5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)

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1 Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción) Se y = f(x) l ecución de un curv en el plno OXY, donde x [, b]. Nos interes obtener un expresión pr el lrgo de est curv. Pr clculr este lrgo, consideremos un prtición Q = {x...,x n } del intervlo [, b]. En cd intervlo [x i 1, x i ] se proxim l curv por el segmento recto que une los puntos P i 1 = (x i 1, f(x i 1 )) y P i = (x i, f(x i )). A flt de un definición del concepto de longitud de un curv culquier, diremos que el lrgo buscdo es el límite del lrgo del polígono sí construido cundo l norm de l prtición tiende cero. Es decir L b (f) = lím P i 1 P i. Llmemos L i l lrgo del trzo P i 1 P i. Es clro que: L i = (x i x i 1 ) 2 + (f(x i ) f(x i 1 ) 2 Si suponemos que f es diferencible, entonces: Por lo tnto: con lo cul el lrgo buscdo serí f(x i ) f(x i 1 ) = f (ξ i )(x i x i 1 ) L i = L b (f) = lím 1 + f 2 (ξ i )(x i x i 1 ) Este último límite es bien conocido si l función L b (f) = 1 + f 2 (ξ i ) x i. 1 + f 2 (x) es continu y vle L b (f) 1 + f 2 (x)dx. En consecuenci, diremos que est últim fórmul define el concepto de longitud de curv cundo f es un función continumente diferencible en un intervlo [, b]. Incluso usremos est fórmul en el cso de funciones continumente diferencibles por pedzos Superficie del Mnto de un Sólido de Revolución Se y = f(x) l ecución de un curv en el plno OXY, donde f es continumente diferencible en [, b]. Nos interes obtener un expresión pr clculr el áre del mnto del sólido generdo por l rotción de l región bjo l curv y = f(x), en torno l eje X. 85

2 Se Q = {x,..., x n } un prtición del intervlo [, b]. En cd intervlo [x i 1, x 1 ], l rotción del trzo recto que une los puntos P i 1 = (x i 1, f(x i 1 )) y P i = (x i, f(x i )) gener el mnto de un trono de cono cuy áre es A i = 2πf( x i ) L i donde x i es lgún punto de [x i 1, x i ]. Al igul que en el cso de l longitud de curv, diremos que el áre del mnto buscd es igul l límite cundo l norm de l prtición tiende cero de l sum de ests áres cónics. Es decir A b (f) = lím = lím = lím A i 2πf( x i )( L) i 2πf( x i ) 1 + f 2 (ξ i ) x i. El límite de l últim sum no es el clásico limite de un sum de Riemnn del tipo f(ηi ) x i y que en nuestro cso hy dos funciones evluds en puntos distintos. Por este motivo conviene seprr l sum en dos, usndo el viejo ni quit ni pone del modo siguiente. A b (f) = lím + lím 2πf(ξ i ) 1 + f 2 (ξ i ) x i 2π (f( x i ) f(ξ i )) 1 + f 2 (ξ i ) x i. Clrmente l primer sum es del tipo Sum de Riemnn y por lo tnto converge 2π sup f (x) x [,b] f(x) 1 + [f (x)] 2 dx, l segund sum se puede cotr superiormente en módulo, usndo el teorem del vlor medio, por { } { } Q 2π 1 + f 2 (x) (b ) y por lo tnto converge cero. Con esto entonces tenemos que sup x [,b] A b (f) A b (f) = 2π f(x) 1 + [f (x)] 2 dx. 86

3 5.6. Coordends Polres Definición 5.1. Ddo los reles r y φ, se determin el punto P del plno de coordends (x, y) medinte ls fórmuls x = rcos φ y = rsen φ. El pr (r, φ) corresponde ls coordends polres del punto P. coordends polres Observción: Un mismo punto P tiene más de un pr de coordends polres, por ejemplo: r = 1, φ = P(x = 1, y = ) Pero tmbién r = 1, φ = π P(x = 1, y = ). Un form de resolver este problem es restringir el rngo de vlores ceptdos pr r y φ. Por ejemplo r y φ [, 2π). Pero incluso sí el problem qued en r = donde φ puede ser culquier. Se podrí poner r > pero el origen no tendrí coordend polr, etc, etc. En ingenierí conviene dejr est mbigüedd de indeterminción ls coordends polres y que típicmente se buscn puntos del plno pr coordends polres dds. Si el problem fuer el recíproco, muchs veces se pueden dr o bien tods ls coordends polres de un punto, o bien lgun de ells. Un plicción interesnte de ls coordends polres es estudir conjuntos del plno definidos medinte lgun relción entre ls vribles r y φ. Muchs de ests relciones definen curvs o regiones del plno con geometrís prticulres. Vemos lguns de ls curvs ms clásics: 1. L relción r = cte define un circunferenci con centro en 2. L relción φ = cte define un rect que ps por el origen de pendiente tg φ. 3. r = (1 + εsen φ) con ε pequeño define un curv cercn un circunferenci de rdio. En efecto cundo φ = l distnci del punto P = (rcos φ, rsen φ) l origen es. Cundo φ vrí de π/2 dich distnci ument hst + ε. De hí l distnci decrece hst ε (si φ vrí de π/2 3π/2) y posteriormente crece hst en φ = 2π. Este comportmiento se repite periódicmente si φ Ê. L curv sí obtenid se conoce con el nombre de crdioide. Es interesnte notr que el gráfico de l crdioide se puede relizr unque ε no se pequeño. Por ejemplo si ε = en l dirección definid por φ = 3π/2 se obtiene r = y por lo tnto l crdioide ps por el origen. Si demás ε > existen vlores de r negtivos. Ejercicio Ejercicio 5.3: Trtr de grficr l crdioide de ecución r = 1 + 2sen φ. 87

