTAL Vaos a estudia ahoa algunas situaciones dináicas específicas, coo son las de los cuepos apoyados en supeficies. Supongaos que teneos un objeto de asa apoyado sobe una supeficie hoizontal, coo se apecia en la figua. El coeficiente de ozaiento dináico ente el objeto y la supeficie es µ. Consideaeos a continuación dos casos: en el pieo, supondeos que sobe el cuepo actúa una fueza constante en diección hoizontal, y en el segundo, que la fueza foa un cieto ángulo con aquella. N N x y P P Dináica 12

13 Si aplicaos sobe el objeto una fueza constante,, en diección hoizontal, ayo que la fueza de ozaiento dináico, el cuepo se veá soetido a una aceleación, de acuedo con la segunda ley de Newton: a = + a = = µ N = µ g y, po tanto, se oveá con oviiento ectilíneo unifoeente aceleado. Al aasta un objeto po el suelo, la fueza con que tiaos o epujaos de él foa cieto ángulo,, con la hoizontal. En geneal, la fueza,, que aplicaos tiene una diección distinta a la del oviiento. Cuando ocue esto, conviene aplica po sepaado la segunda ley de Newton a cada una de las diecciones pincipales del sistea de coodenadas elegido. De ese odo, en el ejeplo que estaos estudiando, esulta paa la diección OY: y + N P = a y Si teneos en cuenta que, de acuedo con la figua, y = sen y que P = g y a y = 0, obteneos: sen +N g = 0 N = g sen lo que peite calcula la fueza de ozaiento: =µ N =µ ( g sen ) Obseva que la fueza de ozaiento es eno ahoa que si tiaos del objeto en diección hoizontal. Una vez calculado el valo que adquiee la fueza de ozaiento, podeos aplica la ecuación fundaental de la dináica a la diección OX. De ese odo podeos conoce la aceleación que poduce sobe el cuepo la fueza aplicada: x = a x cos µ ( g sen) = a a = cos µ g sen 10. CUERPOS APOYADOS SOBRE UNA SUPERICIE INCLINADA Aunque es ipotante conoce cóo se ueve un cuepo sobe un plano hoizontal, quizá lo sea ás conoce el oviiento de un cuepo que se desliza po un plano inclinado. Paa siplifica el estudio de estos oviientos, inicialente supondeos despeciable la fueza de ozaiento. Coo heos señalado con anteioidad, las fuezas de inteacción que se poducen al enta en contacto dos cuepos a tavés de una supeficie son siepe pependiculaes a la supeficie de contacto. En la figua de la página siguiente heos dibujado las fuezas que actúan sobe un cuepo apoyado en un plano inclinado, sin tene en cuenta el ozaiento. Dináica 13

14 Estas fuezas son la de inteacción gavitatoia y la que coesponde a la eacción en el plano, pependicula a este: ov Y N P X Coo se apecia en la figua, la esultante de esas dos fuezas no es nula. Dicha esultante es paalela a la supeficie del plano inclinado y está diigida en sentido descendente. Su valo,, lo calculaos teniendo en cuenta que la fueza gavitatoia que actúa sobe el cuepo es: P = P x i + P y j P = g sen i g cos j Al descopone el peso en sus dos coponentes, veos que la acción que el cuepo ejece sobe el plano inclinado es: P y = g cos j y, po tanto, la fueza de eacción de la supeficie sobe el cuepo debe se: N = g cos j La esultante seá la sua de las todas las fuezas aplicadas al cuepo: = P + N = g sen i que, en ausencia de ozaiento, poduciía un oviiento cuya aceleación es: a = a = g sen i En este caso, la aceleación es una agnitud vectoial constante; po tanto, el oviiento es ectilíneo unifoeente aceleado. En estos oviientos podeos pescindi de la notación vectoial si estableceos un citeio de signos paa las agnitudes vectoiales. Genealente, se toa coo positivo el signo de aquellas agnitudes vectoiales cuyo sentido es el del oviiento. En este caso, la aceleación es positiva. En la vida eal, cuando un objeto se desliza po un plano inclinado, estaos obligados a tene en cuenta casi siepe la fueza de ozaiento que se opone al oviiento. Si al coloca un objeto sobe un plano inclinado no se ueve, la fueza de ozaiento estática seá igual, aunque de sentido opuesto, a la esultante de la fueza peso y la fueza noal. Po tanto, ientas el objeto peanece en eposo:,e =,e = g sen i Cuando el cuepo se desliza po el plano, las fuezas que actúan son la gavitatoia, la eacción noal a la supeficie de contacto y la de ozaiento dináico. Dináica 14

15 Al aplica la segunda ley de Newton en la diección OY del sistea de efeencia elegido, obteneos el valo de la fueza noal que actúa sobe el cuepo ientas se desliza: a N Y P y N = a y g cos N = 0 N = g cos Al calcula el valo de la fueza noal, heos tenido P P y x en cuenta que la aceleación noal, a y, es nula. P Conocida la fueza noal, podeos calcula la fueza de ozaiento dináico: =µ N =µ g cos Si aplicaos ahoa la segunda ley de Newton en la diección OX, obteneos la aceleación con que se ueve el cuepo que se desliza: P x = a x = a g sen µ g cos = a a = g (sen µ cos ) En este caso, al habe ozaiento, la aceleación con que desciende el objeto po el plano es eno que en el caso anteio. Obseva tabién que, si el oviiento de descenso es unifoe, la aceleación es nula; en ese caso, de la expesión anteio obteneos la siguiente elación: Po tanto: a = 0 g (sen µ cos ) = 0 sen µ cos =0 µ= sen cos = tg Paa edi el coeficiente dináico de ozaiento, basta con edi el ángulo que foa el plano inclinado po el que se desliza el cuepo con la hoizontal cuando el cuepo desciende con oviiento unifoe. X Dináica 15