LONGITUD DE ARCO. Una aproximación es una línea recta desde el punto x=a hasta el punto x=b, como se indica en la figura:
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- Juana Sosa Castro
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1 LONGITUD DE ARCO Clculr l longtud de rco o de un curv dd por un funcón f en un ntervlo x, tene muchs plccones en ls cencs. Es necesro que hgmos un reve estudo del cálculo de ells. Un proxmcón es un líne rect desde el punto x= hst el punto x=, como se ndc en l fgur: Ddo los ncrementos en x y en y, entonces l longtud L (por el teorem de Ptágors, es: L = ( + ( y ( Ahor como se ve en l nmcón, l RECTA que es secnte l curv se vuelve rect tngente en un punto cundo.
2 Entonces podemos determnr que, l pendente de l rect tngente es: f y '( x =, Despejndo y y reemplzndo en (, nos qued L = ( + ( f '( x Fctorzndo ( y extryendo l ríz, tenemos L = + ( f '( x Sguendo ls sums de Remnn, entonces tenemos que l longtud de curv de f (x en el ntervlo x, est dd por: L = + ( f '( x Ejemplo: f 4 x = x ( Clculr l longtud de l curv en el ntervlo [,4] de l funcón Solucón: Dd l ntegrl pr clculr l longtud de curv, entonces prmero
3 dervmos l funcón f (x Smplfcndo y elevndo l cudrdo, 4 f '( x = * x, ( f '( x = ( x = 8x Ahor susttumos en l ntegrl pr clculr l longtud Integrndo por susttucón, qued L + 8x = 4 Que es l longtud de l curv pedd. L = A contnucón veremos un plccón de l longtud de curv en el cálculo del áre de superfce de un sóldo de revolucón. AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION Ls superfces de revolucón son quells que se genern hcendo grr un curv (un cuerd lrededor de un rect Pr clculr el áre de un superfce de revolucón generd l grr l rect zul lrededor del eje x se gener un tronco de cono crculr recto cuy superfce lterl es: A = RL
4 r = rdo menor r = rdo myor L= longtud del segmento R = r + r rdo medo del tronco del cono Supóngse hor que se gr l grfc de l funcón f (x cuy dervd es contnu en el [,] lrededor del eje x pr formr l superfce de revolucón Se hce un prtcón del ntervlo [,] de ncho es decr = x < x < x < x... < x = n,cundo ls mágenes f(x de cd punto se unen entre s se form un trpeco, cundo est fgur se hce grr en torno l eje x se gener un tronco de cono
5 y l longtud de cd segmento que une dos puntos es LI = ( I + ( y y el áre superfcl de un solo tronco de cono est dd por s = f ( x ( I + ( y y por el teorem del vlor medo est áre se puede escrr como : ( ( y s = f ( x + ( ( ( y s = f ( x + ( por lo tnto el áre totl de tod l superfce generd puede proxmrse como l sum de ls áres de todos los troncos de conos que se formen con es prtcón y cundo l longtud de cd segmento tende cero y el numero de segmentos tende nfnto se tene : n / lm f ( x + f ( x n S = que equvle l sguente ntegrl defnd : / S = f ( x + f ( x donde f(x es el rdo R(x o dstnc entre l grfc y el eje de revolucón correspondente Cundo l grfc gr el torno l eje y el R(x=x entonces l formul es / S = x + f ( x y Cundo l grfc gr el torno l eje x el R(x=f(x entonces l formul es / S = f ( x + f ( x y EJEMPLO: Hllr el áre S de l superfce de revolucón que se form l hcer grr l grfc de l funcón SOLUCION : Se grfc l funcón y = x en el ntervlo [,4] lrededor del eje x
6 Se derv l funcón y se reemplz en l fórmul y = x ' y = x Entonces el áre superfcl es 4 S = x + x S 4 = x + 4x S 4 = x 4x + 4x smplfcndo 4 S = 4x +,hcendo u=4x+ se otene 4x + ( (4 S = = x (7 = 6 (5 6 4 (4(4 + = 6 =.85 unddes cudrds (4( EJEMPLO: Hllr el áre S de l superfce de revolucón que se form l hcer grr l grfc de l funcón y = x en el ntervlo [, ] lrededor del eje y SOLUCION: Se derv l funcón y se reemplz en l fórmul Cundo l grfc gr el torno l eje y el rdo es x entonces l formul es
7 S = / x + f ( x por lo tnto ' y = x y el áre es S = x + (x S = x + 4x,est ntegrl se hce por susttucón tomndo du = 8x ( u = 8 reemplzndo e ntegrndo ] 9 = = 6 S = 9 = udu = u = + 4x se hce l grfc ROTACION DE UNA CURVA DADA EN TERMINOS DE x=g(y
8 Cundo l funcón est de l form x=g(y en el ntervlo[c,d] entonces el áre de l superfce generd es ldstnc entre l grfc de g y el eje de revolucón d S = g( y + g'( y dy c donde el rdo es EJEMPLO El segmento de rect x=-y gr lrededor del eje y en el ntervlo [,] hlle el áre de l superfce de revolucón generd (un cono SOLUCION / x=-y entonces l dervd es x = d S = x + ( dy c pero x=-y por lo tnto reemplzndo S = ( y + ( dy = S = ( y dy = ( y y ] = ( = Usndo l formul geométrc se otene; Áre de l superfce lterl del cono es S=crcunferenc de l se x l ltur ( = olcu dvdd por es decr S= EJEMPLO Superfce de l Hpocclode L hpocclode x + y = es un curv generd por l tryector que descre un punto studo sore un crcunferenc que rued, sn deslzmento por el nteror de otr crcunferenc
9 Hllr el áre de l superfce generd l grr,lrededor del eje x l prte de L hpocclode SOLUCIÓN x + y = Se despej y en el prmer cudrnte, resultdo L dervd es y / = ( x ( x / y = ( x ( x Reemplzndo en l fórmul y = ( x x en [, ] y duplc el S = ( x S = S = S = ( x + ( x + ( x ( ( x + ( x ( x + ( x S = ( x x = x x ( x = = = S = ( x x = S = ( x x = por susttucón se hce u = x y l dervd du = x result l ntegrl u du S= u du 6 ( u = - ] = = Dseño Clr Cstllo.
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