4 Are en Coordends Polres Se f : [, b] Ê un función integrble. Usndo est función se define l curv en coordends polres cuy ecución es r = f(φ). Supongmos demás que l función f es no negtiv y que b 2π. Con estos supuestos se dese encontrr el áre de l región R definid por R = {(rcos φ, rsen φ); φ [, b], r [, f(φ)]}. Se P = {φ, φ 1,...,φ n } un prtición del intervlo [, b]. Sen = {(rcos φ, rsen φ); φ [φ i 1, φ i ], r [, f(φ)]} = {(rcos φ, rsen φ); φ [φ i 1, φ i ], r [, m i (f)]} = {(rcos φ, rsen φ); φ [φ i 1, φ i ], r [, M i (f)]}. Es clro que: n R = y que, luego: áre( ) áre( ) áre( ) pero como y son sectores circulres, sus áres vlen 1 2 m2 i (f) φ i y 1 2 M2 i (f) φ i respectivmente y por lo tnto 1 2 m2 i(f) φ i áre( ) 1 2 M2 i (f) φ i Sumndo desde i = 1 hst i = n se obtiene que 1 2 s(f2, P) áre(r) 1 2 S(f2, P) Si f es integrble, entonces tmbién lo es f 2 y entonces se obtiene necesrimente que: áre A(R) = 1 2 f 2 (φ)dφ Centro de Grvedd de un Superficie Pln Introducción Considérese un plno idel, sin peso, en el cul se encuentrn loclizds n prtículs puntules P i de mss m i, i = 1,...,n. Si este plno se poy sobre un eje recto horizontl, nos interes estudir l tendenci del plno rotr en torno dicho eje cciondo por el peso de ls prtículs. Considerndo un sistem ortogonl de ejes OXY en el plno, y l rect prlel l eje OY de ecución L : x = x, l tendenci rotr del plno en torno de L se mide mtemáticmente por el Momento Estático que produce el peso de ls prtículs en torno de L, que, pr un Momento Estático 88

5 prtícul isld, result ser igul l producto del peso por l distnci l eje de rotción. Es decir, el momento estático de l prtícul i con respecto l rect L es: M L (x i ) = (x i x ) m i g. Pr el sistem de n prtículs, el momento estático totl es igul l sum de los M L (x i ), o se: M L = (x i x )m i g. El sistem de prtículs estrá en equilibrio cundo su momento estático totl se nulo, es decir, cundo: M L (x i x )m i g =. De est ecución se despej fácilmente l posición de l rect en torno l cul no hy tendenci l rotción. Su ecución serí x = mi x i mi. Análogmente si se consider hor l tendenci del plno rotr en torno un eje prlelo X, se lleg l expresión: mi y i y =. mi El punto de coordends (x, y ) se llm centro de grvedd del sistem. Teóricmente, el plno qued en equilibrio sustentdo de ese punto únicmente. Ls ecuciones nteriores se pueden escribir tmbién sí: (Coordend del C.G)*(Ms Totl)=Momento Estático Momento Estático y Centro de Grvedd de un Are Pln El concepto de momento y de centro de grvedd se extiende fácilmente l cso en que l ms totl del sistem se encuentr uniformemente distribuid sobre un región pln. Pr esto debe tenerse presente que: centro de grvedd 1. Si un región pln tiene un eje de simetrí, su centro de grvedd debe estr sobre él. Es el cso, por ejemplo, de un cudrdo, un rectángulo, de un circulo, etc. 2. L ms de culquier región de áre A es ρ A, donde ρ es l densidd y l suponemos contnte.- Se R l región encerrd bjo el gráfico de un función no negtiv e integrble. Es decir R = { (x, y) Ê 2 ; x [, b], y [, f(x)] }. Clculemos los momentos estáticos M OX y M OY con respecto los ejes OX y OY respectivmente. Pr ello consideremos un prtición P = {x,...,x n } del intervlo [, b] con P. 89

6 En cd intervlo [x i 1, x i ], se tiene un región Csi Rectngulr de ncho x i y ltur f(ξ i ) con ξ i [x i 1, x i ] cuyo centro de grvedd es el punto Luego: En consecuenci X G,i = x i + x i /2 Y G,i = f(ξ i )/2 M X = ρf(ξ i ) x I f(ξ i) 2 M Y = ρf(ξ i ) x I (x i + x i /2) M X = ρ 2 M Y = ρ Clrmente l ms totl del sistem es f 2 (x)dx xf(x)dx. m = ρa(r) Pr el cálculo de ls coordends del centro de grvedd (X G, Y G ) usmos ls regls M OX = Y G m M OY = X G m de donde se deduce que X G = Y G = xf(x)dx f(x)dx f 2 (x)/2dx. f(x)dx Ejemplo 5.5. Determinr el centro de grvedd del áre encerrd bjo l función sen(x) entre y π/2. Solución. Podemos escribir que (i) A = π/2 sin xdx = (cosx) π/2 = 1 9

7 π/2 (ii) M X = (iii) M Y = π/2 sin 2 x dx = En consecuenci se tiene que π/2 xsin xdx = xcosx π/2 + π/2 (1 cos2x)dx = 1 4 (π 2 X G = M Y A = 1 Y G = M X A = π 8. sin 2x 2 ) cosxdx = sin x π/2 = 1 Por lo tnto el centro de grvedd tiene coordends C.G = (1, π/8). π/2 = π 8 91

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