Función Exponencial. Def.: Sea b IR + -{1}, se llama función exponencial de base b, denotada por Exp b, a la función Exp b :IR IR + x y=exp b (x)= b x

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Alfonso Domínguez Espinoza
hace 7 años
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1 Función Eponencial Def.: Sea b + -{1}, se llama función eponencial de base b, denotada por Ep b, a la función Ep b : + Ep b ) b

2 Ejemplo: Sea Ep : + Ep ) /81 1/27 1/9 1/ DomEp b ) RecEp b ) + b 0 no corta el eje pero es asintótica a él Si b>1 se cumple: a)x 1 < 2 Epb1) < Ep b 2 ), es etrictamente creciente. b) X > 0 Ep b )>1 c) X < 0 0< Ep b )<1 Ep b 0)1 b + -{1} Ep b ) es inectiva Ep b ) es sobreectiva Luego Ep b ) es biectiva tiene función inversa

3 Ejemplo: Sea Ep 1/ : Ep 1/ )1/) Y1/) 1 1/ 1/9 1/27 DomEp b ) RecEp b ) + 4 1/81 b 0 no corta el eje pero es asintótica a él Si0< b<1 se cumple: a)x 1 < 2 Ep b 1 ) > Ep b 2 ), es etrictamente decreciente. b) X < 0 Ep b )>1 c) X > 0 0< Ep b )<1 Ep b 0)1 b + -{1} Ep b ) es inectiva Ep b ) es sobreectiva Luego Ep b ) es biectiva tiene función inversa

4 Propiedades: Sean a,b + -{1}, sean, b + b b b - b /b b 0 1 ab) a b b - 1/b b - b /b b b ս

5 Ejemplo: Trazar la gráfica de f: g: + Analizar la inectividad sobreectividad de las funciones anteriores.

6 F: Sabemos que la base es es maor que uno Y f no es inectiva por ejemplo 1 1 f-1)f1) Recorrido de f es ]0, 9] f no es sobreectiva por que Recf) Codf) f no biectiva

7 g: + Resolviendo el eponente de la función se obtiene la siguiente función por tramo: f) + si si > Y

8 Para la otra función tenemos: Y Su grafica es : F no es inectiva pues 2 4 f2)f4) Recorrido de f es [ 1, + [ f no es sobreectiva por qué? f no es biectiva por qué?

9 Función inversa de la eponencialep b )) es la función logaritmo en base b log b )) Def.: Log b : +, b se llama base b + -{-1}) log b ) Se llama función logaritmo con base b Obs.:a) log b ) b b) Si la base del logaritmo es 10 se llama logaritmo común o Biggs se denota por : log 10 ) log). c) Si la base del logaritmo es e se denomina loagritmo natural se denota por: log e ) ln)

10 De la observación anterior se tiene que log b ) b Ejemplos: a) Log 2 16) b) log 81) c) Log 5 ) d) Log 1/2 16) e) Log 4 )-1/2 f) Log b 125)

11 Graficar la función a) log ) El domf) + 1/27 1/9 1/ YLog ) Recf), la función es estrictamente creciente Si b>1 Se observa que : Si b> 1 >1, entonces log b )>1 Si b > 1 0<<1, entonces log b )< 0 Log 1)0, log )1, en genera log b 1) l 0 log b b)1 La función es inectiva sobreectiva. Luego es biectiva su función inversa es la función eponencial con base b

12 Graficar la función b) log 1/ ) Domf) + 1/81 1/27 1/9 1/ Y log 1/ ) Recf), f es estrictamente decreciente si 0<b<1 Se observa que :Log b 1)0 Log b b)1 f inectiva sobreectiva. Luego f es biectiva. Su su función inversa es la función eponencial con base b 1/ Si 0<b<1 0<<1 entonces log b ) >1 Si 0<b<1 >1 entonces log b )< 0

13 Ejemplo: Sea f:, tal que f)e -, a) Es f una función inectiva? Justifique su respuesta. b) Es f una función sobreectiva? Justifique su respuesta. c) Posee inversa la función? Si su respuesta es afirmativa defina la función inversa, es decir, indique dominio, codominio ecuación de definición. Si su respuesta es negativa, restringir convenientemente la función de f de modo que acepte inversa luego defina la inversa de la función restringida. d)dibuje el gráfico de la función f su inversa en el mismo par ejes coordenados.

14 Solución { } { } { } { } + > > > f c f c f c e f c f Dom e f Dom ) Re 0 ln / ) Re 0 ln / ) Re 0 / ) Re )! / )

15 f es Inectividad pues Sean f a ) a Luego f es inectiva., f b b ) f no es sobreectiva por que Recf) + Codf), luego habrá que restringir el codominio para que la función sea sobreectiva, en efecto, f * : + e a Dom a f * ) e - a b e b f b ))

16 Es una función inectiva sobreectiva, entonces f * es biectiva, es decir tiene función inversa definida por : f *-1 : + Su gráfica es: f *-1 )-ln

17 Propiedades :,,b,aε +, con b 1 a 1 se verifica: a) log b ) log b ) + log b ) b) log b /) log b ) - log b ) c) log b n ) n log b ) donde n log b ) log a d) log Cambio de base) e) log b b a b ) ) f) log b b ) g) log b 1)0 h) log b b) 1 )

18 Ecuaciones eponenciales logarítmicas Resolver las siguientes ecuaciones: a) b) 4 64 * ) c) e d) e) f) 2* +1 2 g) 2-2 e -1 h) log -4) i) log -1 j) log )2 k) 2ln+2)-lnln8 l) 2lnln4+ln+)

19 Sean f:a f) Encontrar a) Domf) b) Recf) c) es inectiva? Justifique su respuesta d) Es sobreectiva? Justifique su respuesta e) Posee inversa la función? Si su respuesta es afirmativa defina la función inversa, es decir, indique dominio, codominio ecuación de definición. Si su respuesta es negativa, restringir convenientemente la función de f de modo que acepte inversa luego defina la inversa de la función restringida. d)dibuje el gráfico de la función f su inversa en el mismo par ejes coordenados.

20 a) -2 b) c) 9- d) 2 +8 e) 2 2- f) log 2-2) g) log 2 )+2 h) log +)-2 i) log 2+4)+2 j) log 2 I+2I k) 2 I2-I l) I+5I 2 + m) ln n) log 2 +1)-log 2-1) ñ) ln o) 2+ep 2 I-2I + 1

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